高中數(shù)學第三章三角恒等變換32簡單的三角恒等變換學案(含解析)-5122

學必求其心得，業(yè)必貴于專精3．2簡單的三角恒等變換［導入新知］半角公式［化解疑難］對半角公式的理解（1)半角公式的正弦、余弦公式實際上是由二倍角公式變形獲取的．(2)半角公式給出了求α的正弦、余弦、正切的另一種方式，即只需知道cosα的值及2相應α的條件，sin錯誤!，cos錯誤!,tan錯誤!即可求出．3)由于tan錯誤!＝錯誤!及tan錯誤!＝錯誤!不含被開方數(shù)，且不涉及符號問題，因此求解題目時，使用相對方便，但需要注意該公式成立的條件．(4)涉及函數(shù)的起落冪及角的二倍關(guān)系的題目時,常用sin2錯誤!＝錯誤!，cos2錯誤!＝錯誤!。求值問題[例1］已知sinα＝－錯誤!，π<α〈錯誤!,求sin錯誤!，cos錯誤!，tan錯誤!的值．[解］∵π<α〈錯誤!，sinα＝－錯誤!，cosα＝－錯誤!，且錯誤!<錯誤!〈錯誤!,sin錯誤!＝錯誤!＝錯誤!，cos錯誤!＝－錯誤!＝－錯誤!，tan錯誤!＝錯誤!＝－2。-1-學必求其心得，業(yè)必貴于專精[類題通法］已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為：先化簡已知或所求式子；(2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角下手)；將已知條件代入所求式子，化簡求值．［活學活用］已知sin錯誤!－cos錯誤!＝－錯誤!，450°〈α<540°，求tan錯誤!的值．答案:2三角函數(shù)式的化簡[例2］化簡：錯誤!（180°〈α<360°)．[解]原式＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.α又∵180°<α<360°，∴90°〈2〈180°，∴cos錯誤!〈0,∴原式＝錯誤!＝cosα.［類題通法］化簡問題中的“三變"（1）變角：三角變換時平時先搜尋式子中各角之間的聯(lián)系,經(jīng)過拆角、湊角等手段除掉角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量一致函數(shù)的名稱，如一致為弦或一致為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇合適的變形路子，如升冪、降冪、配方、開方等．［活學活用]化簡：1）錯誤!－錯誤!錯誤!；2)錯誤!－2cos(α＋β）．答案:（1)－2sin錯誤!(2)錯誤!三角恒等式的證明[例3]證明：（1)sinθ(1＋cos2θ)＝sin2θcosθ；-2-學必求其心得，業(yè)必貴于專精tanα＋tanβ（2）tanα－tanβ＝錯誤!.［證明］（1）左邊＝sinθ·2cos2θ＝（2sinθcosθ）·cosθ＝sin2θcosθ＝右邊．∴原等式成立．sinαcosβ＋cosαsinβ(2）右邊＝sinαcosβ－cosαsinβ，分子、分母同除以cosαcosβ，得右邊＝錯誤!＝左邊．∴原等式成立．［類題通法]盤點三角恒等式證明的常用方法(1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；（2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；（3）湊合法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以除掉它們之間的差異,簡言之，化異求同；比較法：想法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）解析法：從被證明的等式出發(fā)，漸漸地研究使等式成立的條件,直到已知條件或明顯的事實為止，就可以判斷原等式成立．［活學活用]求證：錯誤!＝錯誤!.證明：左邊＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝右邊．∴原等式成立．三角恒等變換的實質(zhì)應用[典例］（12分)如圖，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是半徑為90m的扇形小山，其他部分都是平川．一開發(fā)商想在平川上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂-3-學必求其心得，業(yè)必貴于專精點P在ST上，相鄰兩邊CQ，CR正好落在正方形的邊BC,CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值．［解題流程］［規(guī)范解答］如圖，連接AP，設(shè)∠PAB＝θ錯誤!,延長RP交AB于M，則AM＝90cosθ，MP＝90sinθ。（2分)因此PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.(4分)因此S矩形PQCR＝PQ·PR(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ）＋8100sinθcos.(7分)令t＝sinθ＋cosθ（1≤t≤錯誤!），則sinθcosθ＝錯誤!，（8分）因此S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·錯誤!＝錯誤!錯誤!2＋950。（10分）故當t＝錯誤!時，S矩形PQCR有最小值950m2;

