高一數(shù)學(xué)綜合檢測點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

第二章綜合素能檢測時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1A．3 B．4C．5 D．6[答案]C[解析]AB與CC1為異面直線，故棱中不存在同時(shí)與兩者平行的直線，因此只有兩類：第一類與AB平行與CC1相交的有：CD、C1D1與CC1平行且與AB相交的有：BB1、AA1，第二類與兩者都相交的只有BC，故共有5條．2．室內(nèi)有一直尺，無論怎樣放置，在地面上總有這樣的直線，它與直尺所在的直線()A．異面 B．相交C．平行 D．垂直[答案]D[解析]當(dāng)直尺與地面垂直時(shí)，地面上的任意一條直線都和直尺所在的直線垂直；當(dāng)直尺所在的直線與地面不垂直時(shí)，過直尺所在的直線作一與地面垂直的平面，此平面與地面的交線設(shè)為a，則地面內(nèi)任一與交線a垂直的直線都與直尺所在的直線垂直．3．如圖所示，過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線lA．1條 B．2條C．3條 D．4條[答案]D[解析]連接AC1，則AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等；過點(diǎn)A分別作正方體的另外三條體對角線的平行線，則它們與棱AB，AD，AA1所在的角也相等，故這樣的直線l可以作4條．4．設(shè)P是△ABC所在平面α外一點(diǎn)，H是P在α內(nèi)的射影，且PA，PB，PC與α所成的角相等，則H是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．垂心 D．重心[答案]B[解析]由題意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圓圓心．5．已知二面角α－l－β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．120°[答案]B[解析]易知m，n所成的角與二面角的大小相等，故選B.6．下面四個(gè)命題：①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1[答案]D[解析]異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯(cuò)；根據(jù)等角定理，可知③正確；對于④，在平面內(nèi)，a∥c，而在空間中，a與c可以平行，可以相交，也可以異面，故④錯(cuò)誤．7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點(diǎn)重合的動點(diǎn)，如果A1E＝B①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF與AC異面；④EF∥平面ABCD.其中一定正確的有()A．①② B．②③C．②④ D．①④[答案]D[解析]如圖所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，則EF⊥AA1，所以①正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時(shí)，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，則EF∥AC，所以③不正確；當(dāng)E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點(diǎn)時(shí)，EF與AC異面，所以②不正確；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D18．設(shè)a，b為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，下列命題中為真命題的是()A．若a，b與α所成的角相等，則a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b[答案]D[解析]選項(xiàng)A中，a，b還可能相交或異面，所以A是假命題；選項(xiàng)B中，a，b還可能相交或異面，所以B是假命題；選項(xiàng)C中，α，β還可能相交，所以C是假命題；選項(xiàng)D中，由于a⊥α，α⊥β，則a∥β或a?β，則β內(nèi)存在直線l∥a，又b⊥β，則b⊥l，所以a⊥b.9．(2022·大綱版數(shù)學(xué)(文科))已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，那么直線AE與D1A．－eq\f(4,5) \f(3,5)\f(3,4) D．－eq\f(3,5)[命題意圖]本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運(yùn)用．[答案]D[解析]首先根據(jù)已知條件，連接DF，然后則∠DFD1即為異面直線所成的角，設(shè)邊長為2，則可以求解得到eq\r(5)＝DF＝D1F，DD1＝2，結(jié)合余弦定理得到結(jié)論．10．如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B，B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心，從K，H，G，B′中取一點(diǎn)作為P，使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則點(diǎn)P為()A．K B．HC．G D．B′[答案]C[解析]應(yīng)用驗(yàn)證法：選G點(diǎn)為P時(shí)，EF∥A′B′且EF∥AB，此時(shí)恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故選C.11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案]D[解析]由平面圖形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.12．(2022·全國卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1\f(2,3) \f(\r(3),3)\f(\r(2),3) \f(1,3)[答案]A[解析]如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O，過C作CH⊥C1O于點(diǎn)H，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BD⊥AC,AA1⊥BD,AC∩AA1＝A))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BD⊥面ACC1A1,CH?面ACC1A1))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BD⊥HC,OC1⊥HC,BD∩OC1＝0))?CH⊥面BDC1，∴∠HDC為CD與面BDC1所成的角，設(shè)AA1＝2AB＝2，OC＝eq\f(\r(2),2)，CC1＝2，OC1＝eq\f(3\r(2),2)，CH＝eq\f(OC·CC1,OG)＝eq\f(2,3)，∴sin∠HDC＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3)，故選A.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)13．直線l與平面α所成角為30°，l∩α＝A，m?α，A?m，則m與l所成角的取值范圍是________．