2013屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義6.5數(shù)列求和

一輪復(fù)義數(shù)列求和等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝要點(diǎn)梳理憶一憶知識(shí)要點(diǎn)na1＋anna1＋nn－12d

，推導(dǎo)方1．等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝

2

＝法：倒序相加法；na1

1

q

推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．a(chǎn)

(1

qn

)1=1

qa1

anqq=1,q≠1,2．常見數(shù)列的前n項(xiàng)和nn＋1(1)1＋2＋3＋…＋n＝

2

；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝

n2＋n

；(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝

n2

；nn＋12n＋1(4)12＋22＋32＋…＋n2＝

6

；(5)13＋23＋33＋…＋n3＝.憶一憶知識(shí)要點(diǎn)[2]nn＋1

2要點(diǎn)梳理數(shù)列求和的常用方法分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．(2)拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和.錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．憶一憶知識(shí)要點(diǎn)要點(diǎn)梳理4．常見的拆項(xiàng)公式(1)1

1

1nn＋1＝n－

＋

；n

1(2)1112n－12n＋1＝22n－1—12n＋1；(3)1n＋n＋

＝

n＋1－

n.1憶一憶知識(shí)要點(diǎn)要點(diǎn)梳理[難點(diǎn) 疑點(diǎn)

]1．?dāng)?shù)列求和的方法一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和．解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成．②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和．2．等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是解決數(shù)列問題的基本思想方法，它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決．3

9

25

65例1

求和：(1)Sn＝2＋4＋

8

＋16＋…＋n2·

n＋12n；n(2)S

＝

x＋x2

＋

x

＋x22

2n＋…＋

x

＋

1

1

1

xn2.分組轉(zhuǎn)化求和12

1

2

(1)寫出通項(xiàng)an＝n＋

n，轉(zhuǎn)化為數(shù)列{n}和數(shù)列

n分別求和再相加．n(2)寫出通項(xiàng)a

＝x2n＋

1x2n＋2，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等比數(shù)列{x2n}，

1

x

2n與常數(shù)列{2}的求和問題．解

(1)由于an＝n2·

n＋12n1＝n＋2n，n∴S

＝1＋12

22

1

1

1

23＋

2＋

＋

3＋

＋…＋

n＋

1

2n1＝(1＋2＋3＋…＋n)＋

＋112

2

22＋

3＋…＋1

2

n＝nn＋122

＋1

1

1－2n11－2＝nn＋121－2n＋1.(2)當(dāng)x＝±1

時(shí)，Sn＝4n.當(dāng)x≠±1

時(shí)，nS

＝

x＋x

＋

x

＋x212

1

2

2

n＋…＋

x

＋xn1

22＝

x

＋2＋2

1

41

x

x＋

x

＋2＋

4＋…＋

x2n＋2＋

1

x2n2

4

2n＝(x

＋x

＋…＋x

)＋2n＋

11x

x2＋

4＋…＋

1

x2n＝x2x2n－1＋x－21－x－2nx2－1

1－x－2＋2n＝x2n－1x2n＋2＋1x2nx2－1＋2n.n4nx＝±1

，x≠±1

.2n∴S

＝x

－1＋2n

2x

＋12n

2x

x

－1＋2n些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化．特別注意在含有字母數(shù)列中對(duì)字母的．探究提高n求和S

＝1＋2

1

11＋

＋

1＋

＋12

4＋…＋1

12

41＋

＋

＋…＋

1

2—n

1

.

