泛函分析答案泛函分析解答(張恭慶)

泛函分析答案泛函分析解答(張恭慶)泛函分析答案泛函分析解答(張恭慶)泛函分析答案泛函分析解答(張恭慶)資料僅供參考文件編號：2022年4月泛函分析答案泛函分析解答(張恭慶)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：第五章習(xí)題第一部分01-15M為線性空間X的子集，證明span(M)是包含M的最小線性子空間．[證明]顯然span(M)是X的線性子空間．設(shè)N是X的線性子空間，且MN．則由span(M)的定義，可直接驗(yàn)證span(M)N．所以span(M)是包含M的最小線性子空間．設(shè)B為線性空間X的子集，證明conv(B)={|ai0,=1,xiB,n為自然數(shù)}．[證明]設(shè)A={|ai0,=1,xiB,n為自然數(shù)}．首先容易看出A為包含B的凸集，設(shè)F也是包含B的凸集，則顯然有AF，故A為包含B的最小凸集．證明[a,b]上的多項(xiàng)式全體P[a,b]是無限維線性空間，而E={1,t,t2,...,tn,...}是它的一個(gè)基底．[證明]首先可以直接證明P[a,b]按通常的函數(shù)加法和數(shù)乘構(gòu)成線性空間，而P[a,b]中的任一個(gè)元素皆可由E中有限個(gè)元素的線性組合表示．設(shè)c0,c1,c2,...,cm是m+1個(gè)實(shí)數(shù)，其中cm0，m1．若=0，由代數(shù)學(xué)基本定理知c0=c1=c2=...=cm=0，所以中任意有限個(gè)元素線性無關(guān)，故P[a,b]是無限維線性空間，而E是它的一個(gè)基底。在2中對任意的x=(x1,x2)2，定義||x||1=|x1|+|x2|，||x||2=(x12+x22)1/2，||x||=max{|x1|,|x2|}．證明它們都是2中的范數(shù)，并畫出各自單位球的圖形．[證明]證明是直接的，只要逐條驗(yàn)證范數(shù)定義中的條件即可．單位球圖形略．設(shè)X為線性賦范空間，L為它的線性子空間。證明cl(L)也是X的線性子空間．[證明]x,ycl(L)，a，存在L中的序列{xn},{yn}使得xnx，yny．從而x+y=limxn+limyn=lim(xn+yn)cl(L)，ax=alimxn=lim(axn)cl(L)．所以cl(L)是X的線性子空間．[注]這里cl(L)表示子集L的閉包．設(shè)X為完備的線性賦范空間，M為它的閉線性子空間，x0M．證明：L={ax0+y|yM,a}也是X的閉線性子空間．[證明]若a,b，y,zM使得ax0+y=bx0+z，則(ab)x0=zyM，得到a=b，y=z；即L中元素的表示是唯一的．若L中的序列{anx0+yn}收斂于X中某點(diǎn)z，則序列{anx0+yn}為有界序列．由于M閉，x0M，故存在r>0，使得||x0y||r，yM．則當(dāng)an0時(shí)有|an|=|an|·r·(1/r)|an|·||x0+yn/an||·(1/r)=||anx0+yn||·(1/r)，所以數(shù)列{an}有界，故存在{an}的子列{an(k)}使得an(k)a．這時(shí)yn(k)=(anx0+yn)anx0zax0M．所以zL，所以L閉．[注]在此題的證明過程中，并未用到“X為完備的”這一條件．證明：a.在2中，||?||1，||?||2與||?||都是等價(jià)范數(shù)；b.||?||1與||?||2是等價(jià)范數(shù)的充要條件是：X中任意序列在兩個(gè)范數(shù)下有相同的收斂性．[證明]a.顯然||x||||x||2||x||12||x||，所以||?||1，||?||2與||?||都是等價(jià)范數(shù)．b.必要性是顯然的，下面證明充分性．首先inf{||x||2|||x||1=1}0．若inf{||x||2|||x||1=1}=0，則存在X中序列{xn}，使得||xn||1=1，||xn||20．而任意序列在兩個(gè)范數(shù)下有相同的收斂性，從而||xn||10．