機械能課件講義整理

第四講機械能第四講機械能1動能定理1，2，3，4，5，6機械能守恒7，8，9，10天體運動、引力勢能11，12，13，14，15動能定理1，2，3，4，5，6機械能守恒7，8，9，21。水桶中有深度為H的水，水桶的底部有半徑為r的圓孔，把孔塞拔掉后，圓孔處水流初速v是多少？1。水桶中有深度為H的水，水桶的底部有半徑為r的3解：研究厚度為△x的薄層水，設(shè)（同落體）由動能定理解：（同落體）由動能定理42。跳水運動員從高于水面H=10m的跳臺落下．假如運動員質(zhì)量為m=60kg．其體形可等效為長度L=1.0m，直徑d=0.30m的圓柱體，不計空氣阻力．運動員入水后，水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面，F(xiàn)的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖像如圖所示，該曲線可近似地看作為橢圓的一部分，該橢圓的長、短軸分別與坐標軸oy和oF重合．橢圓與y軸相交于y=h．與F軸相交于F=(5／2)mg處．了確保運動員的安全，試計算水的深度至少應(yīng)為多深?(水的密度ρ=1.0×l03kg／m3)y2。跳水運動員從高于水面H=10m的跳5解：設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài)，入水后到達最深處時為末狀態(tài)．初、末狀態(tài)動能都是零，整個過程中有三個力做功，重力做功為WG，水的浮力做功為Wf，水的阻力做功為WF，由動能定理可知（1）（2）（3）運動員從B運動到C時，水的浮力均勻增大，做的功為設(shè)水深為h，則BCD10mhLd解：設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài)，入水后到達最深處時為末狀態(tài)．初、6將（2）、（3）、（4）、(5)式代入（1）式，可解得從C到D，浮力做的功為（4）（5）水的阻力做功為圖中曲線下的面積將（2）、（3）、（4）、(5)式代入（1）式，可解得從C到73。如圖，繩長l，將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自由下落，求小球能獲得的最大的豎直速度3。如圖，繩長l，將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自8解1：求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值，請同學(xué)們考慮。解1：求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值，請同學(xué)們9解2：當時有極大值.解2：當時有極大值.104．軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪，其軸上系有繩子，在輪子所在的平面內(nèi)沿水平方向拉繩，輪子沿柵欄無跳動地滾動，柵欄由彼此間距為l的平行的水平細桿構(gòu)成，（l<<r）為使輪子以恒定的平均速度v運動，繩子的平均拉力T多大。4．軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪，其軸上系有繩子11解：平均速度是v，可認為圓柱在最高位置時速度為v。于是有： 故因為沒有跳動，故而碰撞為非彈性的，圓柱損失OB方向速度分量。故 由功能原理得：

解：平均速度是v，可認為圓柱在最高位置時速度為v。故因為沒有125．質(zhì)量為m的兩個重球A，B由長為l的輕質(zhì)桿連接，豎直于光滑水平面上，若在下端B球上作用一水平恒力F，使B端沿水平面移動距離S，求此時B端所受支承力與φ角的關(guān)系。5．質(zhì)量為m的兩個重球A，B由長為l的輕質(zhì)桿連接，豎13解：系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出：動能定理：沖量定理對B球：C解：系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出：動能定理：沖量定14在B參照系中分析A球：可解得：在B參照系中分析A球：可解得：156．雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下，后又在蓋著冰的水平地面上前進。設(shè)雪橇與冰之間的摩擦系數(shù)為μ。問：(1)雪橇在水平地面上能前進的距離S為多少？(2)若θ很小，則上述結(jié)果的近似值如何。6．雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下，后又在蓋著16（1）雪橇在斜坡上下滑時要求，雪橇才能滑下。研究雪橇從斜坡進入平面的過程：(因為Δt很短，所以忽略了重力的沖量)可解得若要，必須。（1）雪橇在斜坡上下滑時要求，17下面討論因而只要能夠滑下，必有，此時因而若則不能滑下下面討論因而只要能夠滑下，必有，此時因18(2)若θ很小，有因此要雪橇能滑下，必有μ、θ都為小量，可以進一步化簡為(2)若θ很小，有因此要雪橇能滑下，必有μ、θ都為小量，可以197。如圖裝置，m1,m2已知，用多大的力F豎直向下壓m1，才能在釋放后使m2離地？7。如圖裝置，m1,m2已知，用多大的力F豎20解：解：218．質(zhì)量為M，開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長度均為l且互通的三段光滑軌道，α=60°，轉(zhuǎn)彎處由光滑小圓弧連接。設(shè)在左側(cè)軌道上端有一質(zhì)量為m的光滑小球，于t=0時刻自靜止開始沿軌道自由下滑，求：小球從開始下滑直到最后重新返回左側(cè)出發(fā)點的總時間。8．質(zhì)量為M，開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長22解：取滑塊參照系，小球受到三個力：mg、N和maM，設(shè)小球相對M的加速度是ar，所以對m對M：由α=60o，可解得下到底端時，小球因轉(zhuǎn)彎和滑塊發(fā)生一個比較猛烈的作用，這過程中動量守恒．設(shè)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后小球和滑塊的速度分別為解：取滑塊參照系，小球受到三個力：mg、N和maM，23可求出相對速度水平段的時間：一個來回的總時間：可求出相對速度水平段的時間：一個來回的總時間：249．火車司機為容易啟動重載的列車，總是先倒一下，然后重新啟動?，F(xiàn)有機車，牽引力為F，后面有n-1節(jié)車廂，機車和車廂質(zhì)量都為m，每節(jié)車受的阻力為kmg。各節(jié)車掛鉤鎖留間距為d，當列車沿平直軌道啟動時，求第n-1節(jié)車廂被機車帶動時的速度。設(shè)F>nkmg。9．火車司機為容易啟動重載的列車，總是先倒一下，然后25解：機車啟動后經(jīng)d路程，有：令f=kmg得：車廂被帶動可視為完全非彈性碰撞，車廂1被帶動的速度記為v20，有：故于是 解：機車啟動后經(jīng)d路程，有：令f=kmg得：車廂被帶26以此類推，得：

