T結(jié)構(gòu)力學(xué)之結(jié)構(gòu)的位移法及習(xí)題課講義

第十一章位移法§11-1位移法的基本概念§11-2等截面桿件的剛度方程§11-3無側(cè)移剛架的計算§11-4有側(cè)移剛架的計算§11-5位移法的基本體系§11-6對稱結(jié)構(gòu)的計算§11-7支座位移和溫度改變時的計算§11-0簡介1位移法與力法一樣，是計算超靜定結(jié)構(gòu)的一種方法，它比力法有更大的優(yōu)越性。位移法也可用來解靜定結(jié)構(gòu)，也就是說位移法比力法具有更大的通用性。矩陣位移法——隨計算機的發(fā)展而形成的；位移法漸近法——力矩分配法、無剪力分配法；分層計算法(多層多跨剛架受豎向荷載作用時)；近似法——反彎點法(多層多跨剛架受水平荷載作用時)；D值法(廣義反彎點法)。2§11-1位移法的基本概念一、位移法的基本思路將結(jié)構(gòu)拆成桿件，再由桿件過渡到結(jié)構(gòu)。即：結(jié)構(gòu)拆成桿件結(jié)構(gòu)搭接成第一步第二步第一步：桿件分析找出桿件的桿端力與桿端位移之間的關(guān)系。即：建立桿件的剛度方程。第二步：結(jié)構(gòu)分析找出結(jié)構(gòu)的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系。即：建立結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。3位移法的實施過程，是把復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵螚U件的分析與綜合的問題。桿件分析是結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)，桿件的剛度方程是位移法基本方程的基礎(chǔ)。所以位移法又稱為剛度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移(角位移和線位移)。位移法與力法一樣，求解的第一步就要是確定結(jié)構(gòu)的基本未知量。4基本未知量的確定：基本未知量數(shù)目n=結(jié)點角位移數(shù)+獨立的結(jié)點線位移數(shù)結(jié)點角位移數(shù)=結(jié)構(gòu)的剛結(jié)點數(shù)(容易確定)獨立的結(jié)點線位移數(shù)的確定方法：將所有的剛結(jié)點變成鉸后，若有線位移則體系幾何可變，通過增加鏈桿的方法使體系變成無多余約束的幾何不變體系(靜定結(jié)構(gòu))時，需要增加的鏈桿數(shù)就是獨立的線位移數(shù)。圖11-1FEDCBAFEDCBAn=2(D、F)+1(D、E、F點的水平側(cè)移F)=35圖11-2EDCBA(a)(b)確定線位移圖EDCBAn=3(C、D、E)+2(D、E點的水平側(cè)移D、E)=5圖11-3(a)FEDCBAG(b)確定線位移圖FEDCBAGn=1(D)+2(C、F點的水平側(cè)移C、F)=36習(xí)題11-1用位移法計算下列各結(jié)構(gòu)時的基本未知量個數(shù)。(a)EIEA(1)當(dāng)EI、EA為無窮大時，(3)(2)當(dāng)EI、EA為有限值時，(6)習(xí)題11-1圖(b)(1)當(dāng)0時，(10)(2)當(dāng)=0時，(10)(c)(1)當(dāng)不考慮軸向變形時，(4)(2)當(dāng)考慮軸向變形時，(9)(d)(1)當(dāng)0時，(3)(2)當(dāng)=0時，(2)7三、解題途徑以圖11-4a所示結(jié)構(gòu)為例，介紹位移法的解題途徑。圖11-4(a)qABCPAA1、確定基本未知量(2個)

A、A=

2、設(shè)法求出A、

方法：把結(jié)構(gòu)拆成桿件(b)qAMABAB(1)AB桿的計算條件是：B端固定，A端有已知位移A、，并承受已知荷載q的作用。(c)PACMACA(2)AC桿的計算條件是：C端簡支，A端有已知位移A，并承受已知荷載P的作用。AMACMAB(d)ABQABQABMABMBAqP(e)QBA8注意：此處所說的已知位移僅僅是指，根據(jù)結(jié)構(gòu)與荷載知道結(jié)構(gòu)的結(jié)點將產(chǎn)生此種位移，并非知道其大小。(3)桿件分析：就是桿件在已知端點位移和已知荷載作用下的計算問題。得到的是桿件的剛度方程。3、整體分析(將桿件搭接成結(jié)構(gòu))桿件搭接時利用在A端各桿位移是相同的。作為變形協(xié)調(diào)條件。再利用結(jié)點A及結(jié)構(gòu)上某桿的平衡條件，即可得到位移法的基本方程。基本方程是用結(jié)點位移表示的平衡方程。解平衡方程，即可獲得結(jié)點位移A、

。4、位移法求解的關(guān)鍵就是求得結(jié)點位移。結(jié)點位移一旦求出，余下的問題就是桿件的計算問題。95、計算各桿的桿端彎矩將A和代入桿件的桿端彎矩表達式，即可求出各桿端彎矩。6、作彎矩圖：根據(jù)桿端彎矩和桿件所受荷載作M圖。再按第三章的方法作剪力圖和軸力圖。以上是位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的基本過程。從介紹的過程中，大家應(yīng)該清楚：(1)位移法主要是計算出結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移，其余是桿件計算。(2)位移法將整體結(jié)構(gòu)拆成的桿件不外乎三種“單跨超靜定梁”：兩端固定梁；一端固定、一端簡支梁；一端固定、一端滑動梁。最后提出：桿件的計算作為預(yù)備知識在下一小節(jié)介紹。