工程力學(xué)教學(xué)t8

1.彈性桿件的變形與變形能計(jì)算2.變形體虛功原理3.單位荷載法4.圖乘法5.其他外因引起的位移計(jì)算6.互等定理7.結(jié)論與討論第三章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述

一、結(jié)構(gòu)的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對線位移、角位移等統(tǒng)稱廣義位移線位移角位移相對線位移CDFP相對角位移制造誤差等鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:

二、計(jì)算位移的目的引起結(jié)構(gòu)位移的原因(1)剛度要求如：荷載、溫度改變

T、支座移動(dòng)c、在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。（3）理想聯(lián)結(jié)(IdealConstraint)。三、本章位移計(jì)算的假定

(2)超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),返首2變形體虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實(shí)功(RealWork)和虛功(VirtualWork)兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP/2FP/2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無關(guān)（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。（1）屬同一體系；或兩狀態(tài)中的變形體系只要外形相同，而材料和截面尺寸可以不同。一些基本概念：實(shí)功：廣義力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功功：力×力方向位移之總和廣義力：功的表達(dá)式中，與廣義位移對應(yīng)的項(xiàng)功：廣義力×廣義位移之總和虛功：廣義力與廣義位移無關(guān)時(shí)所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21變力功（1）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：二、變形桿件的虛功原理Σfiδri=0→→.對于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。也即（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：

對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力(主動(dòng)力)所做虛功之和為零。FP-FPΔP+FB

