數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程第九章課件

9.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學(xué)習(xí)理論：“數(shù)”是異于“物理性知識”與社會性知識”的所謂“邏輯——數(shù)學(xué)性知識”。他把數(shù)看做是一種“有序的分類”，也就是說，兒童必須能掌握分類和序列性概念的邏輯操作才能了解數(shù)字。他認(rèn)為“數(shù)守恒”的能力是數(shù)學(xué)理解的先決條件，兒童到了六歲半左右才具備這樣的能力，如果不具備這樣的能力，就不算是對數(shù)目有真正的了解，所謂守恒概念是指物體的數(shù)或量不因?yàn)槲恢眯螤畹母淖兌淖?。蓋爾曼的兒童數(shù)概念理論蓋爾曼將學(xué)前兒童數(shù)學(xué)知識和技巧分成兩種形態(tài)1.數(shù)學(xué)抽象能力，數(shù)學(xué)抽象能力是幫助兒童建立數(shù)值概念2數(shù)學(xué)推理原則，它是幫助兒童對數(shù)量做進(jìn)一步的操作而得到有效的推理19.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學(xué)習(xí)理論：19.1.1數(shù)概念的特點(diǎn)29.1.1數(shù)概念的特點(diǎn)2

在所有數(shù)學(xué)概念中，離學(xué)生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實(shí)生活中找到模型。正因?yàn)榇蠖鄶?shù)的數(shù)概念都不貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學(xué)中一般都可以借助于實(shí)際的情景和活動3在所有數(shù)學(xué)概念中，離學(xué)生日常生活最近的是數(shù)概念和數(shù)概念是一個(gè)典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)概念的這種兩重性一方面增加了概念的內(nèi)涵，另一方面也為教學(xué)提供了一種層次，使學(xué)生在具體操作的基礎(chǔ)上，經(jīng)過壓縮和內(nèi)化，逐步形成作為對象的概念，并納入了已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。過程概念的顯著特點(diǎn)是要經(jīng)歷一個(gè)從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，與初等幾何概念不同的是，數(shù)概念的顯著特點(diǎn)是要經(jīng)歷一個(gè)從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，教學(xué)中雖然可以借助實(shí)際的模型操作，但又不能停留于具體的過程4數(shù)概念是一個(gè)典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)3表征的多樣性例0.5的表達(dá)表征方式的多樣性一方面可以為問題解決帶來靈活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆與誤解。研究表明，對數(shù)概念符號的多重意義的認(rèn)識是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)能力的一部分，因此如何幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)符號與過程的意義是數(shù)學(xué)教育家目前最重要的課題之一53表征的多樣性例0.5的表達(dá)5外延的擴(kuò)張?jiān)谥行W(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)概念是一個(gè)典型的外延型概念，而且其外延經(jīng)過了多次的擴(kuò)張。從邏輯上看，數(shù)系的擴(kuò)張有兩條主要的途徑：1、通過添加新的元素，如在正整數(shù)集合中加入數(shù)“0”就得到了自然數(shù)，從而使得兩個(gè)相同的數(shù)可以相減；在自然數(shù)中加入負(fù)數(shù)就得到了全體整數(shù)2、等式抽象方法。這種方法的優(yōu)勢是能夠揭示數(shù)概念的本質(zhì)屬性，如從中可以看到，自然數(shù)看擴(kuò)張為整數(shù)的目的是現(xiàn)實(shí)加法的對稱化，整數(shù)向有理數(shù)的擴(kuò)張可以現(xiàn)實(shí)乘法的對稱化，而有理數(shù)向?qū)崝?shù)的擴(kuò)張則是為了連續(xù)化。6外延的擴(kuò)張?jiān)谥行W(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)概念是一個(gè)典型的外延型概念，9.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和復(fù)數(shù)。從學(xué)習(xí)心理的研究來看，主要集中在有理數(shù)，特別是自然數(shù)上，但是對虛數(shù)和無理數(shù)的研究寥寥無幾。有理數(shù)概念是學(xué)生在小學(xué)階段遇到的最重要且最復(fù)雜的概念之一，其重要性從以下幾方面看出：1、實(shí)踐角度，能有效的處理這些概念將大大的改進(jìn)兒童理解和把握現(xiàn)實(shí)世界中的情況和問題能力2、心理學(xué)角度，有理數(shù)概念為兒童提供一個(gè)豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴(kuò)張今后智力發(fā)展所必須的智力結(jié)構(gòu)3、數(shù)學(xué)角度，有理數(shù)的概念掌握以后為以后初等代數(shù)計(jì)算提供了可靠的基礎(chǔ)79.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點(diǎn)1、相互性：某部分增加了就會抵消另一減少的部分，二者之間具有補(bǔ)償性用。2、同一性：自始至終設(shè)計(jì)同樣的數(shù)與量，沒有加多也沒有拿走任何東西3、逆反性：某一改變狀態(tài)可以在心里以同等但反向的旋轉(zhuǎn)被逆反回到原來狀態(tài)8自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點(diǎn)8皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認(rèn)識三個(gè)發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是對數(shù)概念無法理解的階段，無法運(yùn)用一對一的對應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實(shí)物。第二階段（5-6歲）是過度時(shí)期，會運(yùn)用一對一對應(yīng)關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對于一對一關(guān)系不是充分理解第三階段（6歲半以后）是對數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性，例如用數(shù)的，或用一一對應(yīng)的方式，并且也能理解守恒概念。不管外觀安排如何變化，都不會影響其對同等性的判斷9皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認(rèn)識三個(gè)發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是蓋爾曼和蓋爾里斯特的計(jì)數(shù)原則（1）一對一原則：計(jì)數(shù)時(shí)要遵循“區(qū)分”和“標(biāo)記”這兩個(gè)過程。