三角形全等的應(yīng)用

word格式-可編輯-感謝下載支持經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：三角形全等的應(yīng)用、CF相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂 足分別為E、且。求證：AB=AC。思路點(diǎn) 撥：挖掘并合理運(yùn)用隱含條件：(1)隱含相等的線(xiàn)段公共邊、線(xiàn)段的或（2）隱含相等的角：公共角、對(duì)頂角、角的和或差。∴∠DFB=∠DEC=90°（垂直的定義在△BDF和△CDE中∴△BDF≌△CDE（ASA）∴BD=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等又DE=DF∴BE=CF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）總結(jié)升華：復(fù)雜題目都是由簡(jiǎn)單題目組合而成，所以要特別注意簡(jiǎn)單典型題目的解題思想以及圖形特點(diǎn)。舉一反三：【變式1】如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB1AM=A（2AA。解析：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°（垂直的定義）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）∴∠1=∠2在△ABM和△NCA中∴△ABM≌△NCA（SAS）∴AM=AN，∠3=∠N（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）在Rt△AFN中：∠4+∠N=90°（直角三角形兩個(gè)銳角互余）∴∠3+∠4=90°∴AM⊥AN（垂直的定義）【變式2】如圖：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，∠ABE=∠CBE，求證：BD=2EC。解析：延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F∵CE⊥BE

word格式-可編輯-感謝下載支持∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定義）在△BEC和△BEF中∴△BEC≌△BEF（ASA）∴CE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即FC=2CE∵CA⊥BA°（垂直的定義在Rt△ABDRt△BEF中∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠F=90°（直角三角形兩個(gè)銳角互余）∴∠ADB=∠F在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=FC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BD=2EC類(lèi)型二：構(gòu)造全等三角形與△ABDBCO點(diǎn)，∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件（添加其它線(xiàn)段，不再標(biāo)注或使用其他字母，使AC=B，并給出證明。你添加的條件是。思路點(diǎn)撥：此題屬于開(kāi)放型題目，此類(lèi)題目一般包括：條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型、綜合開(kāi)放型。此類(lèi)題目的答案一般不唯一。本題答案就不唯一，若按照以下方式之一來(lái)添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD。答案：你添加的條件是：BC=AD。證明：在△CAB與△DBA中所以，△CAB≌△DBA（SAS）從而有AC=BD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）總結(jié)升華：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，要由已知條件結(jié)合圖形通過(guò)逆向思維找出合適的條件，有一定的開(kāi)放性和思考性。舉一反三：word格式-可編輯-感謝下載支持1】如圖，已知AB=AD，BD相交于E寫(xiě)出其中三個(gè)正確的結(jié)論（不要添加字母和輔助線(xiàn)，不要求證明）解析：由已知條件不難得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同時(shí)有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB與∠DCBDB等。以上是解決本題的關(guān)鍵所在，也都可以作為最后結(jié)論。【變式2】如圖，點(diǎn)E在AB上，AC=AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。所添?xiàng)l。你得到的一對(duì)全等三角形是≌△ 。解析：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一組公共邊。因此只要添加以下條件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根據(jù)SSS或SAS證得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基礎(chǔ)上又可以進(jìn)一步得到△CEB≌△DEB。類(lèi)型三：角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定AB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BECD交于點(diǎn)OAO平分∠BAC，求證：OB=OC．CDAB⊥ACADC=∠AEB=90OA平分∠BAC可知，，≌△OCE，從而得到OB=OC．證明：因?yàn)镃D⊥AB，BE⊥AC，則∠ADC=∠AEB=90°．又因?yàn)锳O平分∠BAC，所以O(shè)D=OE（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在△BOD和△COE中，word格式-可編輯-感謝下載支持所以RBO≌RCOASA．所以O(shè)B=O（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等總結(jié)升華：靈活運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定．舉一反三：【變式】如圖，在 中， ， 平分 ， ，那么 點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離答案：3cm類(lèi)型四：三角形全等和角平分線(xiàn)的綜合應(yīng)用（常見(jiàn)輔助線(xiàn)的添法）中，AC=BC，∠ACB=90°，DAC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，AE= BD，求證是∠ABC的平分線(xiàn)．思路點(diǎn)撥：如果BD是∠ABC個(gè)角相等的直接條件，但可以延長(zhǎng)AE和BC應(yīng)角相等解題．證明：延長(zhǎng)AE和BC，交于點(diǎn)因?yàn)锳⊥B，BAADE∠BD（對(duì)頂角相等EAD=∠CBD．在Rt△ACFRt△BCD中．所以RAC≌RtBCAS．則AF=B（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等因?yàn)锳E= BD，所以AE= 即AE=EF．word格式-可編輯-感謝下載支持在Rt△BEA和Rt△BEF中，則RBEAR△BE（SA．ABEFB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即BD是∠ABC的平分線(xiàn)．總結(jié)升華：如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線(xiàn)的添加方法。舉一反三：【變式1】已知如圖所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求證：OP平分∠AOB．錯(cuò)解：因?yàn)镻A=PB，所以O(shè)PAO（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．誤區(qū)分析：判斷角平分線(xiàn)應(yīng)是根據(jù)這點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即到角兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等，而題中PA、PB不是到角兩邊的垂線(xiàn)段，故不能直接得到OP平分∠AOB．正解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分別為、因?yàn)椤?+∠1=180°，又因?yàn)椤?+∠PBO=180°，所以∠1=∠PBO．在△AEP和△BFP中，AEBFAAS．所以PE=P（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等．所以O(shè)PAO（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．【變式2】如圖所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)DM相交于D，過(guò)D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求證：BE=CF．分析：由已知條件不能直接證明BE=CF，則需連接DB和DC證明：連接BD、CD，因?yàn)锳D是∠A的平分線(xiàn)，DE⊥AB，DF⊥AC，

