2023學(xué)年2022版 第2章 習(xí)題

2.2.2向量的減法1.理解向量減法的意義及減法法則.重點(diǎn)2.掌握向量減法的幾何意義.難點(diǎn)3.能熟練地進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算.易混點(diǎn)[基礎(chǔ)·初探]教材整理向量的減法閱讀教材P66～P67的全部?jī)?nèi)容，完成下列問(wèn)題．1.向量減法的定義若b＋x＝a，則向量x叫做a與b的差，記為a－b，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．2.向量的減法法則如圖2-2-10所示，以O(shè)為起點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，即當(dāng)向量a，b起點(diǎn)相同時(shí)，從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量就是a－b.圖2-2-10判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→)).()(2)若－b與a同向，則a－b與a同向.()(3)向量的減法不滿足結(jié)合律.()(4)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)).()【解析】(1)×.eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(QP,\s\up7(→))；(2)√.－b與a同向，則a－b＝－b＋a與a同向.(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b).(4)√.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[小組合作型]向量減法的運(yùn)算化簡(jiǎn)下列式子：(1)eq\o(NQ,\s\up7(→))－eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(NM,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→)))－(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→))).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48582081】【精彩點(diǎn)撥】充分利用向量減法的運(yùn)算律求解.【自主解答】(1)原式＝eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))－(eq\o(NM,\s\up7(→))＋eq\o(MP,\s\up7(→)))＝eq\o(NP,\s\up7(→))－eq\o(NP,\s\up7(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→)))－(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))＋(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0.運(yùn)用向量減法法則運(yùn)算的常用方法：1可以通過(guò)相反向量，把向量減法的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.2運(yùn)用向量減法的三角形法則，此時(shí)要注意兩個(gè)向量要有共同的起點(diǎn).3引入點(diǎn)O，逆用向量減法的三角形法則，將各向量起點(diǎn)統(tǒng)一.[再練一題]1.化簡(jiǎn)：eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝________.【解析】原式＝(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0.【答案】0用已知向量表示其它向量如圖2-2-11所示，已知eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，eq\o(OE,\s\up7(→))＝e，eq\o(OF,\s\up7(→))＝f，試用a，b，c，d，e，f表示：圖2-2-11(1)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))；(3)eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)).【精彩點(diǎn)撥】尋找圖中已知向量和所表示向量之間的關(guān)系，然后利用向量的加(減)法解決.【自主解答】(1)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))，∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，∴eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝d－b.(2)∵eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋(eq\o(OF,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OF,\s\up7(→))＝f，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝b＋f－a－c.(3)eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(OF,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→))，∵eq\o(OF,\s\up7(→))＝f，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，∴eq\o(BF,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→))＝f－d.用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)些向量的技巧：1首先，觀察待表示向量的位置；2其次，尋找或作相應(yīng)的平行四邊形和三角形；3再次，運(yùn)用法則找關(guān)系；4最后，化簡(jiǎn)結(jié)果.[再練一題]2.如圖2-2-12，解答下列各題：圖2-2-12(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up7(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up7(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up7(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up7(→)).【解】由題意知，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝c，eq\o(DE,\s\up7(→))＝d，eq\o(EA,\s\up7(→))＝e，則(1)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝d＋e＋a.(2)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))＝－eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝e＋a＋b.(4)eq\o(EC,\s\up7(→))＝－eq\o(CE,\s\up7(→))＝－(eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→)))＝－c－d.[探究共研型]|a－b|與a，b之間的關(guān)系探究1若a與b共線，怎樣作出a－b?【提示】①當(dāng)a與b同向且|a|≥|b|時(shí)，在給定的直線l上作出差向量a－b；eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b；②當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時(shí)，在給定的直線l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b；③若a與b反向，在給定的直線l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則Beq\o(A,\s\up7(→))＝a－b.探究2結(jié)合探究1的圖示及向量的減法法則，探究|a－b|與a，b之間的大小關(guān)系？【提示】當(dāng)a與b不共線時(shí)，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；當(dāng)a與b同向且|a|≥|b|時(shí)，有：|a－b|＝|a|－|b|；當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時(shí)，有：|a－b|＝|b|－|a|.已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.【精彩點(diǎn)撥】|a＋b|＝|a－b|→判斷a與b的位置關(guān)系→求|a－b|的值.【自主解答】如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，以AB，AD為鄰邊作?ABCD.則eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up7(→))＝a－b，所以|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(→))|.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形.故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up7(→))|＝eq\r(|\o(AB，\s\up7(→))|2＋|\o(AD,\s\up7(→))|2)＝eq\r(62＋82)＝10，所以|a－b|＝10.1.以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，則兩條對(duì)角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up7(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記住.2.正確理解向量加(減)法的幾何意義，恰當(dāng)構(gòu)造幾何圖形，是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵.[再練一題]3.已知向量a，b，滿足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，求|a－b|.【解】在?ABCD中，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD為菱形，且AC⊥BD，交點(diǎn)為O，∴AO＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\f(1,2)，∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.1.化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))等于________.【解析】eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.【答案】02.若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【解析】若a，b為相反向量，則a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.∵a與－b共線，∴|a－b|＝2.【答案】023.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論正確的是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48582082】①eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))＝0；②eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))；【解析】∵ABCD是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))＝0，故①正確；又eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，故②正確；又eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))≠eq\o(BD,\s\up7(→))，故③錯(cuò)誤.【答案】①②4.如圖2-2-13，在四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up7(→))＝________.圖2-2-13【解析】由三角形法則可知eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→