這矛盾說明inf{||x||2|||x||1=1}=a>0．對xX，當(dāng)x0時(shí)，||(x/||x||1)||1=1，所以||(x/||x||1)||2a．故xX有a||x||1||x||2．類似地可以證明存在b>0使得b||x||2||x||1，xX．所以兩個(gè)范數(shù)等價(jià)．證明：Banach空間m不是可分的．[證明見教科書p187,例]證明：是可分的Banach空間．[證明見第4章習(xí)題16]設(shè)X,Y為線性賦范空間，TB(X,Y)．證明T的零空間N(T)={xX|Tx=0}是的閉線性子空間．[證明]顯然N(T)={xX|Tx=0}是X的線性子空間．對xN(T)c，Tx0，由于T是連續(xù)的，存在x的鄰域U使得uU有Tu0，從而UN(T)c．故N(T)c是開集，N(T)是X的閉子空間．設(shè)無窮矩陣(aij)，(i,j=1,2,...)滿足，定義算子T:mm如下：y=Tx，，其中x=(i),y=(i)m．證明：T是有界線性算子，并且。[證明]因，及T是線性的，所以T為有界線性算子，。對任意的實(shí)數(shù)，存在自然數(shù)使得。取，使得其第個(gè)坐標(biāo)，則，且。所以，故有，從而。設(shè)滿足對有。證明是有界線性算子，。[證明]顯然是線性算子。因?yàn)?，，所以，，可見是有界線性算子，且。令（僅第個(gè)坐標(biāo)不為零），則，，，。所以。證明上的泛函是有界線性泛函，且。[證明]顯然是線性泛函。對有，所以是有界線性泛函，且。進(jìn)一步，取使得，則。得到。取定，在上定義泛函如下：。證明是有界線性泛函，。[證明]顯然是線性泛函，由，知有界。取使，則，得。證明：。[證明]任取，顯然是上有界線性泛函，且。又取使其第個(gè)坐標(biāo)為其余皆為，則，。從而，進(jìn)而．另一方面，設(shè)為上有界線性泛函，令，則，，從而。對，我們令，則．注意到在中，以及為上有界線性泛函，故，并且滿足這樣條件的是唯一的．證明：n維線性賦范空間的共軛空間仍是一個(gè)n維線性賦范空間。[證明]設(shè)X是n維線性賦范空間，{x1,x1,...,xn}是它的一個(gè)基．令fi:X?X表示，i=1,2,...．則，注意到也是X上的范數(shù)，以及有限維線性空間上的范數(shù)都是等價(jià)的，故存在M>0使得，所以，所以fiX*．下面證明{f1,f1,...,fn}是X*的一組基。事實(shí)上，fX*，，所以。故X*為有限維空間，且維數(shù)不超過n．若，則，所以{f1,f1,...,fn}線性無關(guān)，故X*維數(shù)為n。證明：無窮維線性賦范空間的共軛空間仍是無窮維線性賦范空間。[證明]設(shè)X是無窮維線性賦范空間，由于典范映射J:X?X**是保范的線性同構(gòu)，故X**必定是無窮維空間．由前面的習(xí)題16知道X*必然也是無窮維的．設(shè)X是賦范空間，M為X的子集，xX。證明：xcl(span(M))的充分必要條件為fX*，若f(M)=0則f(x)=0．[證明]設(shè)xcl(span(M))，則對fX*，若f(M)=0，由于f是線性的和連續(xù)的，自然有f(cl(span(M)))=0，從而f(x)=0．反過來，設(shè)xcl(span(M))，則d(x,cl(span(M)))>0．由Hann-Banach定理，存在fX*，使f(cl(span(M)))=0，且f(x)=d(x,cl(span(M)))>0，得到矛盾．驗(yàn)證極化恒等式。[證明]我們只對實(shí)內(nèi)積空間來驗(yàn)證，對于復(fù)內(nèi)積空間，方法是類似的．||x+y||2||xy||2=<x+y,x+y><xy,xy>=(<x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>)(<x,x><x,y><y,x>+<y,y>)=4<x,y>．證明由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)||x||=<x,x>1/2滿足范數(shù)定義的三個(gè)條件。