【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件

1.1空間向量及其運算1.2空間向量基本定理1.3空間向量及其運算的坐標表示1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.2空間向量基本定理1.3空間12.1.1傾斜角與斜率2.1.2兩條直線平行和垂直的判定2.2.1直線的點斜式方程2.2.2直線的兩點式方程2.2.3直線的一般式方程2.3.1兩條直線的交點坐標2.3.2兩點間的距離公式

2.3.3點到直線的距離公式

2.3.4兩條平行直線間的距離2.4.1圓的標準方程2.4.2圓的一般方程2.5.1直線與圓的位置關系2.5.2圓與圓的位置關系第二章直線和圓的方程2.1.1傾斜角與斜率2.1.2兩條直線平行和垂直的判定23.1.1橢圓及其標準方程3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)3.2.1雙曲線及其標準方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)3.3.1拋物線及其標準方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第三章圓錐曲線的方程3.1.1橢圓及其標準方程3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)33一、空間向量的定義及相關概念1.定義在空間,我們把具有

和

的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的

.

2.空間向量及其模的表示方法空間向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起點是A,終點是B,則向量a也可以記作

,其模記大小

方向

長度或模

1.1空間向量及其運算第一章空間向量與立體幾何一、空間向量的定義及相關概念大小方向長度或模1.1空43.空間向量的相關概念

平行或重合

3.空間向量的相關概念平行或重合5點析1.空間向量只有大小和方向,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空間中平移.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.點析1.空間向量只有大小和方向,同向且等長的有向線段表示同一6微思考涉及空間兩個向量的問題,平面向量中的有關結(jié)論是否仍然適用?提示:適用.微思考提示:適用.7微練習(多選題)下列命題正確的是(

)A.若向量a與b的方向相反,則稱向量a與b為相反向量B.零向量沒有方向C.若a是單位向量,則|a|=1D.若向量m,n,p滿足m=n,n=p,則一定有m=p答案:CD

解析:單位向量是指模等于1的向量,所以若a是單位向量,則必有|a|=1,即選項C正確;由向量相等的定義,知m與p方向相同,模相等,故一定有m=p,選項D正確.微練習答案:CD8二、空間向量的線性運算

二、空間向量的線性運算9微練習1已知空間四邊形ABCD中,A.a+b-c

B.c-a-bC.c+a-b

D.c+a+b答案:B微練習1A.a+b-cB.c-a-b答案:B10微練習2已知空間四邊形ABCD,M,G分別是BC,CD的中點,連接AM,AG,MG,答案:A微練習2答案:A11三、共線向量與共面向量1.互相平行或重合

同一個平面

a=λbp=xa+yb三、共線向量與共面向量互相平行或重合同一個平面a=λb12【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件132.如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直線l上任意一點P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知,存在實數(shù)λ,使得

=λa.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

.這樣,直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示,也就是說,直線可以由其上一點和它的方向向量確定.

方向向量

2.如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直14名師點析共線向量的特點及三點共線的充要條件(1)共線向量不具有傳遞性因為零向量0=0·a,所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量,這一性質(zhì)使共線向量不具有傳遞性,即若a∥b,b∥c,則a∥c不一定成立.因為當b=0時,a∥0,0∥c,但a與c不一定共線.(2)空間三點共線的充要條件名師點析共線向量的特點及三點共線的充要條件15微練習1滿足下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點共線的是(

)答案:C微練習1答案:C16微練習2對于空間的任意三個向量a,b,2a-b,它們一定是(

)A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量答案:A解析:因為2a-b=2·a+(-1)·b,微練習2答案:A解析:因為2a-b=2·a+(-1)·b,17微判斷判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示這三個向量的有向線段所在的直線共面.(

)(3)若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×微判斷答案:(1)×(2)×(3)×18探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量及相關概念的理解

解析:①錯誤,在同一條直線上的單位向量,方向可能相同,也可能相反,故它們不一定相等;②正確,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;②③

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量及相關概念的19探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量概念的辨析(1)向量的兩個要素是大小與方向,兩者缺一不可;(2)單位向量的方向雖然不一定相同,但長度一定為1;(3)兩個向量的模相等,即它們的長度相等,但方向不確定,即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件;(4)由于方向不能比較大小,因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的,但向量的模是可以比較大小的.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量概念20探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|C.兩個向量相等,若它們的起點相同,則其終點不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,則a>c答案:B

解析:兩個向量是相反向量時,它們的模必相等,故選項B正確.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1下列說法正21探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的線性運算

