高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換32簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)案(含解析)-5122

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3．2簡(jiǎn)單的三角恒等變換［導(dǎo)入新知］半角公式［化解疑難］對(duì)半角公式的理解（1)半角公式的正弦、余弦公式實(shí)際上是由二倍角公式變形獲取的．(2)半角公式給出了求α的正弦、余弦、正切的另一種方式，即只需知道cosα的值及2相應(yīng)α的條件，sin錯(cuò)誤!，cos錯(cuò)誤!,tan錯(cuò)誤!即可求出．3)由于tan錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!及tan錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!不含被開(kāi)方數(shù)，且不涉及符號(hào)問(wèn)題，因此求解題目時(shí)，使用相對(duì)方便，但需要注意該公式成立的條件．(4)涉及函數(shù)的起落冪及角的二倍關(guān)系的題目時(shí),常用sin2錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，cos2錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!。求值問(wèn)題[例1］已知sinα＝－錯(cuò)誤!，π<α〈錯(cuò)誤!,求sin錯(cuò)誤!，cos錯(cuò)誤!，tan錯(cuò)誤!的值．[解］∵π<α〈錯(cuò)誤!，sinα＝－錯(cuò)誤!，cosα＝－錯(cuò)誤!，且錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!,sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，cos錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，tan錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝－2。-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精[類(lèi)題通法］已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為：先化簡(jiǎn)已知或所求式子；(2）觀(guān)察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角下手)；將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．［活學(xué)活用］已知sin錯(cuò)誤!－cos錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，450°〈α<540°，求tan錯(cuò)誤!的值．答案:2三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)[例2］化簡(jiǎn)：錯(cuò)誤!（180°〈α<360°)．[解]原式＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.α又∵180°<α<360°，∴90°〈2〈180°，∴cos錯(cuò)誤!〈0,∴原式＝錯(cuò)誤!＝cosα.［類(lèi)題通法］化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變"（1）變角：三角變換時(shí)平時(shí)先搜尋式子中各角之間的聯(lián)系,經(jīng)過(guò)拆角、湊角等手段除掉角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．變名：觀(guān)察三角函數(shù)種類(lèi)的差異，盡量一致函數(shù)的名稱(chēng)，如一致為弦或一致為切．（3）變式：觀(guān)察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇合適的變形路子，如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等．［活學(xué)活用]化簡(jiǎn)：1）錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!；2)錯(cuò)誤!－2cos(α＋β）．答案:（1)－2sin錯(cuò)誤!(2)錯(cuò)誤!三角恒等式的證明[例3]證明：（1)sinθ(1＋cos2θ)＝sin2θcosθ；-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精tanα＋tanβ（2）tanα－tanβ＝錯(cuò)誤!.［證明］（1）左邊＝sinθ·2cos2θ＝（2sinθcosθ）·cosθ＝sin2θcosθ＝右邊．∴原等式成立．sinαcosβ＋cosαsinβ(2）右邊＝sinαcosβ－cosαsinβ，分子、分母同除以cosαcosβ，得右邊＝錯(cuò)誤!＝左邊．∴原等式成立．［類(lèi)題通法]盤(pán)點(diǎn)三角恒等式證明的常用方法(1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡(jiǎn)；（2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；（3）湊合法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以除掉它們之間的差異,簡(jiǎn)言之，化異求同；比較法：想法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）解析法：從被證明的等式出發(fā)，漸漸地研究使等式成立的條件,直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以判斷原等式成立．［活學(xué)活用]求證：錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!.證明：左邊＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝右邊．∴原等式成立．三角恒等變換的實(shí)質(zhì)應(yīng)用[典例］（12分)如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100m的正方形地皮，其中AST是半徑為90m的扇形小山，其他部分都是平川．一開(kāi)發(fā)商想在平川上建一個(gè)矩形停車(chē)場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精點(diǎn)P在ST上，相鄰兩邊CQ，CR正好落在正方形的邊BC,CD上，求矩形停車(chē)場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值．［解題流程］［規(guī)范解答］如圖，連接AP，設(shè)∠PAB＝θ錯(cuò)誤!,延長(zhǎng)RP交AB于M，則AM＝90cosθ，MP＝90sinθ。（2分)因此PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.(4分)因此S矩形PQCR＝PQ·PR(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ）＋8100sinθcos.(7分)令t＝sinθ＋cosθ（1≤t≤錯(cuò)誤!），則sinθcosθ＝錯(cuò)誤!，（8分）因此S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2＋950。（10分）故當(dāng)t＝錯(cuò)誤!時(shí)，S矩形PQCR有最小值950m2;

