數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中考命題研究河北省中考數(shù)學(xué)綜合闖關(guān)專題四猜想與證明(資料)9802

數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中考命題研究河北省中考數(shù)學(xué)綜合闖關(guān)專題四猜想與證明(資料)9802數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中考命題研究河北省中考數(shù)學(xué)綜合闖關(guān)專題四猜想與證明(資料)98021/19數(shù)學(xué)知識點(diǎn)中考命題研究河北省中考數(shù)學(xué)綜合闖關(guān)專題四猜想與證明(資料)9802猜想與證明專題命題規(guī)律．猜想與證明問題河北中考近8年共觀察8次，為每年必考內(nèi)容，都是以解答題的形式出現(xiàn)，分值為9－14分．．觀察種類：(1)與圖形的位似相關(guān)，研究兩條邊之間的關(guān)系，此類題在2012年觀察過一次，主若是利用三角形的性質(zhì)來解決，分值為9分；(2)與尺規(guī)作圖相關(guān)，利用正方形的性質(zhì)研究邊與邊之間的關(guān)系，其中有一問會(huì)涉及到怎樣作圖，此題在2011年觀察過一次，分值為9分；(3)與旋轉(zhuǎn)相關(guān)，主若是利用旋轉(zhuǎn)前后的性質(zhì)，分別涉及到直線和正方形，在2010年和2009年觀察過，分值為10分，在2013年觀察過，分值為11分；(4)折疊問題主若是折疊過程中對圖形變化詳盡情況的解析，此題在2014年觀察過，分值為11平移相關(guān)，2015年觀察，分值14分，平移問題主若是用到了平移前后的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)，研究邊與邊之間的關(guān)系，在2008年觀察過，分值為10分．2016展望預(yù)計(jì)2016年河北中考仍會(huì)重點(diǎn)觀察此內(nèi)容，在訓(xùn)練時(shí)多做涉及利用三角形全等、三角形相似等相關(guān)的知識的綜合題．,中考重難點(diǎn)打破)與圖形旋轉(zhuǎn)相關(guān)的問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例1】(2010河北中考)在圖①至圖③中，直線MN與線段AB訂交于點(diǎn)，∠1＝∠＝45°.(1)如圖①，若AO＝OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和地址關(guān)系；(2)將圖①中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)獲得圖②，其中AO＝求證：AC＝BD，AC⊥BD；(3)將圖②中的OB拉長為的k倍獲得圖③，求BD的值．AC【學(xué)生解答】【方法指導(dǎo)】(1)在研究兩線段的數(shù)量關(guān)系常常以三角形全等也許相似為工具，由對應(yīng)角的關(guān)系獲得兩線段相等也許成對應(yīng)比率．有時(shí)需先進(jìn)行等量代換，將兩線段放到相似三角形或全等三角形中，若出現(xiàn)直角三角形，則利用直角三角形的性質(zhì)求解．(2)兩線段的地址關(guān)系平時(shí)為平行或垂直．先觀察圖形，依照圖形先推測兩線段的地址關(guān)系是平行或垂直．若1平行，則常經(jīng)過以下方法進(jìn)行證解：①平行線的判判定理；②平行四邊形對邊平行；③三角形中位線性質(zhì)等．若垂直，則可考慮以下路子：①證明兩線段所在直線夾角為90°；②兩線段是矩形的鄰邊；③兩線段是菱形的對角線；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明．．(2015重慶中考)在△ABC中，AB＝AC，∠＝°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF＝°，DE與線段AB訂交于點(diǎn)，DF與線段AC(或AC的延長線)訂交于點(diǎn)F.(1)如圖1，若DF⊥AC，垂足為，AB＝4，求BE的長；(2)如圖2，將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)必然的角度，DF仍與線段AC訂交于點(diǎn)F.求證：BE＋CF＝12AB；(3)如圖3(2)中的∠EDF連續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)必然的角度，使DF與線段AC的延長線交與點(diǎn)DN⊥AC于點(diǎn)，若DN＝FN，求證：BE＋CF＝3(BE－CF)．．(2015龍東中考)已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過、、C分別作BD⊥m于，ME⊥m于，CF⊥m于F.1(1)當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，如圖①，易證EM＝CF(不需證明)；2(2)當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖②、圖③的地址時(shí)，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明．2與圖形相似、位似相關(guān)的問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例2】(2014河北中考)如圖①，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以，C為直角極點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在的同側(cè)．