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文檔簡介

第四講機械能第四講機械能1動能定理1,2,3,4,5,6機械能守恒7,8,9,10天體運動、引力勢能11,12,13,14,15動能定理1,2,3,4,5,6機械能守恒7,8,9,21。水桶中有深度為H的水,水桶的底部有半徑為r的圓孔,把孔塞拔掉后,圓孔處水流初速v是多少?1。水桶中有深度為H的水,水桶的底部有半徑為r的3解:研究厚度為△x的薄層水,設(shè)(同落體)由動能定理解:(同落體)由動能定理42。跳水運動員從高于水面H=10m的跳臺落下.假如運動員質(zhì)量為m=60kg.其體形可等效為長度L=1.0m,直徑d=0.30m的圓柱體,不計空氣阻力.運動員入水后,水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面,F(xiàn)的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖像如圖所示,該曲線可近似地看作為橢圓的一部分,該橢圓的長、短軸分別與坐標軸oy和oF重合.橢圓與y軸相交于y=h.與F軸相交于F=(5/2)mg處.了確保運動員的安全,試計算水的深度至少應(yīng)為多深?(水的密度ρ=1.0×l03kg/m3)y2。跳水運動員從高于水面H=10m的跳5解:設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài),入水后到達最深處時為末狀態(tài).初、末狀態(tài)動能都是零,整個過程中有三個力做功,重力做功為WG,水的浮力做功為Wf,水的阻力做功為WF,由動能定理可知(1)(2)(3)運動員從B運動到C時,水的浮力均勻增大,做的功為設(shè)水深為h,則BCD10mhLd解:設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài),入水后到達最深處時為末狀態(tài).初、6將(2)、(3)、(4)、(5)式代入(1)式,可解得從C到D,浮力做的功為(4)(5)水的阻力做功為圖中曲線下的面積將(2)、(3)、(4)、(5)式代入(1)式,可解得從C到73。如圖,繩長l,將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自由下落,求小球能獲得的最大的豎直速度3。如圖,繩長l,將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自8解1:求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值,請同學(xué)們考慮。解1:求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值,請同學(xué)們9解2:當時有極大值.解2:當時有極大值.104.軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪,其軸上系有繩子,在輪子所在的平面內(nèi)沿水平方向拉繩,輪子沿柵欄無跳動地滾動,柵欄由彼此間距為l的平行的水平細桿構(gòu)成,(l<<r)為使輪子以恒定的平均速度v運動,繩子的平均拉力T多大。4.軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪,其軸上系有繩子11解:平均速度是v,可認為圓柱在最高位置時速度為v。于是有: 故因為沒有跳動,故而碰撞為非彈性的,圓柱損失OB方向速度分量。故 由功能原理得:

解:平均速度是v,可認為圓柱在最高位置時速度為v。故因為沒有125.質(zhì)量為m的兩個重球A,B由長為l的輕質(zhì)桿連接,豎直于光滑水平面上,若在下端B球上作用一水平恒力F,使B端沿水平面移動距離S,求此時B端所受支承力與φ角的關(guān)系。5.質(zhì)量為m的兩個重球A,B由長為l的輕質(zhì)桿連接,豎13解:系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出:動能定理:沖量定理對B球:C解:系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出:動能定理:沖量定14在B參照系中分析A球:可解得:在B參照系中分析A球:可解得:156.雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下,后又在蓋著冰的水平地面上前進。設(shè)雪橇與冰之間的摩擦系數(shù)為μ。問:(1)雪橇在水平地面上能前進的距離S為多少?(2)若θ很小,則上述結(jié)果的近似值如何。6.雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下,后又在蓋著16(1)雪橇在斜坡上下滑時要求,雪橇才能滑下。研究雪橇從斜坡進入平面的過程:(因為Δt很短,所以忽略了重力的沖量)可解得若要,必須。(1)雪橇在斜坡上下滑時要求,17下面討論因而只要能夠滑下,必有,此時因而若則不能滑下下面討論因而只要能夠滑下,必有,此時因18(2)若θ很小,有因此要雪橇能滑下,必有μ、θ都為小量,可以進一步化簡為(2)若θ很小,有因此要雪橇能滑下,必有μ、θ都為小量,可以197。如圖裝置,m1,m2已知,用多大的力F豎直向下壓m1,才能在釋放后使m2離地?7。如圖裝置,m1,m2已知,用多大的力F豎20解:解:218.質(zhì)量為M,開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長度均為l且互通的三段光滑軌道,α=60°,轉(zhuǎn)彎處由光滑小圓弧連接。設(shè)在左側(cè)軌道上端有一質(zhì)量為m的光滑小球,于t=0時刻自靜止開始沿軌道自由下滑,求:小球從開始下滑直到最后重新返回左側(cè)出發(fā)點的總時間。8.質(zhì)量為M,開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長22解:取滑塊參照系,小球受到三個力:mg、N和maM,設(shè)小球相對M的加速度是ar,所以對m對M:由α=60o,可解得下到底端時,小球因轉(zhuǎn)彎和滑塊發(fā)生一個比較猛烈的作用,這過程中動量守恒.設(shè)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后小球和滑塊的速度分別為解:取滑塊參照系,小球受到三個力:mg、N和maM,23可求出相對速度水平段的時間:一個來回的總時間:可求出相對速度水平段的時間:一個來回的總時間:249.火車司機為容易啟動重載的列車,總是先倒一下,然后重新啟動?,F(xiàn)有機車,牽引力為F,后面有n-1節(jié)車廂,機車和車廂質(zhì)量都為m,每節(jié)車受的阻力為kmg。各節(jié)車掛鉤鎖留間距為d,當列車沿平直軌道啟動時,求第n-1節(jié)車廂被機車帶動時的速度。設(shè)F>nkmg。9.火車司機為容易啟動重載的列車,總是先倒一下,然后25解:機車啟動后經(jīng)d路程,有:令f=kmg得:車廂被帶動可視為完全非彈性碰撞,車廂1被帶動的速度記為v20,有:故于是 解:機車啟動后經(jīng)d路程,有:令f=kmg得:車廂被帶26以此類推,得:

故評析:倒車啟動的好處不言而喻,大家可以試一試若F=30kmg,那么倒車后可拉動多少車廂?(開動后阻力迅速減小)以此類推,得: 故評析:倒車啟動的好處不言而喻,大家可以試一2710.玩具列車由許多節(jié)車廂組成,它以恒定速度沿水平軌道行駛,進入“死圈”,列車全長為L,圈半徑為R,但L>2πR,問列車應(yīng)具有多大初速度,才能不讓任何一節(jié)車廂脫軌。10.玩具列車由許多節(jié)車廂組成,它以恒定速度沿水平軌道28(1)設(shè)列車的“線密度”為λ,則由機械能守恒有(2)不難判斷軌道頂部的車廂最容易脫離軌道.該車廂受力如圖所示,兩個T是兩邊其它車廂對它的拉力將代入,有(1)設(shè)列車的“線密度”為λ,則由機械能守恒有(2)不難判斷29(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說,移動一小段Δs,T做的功是T·Δs,效果是使Δs長的車廂升高2R高度,因而有可解得評析:本題有二個要點:(1)分析頂點,(2)虛功求力。