習題1 拋物線的幾何性質(zhì)

拋物線的幾何性質(zhì)一、選擇題1．設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3，則拋物線上的點到準線的距離的取值范圍是()A.(6，＋∞) B.[6，＋∞)C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)解析：∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又拋物線上的點到準線的距離的最小值為eq\f(p,2)，∴拋物線上的點到準線的距離的取值范圍為[3，＋∞)．答案：D2．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線()A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條C．有無窮多條 D．不存在解析：由定義|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴這樣的直線有且僅有兩條．答案：B3．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為()A.2eq\r(2) B.4C.eq\r(2) D.eq\f(3\r(2),2)＋1解析：本題主要考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用．將P點到直線l1：x＝－1的距離轉(zhuǎn)化為P到焦點F(1,0)的距離，過點F作直線l2的垂線，交拋物線于點P，此即為所求最小值點，∴P到兩直線的距離之和的最小值為eq\f(|1＋0＋3|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，故選A.答案：A4．設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，則點A的坐標是()A．(2，±2eq\r(2)) B．(1，±2)C．(1,2) D．(2,2eq\r(2))解析：F(1,0)，設(shè)A(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－eq\f(y\o\al(2,0),4)，－y0)，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4得到y(tǒng)0＝±2.∴A(1，±2)．答案：B二、填空題5．拋物線頂點在坐標原點，以y軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長為16，則拋物線方程為__________．解析：∵過焦點且與對稱軸y軸垂直的弦長等于p的2倍．∴所求拋物線的方程為x2＝±16y.答案：x2＝±16y6．拋物線y＝x2上到直線2x－y－4＝0的距離最短的點的坐標是__________．解析：把直線2x－y－4＝0平移至與拋物線y＝x2相切時，切點即為所求．設(shè)此時直線方程為2x－y＋b＝0，聯(lián)立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由題意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.答案：(1,1)7．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.解析：如圖，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝eq\f(\r(3),3)p，∴B點坐標為(eq\f(\r(3),3)p，－eq\f(p,2))．又點B在雙曲線上，故eq\f(\f(1,3)p2,3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6.答案：6三、解答題8．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程及準線方程．解：設(shè)所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，設(shè)A(x0，y0)，M(0，－eq\f(p,2))，∵|AF|＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋(y0＋eq\f(p,2))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2p(3－eq\f(p,2))，解得p＝2或p＝4.∴所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y.準線方程為y＝－1或y＝－2.9．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)．(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于eq\f(\r(5),5).若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．解：(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求的拋物線方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝－2x＋t，))得y2＋2y－2t＝0，因為直線l與拋物線C有公共點，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直線OA與直線l的距離等于eq\f(\r(5),5)可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∴t＝±1，由于－1?eq