也就是集合中的每一個(gè)項(xiàng)目只能有一個(gè)數(shù)字標(biāo)記，且標(biāo)記不能重復(fù)。（2）規(guī)定順序原則：在每一次在計(jì)數(shù)時(shí)，計(jì)數(shù)的“標(biāo)記”必須是遵循同樣順序，也就是在序列中出現(xiàn)的次序是固定的（3）基數(shù)原則：計(jì)數(shù)集合中最后一個(gè)項(xiàng)目的標(biāo)記，即代表此事物的項(xiàng)目總數(shù)（4）抽象原則：指以上三原則均可適用于任何可數(shù)的事物，即任何東西皆可拿來數(shù)，具體的椅子或抽象的心靈都可數(shù)（5）次序無關(guān)原則：只要遵守其他計(jì)數(shù)原則，集合中的項(xiàng)目無論從哪一個(gè)開始數(shù)起，并不影響其結(jié)果上述五項(xiàng)原則，強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)現(xiàn)象，但這并不意味著兒童能“明確且系統(tǒng)”的完成不同種的作業(yè)，這些能力的實(shí)際表現(xiàn)會逐漸統(tǒng)和而穩(wěn)定。10蓋爾曼和蓋爾里斯特的計(jì)數(shù)原則（1）一對一原則：計(jì)數(shù)時(shí)要遵循“斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個(gè)階段（1）數(shù)序。兒童將個(gè)數(shù)由1開始依序念出，但是不知其意義。這是一種機(jī)械記憶（2）以知覺單位為計(jì)數(shù)對象。兒童開始會數(shù)東西時(shí)只能數(shù)知覺單位（3）以心像單位為計(jì)數(shù)對象。以心中想象的東西作為數(shù)數(shù)的對象，稱為心像單位。（4）以動作單位為計(jì)數(shù)對象。不數(shù)想象中的東西，而是數(shù)自己的動作（5）以語言單位為計(jì)數(shù)對象。本階段的數(shù)數(shù)行為必須有意識地控制念數(shù)字之間開始與結(jié)束的時(shí)機(jī)（6）以抽象單位為計(jì)數(shù)對象。知道一個(gè)數(shù)字代表一個(gè)集合的數(shù)11斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個(gè)階段（1）數(shù)序。兒童將個(gè)數(shù)由1位值從20世紀(jì)70年代位值概念就一直是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)，其中的一些重要成果：貝德納茲、詹妮弗的研究發(fā)現(xiàn)（1）學(xué)生把“個(gè)、十、百”的位值含義更多的根據(jù)位值順序來理解（2）學(xué)生把借位的含義解釋為“刪去一個(gè)數(shù)位u，拿走一個(gè)，在下一個(gè)數(shù)位上加一”整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系對學(xué)習(xí)是有利的，但是兒童通常只注意整數(shù)方面而未能適應(yīng)小數(shù)方面對位值缺乏理解的學(xué)生在理解小數(shù)時(shí)有一段困難時(shí)期有色的籌碼是金錢經(jīng)常被用來作為表示位值概念和運(yùn)算的操作工具，但是他們卻增加了已知的復(fù)雜性學(xué)生學(xué)習(xí)位值概念時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是英語中位值系統(tǒng)的語言復(fù)雜性12位值從20世紀(jì)70年代位值概念就一直是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個(gè)研為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教學(xué)輔助工具便應(yīng)運(yùn)而生，最為著名的是狄恩斯的“狄氏多層算術(shù)積木”，他提出了下列四項(xiàng)原則：活動原則：教兒童玩積木時(shí)，首先就該任其自由的玩耍積木，讓他們了解積木的意義活動原則：數(shù)學(xué)變化原則。數(shù)學(xué)變量的變換情況并不影響變量之間的一些恒定直覺變異原則：數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)不會因?yàn)橹X受體的改變而改變13為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教學(xué)輔助工具便應(yīng)運(yùn)而生，最為9.1.2.3分?jǐn)?shù)圖形中整體的一部分子集——集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點(diǎn)比作為數(shù)學(xué)概念的分?jǐn)?shù)，由于表征形式的不同，而產(chǎn)生了多種意義，包括：149.1.2.3分?jǐn)?shù)圖形中整體的一部分作為數(shù)學(xué)概萊什等人進(jìn)一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分?jǐn)?shù)的意義，除了上述六種意義外，他們還討論了分?jǐn)?shù)作為“算子”的意義，把分?jǐn)?shù)看做是一個(gè)變換，給出了各種意義之間的關(guān)系（下頁）由圖可見：1.拆分和部分整體的子結(jié)構(gòu)是其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)2.子結(jié)構(gòu)中的比是促成掌握等價(jià)概念的中介3.算子和度量子結(jié)構(gòu)在加法和乘法理解中具有重要的意義由于分?jǐn)?shù)具有多重的意義，而且這些意義之間具有一定的層次性，因此，兒童分?jǐn)?shù)的形成不是一個(gè)簡單的過程15萊什等人進(jìn)一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分?jǐn)?shù)拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價(jià)乘法解決問題加法分?jǐn)?shù)意義關(guān)系網(wǎng)16拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價(jià)乘法解決問題加法分?jǐn)?shù)意義關(guān)系網(wǎng)皮亞杰對3-8歲兒童的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過程：4歲——4歲半兒童對于將一個(gè)物品分為兩半非常困難，在分割之前沒有預(yù)想的計(jì)劃或圖示4歲——6歲兒童對于規(guī)則的、小范圍的東西有分為兩半的能力，如果整體增加，分成一半遲緩6歲——7歲能過成功的實(shí)施三等分，不必利用試誤的方法10歲左右兒童能實(shí)施六等分，首先是以三等分法分一個(gè)餅，然后三塊餅進(jìn)行二等分17皮亞杰對3-8歲兒童的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過程：17赫伯特和特尼森研究5—8歲分?jǐn)?shù)概念發(fā)展情形改成長度模式為伯特爾和薩瓦達(dá)發(fā)現(xiàn)，兒童處理等分長方形或圓形區(qū)域，其分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展順序?yàn)?8赫伯特和特尼森研究5—8歲分?jǐn)?shù)概念發(fā)展情形18哈特分?jǐn)?shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示的分?jǐn)?shù)意義能利用子集——集合來表示分?jǐn)?shù)（）能利用等值分?jǐn)?shù)寫出分?jǐn)?shù)符號或圖標(biāo)能解決需要不止一個(gè)運(yùn)算的分?jǐn)?shù)問題19哈特分?jǐn)?shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示分?jǐn)?shù)概念形成過程之中，有四個(gè)關(guān)鍵因素對單位量的認(rèn)知。