10§11-2等截截面面桿桿件件的的剛剛度度方方程程位移移法法計計算算的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)是是：：單單跨跨超超靜靜定定梁梁具具有有支支座座移移動動和和外外荷荷載載作作用用時時的的桿桿端端力力的的計計算算。。用到到的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)是是：：形常常數(shù)數(shù)和載常常數(shù)數(shù)。(1)已知知桿桿端端位位移移求求桿桿端端彎彎矩矩———形常常數(shù)數(shù)；(2)已知知荷荷載載作作用用時時求求固固端端彎彎矩矩———載常常數(shù)數(shù)。一、、由由桿桿端端位位移移求求桿桿端端彎彎矩矩(獲得得剛剛度度方方程程)(1)基本本情情況況圖11-5所示示為為一一等等接接截截面面桿桿件件AB，截面面慣慣性性矩矩I為常常數(shù)數(shù)。。已已知知端端點點A和B的角位位移分分別為為A和B，兩端垂垂直桿桿軸的的相對對位移移為，擬求求桿端端彎矩矩MAB和MBA。11(2)桿端位位移與與桿端端彎矩矩的符符號規(guī)規(guī)定AB桿：桿桿端位位移A、B、弦轉(zhuǎn)角角(=/l)、桿端彎彎矩MAB和MBA一律以以順時針針為正正。特別注注意：：第一一點，式=/l中的是A、B兩點的的相對對豎向向位移移。在在結(jié)構(gòu)構(gòu)中的的桿件件有兩兩端都都出現(xiàn)現(xiàn)豎向向位移移的情情況(多層多多跨剛剛架中中中間間層柱柱的側(cè)側(cè)移，，就是是這種種情況況)，這時時一定定要注注意取取的是是兩端端的相相對側(cè)側(cè)移。第二點點，此時時的彎彎矩符符號規(guī)規(guī)定，，只是是針對對桿端端彎矩矩而言言，而而不是是針對對桿間間的任任一截截面的的彎矩矩。圖11-5MABEIAQABBQBAMBAlBA12當(dāng)取桿件為為隔離離體時，把把桿端端彎矩矩作為為外力力，一一律以以順時針針為正正；當(dāng)取取結(jié)點為為隔離離體時，把把桿端端彎矩矩作為為外力力，一一律以以逆時針針為正正。但是是，當(dāng)當(dāng)作彎彎矩圖圖時，，桿端端彎矩矩為桿桿件的的內(nèi)力力，遵遵循通通常的的符號號規(guī)則則，彎彎矩圖圖畫在在受拉拉側(cè)。。(3)剛度方方程的的推導(dǎo)導(dǎo)①圖圖11-6所示簡簡支梁梁圖11-6(a)MABAEIlABBMBA已知：：兩端力力偶MAB、MBA，求桿端轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角A、B。利用第第八章章計算算位移移的方方法——單位荷荷載法法求解。。MPMABMBAM1P=1113APMM1圖進行圖乘可求得圖與q-=-=-BAABBAABBAABAMiMiEIlMEIlMlMlMEI613163)31213221(1=q=lEIi稱為線剛度。式中，+-BAABBBMiMi3161=，同理，可求qq(11-2)+--BAABBBAABAMiMiMiMi31616131==即：qq②考考慮慮桿件件兩端端的豎豎向相相對位位移時時，求求A、B。圖11-6(b)AEIBlBAlBAD===jqq(11-3)14③綜合考考慮兩種情情況就可得得到下式：：(11-4)D++-D+-lMiMilMiMiBAABBBAABA31616131＝＝qq解(11-4)式，可得式式(11-5)，即：轉(zhuǎn)角位移方方程(11-5)liiiMliiiMBABABAABD-+=D-+=642624qqqq④桿端剪剪力QAB、QBA+-==)(1MMlQQBAABBAAB由平衡條件可得桿端剪力：即：(11-6)D+--==21266lililiQQBABAABqq15⑤剛度方方程兩式是桿端端力與桿端端位移之間間的關(guān)系，，用矩陣形形式表示，，即稱為彎彎曲桿件的的剛度方程。(11-7)D----=BAABBAABlilililiiiliiiQMMqq21266642624----lilililiiiliii21266642624左邊的矩陣陣稱為彎曲曲桿件的剛度矩陣。其中的元素素稱為剛度系數(shù)。剛度系數(shù)只只與桿件的截截面尺寸和材材料的性質(zhì)有有關(guān)，稱為““形常數(shù)”。16(4)討論桿件在一一端具有不同同支座時的剛剛度方程①B端為固定端(圖11-7a)圖11-7(a)EIBAlMBAMBAAA此時，B=0代入(11-5)式(11-8)可得：liiMliiMABAAABD-=D-=6264qq②B端為鉸支座(圖11-7b)(b)lAMBAAAEIB此時，MBA=0代入(11-4)式中的第一式，可得：(11-9)liiMAABD-=33q③B端為滑動支座座(圖11-7c)lMBAEIBMBABAA(c)17此時，B=0、QBA=QBA=0，代入(11-6)式Alq21=D可得：將此式代入(11-5)式，則有：(11-10)ABAAABiMiMqq-==由以上的分析析過程可知：：利用(11-5)~(11-10)式，可在桿端端位移A、B、已知的情況下下求出桿端彎彎矩。當(dāng)桿端位移A、B、分別為單位位位移時，各桿桿端力即為桿桿件彎曲時的的剛度系數(shù)。例如兩端固固定時有A=1MABMBAliQQBAAB6-==iMMBAAB24i==18二、由荷載求求固端彎矩此時，僅考慮慮外荷載作用用，可以用力力法求出各種種單跨超靜定定梁在不同荷荷載作用下的的桿端彎矩和和桿端剪力，，把它們稱為為“固端彎矩”和“固端剪力”。固端彎矩和固端剪力因只與荷載形式有關(guān)，稱為載常數(shù)。用“mAB、mBA、QAB、QBA表示固端彎矩和固端剪力。