中學數(shù)學教學中“數(shù)形結(jié)合”思想的運用及實施

中學數(shù)學教學中“數(shù)形結(jié)合”思想的運用及實施（恩格斯語“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河“數(shù)”“形”結(jié)合是推動數(shù)學發(fā)展的動力（1）“數(shù)”產(chǎn)生于各種“形”的計算,“數(shù)”又借助于“形”得以記錄、使用、計算。解決“形”的問題可使用“數(shù)”作為工具，而“數(shù)”的關(guān)系可以用“形”來證明。關(guān)于距離、關(guān)于線段定比分點等等?！敖馕鰩缀巍边@個名詞本身就意味著“解析方法”與“幾何方法”的結(jié)合，而正是這種結(jié)合開創(chuàng)了數(shù)學的新局面。(2)對“形”的相互關(guān)系的比較、度量，促進了“數(shù)”的概念的發(fā)展，豐富了計算方法。2典型例子是無理數(shù) 的發(fā)現(xiàn)：正方形的邊長與其對角線的長度之間不存在公度線段即不2存在一條線段a,用它去量一個正方形的邊長及其對角線的長都正好得到整數(shù)倍，由此導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。一些代數(shù)恒等式也可由幾何方法給出證明，例如，利用下圖，可以導(dǎo)出代數(shù)恒等式(ab)2a22abb2數(shù)形結(jié)合在教學中的運用在《有理數(shù)》一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結(jié)合在一起的內(nèi)容。這樣，在討論相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的幾何意義時,形象易記。下面具體分析一下。零的相反數(shù)是它本身即原點。如圖：絕對值在數(shù)軸上,一個數(shù)的絕對值表示這個數(shù)的點離開原點的距離。在下圖中，A點到原點的距離比B點到原點的距離大。倒數(shù)在數(shù)軸上表示a10、+1、-1作為分界點，然后再作討論。觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征。例如，利用數(shù)軸可以比較a的相反數(shù)是a、負數(shù)。幾何形象的描述及其對我們理解應(yīng)用的幫助。更好地解決問題。在中學數(shù)學教學中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學原則。數(shù)形結(jié)合在解題中的運用（1）“數(shù)”中思“形”例1. 如果實數(shù)x,y滿足等式(x2)2y2

3，那么y的最大值是什么？3 x3 A(xy在圓(x2)2y2

3上，圓心為C(2,0)

。如圖，則y是點A與原點連線的斜率。當OA與⊙C相切，且切點A落在3x3第一象限時，kOA

y有最大值，即3x3

有最大值因為CA =y

，OC2，所以O(shè)A

=1，所以()222232

max

=tanAOC = 。2.解不等式：

x12x5解:設(shè) ，即2x5的曲線是以A(5,0)為頂點，開口向右的拋物線的上半支。而函2yx1線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是{x|5x2}。2“形”中覓“數(shù)”例3.求方程lgxsinx0的解的個數(shù)。分析：此方程解的個數(shù)為ylgx的圖象與ysinx的圖象的交點個數(shù)。因為sinx1,lgx1所以ox10在平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個交點。例4.已知直線 和雙曲線 有且僅有一個公共點，求k的同取值個數(shù)。分析作出雙曲線 的圖象并注意到直線是過定（ 的直線系雙曲線的漸近線方程為 。所以過（ ）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點此時k取兩個不同值此外（ 點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點此時k取兩個不同的值，故k有四個不同取值。例5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足arg(zi)=2π 求 1

的最大值。3 |z6||z|解：要求 1 的最大值，即求|z6||z|的最小值，由復(fù)數(shù)模的幾何|z6||z3i|zA(6,0)B(0,3)離和的最小值。如圖∵z滿足arg(zi)=2π35∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點z的軌跡是以(0,1)為端5622的射線。由圖可知，|ZAZB|最小值為|62351 153 5 的最大值是 = 。3 5

3 ,故|z6||z| 15在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價原則；數(shù)形互補原則；求解簡單原則。當然在教學滲透數(shù)形結(jié)合的思想時，應(yīng)指導(dǎo)學生掌握以下幾點：善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系。正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。切實把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性，以性識圖。多媒體技術(shù)為數(shù)形結(jié)合的實施架設(shè)了橋梁題，提高創(chuàng)新能力。量關(guān)系的變化（哪怕是微小的變化）直觀地顯示出來，數(shù)與形的變化同時進行，數(shù)形結(jié)合，為數(shù)學的學習提供了絕好的試驗工具，這在傳統(tǒng)數(shù)學教學中根本無法辦到機內(nèi)裝有顯示一般正弦函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的應(yīng)用軟件（操作界面見圖2。啟動該軟件后，學生可用鼠標任意改變畫面中的點JF、ω、φ的值，使圖象產(chǎn)生相應(yīng)的變化。學生手、眼、腦并用，通過考察函數(shù)式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)中三個參Aωφ下面是一例發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)接矩形的面積變化規(guī)律的“數(shù)學實3，在△ABCEOBE為頂點作△ABC的內(nèi)接矩形EFGH，使矩形的一邊EHOB