數(shù)學新教材解讀及考點剖析專題08 利用空間向量空間距離的求解

專題08利用空間向量空間距離的求解新教材新增內容背景分析:投影向量的幾何意義和代數(shù)表示，不僅為研究立體幾何的距離問題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法.在研究距離問題時，參考向量、它的投影向量、二者的差，構成直角三角形，這樣，利用勾股定理，結合空間向量的運算，距離問題也就迎刃而解.運用向量運算求解空間距離的原理的推導主要是培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，將空間距離的向量語言表述應用于立體幾何問題則培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng).通過對立體幾何問題的解決，使得學生首先會用表達式、并通過練習實現(xiàn)學生達到熟練掌握運算方法、技巧的能力.向量法求距離的公式距離問題圖示向量法的距離公式兩點間距離點到直線的距離兩平行直線之間的距離點到平面的距離在處理距離問題時，投影向量和勾股定理的使用是關鍵．新增內容的考查分析1求點點距離【考法示例1】1.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABCD是邊長為a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，則A1C的長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量運算可知，再利用平方后的數(shù)量積公式計算結果.【詳解】，所以A1C＝.故答案為：2.求點線距離【考法示例1】2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，先求夾角的余弦，再求點A到直線BE的距離.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B【點睛】本題主要考查點到線距離的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.【考法示例2】3.如圖所示，ABCD-EFGH為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內部且滿足，則P點到直線AB的距離為________．【答案】【解析】【分析】過P作PM⊥平面ABCD于M，過M作MN⊥AB于N，連接PN，則PN即為所求，由已知可得，即可求出.【詳解】解析：過P作PM⊥平面ABCD于M，過M作MN⊥AB于N，連接PN，則PN即為所求，如圖所示．因為，所以，所以.即P點到直線AB的距離為.故答案為：.【考法示例3】4.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】【詳解】點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值，當P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝＝.視頻3.求點面的距離【考法示例1】5.在棱長為的正方體中，是的中點，則點到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為空間直角坐標原點建立空間直角坐標系，通過點面距離公式，計算點到平面的距離.【詳解】以為空間直角坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系.由于是中點，故，且，設是平面的法向量，故，故可設，故到平面的距離.故選A.【點睛】本小題主要考查利用空間向量計算點到面的距離.計算過程中要先求得平面的法向量.屬于基礎題.【考法示例2】6.已知四邊形是邊長為4的正方形，分別是邊的中點，垂直于正方形所在平面，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，交于，交于，過作，垂足為，則問題轉化為求的長度，根據(jù)兩個直角三角形相似，對應邊成比例可解得結果.【詳解】如圖：連接，交于，交于，因為分別是邊的中點，所以，因為平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，因為平面，所以，又，，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作，垂足為，則平面，則為點到平面的距離，在直角三角形和直角三角形中，，所以，所以，所以，因為正方形的邊長為4，所以，，，所以.所以點到平面的距離為.故選：D【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面與平面垂直的判定與性質，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點到平面的距離，屬于中檔題.【考法示例3】7.如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點，試問在A1B上是否存在一點E，使得點A1到平面AED的距離為？【答案】存在點E且當點E為A1B的中點時，A1到平面AED的距離為.【解析】【分析】由題知可建立空間直角坐標系，利用向量法計算求出即可.【詳解】解：如圖以點C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，設＝λ，λ∈[0，1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，設為平面AED的法向量，則?取x＝1，則y＝，z＝2，即，由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，所以，存在點E且當點E為A1B的中點時，A1到平面AED的距離為.4.求線面距離【考法示例1】8.如圖在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點．（1）求點到直線的距離．（2）判斷直線與平面的位置關系；如果平行，求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）平行，．【解析】【分析】（1）首先如圖，建立空間直角坐標系，利用公式求點到直線的距離；（2）利用線面平行，轉化為點到平面的距離，求平面的法向量，結合向量公式，即可求得點到平面的距離.【詳解】解：以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(xiàn)(1，，1)，（1）取a＝，u＝，則，所以，點B到直線AC1的距離為．（2）因為，所以FC//EC1，所以FC//平面AEC1．所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設平面AEC1的法向量為，則所以所以取z＝1，則x＝1，y＝2．所以，是平面AEC1的一個法向量．又因為，所以點F到平面AEC1的距離為＝＝．即直線FC到平面AEC1的距離為．【總結】1.求直線到平面的距離、兩平行平面間的距離問題都可以轉化為求點到直線的距離問題，都等于向量在平面單位法向量方向上投影向量的長度，即2.用向量法解決距離問題的“三步曲”①建立空間直角坐標系，求有關向量坐標——將幾何問題轉化為向量問題；②使用距離的向量計算公式——向量的運算與求解；③得到所求距離——回到幾何圖形，得到結論．新增內容的針對訓練9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】【詳解】如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，設AD＝a，則D點坐標為(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，設平面B1CD的一個法向量為＝(x，y，z)．則?，令z＝－1，得＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個法向量為(0,1,0)，則由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.10.若O為坐標原點，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，則線段AB的中點P到點C的距離為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐標，再利用三角形減法法則求的坐標，再求||即得解.【詳解】由題意＝(＋)＝，＝－＝，||＝.故答案為D【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，考查向量的三角形法則和平行四邊形法則，考查向量的模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.11.在空間直角坐標系中，有一棱長為的正方體，則的中點E與AB的中點F之間的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的坐標，利用中點坐標公式，可以求出的坐標，利用空間兩點間的距離公式求出兩點間的距離.【詳解】由題易知，則.易知，∴.選B.【點睛】本題考查了空間兩點間的距離，考查了數(shù)學運算能力，正確求出點的坐標是解題的關鍵.12.長方體中，，，則點到直線的距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算，，再計算距離得到答案.【詳解】，，到直線的距離為.故選：A.【點睛】本題考查了利用空間向量計算距離，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.13.如圖，正方體的棱長為1，O是底面的中心，則O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，進而可知平面，進而根據(jù)求得．【詳解】解：過作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，易證平面，可求得．故選：A．14.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱、的中點，則點到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，找到平面的法向量，利用向量法求點到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，.

設平面的法向量為，則，即令，得.又，點到平面的距離，故選：.【點睛】本題用向量法求點到平面的距離，我們也可以用等體積法求點到平面的距離，當然也可以找到這個垂線段，然后放在直角三角形中去求.15.已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.

（1）求點D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離