為便于計算，將有關(guān)結(jié)果列于表11-1，供解題時使用。等截面兩端固固定梁同時有有荷載和桿端端位移時，可可用“疊加原理”得出各桿端端彎矩和剪力力的表達式(11-12)和(11-13)。式(11-12)BABABAABBAABmliiiMmliiiM+D-+=+D-+=642624qqqq19BABABAABBAABQlililiQQlililiQ+D+--=+D+--=2212661266qqqq式(11-13)表11-1等截面桿件的固端彎矩和固端剪力321兩端固支固端剪力固端彎矩(以順時針轉(zhuǎn)向為正)簡圖編號203022qlmqlmBAAB+=-=2222lbPamlPabmBAAB+=-=)21(22lblPaQBA+-=)21(22lalPbQAB++=2qlQBA-=2qlQAB+=122qlmBA+=122qlmAB-=207qlQBA-=203qlQAB+=qABlqABlPABba206一端固定另一端鉸支5兩端固支74固端剪力固端彎矩(以順時針轉(zhuǎn)向為正)簡圖編號qlmAB82-=qlmAB152-=qlQBA101-=qlQAB52+=qlQBA83-=qlQAB85+=D-=BAhtEImaD=ABhtEIma0=BAQ0=ABQ2PQBA-=2PQAB+=8PlmBA+=8PlmAB-=續(xù)表11-1PABl/2l/2t1ABt2t=t1-t2qABlqABl21101198一端固定另一端鉸支固端剪力固端彎矩(以順時針轉(zhuǎn)向為正)簡圖編號322)3(lalPaQBA--=3222)3(lblPbQAB-+=2222)(lblPbmAB--=PlmAB163-=hltEIQQBAAB23D-==ahtEImAB23D-=aqlmAB12072-=PQBA165-=PQAB1611+=qlQBA4011-=qlQAB409+=續(xù)表11-1qABlPABbaPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t22215141312一端固定另一端滑動支承固端剪力固端彎矩(以順時針轉(zhuǎn)向為正)簡圖編號0=右BQ+=左BPQ+=ABPQ2-==BAABPlmm0=BAQ0=ABQD-=BAhtEImaD=ABhtEIma22-=BAlPam)2(2--=ABallPam0=BAQ+=ABPQ62-=BAqlm32-=ABqlm0=BAQ+=ABqlQ續(xù)表11-1qABlPABbaABlP+t1AB+t2t=t1-t223§11-3無側(cè)移剛架的的計算位移法求解超超靜定結(jié)構(gòu)時時，根據(jù)位移移法的基本原原理，有兩種種建立位移法法基本方程的的方法。即：：1、直接桿端彎彎矩法；2、基本體系法法(附加約束法)。無側(cè)移剛架：若剛架的各各結(jié)點(不包括支座)只有角位移而而沒有線位移移，這種剛架架稱為無側(cè)移移剛架。連續(xù)梁的計算算屬于無側(cè)移移剛架問題。。一、連續(xù)梁的的位移法計算算24通過連續(xù)梁的的位移法計算算，說明位移移法的解題過過程。圖11-8a所示的兩跨連連續(xù)梁，求作作彎矩圖(M圖)。圖11-8(a)ABC20kN2kN/m3m3m6m1、確定基本未未知量在荷載作用下下，只有一個個基本未知量量，即：B2、計算各桿的固固端彎矩AB梁是兩端固定定梁，在跨中中有集中荷載載作用，且在在B端有轉(zhuǎn)角B。BC梁是B端固定、C端簡支的梁，，梁上有均布布荷載作用，，且在B端有轉(zhuǎn)角B。)4111(1586208序號－查表mkNPlmmBAAB-==-=-=-25)6111(9862822序號－查表mkNqlmBC-=-=-=3、寫出各桿桿端彎矩的的表達式(令各桿的的線剛度度均為i)1522-=+=BABBABimiMqq1544+=+=BBABBAimiMqq933-=+=BBCBBCimiMqq4、建立位位移法基基本方程程(取結(jié)點B為隔離體體如圖11-8b)MBAMBCB(b)圖11-80=+BCBAMM0=BM067=+Biq即，位移法基本方程為：5、求基本本未知量量B(解基本方方程)iB76-=q266、計算各各桿端彎彎矩(將B代入桿端端彎矩的的表達式式)mkNiiimiMBABBAB-=--=-=+=)(72.1615)76(21522qqmkNiiimiMBBABBA=+-=+=+=)(57.1115)76(41544qqm)kNiiimiMBBCBBC-=--=-=+=(57.119)76(3933qq7、作彎矩矩圖根據(jù)各桿桿端彎矩矩的值，，利用疊疊加原理理作M圖如圖11-8c。圖11-8(c)11.5716.7215.853.21M圖(kNm)309需注意：：此時若桿桿端彎矩矩為負值值，表示彎矩矩為逆時時針方向向。278、討論若在B點作用有有集中力力偶，位位移法的的基本方方程如何何建立。。(a)20kN20kN·m2kN/mABC3m3m6m圖11-9此時，對對作用在在B點的集中中力偶，，求固端端彎矩時時不考慮慮。在建建立位移移法的基基本方程程時考慮慮。取B結(jié)點為隔隔離體如如右圖(b)所示。20kN·mB(b)MBAMBC基本方程程為：MAB+MBC-20=0有：7iB-14=0B=2/i桿端彎矩矩表達式式不變，，彎矩圖圖如右(c)圖所示。。30112339137.5(c)M圖(kNm)28例11-1求作圖11-9a所示剛架架的彎矩矩圖。(a)q=20kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m圖11-10解：(1)基本未知知量有兩兩個：B，C。