(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說,移動一小段Δ3011.從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的方向發(fā)射一拋射體,忽略空氣阻力和地球轉(zhuǎn)動的影響,試問拋射體能上升多高?設(shè)地球半徑為R。11.從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的31解:第一宇宙速度,其機械能:所以以向任何方向都不可能飛離地球,只能以地心為焦點作橢圓運動,由開普勒第二定律:得:解:第一宇宙速度,其機械能:所以以向任何方向都不可能飛32代入上升高度上升高度代入上升高度上升高度3312.質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l,從靜止開始,由于萬有引力作用而相向運動,試求從開始運動直到相遇所需的時間。12.質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l,從靜止開34解:在宇宙空間參照系中研究m1,在m1參照系中研究m2由此可見,m2相對m1的運動等同于一個質(zhì)量為m1+m2的力心不動時的情況,可認為m2運動的直線軌跡是一個退化的橢圓(a=c,b=0),有2a=l.由開普勒第三定律有因為解:在宇宙空間參照系中研究m1,在m1參照系中研究m35,所以即評析:本題巧妙地利用了退化的思路,迂回解決了問題。,所以即評析:本題巧妙地利用了退化的思路,迂回解決3613.以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段時間后在離發(fā)射點不遠處返回地面,計算導(dǎo)彈在空中飛行的時間,地球半徑R=6400km。13.以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段37解:第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒:由上兩式可解得:因為是豎直向上拋射,所以b很小,橢圓退化為一根直線,即a=R(焦點在地心O點)。在物體拋射到返回地面的整個過程中,物體與地心O的連線掃過的面積為而面積速度(即單位時間里掃過的面積)因此解:第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒:由上兩式可解得:因為是38,14.某國發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)星,其軌道平面為赤道平面,容易理解,如圖,若衛(wèi)星取一橢圓軌道,那么它相對地心的角速度便不是定值,與地面上的參考點之間會發(fā)生相對運動,假設(shè)該國僅擁有經(jīng)度范圍為2°的赤道領(lǐng)空,那么發(fā)射者就必須將衛(wèi)星軌道的偏心率e限制在一個很小的范圍內(nèi),以保證衛(wèi)星不離開本國領(lǐng)空,設(shè)橢圓的半長軸為A,半短軸為B,則有,試確定e的最大可能值。,14.某國發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)39解:如圖所示,衛(wèi)星的角速度有時比地球快有時比地球慢,設(shè)衛(wèi)星在C和C'點時和地球角速度相同,都為ωc,那么在C和C'點右邊的軌道上衛(wèi)星的角速度都小于ωc.(1)在1位置有將C=eA代人,并用(1一e)n=1—ne的近似公式,可得,如果衛(wèi)星在C點時OC和地球上的OB重合,那么此后OA將追逐OC,直到衛(wèi)星到C’時OA和OC’重合.只要∠AOB=2o,便符合題意.2π解:如圖所示,衛(wèi)星的角速度有時比地球快有時比地球慢,40(2)由解析幾何的知識可知:從焦點到橢圓上橫坐標為x的點的距離r=A+ex。再用開普勒第三定律因為故ABC'C可看作矩形,圖中陰影部分面積衛(wèi)星從C經(jīng)過2到C'的時間,由上式可得(2)由解析幾何的知識可知:從焦點到橢圓上橫坐標為x的點的距41地球從OB和OC重合轉(zhuǎn)到OA和OC/重合的時間故而可以解得此值即e的最大值。地球從OB和OC重合轉(zhuǎn)到OA和OC/重合的時間故而可以解得此4215.從北極發(fā)射一導(dǎo)彈,落在赤道上(經(jīng)歷緯度90o)。求能量最省的發(fā)射速度。引力常數(shù)G=6.67×10-11m3/(kg·s2),地球半徑Re=6.4×106m,地球質(zhì)量Me=6.0×1024kg。忽略空氣阻力。15.從北極發(fā)射一導(dǎo)彈,落在赤道上(經(jīng)歷緯度43分析與解

