量子力學第二章-波函數和薛定諤方程課件

第二章波函數和薛定諤方程§1波函數的統計解釋§2態(tài)疊加原理§3Schrodinger方程§4幾率流密度和幾率守恒§5定態(tài)Schrodinger方程§6一維無限深勢阱§7線性諧振子§8勢壘貫穿第二章波函數和薛定諤方程§1波函數的統計解釋§1波函數的統計解釋（一）波函數（二）波函數的統計解釋（三）波函數的性質§1波函數的統計解釋（一）波函數

3個問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數，它通常是一個復標量函數。稱為de

Broglie波。此式稱為自由粒子的波函數。(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數3個問題？描寫自由粒子的平面波如果粒子兩種錯誤的看法1.波由粒子組成,是大量粒子運動的表現如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。QQ電子源感光屏PPOO

事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現象。（二）波函數的統計解釋兩種錯誤的看法1.波由粒子組成,是大量粒子運動的表現如水波2.粒子由波組成電子是波包（wavepacket）

。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小≈1?。

2.粒子由波組成電子是波包（wavepacket）。把電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是粒子也不是波”，既不是經典的粒子也不是經典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一?！边@個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。經典概念中1、有一定質量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2、有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經典概念中1、實在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2、干涉、衍射現象，即相干疊加性。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ 1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;我們再看一下電子的衍射實驗2.

入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.OQQPP電子源感光屏玻恩的解釋1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射波動觀點粒子觀點明紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2大電子出現的概率大暗紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2小電子出現的概率小

可見，波函數模的平方|ψ(x,y,z,t)|2與粒子t時刻在(x,y,z)處出現的概率成正比。r點附近衍射花樣的強度正比于該點附近感光點的數目，正比于該點附近出現的電子數目，正比于電子出現在

r

點附近的幾率。在電子衍射實驗中，照相底片上

1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數的統計解釋

波函數在空間中某一點的強度（波函數模的平方）與粒子在該點出現的概率成比例。波動觀點粒子觀點明紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2大則微觀粒子在t時刻出現在處體積元dτ內的幾率

按Born提出的波函數的統計解釋,粒子在空間中某一點處出現的概率與粒子的波函數在該點模的平方成比例。設粒子狀態(tài)由波函數描述，波的強度是

這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統計規(guī)律性，波函數有時也稱為幾率幅。則微觀粒子在t時刻出現在處體積元dτ內的幾率（三）波函數的性質根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：在t時刻r點，單位體積內找到粒子的幾率是：在體積V內，t時刻找到粒子的幾率為：

在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內，找到由波函數Ψ(r,t)描寫的粒子的幾率是：

其中C是比例系數。幾率密度probabilitydensity（1）幾率和幾率密度（三）波函數的性質根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質（2）平方可積由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數Ψ必須是絕對值平方可積的函數。若∫∞|Ψ|2dτ∞,

則C0

，這是沒有意義的。從而得常數

C之值為：（2）平方可積由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生（3）歸一化波函數這與經典波不同。經典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經典波無歸一化問題。兩者所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的C是常數。因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即Ψ

(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ф(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。令

（3）歸一化波函數這與經典波不同。經典波波幅增大一倍歸一化常數若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1

也就是說，(A)-1/2Ψ(r，t)是歸一化的波函數，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。

注意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數，那么，exp{iα}Ψ(r,t)也是歸一化波函數（其中α是實數，叫相角），與前者描述同一幾率波，這種不確定性叫相角不定性。歸一化常數若Ψ(r,t)沒有歸（4）微觀體系力學量的描述

對于任意的一個力學量A，如果它作用與波函數上的線性厄米算符A來表示，則它的平均值為：

如微觀粒子的歸一化波函數為，粒子在空間各點的位置幾率密度為：則坐標和坐標函數的平均值為：（4）微觀體系力學量的描述對于任意的一個力學量A，如（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數，就可知道粒子在空間各點處出現的幾率，以后的討論進一步知道，波函數給出體系的一切性質，因此說波函數描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數一般用復函數表示。（3）波函數滿足連續(xù)性、有限性、單值性必須注意稱為波函數的標準化條件（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數描述，描寫粒子的波是幾率例：設一粒子作一維運動，波函數為：0A為任意常數，求：（1）歸一化波函數；（2）幾率密度w(x)和w(x)最大的位置；（3）在[0，a/2]內發(fā)現粒子的幾率；（4）和（5）應用例：設一粒子作一維運動，波函數為：0A為任意常數，求：（5）解：（1）由歸一化條件有所以，歸一化常數，而歸一化波函數為0解：（1）由歸一化條件（2）幾率密度等于歸一化波函數模的平方則0令，有在區(qū)域[0,a]內，只有x=0,a/2,a。再將w(x)對x求二階導數，可得所以只有x=a/2處為幾率密度最大值的位置。（2）幾率密度等于歸一化波函數模的平方（3）在[0,a/2]內發(fā)現粒子的幾率

