2018人教高中數(shù)學選修22單元質(zhì)量評估(二)

2018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)2018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)2018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)2018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)單元質(zhì)量評估(二)第二章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的)22222用的1.由1=1，1+3=2，1+3+5=3，1+3+5+7=4，，獲取1+3++(2n-1)=n是()A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.特別推理【解析】選A.依照定義可知是歸納推理.2.以下推理是歸納推理的是()，B為定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C.由圓x2+y2=r2的面積πr2，猜出橢圓+=1的面積S=πabD.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】選B.從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特別到一般的推理，因此B是歸納推理.【補償訓練】以下推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的選項是()A.由an=2n-1，求出S1=12，S2=22，S3=32，，推斷:數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2B.由f(x)=xcosx滿足f(-x)=-f(x)對?x∈R都成立，推斷:f(x)=xcosx為奇函數(shù)-1-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)C.由半徑為r的圓的面積S=πr2，推斷單位圓的面積S=πD.由(1+1)2>21，(2+1)2>22，(3+1)2>23，，推斷:對所有n∈N*，(n+1)2>2n【解析】選A.選項A:為歸納推理，且由于an=2n-1，因此{an}是等差數(shù)列，首項a1=1，公差d=2，則Sn=n+×2=n2，故A正確;選項B:為演繹推理;選項C:為類比推理;選項D:為歸納推理，當n=7時，(n+1)2=82=64<2n=27=128，故結(jié)論錯誤.在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，則有EF∥BC，這個問題的大前提為()三角形的中位線平行于第三邊三角形的中位線等于第三邊的一半C.EF為中位線∥BC【解析】選A.這個三段論的推理形式是:大前提:三角形的中位線平行于第三邊;小前提:EF為△ABC的中位線;結(jié)論:EF∥BC.4.已知c>1，a=-，b=-，則正確的結(jié)論是()A.a>bB.a<bC.a=b，b大小關系不定【解析】選B.由于a=，b=，因此a<b.用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x3+ax+b=0最少有一個實根”時，要做的假設是()A.方程x3+ax+b=0沒有實根-2-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根【解析】選A.由于“方程x3+ax+b=0最少有一個實根”等價于“方程x3+ax+b=0的實根的個數(shù)大于或等于1”，因此，要做的假設是方程x3+ax+b=0沒有實根.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(-3，4)，且法向量為n=(1，-2)的直線(點法式)方程為:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，化簡得x-2y+11=0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點A(1，2，3)，且法向量為m=(-1，-2，1)的平面的方程為()A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【解析】選A.類比直線方程求法得平面方程為(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.7.用數(shù)學歸納法證明1++++=時，由n=k到n=k+1左邊需要增加的項是()A.B.C.D.【解析】選D.由n=k到n=k+1時，左邊需要增加的項是=.-3-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)解析法又叫執(zhí)果索因法，若使用解析法證明:“設a>b>c，且a+b+c=0，求證:<a”，則最后的索因應是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】選A.由于a>b>c，且a+b+c=0，因此3c<a+b+c<3a，即a>0，c<0.要證<a，只要證b2-ac<3a2，只要證(-a-c)2-ac<3a2，只要證2a2-ac-c2>0，只要證(a-c)·(2a+c)>0，只要證2a+c>0(a>0，c<0，則a-c>0)，只要證a+c+(-b-c)>0，即證a-b>0，這顯然成立.對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有以下分解方式:=1+3=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+1923的分解中最小的正整數(shù)是21，則m+n=依照上述分解規(guī)律，若m=1+3+5++11，n()-4-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)2【解析】選B.由于m=1+3+5++11=×6=36，因此m=6.由于23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，因此53=21+23+25+27+29，由于n3的分解中最小的正整數(shù)是21，因此n3=53，n=5，因此m+n=6+5=11.10.已知a>0，b>0，a，b的等差中項為，且m=a+，n=b+，則m+n的最小值為()【解析】選C.由已知，得a+b=1，m+n=a++b+=1++=1++=3++≥3+2=5.11.已知x>0，不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，，可實行為x+≥n+1，則a的值為()2B.nnn2n-2-5-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)【解析】選B.由x+≥2，x+=x+≥3，x+=x+≥4，，可實行為x+n+1，故a=nn.在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，公比q>1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是()A.b+b>b+bB.b+b<b+b748574854+b7>b5+b84+b7<b5+b8【解析】選A.