數(shù)列的概念與簡單表示法

數(shù)列的概念與簡單表示法數(shù)列的概念與簡單表示法數(shù)列的概念與簡單表示法數(shù)列的概念與簡單表示法編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:數(shù)列的概念與簡單表示法目標認知

學習目標：

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）；通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力．

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。

3.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與的關系.

重點、難點：數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用

知識要點梳理

知識點一：數(shù)列的概念

⒈數(shù)列的定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.\注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).

⒉數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，…，第項，….其中數(shù)列的第1項也叫作首項。

3.數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第項

知識點二：數(shù)列的分類

1.根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列

無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，…是無窮數(shù)列

2.根據(jù)數(shù)列項的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。

遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。

常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。

擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

知識點三：數(shù)列的通項公式與前項和

1.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.

如數(shù)列：的通項公式為（）；

的通項公式為（）；

的通項公式為（）；

注意：（1）并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；

（2）一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…；

它的通項公式可以是，也可以是.

（3）數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.

（4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．

2.數(shù)列的前項和

數(shù)列的前項逐個相加之和：；

當時；當時，，.

故.

知識點四：數(shù)列與函數(shù)的關系

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。

反過來，對于函數(shù),如果（）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列，，，…，，…；通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．

關于數(shù)列的一些問題常通過函數(shù)的相關知識方法解決，如：單調性，最值等.

知識點五：數(shù)列的表示方法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法（解析式法、圖象法、列表法）有聯(lián)系.

1.通項公式法（解析式法）：

如果數(shù)列的第項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。

2.圖象法：

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項數(shù)為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．

3.列表法

相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，……，用表示第項，依次寫出成為，，…，，…，簡記為．

4.遞推公式法

遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

如數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，…的遞推公式為：

.

規(guī)律方法指導

1.與集合中元素的性質相比較，數(shù)列中的項也有相應的三個性質：

（1）確定性：一個數(shù)是否數(shù)列中的項是確定的；

（2）可重復性：數(shù)列中的數(shù)可以重復；

（3）有序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的.

2.數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上，根據(jù)此特殊性可以判定一個數(shù)是否數(shù)列中的項；數(shù)列的通項公式實際上就是相應函數(shù)的解析式；跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式.

3.遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.

經(jīng)典例題考點1數(shù)列的通項公式類型一：根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式

例1．寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，使其前四項分別是:

(1)0,,,,…；(2)1,,,,…；(3)9,99,999,9999,…；(4)6,1,6,1,….

解析：

（1）將數(shù)列改寫為，，，，…，故.

（2）此數(shù)列奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，可用來表示；

其絕對值中分子為奇數(shù)數(shù)列，分母是自然數(shù)的平方數(shù)列，故.

（3）將數(shù)列改寫為,,,，…，故.

（4）將數(shù)列每一項減去6與1的平均值得新數(shù)列,-,,-,…，

故或

總結升華：寫通項時注意以下常用思路：

①若數(shù)列中的項均為分數(shù)，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如(1)；特別注意有時分數(shù)是約分后的結果，要根據(jù)觀察還原分數(shù)；

②注意(－1)n在系數(shù)中的作用是讓數(shù)列中的項正、負交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數(shù)，讓數(shù)列中隔項出現(xiàn)倒數(shù)；

③（4）可視為周期數(shù)列，故想到找一個周期為2的函數(shù)為背景。

④歸納猜想的關鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項進行適當?shù)淖冃?，使?guī)律明朗化.

舉一反三：

【變式】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：

(1)3,5,9,17,33,…；（2）1，，，，…；

(3)0,1,0,1,0,1,…；（4）－，，－，，…；

【答案】

(1)；（2）；(3)；（4）an＝。變式訓練1某數(shù)列{an}的前四項為0，，0，，則以下各式：①an＝[1＋(－1)n]②an＝③an＝其中可作為{an}的通項公式的是（D）A．①B．①②C．②③D．①②③【反思歸納】⑴聯(lián)想和轉換是由已知認識未知的兩種有效的思維方法.⑵求數(shù)列的通項公式，應運用觀察、分析、歸納、驗證的方法.易錯之處在于每個數(shù)列由前幾項找規(guī)律不準確，以及觀察、分析、歸納、驗證這四個環(huán)節(jié)做的不夠多，應注意對每一數(shù)列認真找出規(guī)律和驗證.題型2已知數(shù)列的前項和，求通項公式【例2】已知下列數(shù)列的前項和，分別求它們的通項公式.⑴；⑵.【解題思路】利用，這是求數(shù)列通項的一個重要公式.【解析】⑴當時，，當時，.當時，，.⑵當時，，當時，.當時，，.例5．已知數(shù)列的前項和公式，求通項.

（1），(2).

思路點撥:先由時，，求出；再由當時，，求出，并驗證是否符合所求出的.

解析：

（1）當時，，

當時，，

∴

（2）當時，，

當時，，

∴()為所求.

總結升華：已知求出依據(jù)的是的定義：，分段求解，然后檢驗結果能否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數(shù)的形式.