思路分析根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則,平行四邊形法則求解.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的線性運算22探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量線性運算的技巧和思路(1)空間向量加法、減法運算的兩個技巧①巧用相反向量:向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關鍵,靈活應用相反向量可使有關向量首尾相接,從而便于運算.②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法、減法運算時,務必要注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結(jié)果.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量線性23探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(2)化簡空間向量的常用思路①分組:合理分組,以便靈活運用三角形法則、平行四邊形法則進行化簡.②多邊形法則:在空間向量的加法運算中,若是多個向量求和,還可利用多邊形法則,若干個向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.③走邊路:靈活運用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(2)化簡空間向量的24探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測25探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測26探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間共線向量定理及其應用

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間共線向量定理及其27探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測28探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量共線定理可解決的主要問題1.判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實數(shù)λ,使a=λb.2.求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.3.判斷或證明空間中的三點(如P,A,B)是否共線:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量29探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵M,N分別是AC,BF的中點,且四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵M,N分別是A30探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間共面向量定理及其應用

(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間共面向量定理及其31探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測32探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟證明共面問題的基本方法(1)證明兩個空間向量共面時,可以利用共面向量的充要條件,也可直接利用共面向量的定義,通過線面平行、直線在平面內(nèi)等進行證明.(2)證明空間四點P,M,A,B共面時,可以通過以下幾種條件進行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟證明共面問題33探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4已知A,B,C三點不共線,點O是平面ABC外的任意一點,若點P分別滿足下列關系:試判斷點P是否與點A,B,C共面.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4已知A,B34探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測35探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多變——空間向量的加法、減法運算

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多變——空間向量36探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測37探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)根據(jù)六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C,DD1E1E都是平行四邊形,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)根據(jù)六棱柱38探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法總結(jié)在進行減法運算時,可將減去一個向量轉(zhuǎn)化為加上這個向量的相反向量,而在進行加法運算時,首先考慮這兩個向量在哪個平面內(nèi),然后與平面向量求和一樣,運用向量運算的平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法則來求.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法總結(jié)在進行減法運39探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件2.在平行六面體ABCD-A‘B’C‘D’中,與向量

相等的向量共有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個答案:B

解析:兩個向量相等是指兩個向量的模相等并且方向相同,因此“兩個非零向量的模相等”是“兩個向量相等”的必要不充分條件.答案:C

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.“兩個非零空間向40探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點M為A1C1與B1D1的交答案:B

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.如圖,在平行六面41探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.下列條件使點M與點A,B,C一定共面的是(

)

答案:D

解析:根據(jù)共面向量定理知A,B,C均錯,只有D能使其一定共面.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.下列條件使點M與42探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖所示,已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點,且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點,且PM∶MC=2∶1,N為PD中點,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖所示,已知矩43探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,在PD上取一點F,使PF∶FD=2∶1,連接MF,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,在PD上取441.2空間向量基本定理1.2空間向量基本定理45【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件46我們所在的教室是一個立體圖形,即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為坐標原點,沿著三條墻縫作射線可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么這個三維立體圖與這三個空間向量有什么關系呢?事實上可以建立一個空間坐標系來研究三維立體圖形.我們所在的教室是一個立體圖形,即是一個三維立體圖,如果以教室47

48點析1.空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達式也有可能不同.2.一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關聯(lián)的不同概念.3.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.點析1.空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.基底49微練習在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作為空間向量一個基底的是(

)答案:C

微練習答案:C50微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)空間向量的基底是唯一的.(

)(2)若a,b,c是空間向量的一個基底,則a,b,c均為非零向量.(

)(3)已知A,B,M,N是空間四點,若

不能構成空間的一個基底,則A,B,M,N共面.(

)(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)√微判斷51探究一探究二探究三當堂檢測基底的判斷例1(1)設x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有(

)A.1個 B.2個

C.3個 D.4個探究一探究二探究三當堂檢測基底的判斷52探究一探究二探究三當堂檢測(1)

答案:

C

探究一探究二探究三當堂檢測(1)答案:C53探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路:判斷三個空間向量是否共面,若共面,則不能構成基底;若不共面,則能構成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示,則不能構成基底.②假設a=λb+μc,運用空間向量基本定理,建立λ,μ的方程組,若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟判斷基底的基本思路及方法54探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練1若{a,b,c}是空間的一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個基底.解:假設a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個基底,∴a,b,c不共面.即不存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個基底.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練1若{a,b,c}是空間的55探究一探究二探究三當堂檢測用基底表示空間向量例2思路分析利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關系→利用向量運

算進行拆分→直至向量用a,b,c表示探究一探究二探究三當堂檢測用基底表示空間向量思路分析利用圖形56探究一探究二探究三當堂檢測探究一探究二探究三當堂檢測57探究一探究二探究三當堂檢測探究一探究二探究三當堂檢測58探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟用基底表示空間向量的解題策略1.空間中,任一向量都可以用一個基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量作為基底.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟用基底表示空間向量的解題策59探究一探究二探究三當堂檢測答案:B