故評析：倒車啟動的好處不言而喻，大家可以試一試若F=30kmg，那么倒車后可拉動多少車廂？(開動后阻力迅速減小)以此類推，得： 故評析：倒車啟動的好處不言而喻，大家可以試一2710．玩具列車由許多節(jié)車廂組成，它以恒定速度沿水平軌道行駛，進入“死圈”，列車全長為L，圈半徑為R，但L>2πR，問列車應(yīng)具有多大初速度，才能不讓任何一節(jié)車廂脫軌。10．玩具列車由許多節(jié)車廂組成，它以恒定速度沿水平軌道28(1)設(shè)列車的“線密度”為λ，則由機械能守恒有(2)不難判斷軌道頂部的車廂最容易脫離軌道．該車廂受力如圖所示，兩個T是兩邊其它車廂對它的拉力將代入，有(1)設(shè)列車的“線密度”為λ，則由機械能守恒有(2)不難判斷29(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說，移動一小段Δs，T做的功是T·Δs，效果是使Δs長的車廂升高2R高度，因而有可解得評析：本題有二個要點：（1）分析頂點，（2）虛功求力。(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說，移動一小段Δ3011．從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的方向發(fā)射一拋射體，忽略空氣阻力和地球轉(zhuǎn)動的影響，試問拋射體能上升多高？設(shè)地球半徑為Ｒ。11．從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的31解：第一宇宙速度，其機械能：所以以向任何方向都不可能飛離地球，只能以地心為焦點作橢圓運動，由開普勒第二定律：得：解：第一宇宙速度，其機械能：所以以向任何方向都不可能飛32代入上升高度上升高度代入上升高度上升高度3312．質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l，從靜止開始，由于萬有引力作用而相向運動，試求從開始運動直到相遇所需的時間。12．質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l，從靜止開34解：在宇宙空間參照系中研究m1，在m1參照系中研究m2由此可見，m2相對m1的運動等同于一個質(zhì)量為m1+m2的力心不動時的情況，可認為m2運動的直線軌跡是一個退化的橢圓(a=c，b=0)，有2a=l．由開普勒第三定律有因為解：在宇宙空間參照系中研究m1，在m1參照系中研究m35，所以即評析：本題巧妙地利用了退化的思路，迂回解決了問題。，所以即評析：本題巧妙地利用了退化的思路，迂回解決3613．以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段時間后在離發(fā)射點不遠處返回地面，計算導(dǎo)彈在空中飛行的時間，地球半徑R=6400km。13．以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段37解：第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒：由上兩式可解得：因為是豎直向上拋射，所以b很小，橢圓退化為一根直線，即a=R(焦點在地心O點)。在物體拋射到返回地面的整個過程中，物體與地心O的連線掃過的面積為而面積速度(即單位時間里掃過的面積)因此解：第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒：由上兩式可解得：因為是38，14．某國發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)星，其軌道平面為赤道平面，容易理解，如圖，若衛(wèi)星取一橢圓軌道，那么它相對地心的角速度便不是定值，與地面上的參考點之間會發(fā)生相對運動，假設(shè)該國僅擁有經(jīng)度范圍為2°的赤道領(lǐng)空，那么發(fā)射者就必須將衛(wèi)星軌道的偏心率e限制在一個很小的范圍內(nèi)，以保證衛(wèi)星不離開本國領(lǐng)空，設(shè)橢圓的半長軸為A，半短軸為B，則有，試確定e的最大可能值。，14．某國發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)39解：如圖所示，衛(wèi)星的角速度有時比地球快有時比地球慢，設(shè)衛(wèi)星在C和C'點時和地球角速度相同，都為ωc，那么在C和C'點右邊的軌道上衛(wèi)星的角速度都小于ωc．(1)在1位置有將C=eA代人，并用(1一e)n=1—ne的近似公式，可得，如果衛(wèi)星在C點時OC和地球上的OB重合，那么此后OA將追逐OC，直到衛(wèi)星到C’時OA和OC’重合．只要∠AOB=2o，便符合題意．2π解：如圖所示，衛(wèi)星的角速度有時比地球快有時比地球慢，40(2)由解析幾何的知識可知：從焦點到橢圓上橫坐標為x的點的距離r=A+ex。再用開普勒第三定律因為故ABC'C可看作矩形，圖中陰影部分面積衛(wèi)星從C經(jīng)過2到C'的時間，由上式可得(2)由解析幾何的知識可知：從焦點到橢圓上橫坐標為x的點的距41地球從OB和OC重合轉(zhuǎn)到OA和OC/重合的時間故而可以解得此值即e的最大值。地球從OB和OC重合轉(zhuǎn)到OA和OC/重合的時間故而可以解得此4215．從北極發(fā)射一導(dǎo)彈，落在赤道上(經(jīng)歷緯度90o)。求能量最省的發(fā)射速度。引力常數(shù)Ｇ＝6.67×10-11m3/(kg·s2)，地球半徑Re=6．4×106m，地球質(zhì)量Me=6．0×1024kg。忽略空氣阻力。15．從北極發(fā)射一導(dǎo)彈，落在赤道上(經(jīng)歷緯度43分析與解