處理分?jǐn)?shù)問題最重要的一個(gè)概念就是單位量的確認(rèn)具有等分割的概念，處理分?jǐn)?shù)問題的另一個(gè)重要的概念就是一個(gè)可以除盡的全體理解部分與整體之間的關(guān)系確認(rèn)單位分量（數(shù)）20分?jǐn)?shù)概念形成過程之中，有四個(gè)關(guān)鍵因素對單位量的認(rèn)知。處理分?jǐn)?shù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分?jǐn)?shù)知識類似（√）不同（×）A.小數(shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個(gè)值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個(gè)小數(shù)存在B小數(shù)符號1.一個(gè)單位被分成幾個(gè)的數(shù)隱含在數(shù)字的位置中2.有多少等份表示在小數(shù)的量中3.整數(shù)僅可被分成10的冪次方A.分?jǐn)?shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個(gè)值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個(gè)小數(shù)存在B分?jǐn)?shù)符號1.一個(gè)單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分?jǐn)?shù)的分子中3.整數(shù)可被分成任一個(gè)等份的數(shù)（√）（√）（√）（×）（×）（×）21小數(shù)和分?jǐn)?shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分?jǐn)?shù)知識類似（√）A.小數(shù)小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）不同（×）A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時(shí)，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個(gè)數(shù)的右邊增加“0”時(shí)，其值不變5.從小數(shù)點(diǎn)開始往右其值遞減B數(shù)位1.小數(shù)點(diǎn)以后名稱按數(shù)字次序讀出2.小數(shù)部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數(shù)字的順序是十分位，百分位，千分位，-----C讀法小數(shù)點(diǎn)左邊整數(shù)部分按照整數(shù)讀法，右邊的數(shù)字依數(shù)字次序讀出A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時(shí)，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個(gè)數(shù)的左邊增加“0”時(shí)，其值不變5.從小數(shù)點(diǎn)開始往左其值遞減B數(shù)位1.沒有小數(shù)點(diǎn)以后的數(shù)字2.從個(gè)分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數(shù)字的順序是千分位，百分位，十分位，-----C讀法依整數(shù)十進(jìn)制結(jié)構(gòu)讀出（√）（√）（√）（×）（×）（×）（×）（×）（×）22小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）A.數(shù)值A(chǔ).數(shù)小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:1.通過分?jǐn)?shù)的“部分與整體”關(guān)系，或者利用整數(shù)的位值概念2.一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量，兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量23小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:23從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成位值彼此之間關(guān)系以10為基底的指數(shù)形式表示出位名--------千位百位十位個(gè)位位值---------數(shù)字--------為了使個(gè)位也能無限制地向右延伸過去，可將指數(shù)范圍擴(kuò)大至負(fù)整數(shù);利用往左擴(kuò)展一位是乘以10的結(jié)果，因此往右擴(kuò)展一位除以10的結(jié)果，有了新符號（小數(shù)符號）及新位名的產(chǎn)生：指數(shù)小數(shù)新位名=0.1十分位=0.2百分位-------24從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成241989年的《數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》1.能了解數(shù)的基本意義2.能探索數(shù)字之間的多重關(guān)系3.能了解數(shù)字的相對大小關(guān)系4.能了解運(yùn)算對數(shù)字的影響5.能發(fā)展參考物參考物來測量一般的物體2000年的《數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》1.能了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)2.了解運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)性3。流利的計(jì)算并做合理的估計(jì)

9.1.3數(shù)意識形成與發(fā)展

數(shù)意識的解釋，目前并不統(tǒng)一，幾種代表性的說法

251989年的1.能了解數(shù)的基本意義2000年的1.能了解數(shù)字湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與關(guān)系2.能了解數(shù)字的相對大小3能了解運(yùn)算對數(shù)字的影響4.能了解如何使用參考點(diǎn)于日常生活情景麥克英特（數(shù)意識包涵的六種能力）1.了解數(shù)字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數(shù)字能力3.了解運(yùn)算的意義和影響的能力4.了解并善用等值形式解題的能力5.發(fā)展計(jì)算和數(shù)數(shù)策略的能力6.運(yùn)用參考點(diǎn)的能力肖德恩數(shù)意識包含九種成分1.數(shù)字的分解與組合2.辨認(rèn)數(shù)字相對大小的能力3.處理數(shù)字絕對大小的能力4.使用參考點(diǎn)的能力5.以有意義的方式連接數(shù)字、運(yùn)算及相關(guān)符號的能力6.了解運(yùn)算對數(shù)字的影響7.以創(chuàng)新的方式進(jìn)行心算，使運(yùn)算更為方便的能力8.發(fā)展估算的能力，并指導(dǎo)何時(shí)估算是適當(dāng)?shù)?.使數(shù)字意義化的能力26湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與9.2運(yùn)算、估算技能與算法思想的形成9.2.1整數(shù)加減法的研究運(yùn)算技能的形成乘除法的研究分?jǐn)?shù)與小數(shù)的運(yùn)算加減法的研究斯塔奇和格爾曼學(xué)前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應(yīng)有關(guān)加減運(yùn)算問題的基礎(chǔ)知識是所謂的部總知識1.