變式訓(xùn)練1解

和式中第k項(xiàng)為ka

＝1＋2＋4＋…＋1

1

1 2k－1＝1－

21k1－21

＝21－

1

2k.n∴S

＝2

1

1

1

2

22

—

＋

1－

＋…＋

1—

1

2n＝—

11

1(2＋22＋…＋2n)]n＝2

－1

1

1－2n11－22

1 ＝2n－1＋2n－2.2[(1＋1＋…＋1）n個(gè)例2

設(shè)數(shù)列{a

}2n

1

2

3滿足a

＋3a

＋3

a

＋…＋3—n

1nn3*a

＝

，n∈N

.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；nann

n(2)設(shè)b

＝

n

，求數(shù)列{b

}的前n項(xiàng)和S

.錯(cuò)位相減法求和由已知寫出前n－1項(xiàng)之和，兩式相減．bn＝n3·

n的特點(diǎn)是數(shù)列{n}與{3n}之積，可用錯(cuò)位相減法．21

2

3解

(1)∵a

＋3a

＋3

a

＋…＋3—n

1nan＝3，①∴當(dāng)n≥2時(shí)，21

2

3a

＋3a

＋3

a

＋…＋3—n

2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an3n1

1n＝3，∴a

＝

.11在①中，令n＝1，得a1＝3，適合an＝3n，n3n∴a

＝

1

.nnann(2)∵b

＝ ，∴b

＝n3·

n.∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3·

n，③n∴3S

＝3

＋22

3×3

＋3×＋4

n

13

＋…＋n3·

.④④－③得2Sn＝n3·

n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，1－331－3n

2n－13n＋1434即2Sn＝n3·

n＋1－

，∴Sn＝

＋

.解答本和，從而利用an與Sn乘公比錯(cuò)位相減是數(shù)列求和的一是，這種方法運(yùn)算過程復(fù)雜，運(yùn)算量大，應(yīng)加訓(xùn)練，重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)．探究提高已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an

(n∈N*)．

(1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.求滿足不2n－1Tn－2等式

>2

013的n的最小值．

變式訓(xùn)練2(1)證明

因?yàn)镾n＋n＝2an，即Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)

(n≥2，n∈N*)．兩式相減化簡(jiǎn)，得an＝2an－1＋1.所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列．因?yàn)镾n＋n＝2an，令n＝1，得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.(2)解

因?yàn)閎n＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.n所以T

＝32

3×2＋5×2

＋7×2

＋…＋(2n－1)·2—n

1n2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n

1，＋＋(2n＋1)·2

，①②n2

3

n①－②，得－T

＝3×2＋2(2

＋2

＋…＋2)＋n

1－(2n＋1)·2

＝6＋22－2n＋11－22×

－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.n所以T

＝2＋n

1＋(2n－1)·2

.若nT

－22＋2n－12·

n＋1－2>2

013，則

>2

013，2n－1

2n－1即2n＋1>2

013.由于210＝1

024,211＝2

048，所以n＋1≥11，即n≥10.2n－1Tn－2所以滿足不等式

>2

013的n的最小值是10.例3

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S2nn

n12＝a

S

－

.(1)求Sn的表達(dá)式；n(2)設(shè)b

＝Sn2n＋1n

n，求{b

}的前n項(xiàng)和T

.裂項(xiàng)相消法求和(1)通過an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去已知等式中的an，構(gòu)造出含Sn的新數(shù)列；(2)求出{bn}的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定求和方法．解

(1)2nn

n12n

n∵S

＝a

S

－

，a

＝S

－S—n

1(n≥2)，2∴S

＝(S

－—n

n

n

1

n12S

)S

－

，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，由題意Sn－1·Sn≠0，①n－1

nSn①式兩邊同除以S

·S

，得

1

－1Sn－1＝2，Sn

1

1

1S1

a1∴數(shù)列

是首項(xiàng)為

＝ ＝1，公差為2的等差數(shù)列．Sn∴

＝1＋2(nn－1)＝2n－1，∴S

＝1

1

2n－1.n(2)又b

＝＝Sn

12n＋1

2n－12n＋111＝22n－1—12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn211

1

13

51＝

1－3＋

－

＋…＋2n－

－11

2n＋11＝

1－

1

2

2n＋1＝n2n＋1.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．探究提高11已知數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)和為Sn，且a

＝1，an＋1＝2Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

1

bnbn＋1

n

1＋n.(2)當(dāng)