（4）（3）在[0,a/2]內發(fā)現粒子的幾率已知一維粒子狀態(tài)波函數為求歸一化的波函數，粒子的幾率分布，粒子在何處出現的幾率最大。

例：歸一化常數(1).求歸一化的波函數解：歸一化的波函數已知一維粒子狀態(tài)波函數為求歸一化的波函數，粒子的幾率分布，粒（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現幾率最大。（2）幾率分布：（3）由幾率密度的極值條件由于例平面波的歸一化問題已知平面波,求歸一化常數A

歸一化常數歸一化的平面波：

解：利用例平面波的歸一化問題已知平面波量子力學的基本假設之一

體系的狀態(tài)用坐標和時間函數描述，叫體系的狀態(tài)波函數。一般要求是單值、連續(xù)和平方可積的，體系在空間內出現的幾率正比于。量子力學的基本假設之一體系的狀態(tài)用坐標和時間函數§2態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理（二）動量空間（表象）的波函數§2態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理

微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態(tài)，稱波函數為狀態(tài)波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。

經典物理中，波的迭加只不過是將波幅迭加（波幅代表實際物體的運動等），并在合成波中出現不同頻率的波長的子波成分。微觀粒子的波動性的迭加性其實質是什么呢？（一）態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)。空間找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]Ψ電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度相干項正是由于相干項的出現，才產生了衍射花紋。Ψ2PΨ1S1S2電子源感光屏一個電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加?？紤]電子雙縫衍射Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是電子的其中C1

和C2是復常數態(tài)的疊加原理是“態(tài)的疊加性”和“波函數完全描述一個微觀體系的狀態(tài)”兩個概念的概括，其新的含義體現在以下幾個方面：

一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2,也是該體系的一個可能狀態(tài).態(tài)疊加原理表述（1）體系處在線性疊加態(tài)時，應理解為，體系既可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)，且分別處于和態(tài)的幾率是確定。其中C1和C2是復常數一般情況下，如果Ψ1和Ψ（2）對于體系的力學量，如力學量，如果在ψ下的值是a1,在ψ2

下的值是a2

，則在ψ=c1ψ1+c2ψ2的態(tài)，它的值可能是a1,也可能是a2

，而測得a1，a2的相對幾率是完全確定的。

量子力學的態(tài)迭加原理，導致了粒子各種力學量觀測值的不確定性，是由微觀粒子的波粒二象性所決定的。（3）態(tài)函數應隨時間演化，它所描述的是體系的運動狀態(tài)，應滿足波體系運動方程。在這種情況下，態(tài)疊加原理中都應滿足體系的運動方程，這必然給該運動方程加上線性方程的要求。（2）對于體系的力學量，如力學量，如果在ψ下的值

若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復常數)也是體系的一個可能狀態(tài)。

粒子處于Ψ態(tài)的體系中，即粒子部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...態(tài)疊加原理一般表述方式若Ψ1，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p

運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用de

Broglie平面波表示根據疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。dΨΨp了求和。所以后式應用積分代替是連續(xù)變化的，由于其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppprrrrrrrrrrrr=Y=YY?=Yò),()(),(),()(),(例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p運動（二）動量空間（表象）的波函數波函數Ψ(r,t)可用各種不同動量的平面波表示，證明：令則Ψ可按Фp展開展開系數其中是中所含平面波的波幅，顯然，表示在中所含平面波的比例成份.

兩式在數學上完全相互決定，而在物理上他們是完全等價的，他們是對體系同一狀態(tài)的兩種不同描述方式。（二）動量空間（表象）的波函數波函數Ψ(r,t)可用各種二式互為Fourier變換式，故總是成立，且兩者一一對應。Ψ(r,t)是以坐標

r

為自變量的波函數，坐標空間波函數，坐標表象波函數；C(p,t)

是以動量

p

為自變量的波函數，動量空間波函數，動量表象波函數；二者描寫同一量子狀態(tài)?；蚰軌蛲耆拿枋鲆粋€微觀體系的狀態(tài)。因為：一個波函數給定后，不僅粒子的位置幾率分布確定了，而且它的動量幾率分布，以及其他所有力學量的幾率分布都確定了。

二式互為Fourier變換式，故總是成立，且兩者一一對應。Ψ若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的表示在該狀態(tài)中粒子位置取值幾率表示在同一狀態(tài)中體系的動量取值幾率