部分和總體之間的運(yùn)算關(guān)系知識2.加法交換律知識3.加法和減法互補(bǔ)關(guān)系知識279.2運(yùn)算、估算技能與算法思想的形成9.2.1格里爾的教學(xué)主張1.算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景2.重視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個(gè)算術(shù)基本運(yùn)算，一般都結(jié)合著一個(gè)隱藏的潛意識的、原始的直觀模式。當(dāng)解一個(gè)含有兩項(xiàng)數(shù)值資料的應(yīng)用問題時(shí)，對運(yùn)算的選擇并非直接發(fā)生，通過一個(gè)中介模式發(fā)生，且這個(gè)模式會對選擇過程加以一些限制乘除法的研究小數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算塔特蘇特分?jǐn)?shù)加法錯(cuò)誤類型1.帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換假分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤2.整數(shù)轉(zhuǎn)換為等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤3.通分時(shí)轉(zhuǎn)換等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤4.求公分母的錯(cuò)誤5.加法程序的錯(cuò)誤6.不會化簡或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘28格里爾的教學(xué)主張1.算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景菲斯賓等人9.2.2估算技能的形成強(qiáng)調(diào)估算技能的原因——與數(shù)學(xué)應(yīng)用有關(guān)、源于對數(shù)意識的重視一個(gè)好的估算著至少應(yīng)有的素質(zhì)重組：改變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以方便心算轉(zhuǎn)換：把原有的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式調(diào)節(jié)：計(jì)算中及后，可調(diào)節(jié)估算值至接近的近似值估算技能與心算技能密切相關(guān)，重視心算技能培養(yǎng)的原因1.心算是大多數(shù)人運(yùn)用的主要的計(jì)算方式2.在大多數(shù)情況下，心算是最簡單易行的3.做心算有利于對數(shù)的特性的理解4.心算過程本身就是一種創(chuàng)造性的問題解決活動299.2.2估算技能的形成299.2.3算法思想的初步形成算法的一般要求可以歸納為：——算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法的思想1.在世界范圍內(nèi)，算法都是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動化的5.算法是目標(biāo)指向的6.算法可以為計(jì)算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對于教師來說，算法易于處理與評價(jià)309.2.3算法思想的初步形成在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法的思想1.在世算法程序過早教學(xué)有一些不利因素算法程序常常與人們的習(xí)慣思維不一致算法的運(yùn)算會誘使學(xué)生放棄他們自己的想法算法不利于數(shù)意識的形成算法使學(xué)生習(xí)慣于依賴數(shù)字的空間排列算法會使學(xué)生盲目接受運(yùn)算的結(jié)果在實(shí)際生活中，書面算法很少使用31算法程序過早教學(xué)有一些不利因素算法程序常常與人們的習(xí)慣思維不9.3算術(shù)中的問題解決在探討小學(xué)生解決算術(shù)問題方面三種研究方法：——個(gè)別交談、反應(yīng)潛伏期、用手指和客觀直接模仿，或直接回憶加法表9.3.1算術(shù)問題的基本類型及其解題策略1.加減法應(yīng)用題的基本類型2.乘除法應(yīng)用題的基本類型

⑴乘：大小改變、交叉運(yùn)算、比例因子⑵除：求同單位量之間的比率、求異單位量之間的比率、除數(shù)為異單位量之間比率的除法、除數(shù)為大小改變因子的乘法、求反因子⑶四則運(yùn)算的統(tǒng)一分類：如馬紹爾將算術(shù)文字題分為五個(gè)類型：改變、重組、比較、重復(fù)、變化329.3算術(shù)中的問題解決329.3.2算術(shù)問題的難度分析影響算術(shù)問題難度的主要因素：1、未知數(shù)的位置：在“改變”類型中，不管是添加型或拿走行，未知數(shù)所在的位置越在前面，難度越高。是由于語意結(jié)構(gòu)與兒童解題的策略產(chǎn)生沖突2、語言的表述：解題的難度受題目中的敘述語的不一致性的影響3、數(shù)字的形式：對于乘法應(yīng)用題來說，問題類型對學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式才是關(guān)鍵4、問題的結(jié)構(gòu)：學(xué)生在解決除法問題時(shí)往往會形成“等分模式”的思維定勢5、單位的變化6、問題的表征339.3.2算術(shù)問題的難度分析339.4數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)9.4.1數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的認(rèn)知分析9.4.1.1認(rèn)知層次基倫分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)5個(gè)連續(xù)層面1.把分?jǐn)?shù)作為整體的一部分2.對一個(gè)事先分成若干的整體，通過數(shù)其中一部分的份數(shù)而得到分?jǐn)?shù)3.把整體平均分成若干，對整體的份數(shù)和部分的份數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算4.通過數(shù)“份數(shù)”對兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)求和5.根據(jù)分?jǐn)?shù)加法原理，對兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)求和哈特從位值研究小數(shù)6個(gè)認(rèn)知層面1.千位數(shù)以內(nèi)的位值概念2.一位小數(shù)3.二三位小數(shù)4.與左邊的位值關(guān)系5.更復(fù)雜的位值關(guān)系6.從除的結(jié)果發(fā)展到小數(shù)之間的小數(shù)有無限多個(gè)德恩特蒙特小數(shù)學(xué)習(xí)的五個(gè)層面1.具體物的層次2.操作說明的層次3.程序的層次4.心智模式層次5抽象的層次349.4數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)基倫分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)5個(gè)連續(xù)層面1.把分?jǐn)?shù)作9.4.1.2難點(diǎn)解析小學(xué)的教學(xué)與有理數(shù)概念有關(guān)