bn＝log

3

(3an＋1)時(shí)，求證：數(shù)列

的前

n

項(xiàng)和

Tn＝

變式訓(xùn)練3(1)解

由已知得1an＋1＝2Sn，n1

2a

＝

S—n

1(n≥2)，得到an＋1＝32an

(n≥2)．n∴數(shù)列{a

}是以a32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．2又a

1

1

12＝2S1＝2a1＝2，∴an＝a2×

2＝

223n－2

13n－2(n≥2)．n∴a

＝1，n＝1，

1

322—n

2，

n≥2.(2)證明·

2

2

3

3n－1＝n.∴

1

bnbn＋1＝11

1

n1＋n

1＋n＝n－

.nb1b2

b2b3

b3b4∴T

＝

1

＋

1

＋

1

＋…＋1bnbn＋11

1

1

1

1

11

2

2

3

3

4

11＝

－

＋

－

＋

－

＋…＋n－1＋n＝1－1

n1＋n

1＋n＝

.2

2bn＝

log

3

(3an＋1)＝log

3

n(2)令b

＝12an－1n

n(n∈N*)，求數(shù)列{b

}的前n項(xiàng)和T

.四審結(jié)構(gòu)定方案(14分)(2010·山東)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；審題路線圖審題路線圖等差數(shù)列{an}中，特定項(xiàng)的值(a3，a5，a7即為特定項(xiàng))a3＝7，a5＋a7＝26(從特定項(xiàng)，考慮基本量a1，d)列方程組a1＋2d＝72a1＋10d＝26(根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，確定了方程的方法)nn－12d.nb

＝用公式：an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋(將an代入化簡(jiǎn)求bn)14nn＋1(根據(jù)bn的結(jié)構(gòu)特征，確定裂項(xiàng)相消)bn＝4n11－1n＋1nT

＝411－

1

1

12

2

3＋

－

＋…＋1n—1n＋141＝

1－

1

n＋1＝

n

4n＋1.規(guī)范解答解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.[2分]因?yàn)閍3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.[6分]n所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，nn－12S

＝3n＋

×2＝n2＋2n.[8分](2)由(1)知an＝2n＋1，n所以b

＝1

122＝

＝1·1an－1

2n＋1

－1

4

nn＋1＝4·n1

1－

1

n＋1，[10分]n14所以T

＝

·(11

1

12

2

3n—

＋

－

＋…＋

－1

1

n＋1)[12分]1

1

n

＝4·(1－n＋

)＝41

n＋1，n

n即數(shù)列{b

}的前n項(xiàng)和T

＝n4n＋1.[14分]本題審題的關(guān)鍵有兩個(gè)環(huán)節(jié)．一是根據(jù)a3＝7，a5＋a7＝26的特n

n征，確定列方程組求解．二是根據(jù)數(shù)列{b

}的通項(xiàng)b

＝

1

4nn＋1的特征，確定用裂項(xiàng)相消法求和．所以，在審題時(shí)，要根據(jù)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征確定解題方案．?dāng)?shù)列求和的方法技巧倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．

(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．方法與技巧．直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．．重點(diǎn)通過數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，判斷求和類型，尋找求和的方法，或拆為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．求和過程中同時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷．3．含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類．與防范1例1.若函數(shù)f

(x),

計(jì)算f

(n)

f

(n

1)的值，2x

2并求T

f

(5)

f

(4)

f

(0)

f

(5)

f

(6).1

1解：f

(n)

f

(n

1)2

22n1

2n2

112

n

2n

1

2n

22n1

T

f

(5)

f

(4)

f

(0)

f

(5)

f

(6)T

f

(

6

)

f

(

5

)

f

(

1

)

f

(4)

f

(5)

2T

2

12,

即T

3

2.22

.2

(2n

2

1)

2

2倒序相加法【點(diǎn)評(píng)】此種方法是針對(duì)數(shù)列,要求Sn,就必須分奇偶來、偶數(shù)項(xiàng),要考慮符號(hào)的．解：前n項(xiàng)和

Sn

1

3

5

7

(1) (2n

1),n當(dāng)n

為正偶數(shù)時(shí),設(shè)n

2k,k

N

,S2k

1

3

5

7

(4k

3)

(4k

1)

2k;

(2n

S

(1)n

n.【歸納求和法】當(dāng)通項(xiàng)公式中含有(-1)n,求和時(shí)可以對(duì)n的奇偶進(jìn)行例2.求Sn

1

3

5

,然后分情況求和.

(1)n

(2n

1).

(1

3)

(5

7)

又S2k1

S2k

a2k

2k

n解：S

(a

a2

an

)

(1

2

(an

n)的值.

n).nS

n2

n

;2Sn①當(dāng)a=0時(shí)有：②當(dāng)a=1時(shí)有：【例3】求

Sn

(a

1)

(a

2)

2③當(dāng)a≠1且a≠1時(shí)有：n.

a(1

an

)

1

n

1

a

22nS

n2

n

;a

1,2

n2

n

,1

n2

n,a

1.

