淺析射影幾何及其應(yīng)用

淺析射影幾何及其應(yīng)用湖北省黃岡中學(xué)一、概述射影幾何是歐幾里得幾何學(xué)的一個重要分支，研究的是在射影變換中圖形所具有的性質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)中，射影幾何的定義是根據(jù)克萊因的變換群理論與奧古斯特?費迪南德?莫比烏斯(1970-1868)的齊次坐標理論，這一部分已經(jīng)涉及了群論和解析幾何，但是這兩位數(shù)學(xué)家對于射影幾何的發(fā)展作出的巨大貢獻是令人欽佩的。在本次綜合性學(xué)習中小組成員對于射影幾何的純幾何內(nèi)容進行了探究，對以下專題進行了研究：1、射影幾何的基本概念及交比不變性2、笛沙格定理(早期射影幾何中最重要的定理之一)3、對偶原理4、二次曲線在射影幾何上的應(yīng)用5、布列安桑定理和帕斯卡定理6、二次曲線蝴蝶定理二、研究過程1、射影幾何的基本概念及交比不變性射影幾何雖然不屬于高考內(nèi)容，射影幾何與較為容易的中學(xué)幾何具有更加抽象、難以理解的特點，但是射影幾何所研究的圖形的性質(zhì)是極具有吸引力的，可以說是中學(xué)幾何的一個延伸。射影幾何所研究的對象是圖形的位置關(guān)系，和在射影變換下圖形的性質(zhì)。射影，顧名思義，就是在光源（可以是平行光源或者是點光源），圖形保持的性質(zhì)。在生活中，路燈下人的影子會被拉長，矩形和圓在光源照射下會出現(xiàn)平行四邊形和橢圓的影子，圖形的形狀和大小發(fā)生了變化。然而，在這種變換中圖形之間的有些位置關(guān)系沒有變，比如，相切的橢圓和直線在變換之后仍相切。此外，射影幾何最重要的概念之一一一交比也不會發(fā)生改變。在中學(xué)的幾何中，我們認為兩條平行的直線是不相交的。但是在射影幾何中，我們可以規(guī)定一簇平行直線相交于平面上一個無窮遠點，而通過這個點的所有直線是一簇有確定方向的平行直線。一條直線有且只有一個無窮遠點，平面上方向不同的直線經(jīng)過不同的無窮遠點。所有這樣的無窮遠點構(gòu)成了一條無窮遠直線，同樣在三維空間中可類似地定義出無窮遠平面，這樣就擴充了兩個公理：1、過兩點有且只有一條直線2、兩條直線有且只有一個交點這兩條公理對普通點（即非無窮遠點）和無窮遠點均成立。這兩條公里是何其相似，這與對偶原理有聯(lián)系，實際上這是對偶原理的根本來源，其基本思想是：把線和點看作是對等的兩類元素，這在中學(xué)幾何中幾乎是無法理解的。但是通過這樣，可以將點和線定義成兩種元素，兩條公理可以統(tǒng)一為：有且只有一個元素與另外兩個不同種元素相關(guān)聯(lián)。這里“相關(guān)聯(lián)”的意思是“點在直線上”或“直線通過點”。

所謂的射影變換，就是在一次或多次點光源或線光源的投影下進如圖表示的是在點光源（O為光源，射影點）和平行光源下進行的射影變換。下面引入交比的概念。直線上四個點（可以是無窮遠點）組成的點列（有順序）A、B、C、D的交比定義為(AB,CD)CA/DACBDB需要注意的是這里的線段都是有向線段，即需先規(guī)定直線的正方向。交比的最基本的性質(zhì)是：在射影變換下交比不變。證明：在△OAC和△08。中，由正弦定理CA=—°A—-sinZC0A，CB=—°L_?sinZC0BsinZ0CAsinZ0CB兩式相除得竺=%?血/C0ACB0BsinZC0BDA0AsinZD0A同理有=—?-DB0BsinZD0BCA,DAsinZC0A,sinZD0A//=/CBDBsinZC0BsinZD0B對于(AB,CD)和(A”B”,C"D")其對應(yīng)角的正弦是相等的，故交比不變交比的不變性在射影幾何中有廣泛的應(yīng)用，在二次曲線中也有涉及。并且，若兩條直線上的對應(yīng)點都具有交比不變的性質(zhì)，那么這個對應(yīng)無論是怎么確定的（即使是非投影的方法）都可叫做射影對應(yīng)。與此同時，我們還可定義出直線列、面列的交比，都可變成一條直線通過他們時的四個交點的交比，這里不詳盡討論。2、笛沙格定理笛沙格定理有空間和平面兩種形式，但其本質(zhì)是相同的，內(nèi)容如下：兩個（或同一個）平面內(nèi)有兩個三角形△ABC'ADEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線?？臻g形式的笛沙格定理易于證明。證明：???GeBCu。,GeEFu8Ge8AP,即G在8、。的交線上同理H、/在8、P的交線上故G、H、/三點共線。