(2)求桿端彎彎矩固端彎矩矩可以查查表mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各桿剛度取相相對值，，設(shè)EI0=1，則有2921630==EIiCF43430==EIiBE1440==EIiCD1550==EIiBC1440==EIiBA由式式(11-5)，(11-8)，(11-9)，再再疊疊加加固固端端彎彎矩矩，，可可列列出出各各桿桿桿桿端端彎彎矩矩如如下下：：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33BBBEBEiMqq==34，BBBEEBiMqq==5.12CCCFCFiMqq==24，BCCFFCiMqq==230(3)位移移法法方方程程結(jié)點點B平衡衡，，MB=0(圖11-10b)BMBAMBCMBE(b)圖11-10MBA+MBC+MBE=0將上上步步結(jié)結(jié)果果代代入入得得10B+2C-1.7=0①①結(jié)點點C平衡衡，，MC=0(圖11-10c)CMCBMCDMCF(c)MCB+MCD+MCF=0將上上步步結(jié)結(jié)果果代代入入得得2B+9C+41.7=0②②(4)求基基本本未未知知量量解①、②兩方方程程，，得得B=1.15，，C=-4.8931(5)求桿桿端端彎彎矩矩將求求得得的的位位移移代代入入第第2步各各式式可可得得mkNMBA=5.43mkNMBC-=9.46mkNMCB=5.24mkNMCD-=7.14mkNMBE=4.3mkNMEB=73.1mkNMCF-=78.9mkNMCF-=89.4(6)作彎彎矩矩圖圖如如圖圖11-10d所示。3.4ABCDEFM圖(單位kN·m)1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)圖11-10注意：在本題中各桿桿用的是相對對剛度，求出出的位移并不不是真值。如如果要求位移移的真值，剛剛度也必須采采用真值。32如果在本題中中，令i=EI0/4，則有：iBA=iBC=iCD=4i，iBE=3i，iCF=2i。此時得到的位位移為：B=0.282/i，C=-1.202/i。它們都是真值，當(dāng)EI0值已知時，可直直接求出B、C。例11-2如圖所示的剛剛架，求作彎彎矩圖。EI=常數(shù)8mABCDEFP=20kNq=10kN/m6m8m1(a)圖11-1133對于此題，值值得注意的是是：EF桿F端的荷載對E的作用相當(dāng)于于一個結(jié)點力力偶矩。由結(jié)點E平衡，即ME=0，有：MED+MEC-20=0基本未知量為為E，令i=EI/8，基本方程為：：7iE+60=0計算結(jié)果為：：E=-60/(7i)=-8.57/i。ABCDEF54.292034.2917.1480M圖(單位kN·m)(b)圖11-1134§11-4有側(cè)移剛架的的計算有側(cè)移剛架：剛架除有結(jié)結(jié)點轉(zhuǎn)角位移移外，還有結(jié)結(jié)點線位移(獨立的結(jié)點線線位移)。注意：計算中忽略軸軸力對變形的的影響。這樣樣可以減少結(jié)結(jié)點線位移的的個數(shù)，使計計算得到簡化化(見圖11-12)。(a)CPDDDCCAB圖11-12(b)PDABEFC(c)CAPBDPEF221135由于忽略了桿桿件的軸向變變形，圖11-12中的每個圖的的同層橫梁上上結(jié)點的水平平側(cè)移相等(即獨立的結(jié)點點線位移只有有一個)，可以用一個個線位移符號號表示。下面用例題說說明位移法解解有側(cè)移剛架架的基本步驟驟與過程。例11-3圖11-13a所示的剛架，，柱的線剛度度為i，梁的線剛度為為2i，均布荷載集度度q=3kN/m，試作結(jié)構(gòu)的彎彎矩圖。(a)i2iiBACD8m4mq圖11-13解：1、基本未知量量剛結(jié)點B的轉(zhuǎn)角B和柱頂?shù)乃狡轿灰?圖11-13b)。(b)BACDB362、桿端彎矩表表達式利用前述的相相應(yīng)公式并疊疊加固端彎矩矩，可得各桿桿端彎矩-D-=-D-=iiiiMBBAB45.12431214622qq+D-=+D-=iiiiMBBBA45q==iiMBBBC6)2(3qqD-=D-=iiMDC75.043(a)3、建立位移法法基本方程首先先，，與與結(jié)結(jié)點點B角位位移移B對應(yīng)應(yīng)，，取取結(jié)結(jié)點點B為隔隔離離體體(圖11-13c)，列力力矩矩平平衡衡方方程程：：(c)MBCMBAB圖11-133700，=+=MMMBCBAB(b)①045.110=+D-iiBq利用(a)式可得：然后后，，與與橫橫梁梁水水平平位位移移對應(yīng)應(yīng)，，取取橫橫梁梁BC為隔隔離離體體(圖11-13d)，列出出水水平平投投影影方方程程：：(d)BCQBAQCD圖11-13X0，CDBAQQ0=+=(c)這里里關(guān)關(guān)鍵鍵是是求求出出兩兩豎豎柱柱頂頂端端的的剪剪力力QBA和QCD(圖11-13e、f)。(e)q4mQABQBAMBAMABABAM0，BAABBAMMQ6)(41-+-==(f)4mMDCQDCQCDCDDM0，DCCDMQ41-==將以以上上兩兩式式代代入入(c)可得得：：38024=+++MMMDCBAAB(d)②02475.36=+D-iiBq再利用(a)式可得：4、求求基基本本未未知知量量B和聯(lián)立立求求解解①①、、②②兩兩式式，，即即得得B和。iB1737.0=qi158.7=D5、計算各各桿端彎彎矩將基本未未知量B和代入各桿桿端彎矩矩的表達達式，即即有：mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(439mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.06、作M圖(圖11-13g)13.624.425.694.426M圖(單位kN·m)BACD(g)圖11-13一般說來來，位移法的的基本方方程是靜靜力平衡衡方程。