分組求和法n

S

a(1

an

)

1

a【點(diǎn)評(píng)】對(duì)等比數(shù)列,當(dāng)公比為含字母的常量時(shí)要進(jìn)行分類.【1】求S=1+a

+a2+a3+…+an

的值.解:當(dāng)a=0時(shí),當(dāng)a

=1時(shí),當(dāng)a≠0,且a≠1時(shí)，S

1

an1

.1

a

S

1

an1

,

a

1.n

1,

a

1,1

aS

1.S

1n1個(gè)

n

1.例4．（06Ⅰ

）設(shè)數(shù)列an

的前n

項(xiàng)的和3nS

4

an

1

2n1

2

,

n

N.3

3（Ⅰ）求首項(xiàng)a1

與通項(xiàng)an

；（Ⅱ）設(shè)2nnnST

,

n

N，證明：32ni

1iT

.3

33nn解:

(Ⅰ )由S

4

a

1

2n1

2

,

n

N

,

①得

a1

S1

a1

2.214

13

323a

2

,由①3n1n1S

4

a

1

2n

2

,

n

≥

2,

②3

3①-②得:n13

4

(a3n1a

)

1

(2n1

2n

),

n

≥

2,an

Sn

Sn整理得:n12n

,

n

≥

2.na

4a

an

2

an12n

a2n1

1,即an

1

2(an1

1).2n

2n1

1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以數(shù)列

{

n2n

1

2

2n1

,2n

ann

a

4n

2n.n把a(bǔ)

4n

2n

代入①，得3

3

3n33S

4

(4n

2n

)

1

2n1

2

令

2n

tnSnT

2n

3

t

3

(

1

1

)2

(2t

1)(t

1)

2

t

1 2t

1

3

(

1

1

).2n

12n1

1n232n2ii

1n

T

i

1

12i

1

12

2

12n1

12(

1

1

)

3

(

1

1

)

3

.3

3

4

(t2

t)

2

t

2

2

(2t

2

3t

2)3

2

(2t

1)(t

2).n把a(bǔ)

4n

2n

代入①，得3

3

3nS

4

(4n

2n

)

1

2n1

233

1

[(2n1

)2

3

2n1

2]

1

(2n1

1)(2n1

2).nSnT

2n2n2

3

(2n1

1)(2n

1)2

3

(

1

1

).2n

12n1

1nn

i

12T

3ni2

12i

1

1i

12

2

12n1

12(

1

1

)

3

(

1

1

)

3

.令

2n

t解:（基本思路1）1

11

13

3

3n

1時(shí)，a

S

4

a

1

22

2

,

a

2;n

≥

2時(shí)，由an

Sn

Sn1

,

得an

4an1

2

(n

2,

3,

4

)nan

4an1

2

(n

2,

3,

4 )n解法一（構(gòu)造1）n

n12n

2n1

2n

2n1a

4a

2n

an

2

an1

1

an

1

2(

an1

1)an

4an1

2

(n

2,

3,

4

)n法二（構(gòu)造2）)nnnnn1n1由

a

4a

2

，得a

2

4(an1

2解法三（構(gòu)造3）（1）疊加22222（2）繼續(xù)轉(zhuǎn)化為ann14n

4n14n

4n14n

4n1a

4a

2n

a

－4an

n1

n以下又有兩種方法：

2n

an

an1

(

1

)n

an1

(

1

)n1

(

1

)n

an

(

1

)n

an1

(

1

)n1an

4an1

2

(n

2,

3,

4

)n經(jīng)驗(yàn)證nn4an3法四：（迭代）n

n1

nan

4an1

2

4(4an

2

2

)

2

42

a

4

2n1

2nn

2

4（2

2n－2）

4

2n1

2n

2n－2

4

2n1

2n

43

a

42n3

4n1

2

4n

2

22

4n

3

23

4

2n1

2n

2

(1

2

)

n

n4

2

(n

2,

3,

4,

)1

2an

4

2

(n

2,

3,

4,

).n

n【01】已知曲線y

x2

在點(diǎn)(n,n2

)處的切線方程為

x

y

1,其中n

N

.an

bn(1)求an

,bn

關(guān)于n

的表達(dá)式;(2)設(shè)c1

+c2

+ +cn

bn

，求數(shù)列nan{c

4

}n的前

項(xiàng)和nS的表達(dá)式;an

+bn(3)設(shè)dn

1

,求證:

d1

+d2

++dn

2

.