[答案][30°，90°][解析]直線l與平面α所成的30°的角為m與l所成角的最小值，當(dāng)m在α內(nèi)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)就可以得到l⊥m，即m與l所成角的最大值為90°.14．正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C[答案]45°[解析]如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，則∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，則∠C1BC15．設(shè)平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________.[答案]9[解析]如下圖所示，連接AC，BD，則直線AB，CD確定一個(gè)平面ACBD.∵α∥β，∴AC∥BD，則eq\f(AS,SB)＝eq\f(CS,SD)，∴eq\f(8,6)＝eq\f(12,SD)，解得SD＝9.16．(2022·高考安徽卷)如圖正方體ABCD－A1B1C1D1，棱長為1，P為BC中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動點(diǎn)，過A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S①當(dāng)0<CQ<eq\f(1,2)時(shí)，S為四邊形②當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時(shí)，S為等腰梯形③當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)時(shí)，S與C1D1交點(diǎn)R滿足C1R1＝eq\f(1,3)④當(dāng)eq\f(3,4)<CQ<1時(shí)，S為六邊形⑤當(dāng)CQ＝1時(shí)，S的面積為eq\f(\r(6),2).[答案]①②③⑤[解析]設(shè)截面與DD1相交于T，則AT∥PQ，且AT＝2PQ?DT＝2CQ.對于①，當(dāng)0<CQ<eq\f(1,2)時(shí)，則0<DT<1，所以截面S為四邊形，且S為梯形，所以為真．對于②，當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時(shí)，DT＝1，T與D重合，截面S為四邊形APQO1，所以AP＝D1Q，截面為等腰梯形，所以為真．對于③，當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)，QC1＝eq\f(1,4)，DT＝2，D1T＝eq\f(1,2)，利用三角形相似解得，C1R1＝eq\f(1,3)，所以為真．對于④，當(dāng)eq\f(3,4)<CQ<1時(shí)，eq\f(3,2)<DT<2，截面S與線段A1D1，D1C1相交，所以四邊形S為五邊形，所以為假．對于⑤，當(dāng)CQ＝1時(shí)，Q與C1重合，截面S與線段A1D1相交于中點(diǎn)G，即即為菱形APC1G，對角線長度為eq\r(2)和eq\r(3)，S的面積為eq\f(\r(6),2)，所以為真，綜上，選①②③⑤.三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如右圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC與△A1B1C1都為正三角形且AA1⊥面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A[分析]本題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件．[證明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1∵F、F1分別是AC、A1C1∴B1F1∥BF，AF1∥C1又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝∴平面AB1F1∥平面C1BF(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB∴平面AB1F1⊥平面ACC1A18．(本小題滿分12分)如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點(diǎn)．(1)證明：CD⊥平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)如下圖所示，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中點(diǎn)，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由題意，知∠PBA＝∠BPF，因?yàn)閟in∠PBA＝eq\f(PA,PB)，sin∠BPF＝eq\f(BF,PB)，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝eq\r(AB2＋AG2)＝2eq\r(5)，BF＝eq\f(AB2,BG)＝eq\f(16,2\r(5))＝eq\f(8\r(5),5).于是PA＝BF＝eq\f(8\r(5),5).又梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)×(5＋3)×4＝16，所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝eq\f(1,3)×S×PA＝eq\f(1,3)×16×eq\f(8\r(5),5)＝eq\f(128\r(5),15).19．(本小題滿分12分)如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M為BC的中點(diǎn)．(1)證明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大?。甗解析](1)證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，EA，∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝eq\r(3).∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四邊形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形，由勾股定理可求得EM＝eq\r(3)，AM＝eq\r(6)，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝eq\f(PE,EM)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小為45°.20．(本小題滿分12分)如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.[解析](1)設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，如圖，則由BC＝CD知，CO⊥BD，又已知CE⊥BD，所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線，所以BE＝DE.(2)取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴MN∥BE，∵△ABD是等邊三角形，∴DN⊥AB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.21．(本小題滿分12分)如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1(2)設(shè)D是A1C