三角形全等的應用

word格式-可編輯-感謝下載支持經(jīng)典例題透析類型一：三角形全等的應用、CF相交于點D，DE⊥AC，垂 足分別為E、且。求證：AB=AC。思路點 撥：挖掘并合理運用隱含條件：(1)隱含相等的線段公共邊、線段的或（2）隱含相等的角：公共角、對頂角、角的和或差。∴∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定義在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（ASA）∴BD=CD（全等三角形對應邊相等又DE=DF∴BE=CF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AB=AC（全等三角形對應邊相等）總結(jié)升華：復雜題目都是由簡單題目組合而成，所以要特別注意簡單典型題目的解題思想以及圖形特點。舉一反三：【變式1】如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB1AM=A（2AA。解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°（垂直的定義）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°（直角三角形的兩個銳角互余）∴∠1=∠2在△ABM和△NCA中∴△ABM≌△NCA（SAS）∴AM=AN，∠3=∠N（全等三角形對應邊、對應角相等）在Rt△AFN中：∠4+∠N=90°（直角三角形兩個銳角互余）∴∠3+∠4=90°∴AM⊥AN（垂直的定義）【變式2】如圖：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，∠ABE=∠CBE，求證：BD=2EC。解析：延長BA、CE相交于點F∵CE⊥BE

word格式-可編輯-感謝下載支持∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定義）在△BEC和△BEF中∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF（全等三角形對應邊相等）即FC=2CE∵CA⊥BA°（垂直的定義在Rt△ABDRt△BEF中∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形兩個銳角互余）∴∠ADB=∠F在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=FC（全等三角形對應邊相等）∴BD=2EC類型二：構(gòu)造全等三角形與△ABDBCO點，∠1=∠2，請你添加一個條件（添加其它線段，不再標注或使用其他字母，使AC=B，并給出證明。你添加的條件是。思路點撥：此題屬于開放型題目，此類題目一般包括：條件開放型、結(jié)論開放型、綜合開放型。此類題目的答案一般不唯一。本題答案就不唯一，若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD。答案：你添加的條件是：BC=AD。證明：在△CAB與△DBA中所以，△CAB≌△DBA（SAS）從而有AC=BD（全等三角形的對應邊相等）總結(jié)升華：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，要由已知條件結(jié)合圖形通過逆向思維找出合適的條件，有一定的開放性和思考性。舉一反三：word格式-可編輯-感謝下載支持1】如圖，已知AB=AD，BD相交于E寫出其中三個正確的結(jié)論（不要添加字母和輔助線，不要求證明）解析：由已知條件不難得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同時有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB與∠DCBDB等。以上是解決本題的關鍵所在，也都可以作為最后結(jié)論?！咀兪?】如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。所添條。你得到的一對全等三角形是≌△ 。解析：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一組公共邊。因此只要添加以下條件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根據(jù)SSS或SAS證得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基礎上又可以進一步得到△CEB≌△DEB。類型三：角平分線的性質(zhì)與判定AB于點D，BEAC于點E，BECD交于點OAO平分∠BAC，求證：OB=OC．CDAB⊥ACADC=∠AEB=90OA平分∠BAC可知，，≌△OCE，從而得到OB=OC．證明：因為CD⊥AB，BE⊥AC，則∠ADC=∠AEB=90°．又因為AO平分∠BAC，所以OD=OE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等在△BOD和△COE中，word格式-可編輯-感謝下載支持所以RBO≌RCOASA．所以OB=O（全等三角形對應邊相等總結(jié)升華：靈活運用角平分線的性質(zhì)和判定．舉一反三：【變式】如圖，在 中， ， 平分 ， ，那么 點到直線 的距離答案：3cm類型四：三角形全等和角平分線的綜合應用（常見輔助線的添法）中，AC=BC，∠ACB=90°，DAC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，AE= BD，求證是∠ABC的平分線．思路點撥：如果BD是∠ABC個角相等的直接條件，但可以延長AE和BC應角相等解題．證明：延長AE和BC，交于點因為A⊥B，BAADE∠BD（對頂角相等EAD=∠CBD．在Rt△ACFRt△BCD中．所以RAC≌RtBCAS．則AF=B（全等三角形對應邊相等因為AE= BD，所以AE= 即AE=EF．word格式-可編輯-感謝下載支持在Rt△BEA和Rt△BEF中，則RBEAR△BE（SA．ABEFB（全等三角形對應角相等即BD是∠ABC的平分線．總結(jié)升華：如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決．平時練習中多積累一些輔助線的添加方法。舉一反三：【變式1】已知如圖所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求證：OP平分∠AOB．錯解：因為PA=PB，所以OPAO（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．誤區(qū)分析：判斷角平分線應是根據(jù)這點到角兩邊的距離相等，即到角兩邊垂線段的長度相等，而題中PA、PB不是到角兩邊的垂線段，故不能直接得到OP平分∠AOB．正解：如圖所示，過點P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分別為、因為∠2+∠1=180°，又因為∠2+∠PBO=180°，所以∠1=∠PBO．在△AEP和△BFP中，AEBFAAS．所以PE=P（全等三角形對應邊相等．所以OPAO（到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．【變式2】如圖所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求證：BE=CF．分析：由已知條件不能直接證明BE=CF，則需連接DB和DC證明：連接BD、CD，因為AD是∠A的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

