數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析專題06 三角不等式

全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題06三角不等式------[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在舊教材中對(duì)于復(fù)數(shù)的幾何意義涉及不多．而新教材將復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)安排在了向量及三角函數(shù)之后，使復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)與向量及三角函數(shù)進(jìn)行了融合，提升了復(fù)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值．1．復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義z1，z2，z3∈C，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相對(duì)應(yīng)，且，不共線加法減法運(yùn)算法則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)iz1－z2＝(a－c)＋(b－d)i幾何意義復(fù)數(shù)的和z1＋z2與向量＋＝的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的差z1－z2與向量－＝的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)2．復(fù)數(shù)三角不等式若是復(fù)數(shù)，則．注：當(dāng)為實(shí)數(shù)或向量時(shí)，結(jié)論也成立．推論1：推論2：如果是實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．[新增內(nèi)容的考查分析]1．運(yùn)用三角不等式求最值(由三角不等式，借助其幾何意義及性質(zhì)，可消減變量從而求出最值．)【考法示例1】若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，則|a+b|的最大值是，最小值是．5；1因?yàn)閨a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5．【考法示例2】函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值分別是（）A.1，B.3，0C.3，D.2，C利用三角不等式，求得函數(shù)的最小值，并求得對(duì)應(yīng)的值．依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選C．2．應(yīng)用三角不等式求參數(shù)（關(guān)鍵是能夠運(yùn)用三角不等式求得函數(shù)的最值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問(wèn)題．）【考法示例3】如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______．利用三角不等式可求得，根據(jù)不等式解集不為空集可得根式不等式，根據(jù)根式不等式的求法可求得結(jié)果．由三角不等式得：，即．原不等式解集不是空集，，即當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：的取值范圍為．【考法示例4】若存在(其中)使得不等式成立，則的取值范圍是__________．先利用絕對(duì)值三角不等式求出的最大值為3，從而得，進(jìn)而可求出的取值范圍，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，所以右式最大值為3，從而，解得．故的取值范圍為，或者．[新增內(nèi)容的針對(duì)訓(xùn)練]1.取等號(hào)的條件是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：利用絕對(duì)值不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即可求得答案.詳解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C.點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式，考查絕對(duì)值不等式取等號(hào)的條件，屬于中檔題.2.已知x∈R，y∈R，則|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式及充分條件和必要條件進(jìn)行判斷．【詳解】若|x|＜1，|y|＜1，則當(dāng)(x＋y)(x－y)≥0時(shí)，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；當(dāng)(x＋y)(x－y)＜0時(shí)，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＝－(x－y)|＝2|y|＜2.若|x＋y|＋|x－y|＜2，則2|x|＝|(x＋y)＋(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|x|＜1；2|y|＝|(x＋y)－(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|y|＜1.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.關(guān)于的不等式的解集不為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】關(guān)于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＜4的解集不為??（|x﹣m|+|x+2|）min＜4，再根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出最小值，解不等式可得．【詳解】關(guān)于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＜4的解集不為??（|x﹣m|+|x+2|）min＜4，∵|x﹣m|+|x+2|≥|（x﹣m）﹣（x+2）|＝|m+2|，∴|m+2|＜4，解得﹣6＜m＜2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4.若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】或【解析】【分析】將絕對(duì)值不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用絕對(duì)值三角不等式即可求得關(guān)于的不等式即可.【詳解】．所以，解得或．故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及絕對(duì)值三角不等式的利用，屬中檔題.5.已知α，β是實(shí)數(shù)，給出三個(gè)論斷：①|(zhì)α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>，|β|>.以其中的兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題是________.【答案】①③?②【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷或舉反例說(shuō)明．【詳解】①，③成立時(shí)，則|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5，若①②成立，如，但③不成立，若②③成立，如，但①不成立．故答案為：①③?②．6.若不等式對(duì)任意使式子有意義的實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】首先求得的最大值max，然后解不等式．【詳解】．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴的最大值為4．下面解不等式，∵，∴，∴不等式為不等式，即，∴或，解得或或，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)．首先不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值．其次解絕對(duì)值不等式時(shí)，絕對(duì)值性質(zhì)等價(jià)于或中可以不討論的正負(fù)，直接用來(lái)解不等式，即不等式直接轉(zhuǎn)化為或，不需要按分類，大家可以從集合的分析．7.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【詳解】分析：（1）先根據(jù)絕對(duì)值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為．（2）等價(jià)于．而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于．由可得或，所以的取值范圍是．點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．8.已知和是任意非零實(shí)數(shù)．（）求的最小值．（）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）4；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得

,所以的最小值等于4；（2）由（1）轉(zhuǎn)化為有x的范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