如圖所示，圖中A點是北極發(fā)射點，B點為導(dǎo)彈落地點，在赤道上。導(dǎo)彈在地球外部空間的軌道是橢圓軌道的一部分。根據(jù)對稱性，橢圓長軸MN是直角的角平分線。導(dǎo)彈在地球引力場中按橢圓軌道運動，機械能為分析與解如圖所示，圖中A點是北極發(fā)射點，B點為導(dǎo)彈落地點44為使能量取最小值，應(yīng)取最小的半長軸值。設(shè)橢圓軌道的兩焦點在F1和F2處，其中F1必在地球中心。因北極發(fā)射點A在橢圓軌道上，依橢圓的性質(zhì)，有關(guān)系其中，所以只有當取最小值時，α才是最小值。在MN上的F2滿足時，AF2即為最小值。由圖中可知，為使能量取最小值，應(yīng)取最小的半長軸值。設(shè)橢圓軌道的兩焦點45解得

所以能量最省的發(fā)射速度為

利用A點處機械能的表達式

解得所以能量最省的發(fā)射速度為利用A點處機械能的表達式46第四講機械能第四講機械能47動能定理1，2，3，4，5，6機械能守恒7，8，9，10天體運動、引力勢能11，12，13，14，15動能定理1，2，3，4，5，6機械能守恒7，8，9，481。水桶中有深度為H的水，水桶的底部有半徑為r的圓孔，把孔塞拔掉后，圓孔處水流初速v是多少？1。水桶中有深度為H的水，水桶的底部有半徑為r的49解：研究厚度為△x的薄層水，設(shè)（同落體）由動能定理解：（同落體）由動能定理502。跳水運動員從高于水面H=10m的跳臺落下．假如運動員質(zhì)量為m=60kg．其體形可等效為長度L=1.0m，直徑d=0.30m的圓柱體，不計空氣阻力．運動員入水后，水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面，F(xiàn)的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖像如圖所示，該曲線可近似地看作為橢圓的一部分，該橢圓的長、短軸分別與坐標軸oy和oF重合．橢圓與y軸相交于y=h．與F軸相交于F=(5／2)mg處．了確保運動員的安全，試計算水的深度至少應(yīng)為多深?(水的密度ρ=1.0×l03kg／m3)y2。跳水運動員從高于水面H=10m的跳51解：設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài)，入水后到達最深處時為末狀態(tài)．初、末狀態(tài)動能都是零，整個過程中有三個力做功，重力做功為WG，水的浮力做功為Wf，水的阻力做功為WF，由動能定理可知（1）（2）（3）運動員從B運動到C時，水的浮力均勻增大，做的功為設(shè)水深為h，則BCD10mhLd解：設(shè)運動員起跳時為初狀態(tài)，入水后到達最深處時為末狀態(tài)．初、52將（2）、（3）、（4）、(5)式代入（1）式，可解得從C到D，浮力做的功為（4）（5）水的阻力做功為圖中曲線下的面積將（2）、（3）、（4）、(5)式代入（1）式，可解得從C到533。如圖，繩長l，將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自由下落，求小球能獲得的最大的豎直速度3。如圖，繩長l，將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自54解1：求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值，請同學(xué)們考慮。解1：求極值。用高等數(shù)學(xué),也可以用初等數(shù)學(xué)來求極值，請同學(xué)們55解2：當時有極大值.解2：當時有極大值.564．軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪，其軸上系有繩子，在輪子所在的平面內(nèi)沿水平方向拉繩，輪子沿柵欄無跳動地滾動，柵欄由彼此間距為l的平行的水平細桿構(gòu)成，（l<<r）為使輪子以恒定的平均速度v運動，繩子的平均拉力T多大。4．軸的質(zhì)量為m、半徑為r的輕輪，其軸上系有繩子57解：平均速度是v，可認為圓柱在最高位置時速度為v。于是有： 故因為沒有跳動，故而碰撞為非彈性的，圓柱損失OB方向速度分量。故 由功能原理得：