[證明]前兩個(gè)條件是顯然的，我們只證明三角不等式．事實(shí)上，||x+y||2=<x+y,x+y>=||x||2+<x,y>++||y||2=||x||2+2Re(<x,y>)+||y||2||x||2+2|<x,y>|+||y||2||x||2+2||x||·||y||+||y||2=(||x||+||y||)2．所以三角不等式成立．證明內(nèi)積空間中的勾股定理。[證明]設(shè)x=x1+x2，且x1x2．則<x1,x2>=<x2,x1>=0，所以||x||2=||x1+x2||2=<x1+x2,x1+x2>=<x1,x1>+<x1,x2>+<x2,x1>+<x2,x2>=<x1,x>+<x2,x2>=||x1||2+||x2||2．設(shè)X是內(nèi)積空間，，。證明：。[證明]對，因，得，故，所以。設(shè)X是內(nèi)積空間，，。證明：。[證明]對，由，及，知，故。所以。設(shè)H為Hilbert空間，M是H的線性子空間。證明：，。[證明]對，顯然有，從而，故。若，由投影定理，設(shè)，其中，，且。此時(shí)，故有，所以，故。由23題結(jié)果，，而對，，故，所以,因此，故有。設(shè)X為內(nèi)積空間，M是X的線性子空間，滿足：對任何，它在M上的正交投影都存在。證明：M是X的閉線性子空間。[證明]對，由于存在它在上的正交投影，故可設(shè)，其中，。由26題知，而，故，所以，因此，即為的閉子空間。設(shè)X為內(nèi)積空間，M是X的稠密子集，{en}是X的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明：{en}完備的充要條件是在子集M上，Parseval等式成立．[證明]由{en}完備性定義知必要性是顯然的，下面證明充分性。對xX，由M在X中稠密，對任意的，存在，使得，。而對于，Parseval等式成立，即，存在自然數(shù)使得。下面估計(jì)： （三角不等式）（用放大），由的任意性，及Bessel不等式有。即xX，Parseval等式成立，所以{en}是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系。設(shè)X為內(nèi)積空間，{en}是X的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明：x,yX，都有。[證明]由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有。設(shè)H為Hilbert空間，{en}是H的標(biāo)準(zhǔn)正交系。證明：{en}是完全的的充要條件是：對于x,yH，都有。[證明]若{en}是完全的，則它是完備的．于是x,yH總有，，計(jì)算x,y的內(nèi)積得：。反過來，若x,yH都有，令y=x，則有Parseval等式成立，從而{en}是完備的，所以在Hilbert空間H中{en}是完全的。設(shè)H為Hilbert空間，{en}，是H的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，其中{en}是完備的，并且它們滿足條件，并且。證明：也完備的。[證明]對xH，若，由于{en}是完備的，所以如果x0，則上式將導(dǎo)出矛盾：||x||<||x||，故必有x=0．所以是完全的，因而也是完備的。設(shè)H為Hilbert空間，M是H的線性子空間，f是M上的有界線性泛函．證明：存在f在H上的唯一的延拓F，使得||F||H=||f||M．[證明]首先，存在f在L=cl(M)上的唯一的延拓g，使得g為L上的有界線性泛函，并且||g||=||f||．若L=H則結(jié)論顯然成立．若LH，在L上用Rieze表示定理，uL，使得g(x)=<x,u>，對xL．在H上定義F(x)=<x,u>，xH．則F為H上有界線性泛函，且||F||H=||u||=||g||L=||f||M，而且F是g的延拓，因而F也是f的延拓．若G也是f的滿足條件的延拓，用Rieze表示定理，存在v