表示在該狀態(tài)中粒子位置取值幾率表示在同一狀態(tài)中體系的動量取值§3Schrodinger方程（一） 引（二） 引進方程的基本考慮（三） 自由粒子滿足的方程（四） 勢場V(r)中運動的粒子（五） 多粒子體系的Schrodinger方程§3Schrodinger方程（一） 引

這些問題在1926年Schrodinger提出了波動方程之后得到了圓滿解決。

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數完全描述，波函數確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統的各種可能的波函數；(2)波函數如何隨時間演化。（一）引 這些問題在1926年Schrodinger提出了波動方程之（二）引進方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻t

粒子的狀態(tài)r

和p

。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經典情況（二）引進方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻（2）量子情況

3、方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1、t=t0

時刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)

且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數所滿足的方程只能含ψ對時間的一階導數。2、ψ要滿足態(tài)疊加原理，即若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含

ψ對時間的一階導數和對坐標各階導數的一次項，不能含它們的平方或開方項。4、滿足對應原理，在經典極限下可以回到牛頓方程或經典波動方程。

（2）量子情況3、方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等（三）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量E。將Ψ對坐標二次微商，得：描寫自由粒子波函數:應是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：（三）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀滿足上述構造方程的三個條件討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關系式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)–(2)式滿足上述構造方程的三個條件討論：通過引出自由粒子波動方程的過（四）勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動方程。若粒子處于勢場V(r)

中運動(即非自由粒子)，則能動量關系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮档茫鹤觯?）式的算符替換得：（四）勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodi討論1、Schrodinger方程是量子力學的一條基本假設。體系狀態(tài)隨時間的演化由薛定諤方程描述，即其中2、它是線性微分方程，其解有疊加性，且不含狀態(tài)參量。3、滿足對應原理。4、薛定諤方程給出了態(tài)函數隨時間變化的規(guī)律。5、它是波動方程。討論1、Schrodinger方程是量子力學的一條基本假（五）多粒子體系的Schrodinger方程設體系由N個粒子組成，質量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數記為ψ(r1,r2,...,rN;t)第i個粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger方程可表示為：（五）多粒子體系的設體系由N個粒子組成，多粒子體系Hamilton量對有Z個電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對第i個電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。例如：多粒子體系Hamilton量對有Z個電子的原子，電子§4粒子流密度和粒子數守恒定律（一）定域幾率守恒（二）幾點討論§4粒子流密度和粒子數守恒定律（一）定域幾率守恒（一）定域幾率守恒

考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即

在討論了狀態(tài)或波函數隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內出現的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在t時刻r點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：（一）定域幾率守恒考慮低能非相對論實物粒子情考慮Schrodinger方程及其共軛式：證：矢量考慮Schrodinger方程及其共軛式：證：矢量在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內的增量J是幾率流密度，是一矢量所以(1)式是幾率（粒子數）守恒的積分表示式令Eq.（1）τ趨于∞，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.（1）變?yōu)椋浩湮⒎中问脚c流體力學中連續(xù)性方程的形式相同單位時間內通過τ的封閉表面S流入（面積分前面的負號）τ內的幾率S令使用高斯定理在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。（1）幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。（二）幾點討論（2）幾率守恒定律是波函數的統計解釋和薛定諤方程的推論，并不是量子力學中的一條獨立假設。（3）由幾率密度和幾率流密度的表達式中可知，波函數在空間坐標的變化全部區(qū)域內應是連續(xù)的，且有連續(xù)的微商。波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。（4）如體系由大量的、完全相同的、且無相互作用的粒子構成，而且它們都處于相同的狀態(tài)，有（5）以μ乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：量子力學的質量守恒定律同理可得量子力學的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時間改變質量密度和質量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量粒子數密度粒子流密度矢量（4）如體系由大量的、完全相同的、且無相互作用的粒子構成，而回顧1.由Born的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態(tài)波函數或態(tài)函數。3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。（1）波函數完全描述粒子的狀態(tài)（2）波函數標準條件1.根據Born統計解釋ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時刻出現在r點的幾率，這是一個確定的數，所以要求ψ(r,t)應是r,t的單值函數且有限?；仡?.由Born的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知式右含有ψ及其對坐標一階導數的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數亦連續(xù)。概括之，波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。2.根據粒子數守恒定律:式右含有ψ及其對坐標一階導數的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取§5定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）定態(tài)的性質（四）求解定態(tài)問題的步驟§5定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrod（一）定態(tài)Schrodinger方程討論有外場情況下的定態(tài)Schrodinger方程：令：V(r)與t無關時，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與

t,r無關的常數（一）定態(tài)Schrodinger方程討論有外場情況下的定態(tài)