注意和和力法基基本方程程對比。?；疚粗恐忻棵恳粋€轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角有一一個相應(yīng)應(yīng)的結(jié)點點力矩平平衡方程程，每一一個獨立立結(jié)點線線位移有有一個相相應(yīng)的截截面平衡衡方程。。平衡方方程的個個數(shù)與基基本未知知時的個個數(shù)彼此此相等，，正好解解出全部部基本未未知量。。40例11-4求作圖11-16(a)所示剛架架的彎矩矩圖，忽忽略橫梁梁的軸向向變形。。(a)ABCDEFI1I2I3h1h2h3P圖11-16解：(1)基本未知知量柱AB、CD、EF是平行的的，因而而變形時時橫梁只只有移動動，橫梁梁在變形形后保持持平行(圖11-16b)，所以各柱柱頂?shù)乃轿灰埔剖窍嗟鹊鹊?，只只有一個個獨立線線位移。(b)ABCDEFP(2)各柱的桿桿端彎矩矩和剪力力41各柱的線剛度為333hEIi=222hEIi=111hEIi=利用前述述的相應(yīng)應(yīng)公式，，可得各各桿端彎彎矩333hiMFED-=223hiMDCD-=113hiMBAD-=由每柱平平衡求得得桿端剪剪力2333hiQEFD=2223hiQCDD=2113hiQABD=(3)位移法方方程取柱頂以以上橫梁梁部分為為隔離體體(圖11-16c)，由水平方方向的平平衡條件件X=0，得42(c)ABCDEFQABQCDQEFP圖11-16=++-0)(QQQPEFCDAB=++D-2332222110)(3hihihiP=++=D22332222113)(3hiPhihihiP求得2hi2hi式中為各立柱之和。(4)柱端彎矩矩和剪力力(將代入第2步各式可可得)-=233hihiPMFE-=222hihiPMDC-=211hihiPMBA43=2233hihiPQEF=2222hihiPQCD=2211hihiPQAB(5)根據(jù)桿端端彎矩可可畫出M圖如圖11-16d所示。圖11-16(d)ABCDEF233hihPi222hihPi211hihPiM圖(6)討論計算結(jié)果果表明，，各柱柱柱端剪力力Q與i/h2成正比。。我們可可以給上上述結(jié)果果以新的解釋釋：荷載P作為各柱總剪力，，按各柱的i/h2比例分配給給各柱，根根據(jù)剪力，，即可畫出出彎矩圖。。44例11-5如圖11-14所示的剛架架，求作彎彎矩圖。圖11-14(a)4mABCDP=28kN2m2m2mi2i2iq=28kN/m在本題中，，基本未知知量是剛結(jié)結(jié)點B的轉(zhuǎn)角B和結(jié)點B(C)的側(cè)向位移移(B、C)。由結(jié)點B列力矩平衡衡方程：MB=008428)(32=-+Biq84284)2(6)2(4+D-Biiq即：化簡可得：11iB-3i-42=0①45由斜梁BC的水平分力力列水平投投影方程：：X=0。即有06)2(32284)2(124)2(622=D+-D+-iiiBq化簡可得：-3iB+5i/3-14=0②②聯(lián)立求解方方程①、②可得：B=12/i=30/i(b)ABCD562030285610M圖(kN·m)圖11-14本題應(yīng)注意兩點：(1)因為結(jié)點B、C都只能發(fā)生生水平位移移，并且位移前后BC桿的長度不不變，所以以應(yīng)該有=B=C，即只有一個獨獨立的線位位移；(2)斜桿BC的固端彎矩矩mBC與同跨度(荷載分布長長度)的水平桿的的固端彎矩矩相同。46例11-6作圖11-15(a)所示結(jié)構(gòu)的彎彎矩圖。lABCDP=3qlqii1iliiEllF(a)圖11-15此題中，基基本未知量量個數(shù)為2，即剛結(jié)點點B的轉(zhuǎn)角B和C(F)點的側(cè)移(C、F)。由結(jié)點B列力矩平衡衡方程：MB=0064832=D+++liiqliBBqq即：化簡可得：7iB+6i/l+ql2/8=0①①由橫梁CF的水平分力力列水平投投影方程(以向左為正正)：03312126222=-D+D+D+qllilililiBqX=0，47可得：6iB+27i/l-3ql2=0②②聯(lián)解兩方程程可得：B=-19ql2/(136i)=29ql3/(204i)ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M圖(ql2)(b)圖11-15本題應(yīng)注意以下幾點：：(1)因CF桿的線剛度度為無窮大大，所以C點無轉(zhuǎn)動，只只有側(cè)移，基基本未知量為為2。(2)彎矩MCF的值由C點的力矩平衡衡求出。(3)取CF桿為隔離體時時，必須切斷斷所有的桿件件，并注意列列方程時不要要忘記作用在在C點的水平集中中荷載P。(4)查表計算固端端彎矩m時，注意所求求結(jié)構(gòu)的桿件件與所查表中桿桿件的支承情情況，注意固固端彎矩的正正負號。48例11-7求作圖11-17(a)所示剛架的內(nèi)內(nèi)力圖。(a)q=20kN/mABCEFD4I04I05I03I03I04m6m4m4m5m圖11-17解：(1)基本未知量本例與例11-1不同處是除轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角B和C外橫梁還有水水平位移。