空間形式的笛沙格定理的逆定理也成立，可以用同一法給出證明：證明：設(shè)BE、CH交于P,PA交&于D\通過證明D=D1證明逆定理值得一提的是，笛沙格定理的對偶定理是它的逆定理。平面中的笛沙格定理可以看做是空間圖形“壓下去了”，但是實際敘述中有很大難度，是否嚴謹也有待考究。平面中的證明需要用到梅涅勞斯定理，利用它也可以對空間圖形進行證明。由于超出高考范圍，這里不再深究，感興趣的同學(xué)可以查閱資料進行探究。已"M岫和中.AjA；,B|BZ.GG三盤賣點于。.若B|Cl＞明G交于x由￡%交于YA|B;.交于，求江；X.Y.天三點共綬證明；題目中除了直線就是直線，顯然要用到梅涅勞斯定理的逆定理.現(xiàn)在我們觀察X、V、Z#AA|EJ|C,+A,ZC（VZBtXCiYA]注魔到乏冒堤截△OfB”得到OA2A|ZB曲xxT.A2AiZB]r2o同理[）B;B|XCiQ——n——-x?=1.R曲XC,C2OOCXC|YA（Ajxxxx■=].GG￥如AjOf擔B|XC|Y三式栩乘，得到—s,T7T>(-r7'=i￡.ulAL]1Aj故X、Y、2三點共線來源：百度百科3、對偶原理對偶原理是射影幾何中最引人注目的一個結(jié)論之一。其思想的精髓所在，早已超出了經(jīng)典幾何學(xué)，延伸到物理、化學(xué)等學(xué)科中。在數(shù)學(xué)中，對偶原理被描述為：如果在一個射影幾何學(xué)定理（正確的）中把點與直線的概念對換一下，把點的共線定義換成線的共點定義，所得命題仍然是正確的。這就是為什么要將點和線之間的關(guān)系描述為“相關(guān)聯(lián)的”。下面所要介紹的布列安桑定理和帕斯卡定理就是一組對偶定理。（梅涅勞斯定理雖然和塞瓦定理形式相似，但他們屬于度量幾何學(xué)，不屬于射影幾何學(xué)的范疇）物理學(xué)中對偶原理也有應(yīng)用。例如在電磁學(xué)中，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場與均勻介質(zhì)中的靜電場對偶，電流密度矢量J與電位移矢量D，電流I與電荷量q對偶，描述的也是點與線的關(guān)系。經(jīng)典物理學(xué)中的最高成就，除了牛三大運動定律，就是麥克斯韋J.Maxwell，1831-1879）方程組，具有極強的對稱性，描述了電與磁之間的關(guān)系。只可惜天妒英才，這位偉大的物理學(xué)家在1865年提出后不久就去世了。在愛因斯坦（AlbertEinstein,1879-1955）提出相對論后，許多經(jīng)典物理學(xué)中的公式和定義被改寫（包括牛頓三大定律，甚至對空間和時間的概念），惟一沒有變化的就是麥克斯韋方程組。具有優(yōu)美數(shù)學(xué)形式，描述了自然界的本質(zhì)的方程，歷經(jīng)滄桑之后仍能保持其本質(zhì)，也是理所當然的。對偶原理是自然界最基本的原理之一，事實上，能夠被稱為“原理”的命題寥寥無幾。4、二次曲線在射影幾何上的應(yīng)用二次曲線是解析幾何中研究的一個重要內(nèi)容，有許多種定義方法。為了更好研究它的性質(zhì)，給出幾種定義方法：1、平面中與兩個定點F、F的距離之和等于定值2aQaFFI）12121的動點P的軌跡叫做橢圓。這是我們最熟悉的一種橢圓的定義方式。同樣，到兩個定點的距離之差為定值的點的軌跡稱為雙曲線。這兩個定點叫做焦點。拋物線的焦點可以理解在一個無窮遠點處。我們初中學(xué)過的反比例函數(shù)的圖像也叫做雙曲線，和這里的雙曲線是不是一樣呢？事實上，反比例函數(shù)是雙曲線的一種特殊形式：等軸雙曲線。對勾函數(shù)實際上也是雙曲線，并且有兩條對稱軸（以前可能以為它只有對稱中心）。2、平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線的距離之比為定值e的點的軌跡。e就是我們熟悉的離心率，定點就是二次曲線的焦點，e=1時為拋物線，e>1時為雙曲線，e<1時為橢圓。3、到兩個頂點斜率之積為定值的點的軌跡。定值大于0時為雙曲線，小于0為橢圓。特別地，定值為-1時為圓。4、幾何定義：用一個平面去截一個上下圓錐面，得到的交線就是二次曲線。因為這個定義，二次曲線也被叫做圓錐曲線。圓錐曲線這個名詞實際上更常用一些。