——多數(shù)發(fā)展都產(chǎn)生于重要的認(rèn)知改組的初期——重要的質(zhì)變發(fā)生在那些用來描述這些結(jié)構(gòu)并使其模型化的表征系統(tǒng)中——表征系統(tǒng)的作用是迥異不同的——有理數(shù)概念包含了一大套整合了得子結(jié)構(gòu)和加工過程有理數(shù)概念的教學(xué)難點(diǎn)主要集中在小數(shù)和分?jǐn)?shù)上

——計(jì)數(shù)系統(tǒng)知識、運(yùn)算規(guī)則知識、數(shù)量表示的知識整數(shù)的減法和帶余除法的困難（例哈特等人的研究）

——學(xué)生在標(biāo)小數(shù)點(diǎn)上有難度例2.3*10=2.30——學(xué)生容易產(chǎn)生“乘法使結(jié)果變大”“除法使結(jié)果變小”的想法——學(xué)生缺少小數(shù)的稠密性概念——缺乏位值概念，比較大小有困難359.4.1.2難點(diǎn)解析359.4.1.3概念誤解數(shù)與運(yùn)算部分中分?jǐn)?shù)概念的誤解大體以下三方面：——單位量問題、等分觀念的錯(cuò)差、受整數(shù)圖示的影響小數(shù)概念方面小數(shù)運(yùn)算過程中三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：——如何將運(yùn)用問題或橫式問題改為豎式計(jì)算——計(jì)算數(shù)值的答案——決定小數(shù)點(diǎn)的位值乘除法的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易產(chǎn)生的各種錯(cuò)誤：1以為要使結(jié)果變小就用除法2相信乘數(shù)越大、積就越大3.習(xí)慣用大數(shù)除以小數(shù)4.等分除與包含除混淆5.會以表面線索來解題6.不考慮包含除的余數(shù)7.以為除法就是等分除8.“幾個(gè)幾”與“幾的倍數(shù)”混淆369.4.1.3概念誤解369.4.2有關(guān)數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的幾點(diǎn)建議數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)幾點(diǎn)建議——提倡算法的多樣化——既注重句法規(guī)則，又關(guān)注語義分析——要合理的使用教學(xué)模型——要關(guān)注表象操作層面379.4.2有關(guān)數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的幾點(diǎn)建議379.5研究展望1.小學(xué)生解決算術(shù)問題有什么特點(diǎn)？2.中國學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)與運(yùn)算的？3.位值概念對數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)有什么重要意義？4.估算技能與運(yùn)算技能在形成的機(jī)制上有什么不同？5.計(jì)算機(jī)的使用對學(xué)生的運(yùn)算技能和估算技能有什么影響？389.5研究展望1.小學(xué)生解決算術(shù)問題有什么特點(diǎn)？389.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學(xué)習(xí)理論：“數(shù)”是異于“物理性知識”與社會性知識”的所謂“邏輯——數(shù)學(xué)性知識”。他把數(shù)看做是一種“有序的分類”，也就是說，兒童必須能掌握分類和序列性概念的邏輯操作才能了解數(shù)字。他認(rèn)為“數(shù)守恒”的能力是數(shù)學(xué)理解的先決條件，兒童到了六歲半左右才具備這樣的能力，如果不具備這樣的能力，就不算是對數(shù)目有真正的了解，所謂守恒概念是指物體的數(shù)或量不因?yàn)槲恢眯螤畹母淖兌淖?。蓋爾曼的兒童數(shù)概念理論蓋爾曼將學(xué)前兒童數(shù)學(xué)知識和技巧分成兩種形態(tài)1.數(shù)學(xué)抽象能力，數(shù)學(xué)抽象能力是幫助兒童建立數(shù)值概念2數(shù)學(xué)推理原則，它是幫助兒童對數(shù)量做進(jìn)一步的操作而得到有效的推理399.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學(xué)習(xí)理論：19.1.1數(shù)概念的特點(diǎn)409.1.1數(shù)概念的特點(diǎn)2

在所有數(shù)學(xué)概念中，離學(xué)生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實(shí)生活中找到模型。正因?yàn)榇蠖鄶?shù)的數(shù)概念都不貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學(xué)中一般都可以借助于實(shí)際的情景和活動41在所有數(shù)學(xué)概念中，離學(xué)生日常生活最近的是數(shù)概念和數(shù)概念是一個(gè)典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)概念的這種兩重性一方面增加了概念的內(nèi)涵，另一方面也為教學(xué)提供了一種層次，使學(xué)生在具體操作的基礎(chǔ)上，經(jīng)過壓縮和內(nèi)化，逐步形成作為對象的概念，并納入了已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。過程概念的顯著特點(diǎn)是要經(jīng)歷一個(gè)從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，與初等幾何概念不同的是，數(shù)概念的顯著特點(diǎn)是要經(jīng)歷一個(gè)從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，教學(xué)中雖然可以借助實(shí)際的模型操作，但又不能停留于具體的過程42數(shù)概念是一個(gè)典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)3表征的多樣性例0.5的表達(dá)表征方式的多樣性一方面可以為問題解決帶來靈活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆與誤解。研究表明，對數(shù)概念符號的多重意義的認(rèn)識是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)能力的一部分，因此如何幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)符號與過程的意義是數(shù)學(xué)教育家目前最重要的課題之一433表征的多樣性例0.5的表達(dá)5外延的擴(kuò)張?jiān)谥行W(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)概念是一個(gè)典型的外延型概念，而且其外延經(jīng)過了多次的擴(kuò)張。從邏輯上看，數(shù)系的擴(kuò)張有兩條主要的途徑：1、通過添加新的元素，如在正整數(shù)集合中加入數(shù)“0”就得到了自然數(shù)，從而使得兩個(gè)相同的數(shù)可以相減；在自然數(shù)中加入負(fù)數(shù)就得到了全體整數(shù)2、等式抽象方法。這種方法的優(yōu)勢是能夠揭示數(shù)概念的本質(zhì)屬性，如從中可以看到，自然數(shù)看擴(kuò)張為整數(shù)的目的是現(xiàn)實(shí)加法的對稱化，整數(shù)向有理數(shù)的擴(kuò)張可以現(xiàn)實(shí)乘法的對稱化，而有理數(shù)向?qū)崝?shù)的擴(kuò)張則是為了連續(xù)化。