(2)桿端彎矩固端彎矩查表表11-1求得mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各桿剛度取相對值值，設(shè)EI0=1，則有491440==EIiBA1550==EIiBC1440==EIiCD43430==EIiBE21630==EIiCF由式(11-5)，(11-8)，(11-9)，再疊加固端端彎矩，可列列出各桿桿端端彎矩如下：：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33D-=D-=125.1364BBEBEBBEBEliiMqqD-=D-=125.15.162BBEBEBBEEBliiMqq50D-=D-=5.0264CCFCFCCFCFliiMqqD-=D-=5.062CCFCFCCFFCliiMqq(3)位移法方程考慮結(jié)點B平衡(圖11-17b)BMBAMBCMBE(b)圖11-17MB=0，MBA+MBC+MBE=0得10B+2C-1.125D-1.7=0①①考慮結(jié)點C平衡(圖11-17c)CMCBMCDMCF(c)MC=0，MCB+MCD+MCF=0得2B+9C-0.5D+41.7=0②②51以截面切斷柱柱頂，考慮橫橫梁ABCD的平衡(圖11-17d)圖11-17(d)q=20kN/mABCDQBEQCFX=0，QBE+QCF=0再考慮柱BE和CF的平衡(圖11-17e和f)(e)BEQBEQEBMEBMBE40，EBBEBEEMMQM+-==CFQCFQFCMFCMCF(f)60，F(xiàn)CCFCFFMMQM+-==故截面平衡方程程可寫為064=+++FCCFEBBEMMMM037.4375.6=D-+CBqq得③(4)求基本未知量量52聯(lián)立解①、②、③③三個方程，得B=0.94，，C=-4.94，=-1.94(5)求桿端彎矩將求得的位移移代入第2步各式，得MBA=30.94+40=42.82kNmMBC=40.94+2(-4.94)-41.7=-47.82kNmMCB=20.94+4(-4.94)+41.7=23.82kNmMCD=-34.94=-14.8kNmMBE=30.94+1.1251.94=5.0kNmMEB=1.50.94+1.1251.94=3.59kNmMCF=2(-4.94)+0.51.94=-8.91kNmMFC=-4.94+0.51.94=-3.97kNm53(6)作內(nèi)力力圖由桿端端彎矩矩作出出M圖(圖11-17g)。圖11-17(g)ABCEFD18.647.842.853.593.9726.723.814.88.91M圖(kN·m)由每桿桿的隔隔離體體圖，，用平平衡方方程可可求出出桿端端剪力力，然然后作作出Q圖(圖11-17h)。(h)ABCEFD45.229.350.73.72.1554.8Q圖(kN)由結(jié)點點的平平衡方方程可可求出出桿端端軸力力，然然后作作出N圖(圖11-17i)。(i)ABCEFD48.9105.52.15N圖(kN)(7)校核在力法法中曾曾經(jīng)詳詳細討討論過過超靜靜定結(jié)結(jié)構(gòu)計計算的的校核核問題題，其其中許許多作作法這這里仍仍然適適用。。54但是要要注意意一點點：在位移移法中中，一一般以以校核核平衡衡條件件為主主；與與此相相反，，在力力法中中，一一般以以校核核變形形連續(xù)續(xù)條件件為主主。這是因因為在在選取取位移移法的的基本本未知知量時時已經(jīng)經(jīng)考慮慮了變變形連連續(xù)條條件，，而且且剛度度系數(shù)數(shù)的計計算比比較簡簡單，，不易易出錯錯，因因而變變形連連續(xù)條條件在在位移移法中中不作作為校校核的的重點點。圖11-17中的內(nèi)內(nèi)力圖圖可進進行平平衡條條件校校核如如下：：C23.814.88.9(k)B42.847.85.0(j)圖11-17首先由由圖11-17j、k看出，，結(jié)點點B和C處的力力矩平平衡條條件是是滿足足的。。其次，，在圖圖11-17l中取柱柱頂以以上梁梁ABCD部分為為隔離離體，，可校校核水水平和和豎向向平衡衡條件件：55圖11-17(l)q=20kN/mABCD2.152.1529.3105.548.93.70015.215.20=-=X07.39209.485.1053.290=--++=Y56§11-5位移法的的基本體體系前面提出出的是““直接桿桿端彎矩矩法”求求解超靜靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)。下面面介紹利利用“位位移法的的基本體體系”求求解超靜靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)方法。。力法中曾曾經(jīng)提出出“力法法基本體體系”的的概念，，我們知知道力法基本本體系必必須是靜靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)。在此通通過提出出“位移移法的基基本體系系”給出出位移法法的另一一種形式式。但是是，需要要注意此此時的基本體系系是一個個比原結(jié)結(jié)構(gòu)超靜靜定次數(shù)數(shù)更高的的超靜定定結(jié)構(gòu)。位移法的的基本未未知量是是位移：：用廣義義符號““”表示。。一、基本本體系圖11-18a所示剛架架，已知知：q=3kN/m，l=8m，h=4m。有兩個基基本未知知量，結(jié)結(jié)點B的轉(zhuǎn)角1和結(jié)點C的水平位位移2。57圖11-18(a)CABDii2ilhq原結(jié)構(gòu)(b)CABDq112基本體系采用基本體系如圖11-18b所示。即：在B點附加“剛臂約，該附加剛臂只控制轉(zhuǎn)動，不控制線位移。在結(jié)點C附加水平支桿控制結(jié)點C的水平位移。束”基本體系系與原結(jié)結(jié)構(gòu)的區(qū)別：通過增增加人為為約束，，把基本本未知量量由被動動位移變變成受人人工控制制的主動動位移。?