word格式-可編輯-感謝下載支持所以DE=D（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等因?yàn)镸D是BC的垂直平分線(xiàn)，所以DB=D（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等所以RDE≌RtDF（H．所以BE=C（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等．總結(jié)升華：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)性質(zhì)可直接用于證明的過(guò)程中．3中，AD是BCAB=AC．分析DE⊥ABRt△BDE≌Rt△CDF，則有∠B=∠C．證明：過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC因?yàn)椤?=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=D（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在Rt△BDE和Rt△CDF中，所以RBD≌RtCD（H．B∠（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等則AB=A（等角對(duì)等邊．總結(jié)升華：利用角平分線(xiàn)性質(zhì)找全等三角形是關(guān)鍵．類(lèi)型五：探究型題況下，它們會(huì)全等？閱讀與證明：對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)取?duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）1 1 1 1 1 1 1 1 1 、△ABCB，BC=BC，∠C=∠C求證：△ABC≌△1 1 1 1 1 1 1 1 1 （請(qǐng)你將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整）歸納與敘述：由（1）可得到一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)結(jié)論。word格式-可編輯-感謝下載支持思路點(diǎn)撥：雖然已有三個(gè)條件，然而它們構(gòu)不成三角形全等的條件。但至少提供了一邊一角對(duì)應(yīng)相等，另一條件只能通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)得到。1（）分別過(guò)點(diǎn)BB作B⊥CA于D，1⊥ BD C⊥ 1 1 1 1 11 1 則∠BDC=∠BDC=901 1 ∵1BC=BC∵11

，∠C=∠C1 1 1∴△BCD≌△BCD1 1 1∴BD=BD1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）由條件AB=AB，∠ADB=∠ADB=90DB，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 從而得到△ABC≌△ABC1 1 （2）歸納：兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形是全等的。本題構(gòu)思新穎，創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)了閱讀情境，跨越障礙，合情推理并總結(jié)概括，考查閱讀理解、類(lèi)比、概括等綜合能力，同時(shí)也培養(yǎng)靈活、精細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)。舉一反三：°角的三角板ADE和三角板ABC在一條直線(xiàn)上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC的形狀，并說(shuō)明理由。解析：△EMC是等腰直角三角形。由已知條件可以得到：DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°∠DAB=90°。連接AM。由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°從而∠MDE=∠MAC=105因此EM=MC，∠DME=∠AMC又易得∠EMC=90°所以△EMC是等腰直角三角形。2】已知Rt△ABC中，∠B=90°根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）①作∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于D；②作線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)交AB于E，交AC，垂足為H；③連接ED。在的基礎(chǔ)上寫(xiě)出一對(duì)全等三角形：△ ≌△ 并加以證明。word格式-可編輯-感謝下載支持（）BAC的平分線(xiàn)A、作線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)，并連接相關(guān)線(xiàn)段。（2）由AD；由EF垂直平分線(xiàn)段可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，從而有△AEH≌△AFH≌△DEH。以上三組中任選一組即可。類(lèi)型六：利用三角形全等知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B的距離，先在AB的垂線(xiàn)BF上取兩點(diǎn)D，使CD=?BC再定出BF的垂線(xiàn)DE，使ACE得到ED=AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)（如圖EDABC的理由是（）A．邊角邊公理 B．角邊角公理； C．邊邊邊公理 D．斜邊直角邊公思路點(diǎn)撥：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)，然后用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。答案：B總結(jié)升華：解決本類(lèi)題的關(guān)鍵是相關(guān)知識(shí)的熟練掌握和轉(zhuǎn)化能力的運(yùn)用。舉一反三：【變式】如圖，有一湖的湖岸在A、B之間呈一段圓弧狀，A、B間的距離不能直接測(cè)得．?你能用已學(xué)過(guò)的知識(shí)或方法