該方程稱為定態(tài)Schrodinger方程，ψ(r)也可稱為定態(tài)波函數，或可看作是t=0時刻ψ(r,0)的定態(tài)波函數。

此波函數與時間t的關系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關系可知：E就是體系處于波函數Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數?？臻g波函數ψ(r)可由方程和具體問題ψ(r)應滿足的邊界條件得出。定態(tài)波函數該方程稱為定態(tài)Schrodinger方程，ψ(r（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符

二方程都是以一個算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以這兩個算符是完全相當的（作用于波函數上的效果一樣）。是相當的。這兩個算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：（二）Hamilton算符和能量（1）Hamilton算符（1）一個算符作用于一個函數上得到一個常數乘以該函數,這與數學物理方法中的本征值方程相似。

數學物理方法中：微分方程+邊界條件構成本征值問題；

（2）量子力學中：波函數要滿足三個標準條件，對應數學物理方法中的邊界條件，稱為波函數的自然邊界條件。因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量E稱為算符

H

的本征值；Ψ稱為算符

H屬于本征值E的本征函數。 （3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數值，這個數值就是與這個本征函數相應的能量算符的本征值。將改寫成(2)能量本征值方程（1）一個算符作用于一個函數上得到一個常數乘以該函數,這與數（三）定態(tài)的性質（2）幾率流密度與時間無關（1）粒子在空間幾率密度與時間無關（三）定態(tài)的性質（2）幾率流密度與時間無關（1）粒子在空間幾綜上所述，當Ψ滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ就是定態(tài)波函數：1.Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值；2.Ψ滿足定態(tài)Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無關。（3）任何不顯含t的力學量平均值與t無關綜上所述，當Ψ滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ就是定態(tài)（四）求解定態(tài)問題的步驟

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數Ψ(r,t)和在這些態(tài)中的能量E。其具體步驟如下：（1）列出定態(tài) Schrodinger方程（2）根據波函數三個標準條件求解能量E的本征值問題，得：（3）寫出定態(tài)波函數即得到對應第n個本征值En的定態(tài)波函數（4）通過歸一化確定歸一化系數Cn（四）求解定態(tài)問題的步驟討論定態(tài)問題就是要求出體作業(yè)P44(2.12.2)作業(yè)P44

在繼續(xù)闡述量子力學基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題。其好處有四：（1）有助于具體理解已學過的基本原理；（2）有助于進一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來；（4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎?！?一維無限深勢阱

在繼續(xù)闡述量子力學基本原理之前，先用Schrodi用48個Fe原子排成直徑為14.3nm的圓形圍欄蒸發(fā)到Cu表面，圍欄形成一個勢階圍住欄內處于銅表面的電子，故稱作“量子圍欄”。電子的運動在欄內形成同心圓狀的駐波(一)引子用48個Fe原子排成直徑為14.3nm的圓形圍欄蒸發(fā)到Cu表在密閉容器中的一個氣體分子可以在兩壁之間來回彈射，而不會跑到容器之外；粒子被無限高的勢能壁束縛在空間的某個區(qū)域內在很粗略的近似下，可以認為電子在金屬內部自由的運動，但不會自發(fā)的跑到金屬表面之外。（二）抽象模型在密閉容器中的一個氣體分子可以在兩壁之間來回彈射，而不會跑到在勢阱外：

粒子在（-a,a）內自由運動（勢能為0），粒子不會跑出區(qū)域之外，則相應于在|x|≥a區(qū)域勢能應為無限大。于是勢能函數為：-a0aU(x)在勢阱外：粒子在（-a,a）內自由運動（勢能解得：A和是待定常數

只有滿足標準條件的定態(tài)薛定諤方程的解，才是能量的本征函數。在勢阱內：解得：A和是待定常數只有滿足標準條件的波函數連續(xù)性的條件有：波函數連續(xù)性的條件有：由歸一化條件,由歸一化條件,歸一化的能量本征值函數為：體系的能量的本征值為：n稱為體系的量子數歸一化的能量本征值函數為：體系的能量的本征值為：n稱為體系的1.能量量子化