；倔w系系的作用用：基本體系系是用來來計算原原結(jié)構(gòu)的的工具或或橋梁。。它包括括兩個特特點：581、基本體體系可以以轉(zhuǎn)化為為原結(jié)構(gòu)構(gòu)，可以以代表原原結(jié)構(gòu)；；2、基本體體系的計計算比較較簡單。。附加約束束的目的就是將結(jié)結(jié)構(gòu)拆成成桿件，，使結(jié)構(gòu)構(gòu)的整體體計算問問題，變變成單個個桿件的的計算問問題，計計算被簡簡化。二、利用用基本體體系建立立位移法法的基本本方程分析：在在什么條條件下，，基本體體系才能能轉(zhuǎn)化為為原結(jié)構(gòu)構(gòu)。轉(zhuǎn)化條件件位移法基基本方程程1、控制附附加約束束，鎖住結(jié)點點位移(1、2為零)。在荷載載作用下下，求得得基本體體系在此此狀態(tài)下下的內(nèi)力力；同時時可知，，在附加加約束上上有約束束力矩F1P(順時針為為正)和水平約約束力F2P(向右為正正)；而在原原結(jié)構(gòu)上上F1P和F2P是不存存在的的。592、再控控制附附加約約束，，使基基本體體系產(chǎn)產(chǎn)生結(jié)結(jié)點位位移1和2。此時時，附附加約約束中中的約約束力力F1和F2將隨之之改變變；若若控制制1和2使與原原結(jié)構(gòu)構(gòu)的實實際值值正好好相等等，則則約束束力F1和F2即完全全消失失，附附加約約束失失去作作用，，與原原結(jié)構(gòu)構(gòu)完全全相同同。通過以以上兩兩步的的過程程，可可知基基本體體系轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為原結(jié)結(jié)構(gòu)的的條件件是：：基本本體系系在給給定荷荷載以以及結(jié)結(jié)點位位移1和2共同作作用下下，在在附加加約束束中產(chǎn)產(chǎn)生的的總約約束力力F1和F2應(yīng)等于于零。。即：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化條條件(位移法法的基基本方方程)為：F1=0F2=0(11-14)3、F1和F2的計算算利用““疊加加原理理”，，分別別考慮慮外荷荷載和和1、2單獨作作用時時，基基本體體系中中的附附加約約束力力。60(1)荷載單單獨作作用：：相應(yīng)應(yīng)的約約束力力為F1P和F2P(圖11-19a)。圖11-19(a)CABDqF1PF2P(2)單位位位移1=1單獨作作用：：相應(yīng)應(yīng)的約約束力力為k11和k21(圖11-19b)。(3)單位位位移2=1單獨作作用：：相應(yīng)應(yīng)的約約束力力為k12和k22(圖11-19c)。(c)k22k122=1(4)疊加結(jié)結(jié)果，，考慮慮到式式(11-14)有：(11-15)22221212+D+D=PFkkF12121111+D+D=PFkkF(b)k21k111=1614、位移法基本方方程(11-16)02222121=+D+DPFkk01212111=+D+DPFkk式(11-16)的物理意義是是明確的，由由此式可求出出位移1和2。與前面的直直接桿端彎矩矩法是相通的的。注意：kii——主系數(shù)，且kii>0；kij——副系數(shù)，且kij=kji；FiP——自由項；副系數(shù)、自由由項可為任意意值。關(guān)于位移法和和力法，利用用基本體系方方法，基本未未知量數(shù)目一一旦確定，即即可寫出其典典型方程。三、基本體系系法(附加約束法)的解題過程1、荷載作用下下F1P、F2P的計算。62(1)作基本體系在在荷載單獨作作用下的MP圖(圖11-20a)。(a)CABD4F1PF2P4MP圖圖11-20(2)取結(jié)點點B為隔離離體(圖11-20b)，求得F1P=4kN·m。(b)BF1P40(3)取柱頂頂以上上橫梁梁BC為隔離離體(圖11-20c)，已知立立柱BA的固端端剪力力QBA=-qh/2=-6kN，求得F2P=-6kN。(c)CBQCD=0F2PkNqhQBA62=-=-2、基本本體系系在單單位轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角1=1單獨作作用下下，求求k11、k21。圖為圖(圖11-21a)。M1(1)在基本體系中，當(dāng)結(jié)點B有單位轉(zhuǎn)角1=1時，其彎矩63圖11-21(a)k21k116i2i4iABCD1M圖(2)取結(jié)點點B為隔離離體(圖11-21b)，得k11=4i+3(2i)=10i。(b)Bk114i6i(3)取柱頂頂以上上橫梁梁BC為隔離離體(圖11-21c)，已知立立柱BA的柱頂頂剪力力QBA=-6i/4=-1.5kN，求得k21=-1.5i。(c)CBQCD=0k216iQBA-1.5ih==-3、2=1作用下下求k12、k22其彎矩圖為圖(圖11-22a)。M2(1)在基本體系中，當(dāng)橫梁BC有單位水平位移2=1時，(2)取結(jié)點點B為隔離離體(圖11-22b)，得k12=-1.5i。64(b)Bk121.5i0(a)k22k121.5iABCD1.5i0.75i2M圖圖11-22(c)CBk22QBAi12ih2==34QCDi3ih2==316(3)取柱頂以上上橫梁BC為隔離體(圖11-22c)，已知立柱BA的柱頂剪力力QBA=12i/h2=3/4i，立柱CD的柱頂剪力QCD=3i/h2=3/16i，求得k22=15i/16。注意：此題中求k12比求k21要簡單，解題題時注意應(yīng)用用。4、位移法基本方方程將求得的各系系數(shù)和自由項項代入方程式式(11-16)，得基本方程程如下：65ii0616155.121=-D+D-ii045.11021=+D-D該基本方程與與前面在§11-4中得出的方程完全相相同。