如圖所示,圖中A點是北極發(fā)射點,B點為導(dǎo)彈落地點,在赤道上。導(dǎo)彈在地球外部空間的軌道是橢圓軌道的一部分。根據(jù)對稱性,橢圓長軸MN是直角的角平分線。導(dǎo)彈在地球引力場中按橢圓軌道運動,機械能為分析與解如圖所示,圖中A點是北極發(fā)射點,B點為導(dǎo)彈落地點44為使能量取最小值,應(yīng)取最小的半長軸值。設(shè)橢圓軌道的兩焦點在F1和F2處,其中F1必在地球中心。因北極發(fā)射點A在橢圓軌道上,依橢圓的性質(zhì),有關(guān)系其中,所以只有當取最小值時,α才是最小值。在MN上的F2滿足時,AF2即為最小值。由圖中可知,為使能量取最小值,應(yīng)取最小的半長軸值。設(shè)橢圓軌道的兩焦點45解得

所以能量最省的發(fā)射速度為

利用A點處機械能的表達式

解得所以能量最省的發(fā)射速度為利用A點處機械能的表達式46第四講機械能第四講機械能47動能定理1,2,3,4,5,6機械能守恒7,8,9,10天體運動、引力勢能11,12,13,14,15動能定理1,2,3,4,5,6機械能守恒7,8,9,481。水桶中有深度為H的水,水桶的底部有半徑為r的圓孔,把孔塞拔掉后,圓孔處水流初速v是多少?1。水桶中有深度為H的水,水桶的底部有半徑為r的49解:研究厚度為△x的薄層水,設(shè)(同落體)由動能定理解:(同落體)由動能定理502。跳水運動員從高于水面H=10m的跳臺落下.假如運動員質(zhì)量為m=60kg.其體形可等效為長度L=1.0m,直徑d=0.30m的圓柱體,不計空氣阻力.運動員入水后,水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面,F(xiàn)的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖像如圖所示,該曲線可近似地看作為橢圓的一部分,該橢圓的長、短軸分別與坐標軸oy和oF重合.橢圓與y軸相交于y=h.與F軸相交于F=(5/2)mg處.了確保運動員的安全,試計算水的深度至少應(yīng)為多深?(水的密度ρ=1.0×l03kg/m3)y2。跳水運動員從高于水面H=10m的跳51解:設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài),入水后到達最深處時為末狀態(tài).初、末狀態(tài)動能都是零,整個過程中有三個力做功,重力做功為WG,水的浮力做功為Wf,水的阻力做功為WF,由動能定理可知(1)(2)(3)運動員從B運動到C時,水的浮力均勻增大,做的功為設(shè)水深為h,則BCD10mhLd解:設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài),入水后到達最深處時為末狀態(tài).初、52將(2)、(3)、(4)、(5)式代入(1)式,可解得從C到D,浮力做的功為(4)(5)水的阻力做功為圖中曲線下的面積將(2)、(3)、(4)、(5)式代入(1)式,可解得從C到533。如圖,繩長l,將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自由下落,求小球能獲得的最大的豎直速度3。如圖,繩長l,將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自54解1:求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值,請同學(xué)們考慮。解1:求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值,請同學(xué)們55解2:當時有極大值.解2:當時有極大值.564.軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪,其軸上系有繩子,在輪子所在的平面內(nèi)沿水平方向拉繩,輪子沿柵欄無跳動地滾動,柵欄由彼此間距為l的平行的水平細桿構(gòu)成,(l<<r)為使輪子以恒定的平均速度v運動,繩子的平均拉力T多大。4.軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪,其軸上系有繩子57解:平均速度是v,可認為圓柱在最高位置時速度為v。于是有: 故因為沒有跳動,故而碰撞為非彈性的,圓柱損失OB方向速度分量。故 由功能原理得:

解:平均速度是v,可認為圓柱在最高位置時速度為v。故因為沒有585.質(zhì)量為m的兩個重球A,B由長為l的輕質(zhì)桿連接,豎直于光滑水平面上,若在下端B球上作用一水平恒力F,使B端沿水平面移動距離S,求此時B端所受支承力與φ角的關(guān)系。5.質(zhì)量為m的兩個重球A,B由長為l的輕質(zhì)桿連接,豎59解:系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出:動能定理:沖量定理對B球:C解:系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出:動能定理:沖量定60在B參照系中分析A球:可解得:在B參照系中分析A球:可解得:616.雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下,后又在蓋著冰的水平地面上前進。設(shè)雪橇與冰之間的摩擦系數(shù)為μ。問:(1)雪橇在水平地面上能前進的距離S為多少?(2)若θ很小,則上述結(jié)果的近似值如何。6.雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下,后又在蓋著62(1)雪橇在斜坡上下滑時要求,雪橇才能滑下。研究雪橇從斜坡進入平面的過程:(因為Δt很短,所以忽略了重力的沖量)可解得若要,必須。(1)雪橇在斜坡上下滑時要求,63下面討論因而只要能夠滑下,必有,此時因而若則不能滑下下面討論因而只要能夠滑下,必有,此時因64(2)若θ很小,有因此要雪橇能滑下,必有μ、θ都為小量,可以進一步化簡為(2)若θ很小,有因此要雪橇能滑下,必有μ、θ都為小量,可以657。如圖裝置,m1,m2已知,用多大的力F豎直向下壓m1,才能在釋放后使m2離地?7。如圖裝置,m1,m2已知,用多大的力F豎66解:解:678.質(zhì)量為M,開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長度均為l且互通的三段光滑軌道,α=60°,轉(zhuǎn)彎處由光滑小圓弧連接。設(shè)在左側(cè)軌道上端有一質(zhì)量為m的光滑小球,于t=0時刻自靜止開始沿軌道自由下滑,求:小球從開始下滑直到最后重新返回左側(cè)出發(fā)點的總時間。8.質(zhì)量為M,開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長68解:取滑塊參照系,小球受到三個力:mg、N和maM,設(shè)小球相對M的加速度是ar,所以對m對M:由α=60o,可解得下到底端時,小球因轉(zhuǎn)彎和滑塊發(fā)生一個比較猛烈的作用,這過程中動量守恒.設(shè)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后小球和滑塊的速度分別為解:取滑塊參照系,小球受到三個力:mg、N和maM,69可求出相對速度水平段的時間:一個來回的總時間:可求出相對速度水平段的時間:一個來回的總時間:709.火車司機為容易啟動重載的列車,總是先倒一下,然后重新啟動?,F(xiàn)有機車,牽引力為F,后面有n-1節(jié)車廂,機車和車廂質(zhì)量都為m,每節(jié)車受的阻力為kmg。各節(jié)車掛鉤鎖留間距為d,當列車沿平直軌道啟動時,求第n-1節(jié)車廂被機車帶動時的速度。設(shè)F>nkmg。9.火車司機為容易啟動重載的列車,總是先倒一下,然后71解:機車啟動后經(jīng)d路程,有:令f=kmg得:車廂被帶動可視為完全非彈性碰撞,車廂1被帶動的速度記為v20,有:故于是 解:機車啟動后經(jīng)d路程,有:令f=kmg得:車廂被帶72以此類推,得:

故評析:倒車啟動的好處不言而喻,大家可以試一試若F=30kmg,那么倒車后可拉動多少車廂?(開動后阻力迅速減小)以此類推,得: 故評析:倒車啟動的好處不言而喻,大家可以試一7310.玩具列車由許多節(jié)車廂組成,它以恒定速度沿水平軌道行駛,進入“死圈”,列車全長為L,圈半徑為R,但L>2πR,問列車應(yīng)具有多大初速度,才能不讓任何一節(jié)車廂脫軌。10.玩具列車由許多節(jié)車廂組成,它以恒定速度沿水平軌道74(1)設(shè)列車的“線密度”為λ,則由機械能守恒有(2)不難判斷軌道頂部的車廂最容易脫離軌道.該車廂受力如圖所示,兩個T是兩邊其它車廂對它的拉力將代入,有(1)設(shè)列車的“線密度”為λ,則由機械能守恒有(2)不難判斷75(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說,移動一小段Δs,T做的功是T·Δs,效果是使Δs長的車廂升高2R高度,因而有可解得評析:本題有二個要點:(1)分析頂點,(2)虛功求力。(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說,移動一小段Δ7611.從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的方向發(fā)射一拋射體,忽略空氣阻力和地球轉(zhuǎn)動的影響,試問拋射體能上升多高?設(shè)地球半徑為R。11.從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的77解:第一宇宙速度,其機械能:所以以向任何方向都不可能飛離地球,只能以地心為焦點作橢圓運動,由開普勒第二定律:得:解:第一宇宙速度,其機械能:所以以向任何方向都不可能飛78代入上升高度上升高度代入上升高度上升高度7912.質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l,從靜止開始,由于萬有引力作用而相向運動,試求從開始運動直到相遇所需的時間。12.質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l,從靜止開80解:在宇宙空間參照系中研究m1,在m1參照系中研究m2由此可見,m2相對m1的運動等同于一個質(zhì)量為m1+m2的力心不動時的情況,可認為m2運動的直線軌跡是一個退化的橢圓(a=c,b=0),有2a=l.由開普勒第三定律有因為解:在宇宙空間參照系中研究m1,在m1參照系中研究m81,所以即評析:本題巧妙地利用了退化的思路,迂回解決了問題。,所以即評析:本題巧妙地利用了退化的思路,迂回解決8213.以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段時間后在離發(fā)射點不遠處返回地面,計算導(dǎo)彈在空中飛行的時間,地球半徑R=6400km。13.以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段83解:第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒:由上兩式可解得:因為是豎直向上拋射,所以b很小,橢圓退化為一根直線,即a=R(焦點在地心O點)。在物體拋射到返回地面的整個過程中,物體與地心O的連線掃過的面積為而面積速度(即單位時間里掃過的面積)因此解:第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒:由上兩式可解得:因為是84,14.某國發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)星,其軌道平面為赤道平面,容易理解,如圖,若衛(wèi)星取一橢圓軌道,那么它相對地心的角速度便不是定值,與地面上的參考點之間會發(fā)生相對運動,假設(shè)該國僅擁有經(jīng)度范圍為2°的赤道領(lǐng)空,那么發(fā)射者就必須將衛(wèi)星軌道的偏心率e限制在一個很小的范圍內(nèi),以保證衛(wèi)星不離開本國領(lǐng)空,設(shè)橢圓的半長軸為A,半短軸為B,則有,試確定e的

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