2022-2023學年人教A版必修第二冊 8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 課件（33張）

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第八章2023課標要求1.了解圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖,掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積公式及體積公式.2.能運用公式求圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積及體積并解決簡單的實際問題,理解柱體、錐體、臺體的體積之間的關(guān)系.3.會求組合體的表面積及體積.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

圓柱、圓錐、圓臺的表面積

幾何體側(cè)面展開圖底面積、側(cè)面積、表面積圓柱底面積:S底=

;

側(cè)面積:S側(cè)=

;

表面積:S=

圓錐底面積:S底=

;

側(cè)面積:S側(cè)=

;

表面積:S=

πr22πrl2πr2+2πrlπr2πrlπr2+πrl幾何體側(cè)面展開圖底面積、側(cè)面積、表面積圓臺上底面面積:=

;

下底面面積:=

;

側(cè)面積:S側(cè)=

;

表面積:S=

名師點睛運用公式時的注意事項1.明確公式中各符號的含義.2.S表=S側(cè)+S底,注意所求幾何體的底面?zhèn)€數(shù).πr'2πr2π(r+r')lπr2+πr'2+π(r+r')l過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.(

)(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,扇形的半徑等于圓錐底面的半徑.(

)(3)圓臺的側(cè)面展開圖是大扇形截掉一個小扇形的扇環(huán).(

)2.圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系?√×√提示

如圖所示.知識點2

圓柱、圓錐、圓臺的體積1.V圓柱=πr2h(r是圓柱的底面半徑,h是圓柱的高)2.V圓錐=πr2h(r是圓錐的底面半徑,h是圓錐的高)3.V圓臺=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分別是上、下底面半徑,h是高).名師點睛棱柱和圓柱都是柱體,棱錐和圓錐都是錐體,棱臺和圓臺都是臺體,它們的體積公式可統(tǒng)一如下:(1)V柱體=Sh(S為柱體的底面積,h為柱體高);過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)棱柱和圓柱的體積都可以用底面積乘以高來求解.(

)(2)圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的

.(

)(3)求圓臺的表面積和體積時,常用“還臺為錐”的思想方法.(

)2.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系?√√√提示

如圖.知識點3

球的表面積和體積1.S球=4πR2(R是球的半徑)2.V球=πR3(R是球的半徑)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若球的直徑為d,則它的表面積為πd2.(

)(2)兩個球的半徑之比為1∶2,則其體積之比為1∶4.(

)2.已知球的表面積是16π,則該球的體積為

.

√×解析

設(shè)球的半徑為R,則由題意可知4πR2=16π,解得R=2.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積【例1】

如圖,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.解以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓臺,其上底半徑是4,下底半徑是16,母線DC==13.故該幾何體的表面積為π(4+16)×13+π×42+π×162=532π.規(guī)律方法

解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及平面展開圖,借助于平面幾何知識,求得所需幾何要素,代入公式求解即可,基本步驟如下:得到空間幾何體的平面展開圖→依次求出各個平面圖形的面積→將各平面圖形的面積相加變式探究在上題題設(shè)條件不變的情況下,求以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.解以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓柱和圓錐的組合體,如圖.其中圓錐的高為16-4=12,圓柱的母線長為AD=4,故該幾何體的表面積為2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.探究點二圓柱、圓錐、圓臺的體積【例2】

已知等邊三角形的邊長為2,將該三角形繞其任一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為

.

答案

2π解析

將邊長為2的正三角形繞其任一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個組合體,如圖,該組合體由兩個同底的圓錐組成,規(guī)律方法

求圓柱、圓錐、圓臺的體積問題,一是要牢記公式,然后觀察空間圖形的構(gòu)成,是單一的旋轉(zhuǎn)體,還是組合體;二是注意旋轉(zhuǎn)體的構(gòu)成,以及圓柱、圓錐、圓臺軸截面的性質(zhì),從而找出公式中需要的各個量,代入公式計算.變式訓練1用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個圓錐的側(cè)面,則此圓錐的體積為

.

探究點三球的表面積和體積【例3】

若兩球的表面積之差為48π,它們的半徑之和為6,則兩球的體積之差的絕對值為

.

規(guī)律方法

因為球的表面積與體積都是球半徑的函數(shù),所以在解答這類問題時,設(shè)法求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.變式訓練2一個圓柱的底面直徑與高相等,且該圓柱的表面積與球O表面積相等,則球O的半徑與圓柱底面半徑之比為(

)答案A

解析

設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓柱的高h=2r,設(shè)球的半徑為R,由題可知S柱=S球,即2πr2+2πr·2r=4π·R2,解得

,故選A.探究點四簡單的幾何體的外接球和內(nèi)切球問題【例4】

若棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(

)A.12π B.24πC.36π D.144π答案

B

解析

正方體外接球的球心在體對角線的中點,設(shè)半徑為R,則(2R)2=3×(2)2,即4R2=24,所以球的表面積為4πR2=24π.故選B.規(guī)律方法

解決幾何體的外接球和內(nèi)切球問題的關(guān)鍵是確定球的球心位置,然后求半徑.內(nèi)切球的半徑常用等體積法;簡單幾何體的外接球,如長方體的外接球,根據(jù)長方體的體對角線即為外接球的直徑求解,其中若長方體的體對角線及長、寬、高分別為l,a,b,c,則l2=a2+b2+c2.變式訓練3若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且三條側(cè)棱長分別為1,,則其外接球的表面積是

.

6π本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)圓柱、圓錐、圓臺的表面積.(2)圓柱、圓錐、圓臺的體積.(3)球的表面積和體積.2.方法歸納:公式法.3.常見誤區(qū):平面圖形與立體圖形切換不清楚.學以致用?隨堂檢測全達標1.直徑為6的球的表面積和體積分別是(

)A.36π,144π B.36π,36πC.144π,36π D.144π,144π答案B

解析

球的半徑為3,表面積S=4π·32=36π,體積V=π·33=36π.2.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為(

)A.8π

B.16π

C.24π

D.32π答案A

解析

由圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,△SAB的面積為8,可得

3.圓臺上底面半徑為2,下底面半徑為6,母線長為5,則圓臺的體積為(

)答案B

解析

作出圓臺的軸截面如圖所示:上底面半徑MD=2,下底面半徑NC=6,過D做DE垂直NC,垂足為E,則EC=6-2=4,CD=5,故DE=3.即圓臺的高為3,所以圓臺的體積為4.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(

)答案B

解析

過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面為圓柱的軸截面,設(shè)底面半徑為r,母線長為l,因為軸截面是面積為8的正方形,所以2r=l=2,r=,所以圓柱的表面積為2πrl+2πr2=8π+4π=12π.5.把