解：平均速度是v，可認為圓柱在最高位置時速度為v。故因為沒有585．質(zhì)量為m的兩個重球A，B由長為l的輕質(zhì)桿連接，豎直于光滑水平面上，若在下端B球上作用一水平恒力F，使B端沿水平面移動距離S，求此時B端所受支承力與φ角的關(guān)系。5．質(zhì)量為m的兩個重球A，B由長為l的輕質(zhì)桿連接，豎59解：系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出：動能定理：沖量定理對B球：C解：系統(tǒng)質(zhì)心c的加速度位移有以上兩式可解出：動能定理：沖量定60在B參照系中分析A球：可解得：在B參照系中分析A球：可解得：616．雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下，后又在蓋著冰的水平地面上前進。設(shè)雪橇與冰之間的摩擦系數(shù)為μ。問：(1)雪橇在水平地面上能前進的距離S為多少？(2)若θ很小，則上述結(jié)果的近似值如何。6．雪撬從蓋著冰的高度為h的斜坡上端滑下，后又在蓋著62（1）雪橇在斜坡上下滑時要求，雪橇才能滑下。研究雪橇從斜坡進入平面的過程：(因為Δt很短，所以忽略了重力的沖量)可解得若要，必須。（1）雪橇在斜坡上下滑時要求，63下面討論因而只要能夠滑下，必有，此時因而若則不能滑下下面討論因而只要能夠滑下，必有，此時因64(2)若θ很小，有因此要雪橇能滑下，必有μ、θ都為小量，可以進一步化簡為(2)若θ很小，有因此要雪橇能滑下，必有μ、θ都為小量，可以657。如圖裝置，m1,m2已知，用多大的力F豎直向下壓m1，才能在釋放后使m2離地？7。如圖裝置，m1,m2已知，用多大的力F豎66解：解：678．質(zhì)量為M，開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長度均為l且互通的三段光滑軌道，α=60°，轉(zhuǎn)彎處由光滑小圓弧連接。設(shè)在左側(cè)軌道上端有一質(zhì)量為m的光滑小球，于t=0時刻自靜止開始沿軌道自由下滑，求：小球從開始下滑直到最后重新返回左側(cè)出發(fā)點的總時間。8．質(zhì)量為M，開始時靜止放在光滑水平面上的滑塊內(nèi)有長68解：取滑塊參照系，小球受到三個力：mg、N和maM，設(shè)小球相對M的加速度是ar，所以對m對M：由α=60o，可解得下到底端時，小球因轉(zhuǎn)彎和滑塊發(fā)生一個比較猛烈的作用，這過程中動量守恒．設(shè)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后小球和滑塊的速度分別為解：取滑塊參照系，小球受到三個力：mg、N和maM，69可求出相對速度水平段的時間：一個來回的總時間：可求出相對速度水平段的時間：一個來回的總時間：709．火車司機為容易啟動重載的列車，總是先倒一下，然后重新啟動?，F(xiàn)有機車，牽引力為F，后面有n-1節(jié)車廂，機車和車廂質(zhì)量都為m，每節(jié)車受的阻力為kmg。各節(jié)車掛鉤鎖留間距為d，當列車沿平直軌道啟動時，求第n-1節(jié)車廂被機車帶動時的速度。設(shè)F>nkmg。9．火車司機為容易啟動重載的列車，總是先倒一下，然后71解：機車啟動后經(jīng)d路程，有：令f=kmg得：車廂被帶動可視為完全非彈性碰撞，車廂1被帶動的速度記為v20，有：故于是 解：機車啟動后經(jīng)d路程，有：令f=kmg得：車廂被帶72以此類推，得：

