習題1：反證法與放縮法

反證法與放縮法課后知能檢測一、選擇題1．應用反證法推出矛盾的推導過程中，要把下列哪些作為條件使用()①結論相反的判斷，即假設；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結論．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③【解析】由反證法的推理原理可知，反證法必須把結論的相反判斷作為條件應用于推理，同時還可應用原條件以及公理、定理、定義等．【答案】C2．用反證法證明命題“如果a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”時，假設的內(nèi)容是()\r(3,a)＝eq\r(3,b)\r(3,a)＜eq\r(3,b)\r(3,a)＝eq\r(3,b)且eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)【解析】應假設eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)，即eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b).【答案】D3．設|a|＜1，P＝|a＋b|－|a－b|與2的大小關系為()A．P＞2 B．P＜2C．P＝2 D．不確定【解析】∵P＝|a＋b|－|a－b|＜|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2，故選B.【答案】B4．設x、y、z都是正實數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a、b、c三個數(shù)()A．至少有一個不大于2B．都小于2C．至少有一個不小于2D．都大于2【解析】∵a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥2＋2＋2＝6，當且僅當x＝y(tǒng)＝z＝1時等號成立，∴a、b、c三者中至少有一個不小于2.【答案】C二、填空題5．設M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)，則M與1的大小關系為________．【解析】∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210，∴M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)【答案】M＜16．(2022·重慶模擬)若實數(shù)a、b、c滿足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，則c的最大值是________．【解析】2a＋b＝2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)當且僅當a＝b時，2a＋b≥4取“＝”，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，∴2c＝eq\f(2a＋b,2a＋b－1)＝1＋eq\f(1,2a＋b－1)≤1＋eq\f(1,4－1)＝eq\f(4,3)，故c≤log2eq\f(4,3)＝2－log23.【答案】2－log23三、解答題7．已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2.求證：eq\f(1＋b,a)，eq\f(1＋a,b)中至少有一個小于2.【證明】假設eq\f(1＋b,a)，eq\f(1＋a,b)都不小于2，則eq\f(1＋b,a)≥2，eq\f(1＋a,b)≥2.∵a＞0，b＞0.∴1＋b≥2a,1＋a≥2b.∴2＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b，這與a＋b＞2矛盾．故假設不成立．即eq\f(1＋b,a)，eq\f(1＋a,b)中至少有一個小于2.8．已知a＞0，b＞0，求證：eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)＞eq\f(a＋b,1＋a＋b).【證明】∵a＞0，b＞0，∴eq\f(a,1＋a)＞eq\f(a,1＋a＋b)，eq\f(b,1＋b)＞eq\f(b,1＋a＋b)，∴eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)＞eq\f(a＋b,1＋a＋b).9．已知0＜a＜3,0＜b＜3,0＜c＜3.求證：a(3－b)、b(3－c)、c(3－a)不可能都大于eq\f(9,2).【證明】假設a(3－b)＞eq\f(9,2)，b(3－c)＞eq\f(9,2)，c(3－a)＞eq\f(9,2).∵a、b、c均為小于3的正數(shù)．∴eq\r(a3－b)＞eq\r(\f(9,2))，eq\r(b3－c)＞eq\r(\f(9,2))，eq\r(c3－a)＞eq\r(\f(9,2))，從而有eq\r(a3－b)＋eq\r(b3－c)＋eq\r(c3－a)＞eq\f(9,2)eq\r(2) .①但是eq\r(a3－b)＋eq\r(b3－c)＋eq\r(c3－a)≤eq\f(a＋3－b,2)＋eq\f(b＋3－c,2)＋eq\f(c＋3－a,2)＝eq\f(9＋a＋b＋c－a＋b＋c,2)＝eq\f(9,2). ②顯然②與①相矛盾，假設不成立，故命題得證．教師備選10．設a1，a2，…，an是正數(shù)，求證：eq\f(a2,a1＋a22)＋eq\f(a3,a1＋a2＋a32)＋…＋eq\f(an,a1＋a2＋…＋an2)＜eq\f(1,a1).【證明】左邊＜eq\f(a2,a1a1＋a2)＋…＋eq\f(a3,a1＋a2a1＋a2＋a3)＋…＋eq\f(an,a1＋a2＋…＋an－1a1＋a2＋…＋an)(分母減小分式的值放大)＝(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a1＋a2))＋(eq\f(1,a1＋a2)－eq\f(1,a1＋a2＋a3))＋…＋(eq\f(1,a1＋a2＋…＋an－1)－eq\f(1,a1＋a2＋…＋an))＝eq