①②③將第一種定義與這種定義統(tǒng)一有一個非常巧妙的證明：丹德林的球雹擇畫球線與方程第二章肝史上.許$人，從她見何角度出發(fā)苗這個例趣進行過研究，其中教學(xué)家SrminaLIWelin的方擊非常巧妙，應(yīng)15堆內(nèi)放兩個大小不同的球，優(yōu)待它們分別與浙維的保而.欖而相切.兩個球分弱與他面相加于點E.匕在截寸尚維上任取一點住.此奴A作到城搟牛？V分冽烏浦個峰和幼于咨一〔'-技山球和圓仙兒何怪鼎.可以知近AE-AC\AF=Alf.于是AE+AF=AB+AC=配.由切點氏（"的產(chǎn)生方注可異，它們之何的距藕戚葺定值.達杵.赦寸曲既上任談一點A到兩個建點4｝的距離之和為常教.由劇潮的定X.可如.我甘曲任足撼HL（；『『血如』1X0攻lin的工井非嘲珂妙,極J］鋼他勝.看,他的工作后，休有這方面的體會嗎？如困？.；n—個與㈤柱的摩線研吏的平面蛻回柱’得到一奈成.寸曲虬體能仿題上述方炫.證明枚口曲蛇也是槌即嗎？5、形如Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲線叫二次曲線。這就是二次曲線的解析定義。二次曲線和這種方程是對應(yīng)的。下面將從兩個對偶的方面研究二次曲線的射影定義。圓是一種特殊的圓錐曲線，圓錐曲線可以定義為：一個圓在平面上的投影。但這并不是純粹的射影定義，因為圓是度量幾何的內(nèi)容。眾所周知，圓有一個這樣的度量性質(zhì)：一給定圓弧對的圓周角相等?？紤]圓周上的四個點A、B、C、D，它就和交比這個射影的概念有關(guān)了。連接四個點與圓上的第五點O的四條直線a,b,c,d將有交比(ab,cd)并且這個交比不取決于O點的位置?，F(xiàn)在把圓射影成任意二次曲線K，交比在射影中是不變的，這樣引出：把二次曲線K上任意四點A、B、C、D和第五個點O用直線a、b、c、d連接起來，交比與O的位置無關(guān)。二次曲線這些射影性質(zhì)，啟發(fā)了我們對二次曲線的作圖采取更一般的方法：先定義通過O的所有直線為一線束。二次曲線上有O,O’兩點，通過他們的線束可以建立這樣的一一對應(yīng)：O的線束的任意四條直線a、b、c、d與O’的線束的對應(yīng)直線有相同的交比，這一對應(yīng)被稱為線束之間的射影對應(yīng)。顯然這是點與點之間的射影對應(yīng)的對偶定義。二次曲線的純粹射影定義為：二次曲線是射影對應(yīng)的線束中相應(yīng)直線交點的軌跡。(二次曲線是點的軌跡)