故評析：倒車啟動的好處不言而喻，大家可以試一試若F=30kmg，那么倒車后可拉動多少車廂？(開動后阻力迅速減小)以此類推，得： 故評析：倒車啟動的好處不言而喻，大家可以試一7310．玩具列車由許多節(jié)車廂組成，它以恒定速度沿水平軌道行駛，進入“死圈”，列車全長為L，圈半徑為R，但L>2πR，問列車應(yīng)具有多大初速度，才能不讓任何一節(jié)車廂脫軌。10．玩具列車由許多節(jié)車廂組成，它以恒定速度沿水平軌道74(1)設(shè)列車的“線密度”為λ，則由機械能守恒有(2)不難判斷軌道頂部的車廂最容易脫離軌道．該車廂受力如圖所示，兩個T是兩邊其它車廂對它的拉力將代入，有(1)設(shè)列車的“線密度”為λ，則由機械能守恒有(2)不難判斷75(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說，移動一小段Δs，T做的功是T·Δs，效果是使Δs長的車廂升高2R高度，因而有可解得評析：本題有二個要點：（1）分析頂點，（2）虛功求力。(3)用虛功原理求T對左半側(cè)或右半側(cè)的列車來說，移動一小段Δ7611．從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的方向發(fā)射一拋射體，忽略空氣阻力和地球轉(zhuǎn)動的影響，試問拋射體能上升多高？設(shè)地球半徑為Ｒ。11．從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成α角的77解：第一宇宙速度，其機械能：所以以向任何方向都不可能飛離地球，只能以地心為焦點作橢圓運動，由開普勒第二定律：得：解：第一宇宙速度，其機械能：所以以向任何方向都不可能飛78代入上升高度上升高度代入上升高度上升高度7912．質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l，從靜止開始，由于萬有引力作用而相向運動，試求從開始運動直到相遇所需的時間。12．質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點相距為l，從靜止開80解：在宇宙空間參照系中研究m1，在m1參照系中研究m2由此可見，m2相對m1的運動等同于一個質(zhì)量為m1+m2的力心不動時的情況，可認為m2運動的直線軌跡是一個退化的橢圓(a=c，b=0)，有2a=l．由開普勒第三定律有因為解：在宇宙空間參照系中研究m1，在m1參照系中研究m81，所以即評析：本題巧妙地利用了退化的思路，迂回解決了問題。，所以即評析：本題巧妙地利用了退化的思路，迂回解決8213．以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段時間后在離發(fā)射點不遠處返回地面，計算導(dǎo)彈在空中飛行的時間，地球半徑R=6400km。13．以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段83解：第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒：由上兩式可解得：因為是豎直向上拋射，所以b很小，橢圓退化為一根直線，即a=R(焦點在地心O點)。在物體拋射到返回地面的整個過程中，物體與地心O的連線掃過的面積為而面積速度(即單位時間里掃過的面積)因此解：第一宇宙速度即環(huán)繞速度機械能守恒：由上兩式可解得：因為是84，14．某國發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)星，其軌道平面為赤道平面，容易理解，如圖，若衛(wèi)星取一橢圓軌道，那么它相對地心的角速度便不是定值，與地面上的參考點之間會發(fā)生相對運動，假設(shè)該國僅擁有經(jīng)度范圍為2°的赤道領(lǐng)空，那么發(fā)射者就必須將衛(wèi)星軌道的偏心率e限制在一個很小的范圍內(nèi)，以保證衛(wèi)星不離開本國領(lǐng)空，設(shè)橢圓的半長軸為A，半短軸為B，則有，試確定e的