4

(2n+1)

2n4n(3)

提示：d11

2()(2n

1)(2n+1)2n

12n+1解：（1）

y|xn

2n

故所求切線方程為

y

n

2n(x

n)

，22nn2即

x

y

1,2nna

n，b

n2

.（2）當(dāng)n≥2

時(shí),

cn

bn

bn1

2n

1；當(dāng)n

1時(shí)，c1

b1

1也適合上式.nc

2n

1

(n

N).nc

4an

(2n

1)2n.nS

2

2

22

2

23

2

2n

+(2n

1)

2n+1+(2n

1)2n

①Sn

1

2

+3

2

+5

2

+1

2

3將①兩邊同乘以2

得,2

3

n

n12Sn

1

2

+3

2

+

+(2n

3)2

+(2n

1)2

②②減①得，

2

2(22

23

2n

)+(2n

1)

2n+1

2

2

22

2n

2

+(2n

1)

2n+11

2

2

2(22

2n

2)+(2n

1)

2n+1

6

2

2n

+(2n

1)

2n+1

(2n

3)2n+1

+6.2n(3)

dn2

+

n(2n+1)

2n

1

4

d1

+d2

+

+dn2n+1

2(1

1

)

2.

2(1

1

+

1

1

+

1

1

+3

3

5

5

7+

1

1

)2n

1

2n+1(2n

1)(2n11

2().2n

12n+11.已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式：累加法an1

ann(i

1f(i)可求)累乘法an1

an(

f

(1)

f

(2)轉(zhuǎn)化法構(gòu)造法an1

n倒數(shù)法a

3an1

(n

≥

2)n

3

an1對(duì)數(shù)法an1

can

(a

0,c

0,

p

0,

p

1)pn因式分解法(n

1)a2

na2

a

a

0n1

n

n1

n歸納猜想要點(diǎn)梳理?轉(zhuǎn)化法:通過變換遞推關(guān)系,將非等差(等比)數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法.常用的轉(zhuǎn)化途徑有:①構(gòu)造(拼湊)變換:an1

kan

b

(k,b為常數(shù),k

0,k

1)ncan(c,d為非零常數(shù))k

1

k

1②倒數(shù)變換:

n1a

a

dan1

1

d

1

1c

an

c③對(duì)數(shù)變換:n1

n

na

ca

p

(a

0,c

0,

p

0,

p

1)

lg

an1

p

lg

an

lg

cn2

an1

b

k(an

b

)或a

an1

k(an1

an

)n

n

n(3)利用

S

求a

；

a

S1

,

S

S

,

n

≥

2.

n

n1aan(5)累乘法：

n1構(gòu)造法an1

kan

b作商法（

a1a2

an

cn

型）；數(shù)學(xué)歸納法.ni

1

f

(n)(f

(1)f

(2)

f

(n)可求)(4)累加法：

an1

an

f

(n)

；(

f

(i)可求)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法觀察法；定義法(利用等差,等比的通項(xiàng)公式)n

1,要點(diǎn)梳理an

a1

(a2

a1

)

(a3

a2

)

(an

an1

)

3

1

2

(n

1)

3

n(n

1)

.221)累加法3

n(n

1)an1

ann2

n

22an

an1

n

1

(n

≥

3).an

(an

an1

)

(an1

an2

)

(a3

a2

)

a2

(n

1)

(n

2)

3

2

222

(n

2)(n

1

2)

2

n2

n

2

.1)累加法an1

an1a1

an1

a2

anan1

an2a

an

2n1

2n2

2n(

n1)

21

1

22)累積法2n(

n1)2an1

ann1an1

3ana

1

3n

2

1an1an

1

3an

1

1

3(n

1)

3n

23)倒數(shù)法n

a

1

3n

2例1.已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式：4)構(gòu)造法則an

=

.【1】已知數(shù)列{an}

中,

a1=1,

an+1=

1

an+1

(nN*),22

21n則=-2.∴{an-2}

是以a1-2=-1

為首項(xiàng),

公比為0.5

的等比數(shù)列.2nn1a

1

a

1,

),2nn1令

a

1

(a

2).2nn1a

2

1

(a2nan

2

(

1)n1

.

a

2

21n.則an

=

.【1】已知數(shù)列{an}

中,

a1=1,

an+1=

1

an+1(nN*),22

21n4)構(gòu)造法解法二:則an

=

.【1】已知數(shù)列{an}

中,

a1=1,

an+1=

1

an+1(nN*),22

21n2nn1a

1

a

1,2nn1a

1

a

1,2n1n2a

1

a

1,),

n

≥

32兩式相減得:

an

n1n1

n2

a

1

(a

a2

2

2n

n1a

a

1

(1)n2

(1)n1

.an

a1

(a2

a1

)