44外延的擴(kuò)張?jiān)谥行W(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)概念是一個(gè)典型的外延型概念，9.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和復(fù)數(shù)。從學(xué)習(xí)心理的研究來看，主要集中在有理數(shù)，特別是自然數(shù)上，但是對虛數(shù)和無理數(shù)的研究寥寥無幾。有理數(shù)概念是學(xué)生在小學(xué)階段遇到的最重要且最復(fù)雜的概念之一，其重要性從以下幾方面看出：1、實(shí)踐角度，能有效的處理這些概念將大大的改進(jìn)兒童理解和把握現(xiàn)實(shí)世界中的情況和問題能力2、心理學(xué)角度，有理數(shù)概念為兒童提供一個(gè)豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴(kuò)張今后智力發(fā)展所必須的智力結(jié)構(gòu)3、數(shù)學(xué)角度，有理數(shù)的概念掌握以后為以后初等代數(shù)計(jì)算提供了可靠的基礎(chǔ)459.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點(diǎn)1、相互性：某部分增加了就會抵消另一減少的部分，二者之間具有補(bǔ)償性用。2、同一性：自始至終設(shè)計(jì)同樣的數(shù)與量，沒有加多也沒有拿走任何東西3、逆反性：某一改變狀態(tài)可以在心里以同等但反向的旋轉(zhuǎn)被逆反回到原來狀態(tài)46自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點(diǎn)8皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認(rèn)識三個(gè)發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是對數(shù)概念無法理解的階段，無法運(yùn)用一對一的對應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實(shí)物。第二階段（5-6歲）是過度時(shí)期，會運(yùn)用一對一對應(yīng)關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對于一對一關(guān)系不是充分理解第三階段（6歲半以后）是對數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性，例如用數(shù)的，或用一一對應(yīng)的方式，并且也能理解守恒概念。不管外觀安排如何變化，都不會影響其對同等性的判斷47皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認(rèn)識三個(gè)發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是蓋爾曼和蓋爾里斯特的計(jì)數(shù)原則（1）一對一原則：計(jì)數(shù)時(shí)要遵循“區(qū)分”和“標(biāo)記”這兩個(gè)過程。也就是集合中的每一個(gè)項(xiàng)目只能有一個(gè)數(shù)字標(biāo)記，且標(biāo)記不能重復(fù)。（2）規(guī)定順序原則：在每一次在計(jì)數(shù)時(shí)，計(jì)數(shù)的“標(biāo)記”必須是遵循同樣順序，也就是在序列中出現(xiàn)的次序是固定的（3）基數(shù)原則：計(jì)數(shù)集合中最后一個(gè)項(xiàng)目的標(biāo)記，即代表此事物的項(xiàng)目總數(shù)（4）抽象原則：指以上三原則均可適用于任何可數(shù)的事物，即任何東西皆可拿來數(shù)，具體的椅子或抽象的心靈都可數(shù)（5）次序無關(guān)原則：只要遵守其他計(jì)數(shù)原則，集合中的項(xiàng)目無論從哪一個(gè)開始數(shù)起，并不影響其結(jié)果上述五項(xiàng)原則，強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)現(xiàn)象，但這并不意味著兒童能“明確且系統(tǒng)”的完成不同種的作業(yè)，這些能力的實(shí)際表現(xiàn)會逐漸統(tǒng)和而穩(wěn)定。48蓋爾曼和蓋爾里斯特的計(jì)數(shù)原則（1）一對一原則：計(jì)數(shù)時(shí)要遵循“斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個(gè)階段（1）數(shù)序。兒童將個(gè)數(shù)由1開始依序念出，但是不知其意義。這是一種機(jī)械記憶（2）以知覺單位為計(jì)數(shù)對象。兒童開始會數(shù)東西時(shí)只能數(shù)知覺單位（3）以心像單位為計(jì)數(shù)對象。以心中想象的東西作為數(shù)數(shù)的對象，稱為心像單位。（4）以動作單位為計(jì)數(shù)對象。不數(shù)想象中的東西，而是數(shù)自己的動作（5）以語言單位為計(jì)數(shù)對象。本階段的數(shù)數(shù)行為必須有意識地控制念數(shù)字之間開始與結(jié)束的時(shí)機(jī)（6）以抽象單位為計(jì)數(shù)對象。知道一個(gè)數(shù)字代表一個(gè)集合的數(shù)49斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個(gè)階段（1）數(shù)序。兒童將個(gè)數(shù)由1位值從20世紀(jì)70年代位值概念就一直是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)，其中的一些重要成果：貝德納茲、詹妮弗的研究發(fā)現(xiàn)（1）學(xué)生把“個(gè)、十、百”的位值含義更多的根據(jù)位值順序來理解（2）學(xué)生把借位的含義解釋為“刪去一個(gè)數(shù)位u，拿走一個(gè)，在下一個(gè)數(shù)位上加一”整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系對學(xué)習(xí)是有利的，但是兒童通常只注意整數(shù)方面而未能適應(yīng)小數(shù)方面對位值缺乏理解的學(xué)生在理解小數(shù)時(shí)有一段困難時(shí)期有色的籌碼是金錢經(jīng)常被用來作為表示位值概念和運(yùn)算的操作工具，但是他們卻增加了已知的復(fù)雜性學(xué)生學(xué)習(xí)位值概念時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是英語中位值系統(tǒng)的語言復(fù)雜性50位值從20世紀(jì)70年代位值概念就一直是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個(gè)研為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教學(xué)輔助工具便應(yīng)運(yùn)而生，最為著名的是狄恩斯的“狄氏多層算術(shù)積木”，他提出了下列四項(xiàng)原則：活動原則：教兒童玩積木時(shí)，首先就該任其自由的玩耍積木，讓他們了解積木的意義活動原則：數(shù)學(xué)變化原則。