［名師標(biāo)明]矩形PQCR的面積取決于P點(diǎn)地址,而P點(diǎn)的地址取決于θ的大小，因此應(yīng)試慮利用θ表示PQ，PR的大小,關(guān)于A(yíng)M及PM的值可實(shí)現(xiàn)此轉(zhuǎn)變.在解題過(guò)程中常發(fā)生不知如何作輔助線(xiàn)進(jìn)行轉(zhuǎn)變，以致無(wú)法后續(xù)解題的情況.采用換元法實(shí)現(xiàn)了sinθ＋cosθ與sinθcosθ間的轉(zhuǎn)變，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)變成熟知的一元二次函數(shù)，但要注意換元后的定義域．此處易忽視t的取值范圍而以致答案錯(cuò)誤.當(dāng)t＝2時(shí)，S矩形PQCR有最大值(14050－9000錯(cuò)誤!）m2.(12分）-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精[活學(xué)活用］有一塊以O(shè)為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD開(kāi)辟為綠地,使其一邊AD落在圓的直徑上，別的兩點(diǎn)B，C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長(zhǎng)為a，如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，的地址，可以使矩形的面積最大？ADABCD解:以下列圖，設(shè)∠AOB＝θ錯(cuò)誤!，則AB＝asinθ，OA＝acosθ。設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝2OA·AB，即＝2cosθ·sinθ＝a2·2sinθcosθ＝2sin2θ。Saaa∵θ∈錯(cuò)誤!，∴2θ∈（0,π），當(dāng)2θ＝錯(cuò)誤!，即θ＝錯(cuò)誤!時(shí)，Smax＝a2，此時(shí),A，D距離O點(diǎn)都為錯(cuò)誤!a時(shí)，矩形ABCD的面積最大．[隨堂即時(shí)演練］1．已知cosθ＝－錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!＜θ＜3π，那么sin錯(cuò)誤!等于（)A。錯(cuò)誤!B．－錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D．－錯(cuò)誤!答案：D2．化簡(jiǎn)2＋cos2－sin21的結(jié)果是（)A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1答案：C3．設(shè)5π〈θ<6π，cos錯(cuò)誤!＝a，那么sin錯(cuò)誤!等于________．答案：－錯(cuò)誤!4．已知α是第三象限角,且sinα＝－錯(cuò)誤!，則tan錯(cuò)誤!＝________。答案：－錯(cuò)誤!5．求錯(cuò)誤!－sin10°錯(cuò)誤!的值．答案：錯(cuò)誤!［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1．cos2錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!的值為(）A．1B。錯(cuò)誤!C。錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤!答案:D2．已知sin錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，則sin2x的值為（)A.錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!答案：D3．設(shè)a＝錯(cuò)誤!cos6°－錯(cuò)誤!sin6°，b＝錯(cuò)誤!，c＝錯(cuò)誤!，則有( )A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<bD．b<c<a答案：C4．化簡(jiǎn)錯(cuò)誤!2＋2sin2錯(cuò)誤!得(）A．2＋sinαB．2＋2sin錯(cuò)誤!C．2D．2＋錯(cuò)誤!sin錯(cuò)誤!答案：C5．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin(ωx＋φ)＋cos（ωx＋φ）錯(cuò)誤!的最小正周期為π，且f(－x)＝f（x)，則(）A．f(x）在錯(cuò)誤!上單調(diào)遞減B．f（x)在錯(cuò)誤!上單調(diào)遞減C．f（x）在錯(cuò)誤!上單調(diào)遞加D．f(x）在錯(cuò)誤!上單調(diào)遞加答案：A二、填空題6．若cos2θ＋cosθ＝0，則sin2θ＋sinθ＝________.答案：0或±37．等腰三角形的頂角的正弦值為錯(cuò)誤!，則它的底角的余弦值為_(kāi)_______．答案:錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤!8．在△ABC中，若cosA＝錯(cuò)誤!，則sin2錯(cuò)誤!＋cos2A等于________．答案：－錯(cuò)誤!三、解答題9．若π〈α<錯(cuò)誤!，化簡(jiǎn)錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!.解：∵π<α<錯(cuò)誤!，∴錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!,∴cos錯(cuò)誤!〈0，sin錯(cuò)誤!>0。-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精∴原式＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!cos錯(cuò)誤!。10．點(diǎn)P在直徑AB＝1的半圓上搬動(dòng)，過(guò)P作圓的切線(xiàn)PT且PT＝1，∠PAB＝α，問(wèn)α為何值時(shí)，四邊形ABTP面積最大?解：以下列圖，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°,AB＝1，PA＝cosα,PB＝sinα.又PT切圓于P點(diǎn)，∠TPB＝∠PAB＝α,∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝錯(cuò)誤!PA·PB＋錯(cuò)誤!PT·PB·sinα＝錯(cuò)誤!sinαcosα＋錯(cuò)誤!sin2α＝錯(cuò)誤!sin2α＋錯(cuò)誤!(1－cos2α)＝錯(cuò)誤!（sin2α－cos2α)＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!sin(2α－錯(cuò)誤!)＋錯(cuò)誤!.∵0〈α〈錯(cuò)誤!，－錯(cuò)誤!<2α－錯(cuò)誤!<錯(cuò)誤!π,∴當(dāng)2α－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，即α＝錯(cuò)誤!π時(shí)，S四邊形ABTP最大．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋2錯(cuò)誤!sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝π對(duì)稱(chēng)．其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈錯(cuò)誤!。求函數(shù)f(x）的最小正周期；2）若y＝f(x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)錯(cuò)誤!，求函數(shù)f(x）的值域．解：(1）由于f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ2sin錯(cuò)誤!＋λ.由直線(xiàn)x＝π是y＝f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精可得sin錯(cuò)誤!＝±1.因此2ωπ－錯(cuò)誤!＝kπ＋錯(cuò)誤!(k∈Z），即ω＝錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!(k∈Z)．又ω∈錯(cuò)誤!，k∈Z,因此k＝1,故ω＝錯(cuò)誤!。因此f(x）的最小正周期是錯(cuò)誤!.2)由