(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________，AE和ED的地址關(guān)系為________；(2)在圖①中，以點(diǎn)E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD，分別獲得了圖②和圖③.①在圖②中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是∶，H是EC的中點(diǎn)．求證：GH＝HD，GH⊥HD.②在圖③中，點(diǎn)F在BE的延長線上，△與△EAB的相似比是k∶，若BC＝2，請直接寫出CH的長為多少時(shí)，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD(用含k的代數(shù)式表示)．【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CDAEB＝∠DEC＝45°AED＝90°，故AE⊥ED.(2)由△HGF≌△DHC可證GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，又∵EF＝k，∴當(dāng)CH＝k時(shí)可得CH＝FG＝k，進(jìn)而證明△HFG≌△DCH，獲得GH＝HD，GH⊥HD.【學(xué)生解答】【方法指導(dǎo)】(1)在研究兩線段的數(shù)量關(guān)系常常以三角形全等也許相似為工具，由對應(yīng)角的關(guān)系獲得兩線段相等也許成對應(yīng)比率．有時(shí)需先進(jìn)行等量代換，將兩線段放到相似三角形或全等三角形中，若出現(xiàn)直角三角形，則利用斜邊的中線等于斜邊的一半或30°角所對的直角邊為斜邊的一半進(jìn)行等量代換．(2)兩線段的地址關(guān)系平時(shí)為平行或垂直．先觀察圖形，依照圖形先推測兩線段的地址關(guān)系是平行或垂直．若平行，則常經(jīng)過以下方法進(jìn)行證解：①平行線判斷的定理；②平行四邊形對邊平行；③三角形中位線性質(zhì)等．若垂直，則可考慮以下路子：①證明兩線段所在直線夾角為90°；②兩線段是矩形的鄰邊；③兩線段是菱形的對角線；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明．MN與線段AB交于點(diǎn)C在直線MNACN＝135°O為位似中心，作△BOD與△AOC位似．3(1)如圖①，若△BOD與△的位似比為∶，寫出AC與的數(shù)量關(guān)系和地址關(guān)系；(2)在圖②中，若△BOD與△的位似比為∶1，∠BEM＝°，寫出AC與BE的數(shù)量關(guān)系和地址關(guān)系，并證明；(3)在圖③中，若△BOD與△的位似比為k∶，∠BEM＝°，求BE∶AC的值．與圖形折疊、平移相關(guān)的問題【經(jīng)典導(dǎo)例】︵︵【例3】(2014河北中考)圖①和圖②中，優(yōu)弧AB所在⊙O的半徑為2，AB＝23.點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與，B重合)，將圖形沿BP折疊，獲得點(diǎn)A的對稱點(diǎn)′.(1)點(diǎn)O到弦AB的距離是________，當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，∠ABA′＝________；(2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，如圖②，求折痕BP的長；︵(3)若線段BA′與優(yōu)弧AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)∠ABP＝α，確定α的取值范圍．【解析】(1)作垂線OC，即為O到AB的距離．依照垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系以及三角函數(shù)即可得解．(2)由(1)得OC長度以及半徑OBOBC的正弦值，進(jìn)而求得∠.利用∠ABP與∠OBC的關(guān)系求出∠OBP的角度，依照直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算即可．(3)如解圖③所示：在折疊過程中，BP的4個(gè)特別地址，點(diǎn)′落在以B為圓心、BA為半徑的虛線圓弧上，觀察圖形由線段BA′與圓心O的地址可確定α的范圍．【學(xué)生解答】4【方法指導(dǎo)】解此題第(3)問的重點(diǎn)在于折疊過程中對圖形變化詳盡情況的解析，也是對第(1)、(2)問情況的︵綜合．在分類談?wù)摝恋淖畲笕≈禃r(shí)，很難想象出優(yōu)弧AB完好折疊過去時(shí)的情況，即P點(diǎn)立刻與B點(diǎn)重合時(shí)α的數(shù)值，能夠先在圖中畫出點(diǎn)、B重合時(shí)的情況，重合時(shí)α為一個(gè)臨界點(diǎn)，找到此臨界點(diǎn)，再使α小于此臨界點(diǎn)即可解決．．(2015天津中考)將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(30)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)O(0，0)．過邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)，A重合)作MN⊥AB于點(diǎn)，沿著MN折疊該紙片，得極點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為′.