在勢阱內粒子的能量只能取分立的值，這叫能量量子化。粒子被勢能局限在空間一個有限區(qū)域的狀態(tài)叫束縛態(tài)。體系能量最低的狀態(tài)叫基態(tài)。此時基態(tài)n=1，對應的基態(tài)能量為：三、討論n>1的態(tài)稱為激發(fā)態(tài)1.能量量子化在勢阱內粒子的能量只能取分立的值，這叫能量分布是不均勻的，相鄰兩能級之間的間隔為：E10E2E3當n很大時有，n很大時，能量可視為連續(xù)，量子力學過渡到經典力學能量分布是不均勻的，相鄰兩能級之間的間隔為：E10E2E3當2.加入時間因子波函數是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波2.加入時間因子波函數是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成波函數有n-1個節(jié)點，節(jié)點數越多，能級越高。而德布羅依波的波長越短，對應的動量和能量越大。ψ1-aψ2ψ3a波函數有n-1個節(jié)點，節(jié)點數越多，能級越高。而德布羅依波的波當n為偶數時3.波函數的宇稱當n為偶數時3.波函數的宇稱當n為奇數時本征函數的奇偶性是由勢能函數U（x）對原點的對稱性引起的當n為奇數時本征函數的奇偶性是由勢能函數U（x）對原點的對稱4.幾率密度粒子位置幾率密度分布勢阱內發(fā)現粒子的幾率密度在勢阱內發(fā)現粒子的幾率密度隨著n的增大起伏增多。-aa4.幾率密度粒子位置幾率密度分布勢阱內發(fā)現粒子的幾率密度在勢[小結]由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S—方程的一般步驟如下：一、列出各勢域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函數的標準條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數和能量本征值；

四、由歸一化條件定出最后一個待定系數（歸一化系數）。[小結]由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S—方程例1：用駐波條件求一維無限深勢阱中的粒子的能級。一維無限深勢阱中粒子運動的波函數與兩端固定的長度為2a的弦上的駐波相似，按駐波的條件：E1-aE2E3a例1：用駐波條件求一維無限深勢阱中的粒子的能級。一維無限深勢解：取例2：估計在典型的宏觀領域和原子領域一維無限深勢阱粒子的零點能E1的值。說明零點能和量子不連續(xù)性在宏觀領域是微不足道的。假如：是一個可見光光子能量的大小，與氫原子的電離能一個數量級，在原子尺度上它是一個“大”的能量。解：取例2：估計在典型的宏觀領域和原子領域一維無限深勢阱粒子作業(yè)P442.32.42.62.7作業(yè)P44補充知識在勢函數不連續(xù)點（設為x=a處）（2）在x=a處勢函數無限躍變時，有（1）在x=a處勢函數有限躍變時，有（3）函數勢躍變時，有二維或三維定態(tài)問題與一維定態(tài)問題的關系在中，如果，則有其中，補充知識在勢函數不連續(xù)點（設為x=a處）（2）在x=a處勢函梯形勢——0

x<0X>0方形勢——0其中f(x)是一個在x=0點處連續(xù)的非奇異函數

形勢——梯形勢——0x<0X>0方形勢——0其中f(x)例題能量為E的粒子處在方形勢中，設U1>U2>E>0（束縛態(tài)），試求粒子能量所滿足的條件。粒子在勢阱中運動，求束縛態(tài)能級和波函數。例題能量為E的粒子處在方形勢中，設U1>U2>E>0（束縛態(tài)§7線性諧振子（一）引言（二）線性諧振子（三）實例§7線性諧振子（一）引言（一）引言（1）何謂諧振子量子力學中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。在經典力學中，當質量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢V=0點，則2221xVmw=（一）引言（1）何謂諧振子量子力學中的線性諧振子就是指在該式0=??axV0)(=VaVxaxxVk=??=22其中：（2）為什么研究線性諧振子

自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢可以展開成泰勒級數：axV(x)0V0=0=??axV0)(=VaVxaxxVk=??=22其中：（

取新坐標原點為(a,V0)，則勢可表示為標準諧振子勢的形式： 可見，一些復雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。 取新坐標原點為(a,V0)，則勢可表示為標準諧振子勢的形（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）厄密多項式（4）求歸一化系數（5）討論（二）線性諧振子（1）方程的建立（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則含時Schrodinger方程為：則定態(tài)Schrodinger方程為：（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則含時Sc為簡單計，引入無量綱變量ξ和參量:其中為簡單計，引入無量綱變量ξ和參量:其中（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當ξ→±∞時波函數ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋浩浣鉃椋害住?exp[±ξ2/2]1.漸近解欲驗證解的正確性，可將其代回方程，由波函數有限性條件：當ξ→±∞時，應有c2=0，因整個波函數尚未歸一化，c1可以令其等于1。最后漸近波函數為ξ2>>±1（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸其解為：ψ∞=其中H(ξ)必須滿足波函數的單值、有限、連續(xù)的標準條件。即：①當ξ有限時，H(ξ)有限；②當ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。2.H(ξ)滿足的方程厄米方程其中H(ξ)必須滿足波函數的單值、有限、連續(xù)的標準條件。3.級數解在=0的領域對其泰勒展開帶入厄米方程3.級數解在=0的領域對其泰勒展開帶入厄米方程a0決定所有角標a為偶數的系數；a1決定所有角標a為奇數的系數。因為H(ξ)是一個冪級數，故應考慮它的收斂性。相鄰兩項系數之比：考察冪級數exp[ξ2]的展開式的收斂性相鄰兩項系數之比：a0決定所有角標a為偶數的系數；a1決定所有角標a為奇數的系所以總波函數有如下發(fā)散行為：來源于波函數標準條件和束縛態(tài)的結果線性諧振子能量的本征值基于波函數在無窮遠處的有限性條件導致了能量必須取分立值。同普朗克假設相一致，注意零點能不為零，這是由于波粒二象性帶來的一種量子效應。所以總波函數有如下發(fā)散行為：來源于波函數標準條件和束縛態(tài)的結（3）厄密多項式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數是2n。Hn(ξ)可寫成封閉形式：諧振子能量的本征函數其中是厄米多項式λ=2n+1由（3）厄密多項式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n下面給出前幾個厄密多項式具體表達式：

