線段最值問(wèn)題講義

中線最值題線段最值問(wèn)題是指在一定的條件下，求線段長(zhǎng)度的最大值或最小求線段最值問(wèn)題的基本方法有特殊位與極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數(shù)據(jù)，再進(jìn)行一般情形下的推證；幾何定(公理法：應(yīng)用幾何中的不等量性質(zhì)、定理）邊大于直角邊）兩點(diǎn)之間線段最短）線最短）三角形任意兩邊之和大于第三.數(shù)形結(jié)法：揭示問(wèn)題中變動(dòng)元素的代數(shù)關(guān)【例1角平分線模型如圖在角三角形＝4N分是BD、上動(dòng)點(diǎn)，則CM＋MN的小值是

∠＝平分∠MDM

N

C【例】將軍飲馬模型（1AB是線l同側(cè)兩點(diǎn)，是在l上找一點(diǎn)P使最.（2）如圖②，正方形ABCD的長(zhǎng)為2E為的點(diǎn)是上一動(dòng).連接，則＋PE最小值是；（3）如圖③，＝45°，是∠內(nèi)點(diǎn)＝10Q分是、OB上的動(dòng)點(diǎn)，周長(zhǎng)的最小值模型拓展（4）如圖④，某人從A地到河邊l飲，然后沿著筆直的河邊走固定的距離a最后回到營(yíng)地B.人怎樣選擇飲馬的地點(diǎn)，才能使所走的路程最短？

B

E

B

B

l

A

P

P

A

D

A

l圖①

圖②

圖③

圖④【例】如，C為段一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作⊥BDEDBD連接AC、EC.已知AB，DE＝，＝8，設(shè)CD（1用含x的數(shù)表示＋CE的；（2請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)＋的最?。浚?根據(jù)）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出

代數(shù)式

x2)

的最小D

費(fèi)馬點(diǎn)【例】在ABC所在平面求一點(diǎn)，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和為最.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，這個(gè)問(wèn)題中所求的點(diǎn)被人們稱為費(fèi)點(diǎn).（1如圖①，ABC三角均小于時(shí)F部，此時(shí)∠＝∠＝∠CFA＝120°（2如圖②，ABC有角不設(shè)為)時(shí)點(diǎn)與A合.

FC圖①

A(F)B圖②

F'FC圖③對(duì)于（1）給出分析與證明：即當(dāng)∠＝＝＝時(shí)，＋FB＋的值最.如圖③，AFC繞點(diǎn)A逆針旋轉(zhuǎn)得eq\o\ac(△,)C，接FF，則≌eq\o\ac(△,)C，AC＝，F(xiàn)C，F(xiàn)A＝′A.∵∠FAF＝，F(xiàn)A＝，∴△FAF為等邊三角形∴FA＝＝，＋＋FC＝＋＋F，∵∠＝BFC∠CFA＝，∠AFF＝，∴、F、、在條直線上，∴＋＋FC＝BC的最小，即＋＋FC的最.【拓展】由費(fèi)馬點(diǎn)到多邊形的最短連接，可類比提出如下問(wèn)題：（1四邊形的費(fèi)馬點(diǎn)如何確定？（2將正方形的四個(gè)頂點(diǎn)用線段連接，怎樣的連接最短？一、小題專練如圖在形中∥＝＝＝1∠＝60°直為梯形ABCD的對(duì)稱軸，P為上點(diǎn)，那PC＋PD的最小值為________如圖AB的為2為上動(dòng)點(diǎn)以AC為邊在的側(cè)作兩個(gè)等腰直ACD和，則DE的小值________如圖，四邊形的長(zhǎng)最小時(shí)，a＝________M

y

D

N(a+2,0)

E

O

B(4,-1)

CN

A

B

A(1,-3)（第題）（第2題）（題）如圖，菱形中，∠＝60°，AB，E為的中點(diǎn)，則對(duì)角線的動(dòng)點(diǎn)P到E、C兩的距離之和的最小值_

如圖，，矩形的點(diǎn)、分別在邊OM上，當(dāng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM運(yùn)動(dòng)，矩形的狀保持變，其中＝，＝1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到的大距離為在直角標(biāo)系中知兩點(diǎn)A－3)(－4及兩動(dòng)點(diǎn)(0D(m則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，比值

mn

為_A

A

DB

P

E

C

B（第題）（5題）（6題若P在平面上一點(diǎn)，且APB∠＝∠＝120°則點(diǎn)叫的費(fèi)馬（1如圖①點(diǎn)為銳ABC的馬點(diǎn)∠ABC＝PAPC則的________；（2如圖②，在銳外側(cè)作等ACB連接求證：BB′ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，＝PA＋PBC.

B'DC

C圖①

圖②如圖，邊形是正方形等邊三角形M為對(duì)角線BD(不含點(diǎn)上任意一點(diǎn)，將BM繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BN連接、AMCM（1求證