5、求出基本未未知量1和2i158.72=Di1737.01=D6、作彎矩圖利用下列疊加加公式作原題題剛架的M圖。PMMMM+D+D=2211(11-17)桿端彎矩計算算如下：66mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(4mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.0注意：桿端彎矩計計算過程中，，以順時針為為正。根據(jù)桿端彎矩矩作出剛架的的M圖如圖11-23所示。CABD圖11-23M圖(kN·m)4.4213.625.69667四、多個基本本未知量的位位移法基本方方程當(dāng)結(jié)構(gòu)有n個基本未知量量時，其位移移法的基本方方程為：00022112222212111212111=+D++D+D=+D++D+D=+D++D+DnPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkLLL(11-18)上式與力法的基本方程程是對應(yīng)的，，在這里nnnnnnkkkkkkkkkLLLLLLLLLL212222111211結(jié)構(gòu)的剛度矩陣其中系數(shù)稱為為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，且有kij=kji，因此結(jié)構(gòu)剛度矩陣是對稱陣陣。其主系數(shù)數(shù)恒大于零；；副系數(shù)可為為正，可為負負，也可為零零。68§11-6對稱結(jié)構(gòu)的計計算由第九章力法法中討論過的的情況可知，，作用于對稱結(jié)構(gòu)上的任意荷載，可以分解為為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計計算。在對稱稱荷載作用下下，彎矩圖、、軸力圖及變變形圖是正對對稱的，而剪剪力圖是反對對稱的。在反反對稱荷載作作用下，剪力力圖是正對稱稱的，而彎矩矩圖、軸力圖圖及變形圖是是反對稱的。。利用這些規(guī)規(guī)則，計算算對稱連續(xù)續(xù)梁或?qū)ΨQ稱剛架時，，我們只需需計算這些些結(jié)構(gòu)的半邊結(jié)構(gòu)就可以。這這里對第九九章講的““半剛架””法做些相相應(yīng)的補充充。一、半邊結(jié)結(jié)構(gòu)的取法法1、奇數(shù)跨69圖11-24所示對稱結(jié)結(jié)構(gòu)，在對對稱荷載(圖a)和反對稱荷荷載(圖c)作用下，可可取圖b、d所示半邊結(jié)結(jié)構(gòu)進行計計算。(a)qCABDE圖11-24(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位移法法計算時，，圖b有一個基本本未知量，而圖d有兩個基本本未知量。。702、偶數(shù)跨圖11-25a所示對稱結(jié)結(jié)構(gòu)在對稱稱荷載作用用下，可取取圖b所示半邊結(jié)結(jié)構(gòu)進行計計算。(a)CDBAEFIq圖11-25(b)CBAq圖11-26a所示示對對稱稱結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)在在反反對對稱稱荷荷載載作作用用下下，，在在對對稱稱軸軸上上，，柱柱CD沒有有軸軸力力和和軸軸向向位位移移，，但但是是有有彎彎矩矩和和彎彎曲曲變變形形。。(a)CDBAEFI2P2P圖11-2671(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I圖11-26故圖圖a可簡簡化化為為圖圖b所示示的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，，中中間間兩兩根根分分柱柱的的抗抗彎彎剛剛度度為為原原柱柱的的一一半半。。成成為為奇奇數(shù)數(shù)跨跨的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，，中中間間跨跨的的跨跨度度為為零零。。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此時時的的半半邊邊結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)可可如如圖圖c、d所示示，，有有三三個個基基本本未未知知量量。。中中間間柱柱CD的總總內(nèi)內(nèi)力力為為兩兩根根分分柱柱內(nèi)內(nèi)力力之之和和，，即即CD柱的的總總彎彎矩矩和和總總剪剪力力為為分分柱柱彎彎矩矩和和剪剪力力的的兩兩倍倍，，總總軸軸力力為為零零。。72二、舉舉例確定圖圖11-27中對稱稱結(jié)構(gòu)構(gòu)的基基本未未知量量并選選取半半邊結(jié)結(jié)構(gòu)。。(a)CBPP圖11-27(a)CBP基本未知量3個(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3個(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量3個(A、D、A)AD73(d)PP圖11-27(d)PCB基本未知量4個(A、D、A、D)AD(e)PPCB(e)PCB基本未知量4個(A、D、A、D)AD例11-8求作圖11-28a所示吊橋結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖，吊桿的EA等2201m于橫梁EI的。74圖11-28(a)DABCEIq