下面給出前幾個厄密多項式具體表達式：（4）求歸一化系數(I)作變量代換，ξ=αx，(II)應用Hn(ξ)的封閉形式。繼續(xù)分步積分到底該式第一項是一個多項式與exp[-ξ2]的乘積，當代入上下限ξ=±∞后，該項為零。分步積分法Hn的最高次項ξn的系數是2n，dnHn/dξn=2nn!（4）求歸一化系數(I)作變量代換，ξ=αx，繼續(xù)分步積分（5）討論1、Hn(ξ)的最高次項是2n。所以： 當n=偶，則厄密多項式只含ξ的偶次項；當n=奇，則厄密多項式只含ξ的奇次項。2、ψn具有n宇稱

諧振子波函數所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數，所以ψn的宇稱由厄密多項式Hn(ξ)決定為n宇稱。（5）討論1、Hn(ξ)的最高次項是2n。所以：2、ψn具n=0n=1n=23.波函數然而，量子情況與此不同對于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經典情形下，粒子將被限制在|ax|<1范圍中運動。這是因為振子在這一點(|ax|=1)處，其勢能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內。-3-2-10123E0E1E2n=0n=1n=23.波函數然而，量子情況與此分析波函數可知量子力學的諧振子波函數ψn有n個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經典力學的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.幾率分布4.對應一個諧振子能級只有一個本征函數，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應。分析波函數可知量子力學的諧振子波函數ψn有n個節(jié)點，在節(jié)回顧一維線性諧振子能量的本征函數和本征能量為：厄米多項式公式：回顧一維線性諧振子能量的本征函數和本征能量為：厄米多項式公式（三）實例解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況（三）實例解：例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數三方向的分量分別滿足如下三個方程：因此，設能量本征方程的解為：如果系統Hamilton量可以寫成則必有：（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數三方向（3）簡并度

當N確定后，能量本征值確定，但是對應同一N值的n1,n2,n3有多種不同組合，相應于若干不同量子狀態(tài)，這就是簡并。其簡并度可決定如下：

當n1,n2確定后，n3=N-n1-n2，也就確定了，不增加不同組合的數目。故對給定N，{n1,n2,n3}可能組合數即簡并度為：（3）簡并度當N確定后，能量本征值確定，但是對應解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數。例2.荷電q的諧振子，受到沿x向外電場的作用，其勢場為：（1）解題思路

勢V(x)是在諧振子勢上疊加上-qx項，該項是x的一次項，而振子勢是二次項。如果我們能把這樣的勢場重新整理成坐標變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結果。解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數。例2（2）改寫V(x)（2）改寫V(x)（3）Hamilton量進行坐標變換：則Hamilton量變?yōu)椋海?）Hamilton量進行坐標變換：則Hamilton（4）Schrodinger方程該式是一新坐標下一維線性諧振子Schrodinger方程，于是可以利用已有結果得：新坐標下Schrodinger方程改寫為：本征能量本征函數（4）Schrodinger方程該式是一新坐標下一維新坐標作業(yè)P442.5作業(yè)P44§8一維勢散射問題

(一）引言

(二）方程求解

(三）討論

(四）應用實例§8一維勢散射問題(一）引言(一）引言勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的一維運動問題。典型勢壘是方勢壘，其定義如下：現在的問題是已知粒子以能量E沿x正向入射。0aV(x)V0IIIIIIE(一）引言勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的現在的問題是已知粒（1）E<V0情況三個區(qū)域的Schrodinger方程可寫為：