舉一反三：

【變式1】已知數(shù)列的前項和，求通項.【答案】當時，，

當時，，

∴.

【變式2】已知數(shù)列的前項積，求通項

【答案】當時，，

當時，，

∴.

變式訓練2已知數(shù)列的前n項和Sn滿足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通項公式解:【反思歸納】任何一個數(shù)列，它的前項和與通項都存在關系：若適合，則把它們統(tǒng)一起來，否則就用分段函數(shù)表示.題型3已知數(shù)列的遞推式，求通項公式【例3】數(shù)列中，，求，并歸納出.【解題思路】已知的遞推公式求前幾項，可逐步計算.【解析】，，，，，由，可以歸納出.【變式2】已知數(shù)列滿足：，，寫出前5項，并猜想．

【答案】

法一：，，，觀察可得

法二：由，∴即

∴

∴

3、數(shù)列中，，求，并歸納出.【解析】，，，由，可以歸納出【反思歸納】由遞推公式求通項，可以考慮“歸納—猜想—證明”的方法，也可以構造新數(shù)列.考點2與數(shù)列的通項公式有關的綜合問題題型1已知數(shù)列通項公式，求項數(shù)及最大（最?。╉棥纠?】數(shù)列中，.⑴是數(shù)列中的第幾項⑵為何值時，有最小值并求最小值.【解題思路】數(shù)列的通項與之間構成二次函數(shù)，可結合二次函數(shù)知識去探求.【解析】⑴由，解得，是數(shù)列中的第項.⑵，或時，.1、數(shù)列中，，求取最小值時的值.【解析】，時，取最小值.【反思歸納】利用二次函數(shù)知識解決數(shù)列問題時，必須注意其定義域為正整數(shù).題型2已知數(shù)列通項公式，判斷數(shù)列單調性及有界性例6．已知數(shù)列中,判斷數(shù)列的單調性，并給以證明.

思路點撥:選擇數(shù)列中任意相鄰兩項作差比較即可.

解析：∵，

∴（）

∴數(shù)列是遞增數(shù)列.

總結升華：數(shù)列也是函數(shù)，可以用證明函數(shù)的單調性的方法來證明.【舉一反三：

【變式1】數(shù)列中：,（）

（1）寫出它的前五項，并歸納出通項公式；

（2）判斷它的單調性.

【答案】

（1）,,,,,∴；

（2）方法一：∵，∴數(shù)列是遞減數(shù)列.

方法二：∵函數(shù)在上單調遞減，∴數(shù)列是遞減數(shù)列.【反思歸納】數(shù)列是特殊的函數(shù)，判斷函數(shù)的單調性、有界性的方法同樣適用于數(shù)列.強化鞏固練習一、選擇題1．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4等于 ()A．7 B．8C．9 D．17解析：∵Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝16－1－(9－1)＝7.答案：A2．數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是 ()A．107 B．108C．108eq\f(1,8) D．109解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－eq\f(29,2)n)＋3＝－2(n－eq\f(29,4))2＋3＋eq\f(292,8).當n＝7時，an最大且等于108.答案：B3．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，對所有n∈N*都有a1a2…an＝n2，則a3＋a5等于 ()\f(31,15) \f(25,9)\f(25,16) \f(61,16)解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a2…an＝n2a1a2…an＋1＝(n＋1)2))?an＋1＝(eq\f(n＋1,n))2?a3＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(61,16).答案：D4．(2010·湖北黃岡質檢)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝n2＋kn＋2，若對于n∈N*，都有an＋1>an成立，則實數(shù)k的取值范圍是 ()A．k>0 B．k>－1C．k>－2 D．k>－3解析：∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.又an＝n2＋kn＋2，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N*)的最大值為－3，∴k>－3.答案：D5．(2009·江西中學一模)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當n∈N*時，an＋2等于anan＋1的個位數(shù)，若數(shù)列{an}的前k項和為243，則k等于 ()A．61 B．62C．63 D．64解析：∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝2，a4＝4，a5＝8，a6＝2，a7＝6，a8＝2，a9＝2，….∴數(shù)列{an}是從第2項起周期為6的數(shù)列，并且a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝24.又Sk＝243，∴k＝62.答案：B二、填空題(每小題5分，共20分)6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝eq\f(n＋1,n＋2)，則a5＋a6＝__________.解析：∵Sn＝eq\f(n＋1,n＋2)，∴a5＋a6＝S6－S4＝eq\f(6＋1,6＋2)－eq\f(4＋1,4＋2)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)7．(2010·青島模擬)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)(n＝2,3,4，…)，則a4＝________；解析：∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)，∴a2＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2；8下面各數(shù)列的前n項和Sn的公式,求{an}的通項公式.(1)Sn=2n2-3n(2)Sn=3n-2解:(1)當n≥2時,由于a1也適合此等式,所以(2)當n≥2時,1．下列解析式中不是數(shù)列，的通項公式的是（）A.B.C.D.2．數(shù)列的