探究一探究二探究三當堂檢測答案:B60探究一探究二探究三當堂檢測應用空間向量基本定理證明線線位置關系例3在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點,點G在棱CD上,且CG=CD.(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.探究一探究二探究三當堂檢測應用空間向量基本定理證明線線位置關61探究一探究二探究三當堂檢測探究一探究二探究三當堂檢測62探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟應用空間向量基本定理可以證63探究一探究二探究三當堂檢測延伸探究設這個正方體中線段A1B的中點為M,證明:MF∥B1C.探究一探究二探究三當堂檢測延伸探究設這個正方體中線段A1B的64探究一探究二探究三當堂檢測1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(

)答案:C

解析:只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為一個基底.探究一探究二探究三當堂檢測1.在正方體ABCD-A1B1C165探究一探究二探究三當堂檢測答案:A

探究一探究二探究三當堂檢測答案:A66探究一探究二探究三當堂檢測3.下列說法正確的是(

)A.任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應相等答案:C

解析:A項中應是不共面的三個向量構成空間向量的基底;B項,空間基底有無數(shù)個;D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.探究一探究二探究三當堂檢測3.下列說法正確的是()答案:67探究一探究二探究三當堂檢測探究一探究二探究三當堂檢測681.3空間向量及其運算的坐標表示1.3空間向量及其運算的坐標表示69【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件70

713.向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中,給定向量a,作

=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,可簡記作a=(x,y,z).名師點析1.畫空間直角坐標系Oxyz時,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三個坐標平面把空間分成八個部分.2.在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.本書建立的都是右手直角坐標系.3.向量的坐標72微練習若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個單位正交基底,則a的坐標為

.

微思考在空間直角坐標系中,向量

的坐標與終點P的坐標有何關系?(3,2,-1)答案:向量

的坐標恰好是終點P的坐標,這就實現(xiàn)了空間基底到空間坐標系的轉(zhuǎn)換.微練習(3,2,-1)答案:向量的坐標恰73二、空間向量運算的坐標表示1.空間向量的坐標運算法則設向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么2.空間向量的坐標與其端點坐標的關系:設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

(λa1,λa2,λa3)

a1b1+a2b2+a3b3二、空間向量運算的坐標表示2.空間向量的坐標與其端點坐標的關743.空間向量平行與垂直條件的坐標表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)當b≠0時,a∥b?a=λb?

(λ∈R);

(2)a⊥b?

?

.

名師點析當b的坐標中b1,b2,b3都不等于0時,a與b平行的條件還可以表示為a∥b?.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=03.空間向量平行與垂直條件的坐標表示名師點析當b的坐標中b1754.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標表示76微練習1已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n=

,3m-n=

,(2m)·(-3n)=

.

微練習2已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ=

,若a⊥b,則

λ=

.

(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.4微練習1(-1,-1,1)(5,-11,19)168解77【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件78探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的坐標表示

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的坐標表示79探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測80探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟用坐標表示空間向量的步驟如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟用坐標表示空81探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測82探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測83探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的坐標運算例2已知在空間直角坐標系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).思路分析先由點的坐標求出各個向量的坐標,再按照空間向量運算的坐標運算法則進行計算求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的坐標運算思84探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測85探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.反思感悟空間向量的坐標運算注意以下幾點:(1)一個向量的坐標等于這個向量的終點的坐標減去起點的坐標.(2)空間向量的坐標運算法則類似于平面向量的坐標運算,牢記運算公式是應用的關鍵.(3)運用公式可以簡化運算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法1)(p+q)86探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測87探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測88探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的平行與垂直

(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.(2)把ka+b與ka-2b用坐標表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的平行與垂直89探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測∴ka+b=(k-190探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應用.解題時要注意:①適當引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設a=λb),建立關于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量平行與垂91探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分別求λ與m的值;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知a=(92探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量夾角與模的計算例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點.(1)求BM,BN的長.(2)求△BMN的面積.思路分析建立空間直角坐標系,寫出B,M,N等點的坐標,從而得出

的坐標.然后利用模的公式求得BM,BN的長度.對于(2),可利用夾角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面積公式計算.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量夾角與模的計93探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:以C為原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:以C為原點,以C94探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量夾角與模的計算方法利用坐標運算解決空間向量夾角與長度的計算問題,關鍵是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,寫出有關點的坐標,然后利用夾角與模的計算公式進行求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量夾角與模95探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點,則cos∠EAF=