射影定義的圓

用射影定義橢圓并不是很方便，因為交比并不是一個可以直接度量的量。并且交比趨向無窮時，直線會收縮在第一個點處。下面從另一個方面研究二次曲線的性質(zhì)。容易證明二次曲線這樣一個基本的射影性質(zhì)：二次曲線任意的四個固定的切線與第五個切線的交點的交比，與第五個點的位置無關(guān)。之所以說容易，是因為很容易在園中證明這一性質(zhì)，而射影后交比不變。證明：對于圓來說，證明這個定理是初等幾何的問題。設(shè)P,Q,R,S是圓上任意切線a,b,c,d的四個切點，丁是另一切線o的切點，切線o交a,b,c,d于點A,B,C,D如果肱是圓心，則顯然有ZTMA=1ZTMP,1ZTMP等于弧TP所22對的K上的圓周角。類似地，ZTMB等于弧TQ所對的K上的圓周角。因此點A,B,C,。是從M出發(fā)的四條射線的投影，這四條射線的角是由P,Q,R,S的固定位置給出的。由此推出交比(AB,CD)僅依賴于四條切線a,b,c,d,而不依賴于第五條切線o的特殊位置。這個定理啟發(fā)我們用上一個作圖方法的對偶方法。如果兩條直線上的點存在著射影對應(yīng)（無論它是怎么確定的），那么它上面的四對對應(yīng)點有相同的交比。這也被稱做點類之間的射影對應(yīng)。它表明：一個二次曲線K（看做是它的切線族）是由兩條射影對應(yīng)的直線對應(yīng)點的連線組成的。它與上面定義的橢圓有一個同樣的弊端，即交比趨于無窮時，直線會收縮于一條定直線。（二次曲線是線曲線）比較一下上面兩種定義方法：I一個二次曲線是由點集組成的：它是兩個射影對應(yīng)的線束中對應(yīng)直線的交點。II一個二次曲線是由直線集組成的：它是兩個射影對應(yīng)的點類中連接對應(yīng)點的直線。以上兩種定義方法都是有些復(fù)雜的，但是它卻指出了這樣一個結(jié)論：五點確定一條二次曲線。只要把其中兩個點看做射影點，剩下三個點用于計算交比即可。這是前幾種非解析的定義辦法中難以做到的。5、布列安桑定理和帕斯卡定理布列安桑定理：六條邊都和一條二次曲線相切的六邊形的三條對角線三線共點。帕斯卡定理：二次曲線的內(nèi)接六邊形的三對對邊（所在直線）的交點共線。這里的六邊形可以是任何形狀，甚至是重疊的，這里的交點當然也包括無窮遠點。顯然這兩個定理是對偶的。用其他初等幾何的方法也可以給出這兩個定理的證明，但是利用射影幾何顯得更為直接簡潔。我們可以把其中的一條邊投影到無窮遠處（這是允許的），從而只需對一個特殊情形進行證明。但這里的證明技巧不是所要求的，感興趣的同學(xué)可查閱相關(guān)資料。

6、二次曲線蝴蝶定理蝴蝶定理：設(shè)沖為二次曲線的弦PQ的中點，過M作兩條弦AB和CD,若AD和BC分別相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點。這個命題作為一個征解問題最早出現(xiàn)在1815年英國一本雜志《男士日記》。登出的當年英國一位自學(xué)成才的數(shù)學(xué)教師W.G.霍納給出了第一個證明，證明過程完全是初等的；另一證明由理查德?泰勒給出。另一種早期的證明由M.布蘭德在《幾何問題》（1827）一書中給出。最為簡便的證法是利用射影幾何的證法（也就是我們要給出的證法），英國的J?開世在（《近世幾何學(xué)初編》，李儼譯，上海商務(wù)印書館，1956）給出，只用了一句話，就是線束的交比。1981年，《Crux》雜志刊登K.薩蒂亞納拉亞納利用解析幾何給出一種較為簡單的方法（直線束和二次曲線束）。D"■.ID"■.I：非：I-.二..AL.A一的￡11n.L，_「