數(shù)學(xué)變量的變換情況并不影響變量之間的一些恒定直覺變異原則：數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)不會因?yàn)橹X受體的改變而改變51為了減少位值概念的教學(xué)困難，一些教學(xué)輔助工具便應(yīng)運(yùn)而生，最為9.1.2.3分?jǐn)?shù)圖形中整體的一部分子集——集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點(diǎn)比作為數(shù)學(xué)概念的分?jǐn)?shù)，由于表征形式的不同，而產(chǎn)生了多種意義，包括：529.1.2.3分?jǐn)?shù)圖形中整體的一部分作為數(shù)學(xué)概萊什等人進(jìn)一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分?jǐn)?shù)的意義，除了上述六種意義外，他們還討論了分?jǐn)?shù)作為“算子”的意義，把分?jǐn)?shù)看做是一個(gè)變換，給出了各種意義之間的關(guān)系（下頁）由圖可見：1.拆分和部分整體的子結(jié)構(gòu)是其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)2.子結(jié)構(gòu)中的比是促成掌握等價(jià)概念的中介3.算子和度量子結(jié)構(gòu)在加法和乘法理解中具有重要的意義由于分?jǐn)?shù)具有多重的意義，而且這些意義之間具有一定的層次性，因此，兒童分?jǐn)?shù)的形成不是一個(gè)簡單的過程53萊什等人進(jìn)一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分?jǐn)?shù)拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價(jià)乘法解決問題加法分?jǐn)?shù)意義關(guān)系網(wǎng)54拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價(jià)乘法解決問題加法分?jǐn)?shù)意義關(guān)系網(wǎng)皮亞杰對3-8歲兒童的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過程：4歲——4歲半兒童對于將一個(gè)物品分為兩半非常困難，在分割之前沒有預(yù)想的計(jì)劃或圖示4歲——6歲兒童對于規(guī)則的、小范圍的東西有分為兩半的能力，如果整體增加，分成一半遲緩6歲——7歲能過成功的實(shí)施三等分，不必利用試誤的方法10歲左右兒童能實(shí)施六等分，首先是以三等分法分一個(gè)餅，然后三塊餅進(jìn)行二等分55皮亞杰對3-8歲兒童的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展過程：17赫伯特和特尼森研究5—8歲分?jǐn)?shù)概念發(fā)展情形改成長度模式為伯特爾和薩瓦達(dá)發(fā)現(xiàn)，兒童處理等分長方形或圓形區(qū)域，其分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展順序?yàn)?6赫伯特和特尼森研究5—8歲分?jǐn)?shù)概念發(fā)展情形18哈特分?jǐn)?shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示的分?jǐn)?shù)意義能利用子集——集合來表示分?jǐn)?shù)（）能利用等值分?jǐn)?shù)寫出分?jǐn)?shù)符號或圖標(biāo)能解決需要不止一個(gè)運(yùn)算的分?jǐn)?shù)問題57哈特分?jǐn)?shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示分?jǐn)?shù)概念形成過程之中，有四個(gè)關(guān)鍵因素對單位量的認(rèn)知。處理分?jǐn)?shù)問題最重要的一個(gè)概念就是單位量的確認(rèn)具有等分割的概念，處理分?jǐn)?shù)問題的另一個(gè)重要的概念就是一個(gè)可以除盡的全體理解部分與整體之間的關(guān)系確認(rèn)單位分量（數(shù)）58分?jǐn)?shù)概念形成過程之中，有四個(gè)關(guān)鍵因素對單位量的認(rèn)知。處理分?jǐn)?shù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分?jǐn)?shù)知識類似（√）不同（×）A.小數(shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個(gè)值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個(gè)小數(shù)存在B小數(shù)符號1.一個(gè)單位被分成幾個(gè)的數(shù)隱含在數(shù)字的位置中2.有多少等份表示在小數(shù)的量中3.整數(shù)僅可被分成10的冪次方A.分?jǐn)?shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個(gè)值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個(gè)小數(shù)存在B分?jǐn)?shù)符號1.一個(gè)單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分?jǐn)?shù)的分子中3.整數(shù)可被分成任一個(gè)等份的數(shù)（√）（√）（√）（×）（×）（×）59小數(shù)和分?jǐn)?shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分?jǐn)?shù)知識類似（√）A.小數(shù)小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）不同（×）A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時(shí)，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個(gè)數(shù)的右邊增加“0”時(shí)，其值不變5.從小數(shù)點(diǎn)開始往右其值遞減B數(shù)位1.小數(shù)點(diǎn)以后名稱按數(shù)字次序讀出2.小數(shù)部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數(shù)字的順序是十分位，百分位，千分位，-----C讀法小數(shù)點(diǎn)左邊整數(shù)部分按照整數(shù)讀法，右邊的數(shù)字依數(shù)字次序讀出A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時(shí)，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個(gè)數(shù)的左邊增加“0”時(shí)，其值不變5.從小數(shù)點(diǎn)開始往左其值遞減B數(shù)位1.沒有小數(shù)點(diǎn)以后的數(shù)字2.從個(gè)分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數(shù)字的順序是千分位，百分位，十分位，-----C讀法依整數(shù)十進(jìn)制結(jié)構(gòu)讀出（√）（√）（√）（×）（×）（×）（×）（×）（×）60小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）A.數(shù)值A(chǔ).數(shù)小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:1.通過分?jǐn)?shù)的“部分與整體”關(guān)系，或者利用整數(shù)的位值概念2.