2018年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

第第頁(共22頁)第仃頁（共第仃頁（共22頁）【解答】（I）證明：依題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以二、「'、I的方向?yàn)閤軸,y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).設(shè)：.一二「為平面CDE的法向量,nn?DC=2y^0則，一一,不妨令z=-1,可得怎二(1,0,T)；n0'DE=2x+2z=0u又111.■,可得11又???直線MN?平面CDE???MN//平面CDE(U)解：依題意，可得7,-_:,■_-,L：；.-,--Lji,.■.設(shè)：.二.丁、二.為平面BCE的法向量，則丁號(hào),不妨令Z=1,可得二（山1,1）.Ln*BE=K-2y+2z=0設(shè).|二.-「、二為平面BCF的法向量，則',不妨令z=1,可得[ip*CF=tH-2z=0十于是sin<.「>=+.mF???十于是sin<.「>=+.mF???二面角E-BC-F的正弦值為k;10（川）解：設(shè)線段DP的長為h,（h€[0,2]）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,因此有COSV..：|>=ID0,h),可得t/-：-■-：■：.I.'：，而||"-1二」：為平面ADGE的一個(gè)法向量,故|cosv..>|=故|cosvIbpI-IdcI7h2+5由題意，可得——:一-11-一丄，解得h=…€[0,2].Vh2+523「線段DP的長為「(13分)設(shè)｛an｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n€N*),｛bn｝是等差數(shù)列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2&.(I)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；(U)設(shè)數(shù)列｛S｝的前n項(xiàng)和為Tn(n€N*)，(i)求Tn；/..、h曲上(g+b出)%2n+2c/廠“*、(")證明■-■-2(n€N*)?【解答】(I)解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，由a1=1,a3=a2+2，可得q2-q-2=0.???q>0,可得q=2.故?.一-:.設(shè)等差數(shù)列｛bn｝的公差為d,由a4=b3+b5,得b1+3d=4,由a5=b4+2b6，得3b計(jì)13d=16,b1=d=1.故bn=n；

*qn(n)⑴解：由⑴'可得故.=「「--;溉吃時(shí)'_2k+2溉吃時(shí)'_2k+22k+1(jj)證明：??匚廠"込-—=(k+l)(k+2)(k+1)(k+2)~_(k+l)(k+2)k+2k+1'￡(k+l)(k+2)(3=)(4卞)(n+2二+1>十222(14分)設(shè)橢圓二-+'=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B?已知橢圓/b2的離心率為睜，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b，0)，且|FB?|AB|=^.'.-1(I)求橢圓的方程；(n)設(shè)直線I:y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且I與直線AB交于點(diǎn)Q.若hsin/AOQ(O為原點(diǎn))，求k的值.|PQ|422【解答】解：(I)設(shè)橢圓一+'=1(a>b>0)的焦距為2c，a2b2由橢圓的離心率為e=￥，?嚴(yán)；又a2=b2+c2，-2a=3b,由|FB|=a,|AB|^2b，且|FB?|AB|=6逅;可得ab=6，從而解得a=3，b=2，22???橢圓的方程為'+'=1；94(n)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(捲，yj,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(X2,y2),由已知yQ樣0；|PQsin/AOQ=y-y2；又|AQ|=又|AQ|=sinZOAB且/OAB=,4???IAQ|==y.由黜呼由黜呼觀AOQ可得5yi=9y2；?直線AB的方程為x+y-2=0;由方程組(Ex，消去％,可得y2^L；b+y-2=0k+1由5yi=9y2,可得5(k+1)=3|,兩邊平方，整理得56k2-50k+1仁0,解得k=或k=?;228?k的值為二或匸_228(14分)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax，其中a>1.(I)求函數(shù)h(x)=f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間；(U)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(X1,f(xj)處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(X2,g(X2))處的切線平行，證明X[+g(X2)=—：;Ina(E)證明當(dāng)a>e■時(shí)，存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.【解答】(I)解：由已知，h(x)=m-xlna,有h'(x)=axlna-lna,令h'(x)=0,解得x=0.由a>1,可知當(dāng)x變化時(shí)，h'(x),h(x)的變化情況如下表：X(-x,0)0(0,+X)h'(x)一0+h(x)極小值?函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-X,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+x)；

(U)證明：由f'(x)=ax\na,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(xi,f(xi))處的切線的斜率為:lna.由g'(x)=—-—,可得曲線y=g(x)在點(diǎn)(X2,g(x2))處的切線的斜率為一-—???這兩條切線平行，故有一r-:-1，即1'|,zIna』兩邊取以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)，得\ogax?+xi+2\oga\na=O,二x1+g(x2)=1；Ina(川)證明：曲線y=f(x)在點(diǎn)(：…-)處的切線li:「:.:.,：,曲線y=g(X)在點(diǎn)(x2,Iogax2)處的切線D：.?Ia￡￡丄要證明當(dāng)a》」時(shí)，存在直線I,使I是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線,丄丄即只需證明當(dāng)a》K時(shí)，方程組*只需證明當(dāng)a>…時(shí)，存在xi€(-x,+x),X2€(0,+x)使得li與l2重合,a囂1丄即只需證明當(dāng)a》K時(shí)，方程組*x2InaKx1a1!a二1°茗玄七巧花■②由①得代入②得:4]alna+s4]alna+s+-二…③Ina丄因此，只需證明當(dāng)a>…時(shí)，關(guān)于xi的方程③存在實(shí)數(shù)解.丄設(shè)函數(shù)u(x)=■,'????—iL.’i,既要證明當(dāng)a^時(shí)，函數(shù)y=u(x)InaIna存在零點(diǎn).u'(x)=i-(Ina)2xax，可知x€(—x,o)時(shí)，u'(x)>0;x€(0,+^)時(shí)，u'(x)單調(diào)遞減，]又u'(0)=i>0,u',：=.-；:v0,(Ina)2故存在唯一的X0,且X0>0,使得u'(X0)=0,即?-二「「亠

由此可得，u(乂)在(—g,X0)上單調(diào)遞增，在(XO,+X)上單調(diào)遞減,u(X)在X=Xo處取得極大值u(Xo).Tr」.,■■■，故InIna>—1.b,,1,Slnlna^~+J21b,,1,Slnlna^~+J21口1口&0Ina-^2+21nlna廬~~InaF面證明存在實(shí)數(shù)t，使得u(