word格式-可編輯-感謝下載支持所以DE=D（角平分線上的點到角的兩邊距離相等因為MD是BC的垂直平分線，所以DB=D（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等所以RDE≌RtDF（H．所以BE=C（全等三角形對應邊相等．總結(jié)升華：線段垂直平分線和角平分線性質(zhì)可直接用于證明的過程中．3中，AD是BCAB=AC．分析DE⊥ABRt△BDE≌Rt△CDF，則有∠B=∠C．證明：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC因為∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=D（角平分線上的點到角兩邊的距離相等在Rt△BDE和Rt△CDF中，所以RBD≌RtCD（H．B∠（全等三角形對應角相等則AB=A（等角對等邊．總結(jié)升華：利用角平分線性質(zhì)找全等三角形是關鍵．類型五：探究型題況下，它們會全等？閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?。對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）1 1 1 1 1 1 1 1 1 、△ABCB，BC=BC，∠C=∠C求證：△ABC≌△1 1 1 1 1 1 1 1 1 （請你將下列證明過程補充完整）歸納與敘述：由（1）可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論。word格式-可編輯-感謝下載支持思路點撥：雖然已有三個條件，然而它們構(gòu)不成三角形全等的條件。但至少提供了一邊一角對應相等，另一條件只能通過作輔助線來得到。1（）分別過點BB作B⊥CA于D，1⊥ BD C⊥ 1 1 1 1 11 1 則∠BDC=∠BDC=901 1 ∵1BC=BC∵11

，∠C=∠C1 1 1∴△BCD≌△BCD1 1 1∴BD=BD1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）由條件AB=AB，∠ADB=∠ADB=90DB，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 從而得到△ABC≌△ABC1 1 （2）歸納：兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形是全等的。本題構(gòu)思新穎，創(chuàng)造性地設計了閱讀情境，跨越障礙，合情推理并總結(jié)概括，考查閱讀理解、類比、概括等綜合能力，同時也培養(yǎng)靈活、精細、嚴謹?shù)臄?shù)學思維品質(zhì)。舉一反三：°角的三角板ADE和三角板ABC在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC的形狀，并說明理由。解析：△EMC是等腰直角三角形。由已知條件可以得到：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°∠DAB=90°。連接AM。由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°從而∠MDE=∠MAC=105因此EM=MC，∠DME=∠AMC又易得∠EMC=90°所以△EMC是等腰直角三角形。2】已知Rt△ABC中，∠B=90°根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）①作∠BAC的平分線AD交BC于D；②作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC，垂足為H；③連接ED。在的基礎上寫出一對全等三角形：△ ≌△ 并加以證明。word格式-可編輯-感謝下載支持（）BAC的平分線A、作線段AD的垂直平分線，并連接相關線段。（2）由AD；由EF垂直平分線段可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，從而有△AEH≌△AFH≌△DEH。以上三組中任選一組即可。類型六：利用三角形全等知識解決實際問題要測量河兩岸相對的兩點B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點D，使CD=?BC再定出BF的垂線DE，使ACE得到ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長（如圖EDABC的理由是（）A．邊角邊公理 B．角邊角公理； C．邊邊邊公理 D．斜邊直角邊公思路點撥：把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言或數(shù)學符號，然后用學過的數(shù)學知識進行解答。答案：B總結(jié)升華：解決本類題的關鍵是相關知識的熟練掌握和轉(zhuǎn)化能力的運用。舉一反三：【變式】如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測得．?你能用已學過的知識或方法