在等差數(shù)列{an}中，由于4+6=3+7時有a4·a6>a3·a7，因此在等比數(shù)列{bn}中，由于4+8=5+7，因此應有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.由于b4=b1q3，b5=b1q4，b7=b1q6，b8=b1q7，因此(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).由于q>1，bn>0，因此b4+b8>b5+b7.二、填空題(本大題共4個小題，每題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)已知x，y∈R，且x+y>2，則x，y中最少有一個大于1，在用反證法證明時，假設應為.【解析】“最少有一個”的反面為“一個也沒有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”.答案:x，y均不大于1(也許x≤1且y≤1)-6-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)14.從1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，，實行到第n個等式為.【解析】由于1=1=(-1)1+1·1，1-4=-(1+2)=(-1)2+1·(1+2)，1-4+9=1+2+3=(-1)3+1·(1+2+3)，1-4+9-16=-(1+2+3+4)=(-1)4+1·(1+2+3+4)，因此1-4+9-16++(-1)n+1·n2=(-1)n+1·(1+2++n).答案:1-4+9-16++(-1)n+1·n2=(-1)n+1(1+2++n)15.函數(shù)y=a1-x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny-1=0(mn>0)上，則+的最小值為.【解析】由于函數(shù)y=a1-x的圖象所過的定點為A(1，1)，且點A在直線mx+ny-1=0上，因此m+n=1.又由于mn>0，因此必有m>0，n>0，于是+=(m+n)·=2++≥2+2=4.答案:416.關于命題“若是O是線段AB上一點，則||·+||·=0”將它類比到平面的狀況是:若O是△ABC內(nèi)一點，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0，將它類比到空間的狀況應為:若O是周圍體ABCD內(nèi)一點，則有.【解析】依照類比的特點和規(guī)律，所得結(jié)論形式上一致，由線段類比平面，平面類比到空間，由線段長類比為三角形面積，再類比成周圍體的體積，故可以類比為VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.答案:VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0-7-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知實數(shù)a，b，c，d滿足a+b=c+d=1，ac+bd>1，求證:a，b，c，d中最少有一個是負數(shù).【解題指南】關于含有“最少”、“至多”的命題的證明，經(jīng)常用反證法證明.假設結(jié)論不成立，由a+b=c+d=1可得a，b，c，d∈[0，1].由條件中的和與積想到基本不等式，依照ac≤≤，bd≤≤，兩式相加可推出矛盾.【解析】假設a，b，c，d∈[0，+∞)，由于a+b=c+d=1，因此a，b，c，d∈[0，1]，因此ac≤≤，bd≤≤，因此ac+bd≤+=1，這與ac+bd>1相矛盾，因此原假設不成立.故a，b，c，d中最少有一個是負數(shù).【拓展延伸】適適用反證法證明的命題有:結(jié)論自己是以否定形式出現(xiàn)的命題.關于唯一性，存在性的命題.結(jié)論是以“至多”“最少”等形式出現(xiàn)的命題.結(jié)論的反面比原結(jié)論更詳盡，更簡單研究的命題.18.(12分)已知在△ABC中，有一個內(nèi)角不小于120°，求證:最長邊與最短邊之比不小于.-8-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)【解題指南】設最大角為A，最小角為C，由于A≥120°，因此B+C≤60°，C≤30°，再利用正弦定理和二倍角公式求出的范圍，即得所證.【證明】設最大角為A，最小角為C，則最大邊為a，最小邊為c.由于A≥120°，因此B+C≤60°，且C≤B，因此2C≤B+C≤60°，C≤30°.因此==≥=2cosC≥.19.(12分)已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求證:+=1.【解題指南】采用解析法進行證明，依照結(jié)論+=1，可得c2+a2-b2-ac=0;再利用A，B，C成等差數(shù)列，可得B=60°，利用余弦定理可得b2=c2+a2-ac成立，從而得證.【證明】要證原式成立，只要證=1，即證bc+c2+a2+ab=ab+b2+ac+bc，即c2+a2-b2-ac=0，而三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，因此A+C=2B，又A+B+C=180°，因此B=60°，由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB=c2+a2-ac，因此c2+a2-b2-ac=0，故+=1.20.(12分)已知x，y∈N*，以下不等式成立.①x2+y2≥;-9-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)②x2+y2≥;③x2+y2≥.依照上述不等式，請你推出一般的結(jié)論，并證明你的結(jié)論.【解析】一般的結(jié)論是:已知x，y∈N*，a，b都是正數(shù)，且a+b=1，則ax2+by2(ax+by)2.證明:由于a+b=1，因此a=1-b>0，b=1-a>0.因此(ax2+by2)-(ax+by)2=(a-a2)x2-2abxy+(b-b2)y2=a(1-a)x2-2a(1-a)xy+a(1-a)y2=a(1-a)(x2-2xy+y2)=a(1-a)(x-y)2.又a>0，1-a>0，(x-y)2≥0，因此(ax2+by2)-(ax+by)2≥0.因此ax2+by2≥(ax+by)2成立.21.(12分)若實數(shù)x，y，m滿足|x-m|>x|y-m|，則稱x比y遠離m.若x2-1比1遠離0，求實數(shù)x的取值范圍.(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a，b，證明:a3+b3比a2b+ab2遠離2ab.【解析】(1)由題意可得|x2-1-0|>|1-0|，即|x2-1|>1，即x2-1>1或x2-1<-1，解得x>或x<-，故實數(shù)x的取值范圍為(-∞，-)∪(，+∞).(2)對任意兩個不相等的正數(shù)a，b，有a3+b3>-10-/122018-2019年人教版高中數(shù)學選修2-2單元質(zhì)量評估(二)2ab，a2b+ab2>2ab.由于|a3+b3-2ab|-|a2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0因此|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|，故a3+b3比a2b+ab2遠離2ab.22.(12分)用數(shù)學歸納法證明1·(n2