(a3

a2

)

(an

an1

)

1

1

(

1

)2

(

1

)n12

2

2

2

21n.2∴{an-an-1}

是以a2-a1=1

為首項(xiàng),

公比為1

的等比數(shù)列.2解法三:則an

=

.【1】已知數(shù)列{an}

中,

a1=1,

an+1=

1

an+1(nN*),22

21n2nn1a

1

a

1,2nn12n1n2a

1

a

1,),

n

≥

32兩式相減得:

an

n1n1

n2a

1

a

1,

a

1

(a

an

n1a

a

1

(1)n2

(1)n1

.2∴{an-an-1}

是以a2-a1=1

為首項(xiàng),

公比為1

的等比數(shù)列.22n2

2

2n1

1,又

a

1

ana

2

21n.【1】設(shè)數(shù)列{an

}的前n

項(xiàng)和為Sn

,已知a1

5

，且n1

nnS

2n(n

1)(n

1)S

(n

N

),則數(shù)列na

的通項(xiàng)公式是 4n

1

.S

S由條件知

n1

n

2,n

1

nSn∴{

n

}是等差數(shù)列，n∴Sn

=

2n2

+

3n，從而a

4n

1.S∴

n

5

2(n

1)

2n

3.n

1,an2n

2n1

2

an12n

2n1

1

2(

an1

1).即an所以數(shù)列{an

1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,2n

1

2

2n1

,2n

anna

4n

2n.【2】已知a1

2,an

4an1

.nn2

(n

≥

2),則a

=an

4an1

2

a

2n

4(a

2n1

)nn

n1a

4a

2nn

n14n

4n1

an

an12

(

1

)nnn4

2n求an及Sn

.1

nn1【3】數(shù)列{a

}中,

a

3,

a

Sn

2

,解：

a

S

Sn

n1,

S

2S

2n

,

Sn

Sn1

1.2n

2n1n

n

n1所以Sn3{

}是以2n

21S1

a1

2

2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.22n

Sn

n

1

,

即

S

2n1

(2n

1).nan

Sn

Sn1

(2n

3)

2n2

,a1=3不適合上式.當(dāng)n≥2時(shí),n

1,,

n

≥

2.nn2a

3,(2n

3)

2【補(bǔ)償1】已知數(shù)列{an}中，a1

1,nn1n

n1

n(n

1)a2

na2

a

a

0,

n

N

,n則a=.(an1

an

)[(n

1)a

nan

]

0n1nn1(n

1)a

na

0

an1

n

an

n

112

1na

aa

an1

n2a

an

an1

a3

a2

an

n

1

n

2

n

1

2

1

1

1

.3

2

n1n5)因式分解法【1】已知數(shù)列an

的前n

項(xiàng)和為Sn

，a1

1

，an1

2Snn則數(shù)列a

的通項(xiàng)公式為.n1

Sn

3 .nn2

a

1,n

1,2

3

,

n

≥

2.Sn1

SnSn1a

1,

n2n

1,2

3

,

n

≥

2.n6)an與Sn的關(guān)系2nn1①

a

1

S an

(

3)n2

,

n

≥

2.2,

n

1,

2②當(dāng)n

≥2

時(shí)0

13

32

22

(

3)n2nS

2

(

)

( )

1

231

(

3

)n1

2

1

22

2

(

3)n12

2

(

3)n1n③綜上S2nS

2

(

3)n1n則a

=

3,

n

1,log2

(Sn

1)6)an與Sn的關(guān)系【2】

n

n2

,

n

≥

2.

.n1Sn

2

1.①

當(dāng)

n=1

時(shí)，

a1

=

S1②當(dāng)n≥2

時(shí)，n+

1

nan

=

(2

-

1)-

(2

- 1)

=

2n.③經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)a1=3不適合上式.【3】已知數(shù)列an

中，a1

1

，當(dāng)n

≥2

時(shí)，其前n

nn

項(xiàng)和S

滿足a

2S

2

n

2Sn

13，則數(shù)列

na

的通項(xiàng)公式為nn1n2S

2

n

2S

1S

S

1

.2n

1n

S3n1

n

1a

1

4n2

2

n

≥

2n1n

n

n1