直接將入射波的振幅取作1，是為了方便討論，但注意反射波的振幅R和投射波的振幅S是待定常數，而在勢壘內部中的兩項不是波，僅是指數增加和衰減函數。（1）E<V0情況三個區(qū)域的Schrodinger方利用波函數標準條件來定系數。首先，解單值、有限條件滿足。波函數及其導數的連續(xù)性(1)(2)(3)(4)(1)+(2),(3)+(4)(1)-(2),(3)-(4)一系列地綜合聯立利用波函數標準條件來定系數。波函數及其導數的連續(xù)性(1)(物理意義反射波幾率流密度透射波幾率流密度透射系數反射系數代表粒子被勢壘反射回來的幾率代表粒子透過勢壘的幾率物理意義反射波幾率流密度透射波幾率流密度透射系數反射系數代表0aV(x)xV0入射波+反射波透射波隧道效應（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現象.它是粒子具有波動性的生動表現。當然，這種現象只在一定條件下才比較顯著。0aV(x)xV0入射波+反射波透射波隧道效應（2）E>V0情況其中k3=[2μ(E-V0)/]1/2。<k1

利用：sh(ik3a)=isink3a區(qū)域二內波函數中的k2換成ik3（2）E>V0情況其中k3=[2μ(E-V0)/]1（三）討論（1）當k2a>>1時故4可略透射系數則變?yōu)椋捍致怨烙?，認為k1≈k2

（相當于E≈V0/2）,則S0=4是一常數。下面通過實例來說明透射系數的量級大小。于是：（三）討論（1）當k2a>>1時故4可略透射系數則變?yōu)椋豪?:入射粒子為電子。設E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2?，算得S≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則S≈0.024，可見透射系數迅速減小。

質子與電子質量比

μp/μe≈1840。對于a=2?

則S≈2×10-38。可見透射系數明顯的依賴于粒子的質量和勢壘的寬度。量子力學提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的α衰變現象。例2:入射粒子換成質子。例1:入射粒子為電子。設E=1eV,V0=2eV,（2）任意形狀的勢壘則x1→x2貫穿勢壘V(x)的透射系數等于貫穿這些小方勢壘透射系數之積，即此式的推導是不太嚴格的，但該式與嚴格推導的結果一致。0abV(x)E對每一小方勢壘透射系數可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。dx（2）任意形狀的勢壘則x1→x2貫穿勢壘V(x)的此（四）應用實例（1）原子鐘（2）場致發(fā)射（冷發(fā)射）

除了大家熟悉的α衰變、隧道二極管是勢壘穿透現象外，下面介紹兩個典型實例。（四）應用實例（1）原子鐘 除了大家熟悉的α衰變、隧道二極（1）原子鐘原子鐘的頻率標準就是利用氨分子(NH3)基態(tài)勢壘貫穿的振蕩頻率。氨分子(NH3)是一個棱錐體，N原子在其頂點上，三個H原子在基底。如圖所示：NN’HHHNN’E如果N原子初始在N處，則由于隧道效應，可以穿過勢壘而出現在N’點。當運動能量小于勢壘高度1.R-S之間或T-U之間的振蕩（諧振子）；如圖中能級E所示，則N原子的運動由兩種形式組成。2.這兩個區(qū)域之間通過勢壘的緩慢得多的振蕩運動。對于NH3基態(tài)， 第二種振蕩頻率為2.3786×1010Hz。這就是原子鐘在規(guī)定 時間標準時所利用的氨分子的勢壘貫穿運動。（1）原子鐘原子鐘的頻率標準就是利用氨分子(NH3)（2）場致發(fā)射（冷發(fā)射）圖（a）圖（b）

欲使金屬發(fā)射電子，可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發(fā)射和光電效應。

但是，施加一個外電場，金屬中電子的所感受到的電勢如圖(b)所示。金屬中電子面對一個勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應穿過勢壘漏出，從而導致所謂場致電子發(fā)射。（2）場致發(fā)射（冷發(fā)射）圖（a）圖（b） 欲使金屬發(fā)射電第二章波函數和薛定諤方程§1波函數的統計解釋§2態(tài)疊加原理§3Schrodinger方程§4幾率流密度和幾率守恒§5定態(tài)Schrodinger方程§6一維無限深勢阱§7線性諧振子§8勢壘貫穿第二章波函數和薛定諤方程§1波函數的統計解釋§1波函數的統計解釋（一）波函數（二）波函數的統計解釋（三）波函數的性質§1波函數的統計解釋（一）波函數

3個問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數，它通常是一個復標量函數。稱為de

Broglie波。此式稱為自由粒子的波函數。(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數3個問題？描寫自由粒子的平面波如果粒子兩種錯誤的看法1.波由粒子組成,是大量粒子運動的表現如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。QQ電子源感光屏PPOO

事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現象。（二）波函數的統計解釋兩種錯誤的看法1.波由粒子組成,是大量粒子運動的表現如水波2.粒子由波組成電子是波包（wavepacket）

。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小≈1?。

2.粒子由波組成電子是波包（wavepacket）。把電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是粒子也不是波”，既不是經典的粒子也不是經典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一?！边@個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。經典概念中1、有一定質量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2、有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經典概念中1、實在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2、干涉、衍射現象，即相干疊加性。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ 1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;我們再看一下電子的衍射實驗2.