設(shè)OM＝，折疊后的△′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)′與極點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)′落在第二象限時(shí)，′M與OB訂交于點(diǎn)，試用含m的式子表示；(3)當(dāng)＝324時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)．與尺規(guī)作圖相關(guān)的問題【經(jīng)典導(dǎo)例】【例4】(2014河北中考)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)，K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長線上，且CE＝BK＝AG.(1)求證：①DE＝DG；②DE⊥DG；(2)尺規(guī)作圖：以線段DE，為邊作出正方形DEFG(要求：只保留作圖印跡，不寫作法和證明)；(3)連接(2)中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特別四邊形，并證明你的猜想；CE(4)當(dāng)＝CB1n時(shí)，請直接寫出S正方形ABCD的值．S正方形DEFG5【解析】(1)由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再經(jīng)過等量代換證明DE⊥DG；(2)依照正方形的性質(zhì)分別以點(diǎn)、E為圓心，以DG為半徑畫弧交于點(diǎn)，獲得正方形DEFG；(3)由已知第一證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形；(4)設(shè)CE＝x，由已知CE＝CB1n，表示出及CD，利用勾股定理求出DE2，進(jìn)而得2，進(jìn)而得到2BC，即為所求．DE【學(xué)生解答】【方法指導(dǎo)】在判斷四邊形為平行四邊形時(shí)，(1)若已知一組對邊平行，能夠考慮利用證明這組對邊相等，或證明另一組對邊平行；(2)若已知一組對邊相等，能夠考慮證明這組對邊平行或另一組對邊相等；(3)若已知一組對角相等則需要證明其他一組對角也相等；(4)若已知一條對角線均分時(shí)則需證明其他一組對角線也均分．在證明邊相等時(shí)，將這兩組對邊放在兩個(gè)三角形中，并證明這兩個(gè)三角形全等；在證明邊平行時(shí)，需要用題目中的條件找到角之間的關(guān)系再利用平行線的判斷證明．．(2015麗水中考)如圖，已知△ABC，∠＝90°，AC＜BC，D為上一點(diǎn)，且到，B兩點(diǎn)的距離相等．(1)用直尺和圓規(guī)，作出點(diǎn)D的地址(不寫作法，保留作圖印跡)；(2)連接AD，若∠＝37°，求∠CAD的度數(shù)．．(2015濟(jì)寧中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一個(gè)外角．實(shí)踐與操作：依照要求尺規(guī)作圖，并在圖中注明相應(yīng)字母(保留作圖印跡，不寫作法)．(1)作∠DAC的均分線AM；(2)作線段AC的垂直均分線，與AM交于點(diǎn)，與BC邊交于點(diǎn)；猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．6．(2015太原中考)如圖，△是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)尺規(guī)作圖：作⊙，使它與AB相切于點(diǎn)，與AC訂交于點(diǎn)，保留作圖印跡，不寫作法．請注明字母．︵(2)在你按(1)中要求所作的圖中，若BC＝，∠＝°，求DE的長．7拓展種類一與點(diǎn)的地址變化相關(guān)的問題．(2014牡丹江中考)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN＝60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB交直線于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖①，求證：CF＋BE＝CD；(提示：過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M.)(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時(shí)，如圖③.請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在(2)條件下，若∠ADC＝30°，△ABC＝43，則BE＝________，CD＝________．拓展種類二與圖形變化相關(guān)的問題．(2015石家莊模擬)研究并證明以下問題：(1)如圖①，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)，且∠AOB＝60°，點(diǎn)P為線段上任意一點(diǎn)，以AP為邊作等邊三角形APF，連接BF，求證：BF＝OP.(2)如圖②，在正方形ABCD，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APMN，F(xiàn)為正方形APMN的中心，連接BF，直接寫出BF與CP的數(shù)量關(guān)系________．(3)如圖③，在菱形ABCD中，AB∶AC＝∶，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，以AP為對角線作菱形AEPM，滿足∠ABC＝∠AFP，連接BF，猜想BF與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．8．(2014河南中考)