［名師標明]矩形PQCR的面積取決于P點地址,而P點的地址取決于θ的大小，因此應試慮利用θ表示PQ，PR的大小,關(guān)于AM及PM的值可實現(xiàn)此轉(zhuǎn)變.在解題過程中常發(fā)生不知如何作輔助線進行轉(zhuǎn)變，以致無法后續(xù)解題的情況.采用換元法實現(xiàn)了sinθ＋cosθ與sinθcosθ間的轉(zhuǎn)變，從而將問題轉(zhuǎn)變成熟知的一元二次函數(shù)，但要注意換元后的定義域．此處易忽視t的取值范圍而以致答案錯誤.當t＝2時，S矩形PQCR有最大值(14050－9000錯誤!）m2.(12分）-4-學必求其心得，業(yè)必貴于專精[活學活用］有一塊以O(shè)為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地,使其一邊AD落在圓的直徑上，別的兩點B，C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關(guān)于點O對稱的點，的地址，可以使矩形的面積最大？ADABCD解:以下列圖，設(shè)∠AOB＝θ錯誤!，則AB＝asinθ，OA＝acosθ。設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝2OA·AB，即＝2cosθ·sinθ＝a2·2sinθcosθ＝2sin2θ。Saaa∵θ∈錯誤!，∴2θ∈（0,π），當2θ＝錯誤!，即θ＝錯誤!時，Smax＝a2，此時,A，D距離O點都為錯誤!a時，矩形ABCD的面積最大．[隨堂即時演練］1．已知cosθ＝－錯誤!，錯誤!＜θ＜3π，那么sin錯誤!等于（)A。錯誤!B．－錯誤!C.錯誤!D．－錯誤!答案：D2．化簡2＋cos2－sin21的結(jié)果是（)A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1答案：C3．設(shè)5π〈θ<6π，cos錯誤!＝a，那么sin錯誤!等于________．答案：－錯誤!4．已知α是第三象限角,且sinα＝－錯誤!，則tan錯誤!＝________。答案：－錯誤!5．求錯誤!－sin10°錯誤!的值．答案：錯誤!［課時達標檢測]一、選擇題-5-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．cos2錯誤!－錯誤!的值為(）A．1B。錯誤!C。錯誤!D.錯誤!答案:D2．已知sin錯誤!＝錯誤!，則sin2x的值為（)A.錯誤!B。錯誤!C.錯誤!D。錯誤!答案：D3．設(shè)a＝錯誤!cos6°－錯誤!sin6°，b＝錯誤!，c＝錯誤!，則有( )A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<bD．b<c<a答案：C4．化簡錯誤!2＋2sin2錯誤!得(）A．2＋sinαB．2＋2sin錯誤!C．2D．2＋錯誤!sin錯誤!答案：C5．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin(ωx＋φ)＋cos（ωx＋φ）錯誤!的最小正周期為π，且f(－x)＝f（x)，則(）A．f(x）在錯誤!上單調(diào)遞減B．f（x)在錯誤!上單調(diào)遞減C．f（x）在錯誤!上單調(diào)遞加D．f(x）在錯誤!上單調(diào)遞加答案：A二、填空題6．若cos2θ＋cosθ＝0，則sin2θ＋sinθ＝________.答案：0或±37．等腰三角形的頂角的正弦值為錯誤!，則它的底角的余弦值為________．答案:錯誤!或錯誤!8．在△ABC中，若cosA＝錯誤!，則sin2錯誤!＋cos2A等于________．答案：－錯誤!三、解答題9．若π〈α<錯誤!，化簡錯誤!＋錯誤!.解：∵π<α<錯誤!，∴錯誤!〈錯誤!<錯誤!,∴cos錯誤!〈0，sin錯誤!>0。-6-學必求其心得，業(yè)必貴于專精∴原式＝錯誤!＋錯誤!＝錯誤!＋錯誤!＝－錯誤!＋錯誤!＝－錯誤!cos錯誤!。10．點P在直徑AB＝1的半圓上搬動，過P作圓的切線PT且PT＝1，∠PAB＝α，問α為何值時，四邊形ABTP面積最大?解：以下列圖，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°,AB＝1，PA＝cosα,PB＝sinα.又PT切圓于P點，∠TPB＝∠PAB＝α,∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝錯誤!PA·PB＋錯誤!PT·PB·sinα＝錯誤!sinαcosα＋錯誤!sin2α＝錯誤!sin2α＋錯誤!(1－cos2α)＝錯誤!（sin2α－cos2α)＋錯誤!＝錯誤!sin(2α－錯誤!)＋錯誤!.∵0〈α〈錯誤!，－錯誤!<2α－錯誤!<錯誤!π,∴當2α－錯誤!＝錯誤!，即α＝錯誤!π時，S四邊形ABTP最大．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋2錯誤!sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱．其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈錯誤!。求函數(shù)f(x）的最小正周期；2）若y＝f(x）的圖象經(jīng)過點錯誤!，求函數(shù)f(x）的值域．解：(1）由于f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ2sin錯誤!＋λ.由直線x＝π是y＝f（x）圖象的一條對稱軸，-7-學必求其心得，業(yè)必貴于專精可得sin錯誤!＝±1.因此2ωπ－錯誤!＝kπ＋錯誤!(k∈Z），即ω＝錯誤!＋錯誤!(k∈Z)．又ω∈錯誤!，k∈Z,因此k＝1,故ω＝錯誤!。因此f(x）的最小正周期是錯誤!.2)由