入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.OQQPP電子源感光屏玻恩的解釋1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射波動觀點粒子觀點明紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2大電子出現的概率大暗紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2小電子出現的概率小

可見，波函數模的平方|ψ(x,y,z,t)|2與粒子t時刻在(x,y,z)處出現的概率成正比。r點附近衍射花樣的強度正比于該點附近感光點的數目，正比于該點附近出現的電子數目，正比于電子出現在

r

點附近的幾率。在電子衍射實驗中，照相底片上

1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數的統計解釋

波函數在空間中某一點的強度（波函數模的平方）與粒子在該點出現的概率成比例。波動觀點粒子觀點明紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2大則微觀粒子在t時刻出現在處體積元dτ內的幾率

按Born提出的波函數的統計解釋,粒子在空間中某一點處出現的概率與粒子的波函數在該點模的平方成比例。設粒子狀態(tài)由波函數描述，波的強度是

這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統計規(guī)律性，波函數有時也稱為幾率幅。則微觀粒子在t時刻出現在處體積元dτ內的幾率（三）波函數的性質根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：在t時刻r點，單位體積內找到粒子的幾率是：在體積V內，t時刻找到粒子的幾率為：

在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內，找到由波函數Ψ(r,t)描寫的粒子的幾率是：

其中C是比例系數。幾率密度probabilitydensity（1）幾率和幾率密度（三）波函數的性質根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質（2）平方可積由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數Ψ必須是絕對值平方可積的函數。若∫∞|Ψ|2dτ∞,

則C0

，這是沒有意義的。從而得常數

C之值為：（2）平方可積由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生（3）歸一化波函數這與經典波不同。經典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經典波無歸一化問題。兩者所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的C是常數。因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即Ψ

(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ф(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。令

（3）歸一化波函數這與經典波不同。經典波波幅增大一倍歸一化常數若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1

也就是說，(A)-1/2Ψ(r，t)是歸一化的波函數，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。

注意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數，那么，exp{iα}Ψ(r,t)也是歸一化波函數（其中α是實數，叫相角），與前者描述同一幾率波，這種不確定性叫相角不定性。歸一化常數若Ψ(r,t)沒有歸（4）微觀體系力學量的描述

對于任意的一個力學量A，如果它作用與波函數上的線性厄米算符A來表示，則它的平均值為：

如微觀粒子的歸一化波函數為，粒子在空間各點的位置幾率密度為：則坐標和坐標函數的平均值為：（4）微觀體系力學量的描述對于任意的一個力學量A，如（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數，就可知道粒子在空間各點處出現的幾率，以后的討論進一步知道，波函數給出體系的一切性質，因此說波函數描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數一般用復函數表示。（3）波函數滿足連續(xù)性、有限性、單值性必須注意稱為波函數的標準化條件（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數描述，描寫粒子的波是幾率例：設一粒子作一維運動，波函數為：0A為任意常數，求：（1）歸一化波函數；（2）幾率密度w(x)和w(x)最大的位置；（3）在[0，a/2]內發(fā)現粒子的幾率；（4）和（5）應用例：設一粒子作一維運動，波函數為：0A為任意常數，求：（5）解：（1）由歸一化條件有所以，歸一化常數，而歸一化波函數為0解：（1）由歸一化條件（2）幾率密度等于歸一化波函數模的平方則0令，有在區(qū)域[0,a]內，只有x=0,a/2,a。再將w(x)對x求二階導數，可得所以只有x=a/2處為幾率密度最大值的位置。（2）幾率密度等于歸一化波函數模的平方（3）在[0,a/2]內發(fā)現粒子的幾率

（4）（3）在[0,a/2]內發(fā)現粒子的幾率已知一維粒子狀態(tài)波函數為求歸一化的波函數，粒子的幾率分布，粒子在何處出現的幾率最大。

例：歸一化常數(1).求歸一化的波函數解：歸一化的波函數已知一維粒子狀態(tài)波函數為求歸一化的波函數，粒子的幾率分布，粒（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現幾率最大。（2）幾率分布：（3）由幾率密度的極值條件由于例平面波的歸一化問題已知平面波,求歸一化常數A

歸一化常數歸一化的平面波：

解：利用例平面波的歸一化問題已知平面波量子力學的基本假設之一

體系的狀態(tài)用坐標和時間函數描述，叫體系的狀態(tài)波函數。一般要求是單值、連續(xù)和平方可積的，體系在空間內出現的幾率正比