一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量，兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量61小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:23從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成位值彼此之間關(guān)系以10為基底的指數(shù)形式表示出位名--------千位百位十位個(gè)位位值---------數(shù)字--------為了使個(gè)位也能無限制地向右延伸過去，可將指數(shù)范圍擴(kuò)大至負(fù)整數(shù);利用往左擴(kuò)展一位是乘以10的結(jié)果，因此往右擴(kuò)展一位除以10的結(jié)果，有了新符號（小數(shù)符號）及新位名的產(chǎn)生：指數(shù)小數(shù)新位名=0.1十分位=0.2百分位-------62從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成241989年的《數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》1.能了解數(shù)的基本意義2.能探索數(shù)字之間的多重關(guān)系3.能了解數(shù)字的相對大小關(guān)系4.能了解運(yùn)算對數(shù)字的影響5.能發(fā)展參考物參考物來測量一般的物體2000年的《數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》1.能了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)2.了解運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)性3。流利的計(jì)算并做合理的估計(jì)

9.1.3數(shù)意識形成與發(fā)展

數(shù)意識的解釋，目前并不統(tǒng)一，幾種代表性的說法

631989年的1.能了解數(shù)的基本意義2000年的1.能了解數(shù)字湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與關(guān)系2.能了解數(shù)字的相對大小3能了解運(yùn)算對數(shù)字的影響4.能了解如何使用參考點(diǎn)于日常生活情景麥克英特（數(shù)意識包涵的六種能力）1.了解數(shù)字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數(shù)字能力3.了解運(yùn)算的意義和影響的能力4.了解并善用等值形式解題的能力5.發(fā)展計(jì)算和數(shù)數(shù)策略的能力6.運(yùn)用參考點(diǎn)的能力肖德恩數(shù)意識包含九種成分1.數(shù)字的分解與組合2.辨認(rèn)數(shù)字相對大小的能力3.處理數(shù)字絕對大小的能力4.使用參考點(diǎn)的能力5.以有意義的方式連接數(shù)字、運(yùn)算及相關(guān)符號的能力6.了解運(yùn)算對數(shù)字的影響7.以創(chuàng)新的方式進(jìn)行心算，使運(yùn)算更為方便的能力8.發(fā)展估算的能力，并指導(dǎo)何時(shí)估算是適當(dāng)?shù)?.使數(shù)字意義化的能力64湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與9.2運(yùn)算、估算技能與算法思想的形成9.2.1整數(shù)加減法的研究運(yùn)算技能的形成乘除法的研究分?jǐn)?shù)與小數(shù)的運(yùn)算加減法的研究斯塔奇和格爾曼學(xué)前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應(yīng)有關(guān)加減運(yùn)算問題的基礎(chǔ)知識是所謂的部總知識1.部分和總體之間的運(yùn)算關(guān)系知識2.加法交換律知識3.加法和減法互補(bǔ)關(guān)系知識659.2運(yùn)算、估算技能與算法思想的形成9.2.1格里爾的教學(xué)主張1.算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景2.重視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個(gè)算術(shù)基本運(yùn)算，一般都結(jié)合著一個(gè)隱藏的潛意識的、原始的直觀模式。當(dāng)解一個(gè)含有兩項(xiàng)數(shù)值資料的應(yīng)用問題時(shí)，對運(yùn)算的選擇并非直接發(fā)生，通過一個(gè)中介模式發(fā)生，且這個(gè)模式會對選擇過程加以一些限制乘除法的研究小數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算塔特蘇特分?jǐn)?shù)加法錯(cuò)誤類型1.帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換假分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤2.整數(shù)轉(zhuǎn)換為等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤3.通分時(shí)轉(zhuǎn)換等值分?jǐn)?shù)的錯(cuò)誤4.求公分母的錯(cuò)誤5.加法程序的錯(cuò)誤6.不會化簡或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘66格里爾的教學(xué)主張1.算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景菲斯賓等人9.2.2估算技能的形成強(qiáng)調(diào)估算技能的原因——與數(shù)學(xué)應(yīng)用有關(guān)、源于對數(shù)意識的重視一個(gè)好的估算著至少應(yīng)有的素質(zhì)重組：改變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以方便心算轉(zhuǎn)換：把原有的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式調(diào)節(jié)：計(jì)算中及后，可調(diào)節(jié)估算值至接近的近似值估算技能與心算技能密切相關(guān)，重視心算技能培養(yǎng)的原因1.心算是大多數(shù)人運(yùn)用的主要的計(jì)算方式2.在大多數(shù)情況下，心算是最簡單易行的3.做心算有利于對數(shù)的特性的理解4.心算過程本身就是一種創(chuàng)造性的問題解決活動679.2.2估算技能的形成299.2.3算法思想的初步形成算法的一般要求可以歸納為：——算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法的思想1.在世界范圍內(nèi)，算法都是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動化的5.算法是目標(biāo)指向的6.算法可以為計(jì)算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對于教師來說，算法易于處理與評價(jià)689.2.3算法思想的初步形成在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法的思想1.在世算法程序過早教學(xué)有一些不利因素算法程序常常與人們的習(xí)慣思維不一致算法的運(yùn)算會誘使學(xué)生放棄他們自己的想法算法不利于數(shù)意識的形成算法使學(xué)生習(xí)慣于依賴數(shù)字的空間排列算法會使學(xué)生盲目接受運(yùn)算的結(jié)果在實(shí)際生活中，書面算法很少使用69算法程序過早教學(xué)有一些不利因素算法程序常常與人們的習(xí)慣思維不9.3算術(shù)中的問題解決在探討小學(xué)生解決算術(shù)問題方面三種研究方法：——個(gè)別交談、反應(yīng)潛伏期、用手指和客觀直接模仿，或直接回憶加法表9.3.1算術(shù)問題的基本類型及其解題策略1.加減法應(yīng)用題的基本類型2.乘除法應(yīng)用題的基本類型

⑴乘：大小改變、交叉運(yùn)算、比例因子⑵除：求同單位量之間的比