,EF=

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4在正方體A96探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解析:以A為原點,AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系(圖略),設正方體棱長為1,則探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解析:以A為原點,A97探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多變——空間向量的平行與垂直

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多變——空間向量98探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測由題意,可設點P的坐標為(a,a,1),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測由題意,可設點P的坐99探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究1若本例中的100探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究2本例中若點G是A1D的中點,點H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點H的位置.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究2本例中若點101探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)答案:D

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測A.(2,1,-3)102探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是(

)A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)答案:B

解析:比較選項中各向量,觀察哪個向量符合λa=(0,λ,0)的形式,經(jīng)過觀察,只有c=-a.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.下列向量中與向量103探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,則k的值等于(

)答案:D

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知向量a=(1104探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知點A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則A,B兩點的距離的最小值為(

)答案:C

解析:因為點A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知點A(1-t105探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)計算2a-3b和|2a-3b|.(2)求<a,b>.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.已知向量a=(2106第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示及空間中直線、平面的平行1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示107【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件108一、空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量一、空間中點、直線和平面的向量表示109①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線110微練習1下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的答案:B

解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.微練習1答案:B解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.111

3.空間平面的向量表示式

3.空間平面的向量表示式1124.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合4.平面的法向量113點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩114微練習2若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是(

)答案:D

微練習2答案:D115微練習3A.(-1,2,-1)

B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A

令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).微練習3A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)答116

二、空間中直線、平面平行的向量表示

二、空間中直線、平面平行的向量表示117點析1.空間平行關系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.點析1.空間平行關系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需118微練習1若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

微練習2若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關系是

.

答案:-12

15答案:平行

解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.微練習1答案:-1215答案:平行119探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測平面法向量及其求法例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析首先建立空間直角坐標系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進行求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測平面法向量及其求法思120探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖所示建立空間直角坐標系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖所示建立空間121探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)122探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例條件不變123探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當?shù)淖鴺讼?(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1如圖所示,124探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:以點A為原點,A125探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線線平行例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明:(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線線126探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟要證明兩直線127探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2在正方體A128探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:以點D為坐標原129探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線面平行例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線面130探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測131探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖.設正方體的棱長為1,則可求得探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(方法3)以D為原點132探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量133探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3如圖,已知134探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標系.設AC∩BD=N,連接NE,又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:建立如圖所示的135探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明面面平行例4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空間直角坐標系,設出點Q的坐標,然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明面面136探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖所示,分別以137探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測故當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測故當Q為CC1的中點138探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量139探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4在長方體A140探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,3,0),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:建立如圖所示的141探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多解——利用向量方法證明面面平行典例如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.解題提示證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多解——利用向量142探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:(方法1)設正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).設平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:(方法1)設正143探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.即AD'∥BC',AB'∥DC',所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測令y2=1,則x2=144探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測所以n1也是平面BDC'的一個法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.點評建立空間直角坐標系的關鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測所以n1也是平面BD145探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則(

)A.l1∥l2

B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定答案:A

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.若不重合的直線l146探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(

)A.與坐標平面xOy平行

B.與坐標平面yOz平行C.與坐標平面xOz平行

D.與坐標平面yOz相交答案:B

解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐標平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標平面yOz平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知線段AB的兩147探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案:D

解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應該平行,只有D項符合.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.若平面α∥β,則148探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:-8探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:-8149探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.已知正方體ABC150探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:如圖,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測證明:如圖,建立空間151探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測152第2課時空間中直線、平面的垂直第2課時空間中直線、平面的垂直153【高中數(shù)學】新教材高中數(shù)學選修第一冊課件154知識點撥

空間中直線、平面垂直的向量表示

知識點撥空間中直線、平面垂直的向量表示155微練習設平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=(

)

A.2 B.-5 C.4 D.-2答案:B

解析:因為α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.微練習答案:B解析:因為α⊥β,所以-2-8-2k=0,156微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.(

)(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(

)(3)兩個平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.(

)(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√微判斷(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1)157探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線線垂直例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線線垂直思158探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:(方法1)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:(方法1)以A為原點159探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測160探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標法:建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,求出兩直線方向向量的坐標,然后通過數(shù)量積的坐標運算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用向量方法證明線161探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例條件不變,求證162探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1在正方體ABCD163探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:以D為原點,DA,D164探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線面垂直例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法證明線面垂直165探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測166探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測167探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測168探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標法:建立空間直角坐標系,求出直線方向向量的坐標以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標,然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標系,求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標,然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量證明線169探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖,在四棱錐P170探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則B(4,0,0),P(0,0,4),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測證明:因為AP⊥平面ABC171探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量方法