ΔB=0ΔPΔB原理的表述：任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移時(shí)所作的總虛功δWe，恒等于變形體所接受的總虛變形功δWi。也即恒有如下虛功方程成立δWe=δWi（3）變形體的虛功原理變形形體體虛虛功功原原理理的的證證明明外力力總總虛虛功功=各部部分分外外力力總總虛虛功功的的總總和和變形形體體虛虛功功原原理理的的證證明明虛位位移移是是光光滑滑、、連連續(xù)續(xù)的的，，相相鄰鄰分分割割面面虛虛位移移相相同同。。計(jì)算算各各部部分分外外力力總總虛虛功功有有兩兩種種方方案案方案案一一：：外外力力區(qū)區(qū)分分，，虛虛位位移移不不區(qū)區(qū)分分各部部分分外外力力總總虛虛功功總總和和=外荷荷載載總總虛虛功功δW=δWe分割割面面內(nèi)內(nèi)力力虛虛功功相相互互抵抵消消各部部分分上上的的外外力力區(qū)區(qū)分分為為：：外外荷荷載載和和分分割割面內(nèi)內(nèi)力力兩兩類類，，相相鄰鄰分分割割面面內(nèi)內(nèi)力力互互為為作作用用與與反作作用用關(guān)關(guān)系系。。虛虛位位移移區(qū)區(qū)分分虛虛位位移移區(qū)區(qū)分分變形形體體虛虛功功原原理理的的證證明明變形形體體是是平平衡衡的的，，其其各各部部分分也也必必然然平平衡衡。。因此此，，各各部部分分上上的的外外力力是是平平衡衡力力系系。。方案案二二：：各各部部分分外外力力不不區(qū)區(qū)分分，，虛虛位位移移區(qū)區(qū)分分δW=δWi根據(jù)據(jù)剛剛體體虛虛位位移移原原理理，，外外力力在在剛剛體體虛虛位位移移上的的總總虛虛功功等等于于零零。。因因此此各部部分分外外力力總總虛虛功功=外力力在在變變形形虛虛位位移移上上的的總總虛虛功功兩方案計(jì)計(jì)算同一一內(nèi)容，，因此δWe=δWi各部分的的虛位移移區(qū)分為為：剛體體虛位移移和變形虛位移移兩類。。但必須注意意，虛位移移是光滑滑連續(xù)的，，可剛體體和變形形虛位移移在分割割面處一一般是不光光滑、連連續(xù)的。。需要強(qiáng)調(diào)調(diào)的幾個(gè)個(gè)問題原理的證證明表明明，原理理適用于于任何力學(xué)學(xué)行為(線性和非非線性)的變形體體，適用于于任何結(jié)構(gòu)構(gòu)。虛功原理理里存在在兩個(gè)狀狀態(tài)：力狀態(tài)必必須滿足足平衡條條件；位位移狀態(tài)態(tài)必須滿滿足協(xié)調(diào)調(diào)條件。。因此原原理僅是是必要性命命題。由于外力力在變形形虛位移移上所作作的功相相對分割割面內(nèi)力力的虛變變形功為為高階小小量，因因此許多多文獻(xiàn)上上稱δWi為內(nèi)力總總虛功。原理可有有兩種應(yīng)應(yīng)用：實(shí)際待分分析的平平衡力狀狀態(tài)，虛虛設(shè)的協(xié)協(xié)調(diào)位移移狀態(tài)，，將平衡問題題化為幾幾何問題題來求解解。需要強(qiáng)調(diào)調(diào)的幾個(gè)個(gè)問題實(shí)際待分分析的協(xié)協(xié)調(diào)位移移狀態(tài)，，虛設(shè)的的平衡力力狀態(tài)，，將位移分析析化為平平衡問題題來求解解。第一種應(yīng)應(yīng)用一些些文獻(xiàn)稱稱為“虛位移移原理””，而將第第二種應(yīng)應(yīng)用稱為為“虛力原原理”。更確切的的說法為為，兩種應(yīng)用用的依據(jù)據(jù)是上述述兩原理理的必要要性命題題。上述兩兩原理都都是充分分、必要要性命題題，它們和虛虛功原理理是有區(qū)區(qū)別的。質(zhì)點(diǎn)系是一個(gè)離散化體系，變形體是一個(gè)連續(xù)體。我們認(rèn)為，所謂將質(zhì)點(diǎn)系虛位移原理()“應(yīng)用于變形體”是不妥當(dāng)?shù)?。Σfiδri=0→→.當(dāng)變形體體為桿件件體系時(shí)時(shí)，如：：ABCDq(s)ijp(s)m(s)取任一單元δWe的計(jì)算:當(dāng)無結(jié)點(diǎn)點(diǎn)荷載時(shí)時(shí),δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδδθ]ds當(dāng)有結(jié)點(diǎn)點(diǎn)荷載時(shí)時(shí)δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)位移δWi的計(jì)算:微段拉伸微段剪切微段彎曲δWi=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds取微段,其受力如如下對于直桿桿體系，，由于變變形互不不耦連，，所以變形可看看成有如如下幾部部分微段受力微段扭轉(zhuǎn)桿系結(jié)構(gòu)構(gòu)虛功方方程根據(jù)上述述推證，，可得桿桿系結(jié)構(gòu)構(gòu)虛功方方程如下下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi以上結(jié)論論與材料料物理性性質(zhì)及具具體結(jié)構(gòu)構(gòu)無關(guān)，，因此，，虛功原原理虛功功方程既既適用于于一切線線性結(jié)構(gòu)構(gòu)，也適適用于一一切非線線性結(jié)構(gòu)構(gòu)。希望能很好理理解，盡可能能達(dá)到掌握！！三、虛功原理理的兩種應(yīng)用用1）虛功原理用用于虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)態(tài)與實(shí)際的平衡力狀態(tài)之間。例.求A端的支座反力力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去掉A端約束并代以以反力X，構(gòu)造相應(yīng)的虛虛位移狀態(tài)如如圖(b)、(c)待分析平衡的力狀態(tài)X(b)FP由外力虛功總總和為零，即即：(c)直線虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對靜定結(jié)構(gòu)，，這里實(shí)際用用的是剛體虛虛位移原理，，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)態(tài)的平衡方程程，即幾點(diǎn)說明：(3)求解時(shí)關(guān)鍵一一步是找出虛虛位移狀態(tài)的的位移關(guān)系。。(2)虛位移與實(shí)際際力狀態(tài)無關(guān)關(guān),故可設(shè)特點(diǎn):用幾何法來解解靜力平衡問問題。例.求A端支座發(fā)生豎豎向位移c時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移移.(a)ABaCbc2）虛功原理用用于虛設(shè)的平衡力狀態(tài)與實(shí)際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)態(tài)之間。解：首先構(gòu)造造出相應(yīng)的虛虛設(shè)力狀態(tài)。。即，在擬求求位移之點(diǎn)（（C點(diǎn)）沿?cái)M求位位移方向（豎豎向）設(shè)置單位荷載。1ABC(b)由求得：虛功方程為：：這便是單位荷載法(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱稱為Maxwell-MohrMethod幾點(diǎn)說明：(1)所建立的虛功方程,實(shí)質(zhì)上是幾何方程。(3)求解時(shí)關(guān)鍵一一步是找出虛虛力狀態(tài)的靜靜力平衡關(guān)系系。(2)虛設(shè)的力狀態(tài)態(tài)與實(shí)際位移移狀態(tài)無關(guān)，，故可設(shè)單位位廣義力P=1總的來講，必必須非常清楚楚的是：單位位移法的虛功方程平衡方程特點(diǎn):是用靜力平衡衡法來解幾何何問題。單位荷載法的虛功方程幾何方程返回首頁3單位荷載法一、位移計(jì)算算的一般公式式(GeneralFormulaofDisplacements)將虛功原理用用于實(shí)際協(xié)調(diào)位移移和虛設(shè)平衡力狀狀態(tài)間已介紹過——單位荷載法。。下面從虛功方方程入手，討討論桿系結(jié)構(gòu)構(gòu)位移計(jì)算的的一般公式。。桿系結(jié)構(gòu)虛虛功方程為δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi設(shè)待求的實(shí)際際廣義位移為Δ設(shè)僅在廣義力力P作用下，與之之平衡的軸力力、剪力、扭扭矩和彎矩分分別為FN、FQ、Mx和M。實(shí)際位移狀態(tài)FPABC虛設(shè)的力狀態(tài)PABCFN、FQ、Mx和M，與Δ對應(yīng)的廣義力為P。又設(shè)與內(nèi)力FN、FQ、Mx和M對應(yīng)的微段實(shí)實(shí)際變形分別別為δε、δγ、δφ和δθ。若結(jié)構(gòu)有已知知支座位移為為ci實(shí)際位移狀態(tài)FPABC虛設(shè)的力狀態(tài)PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc，與其對應(yīng)的由由廣義力P引起的支座反反力為FRi則桿系結(jié)構(gòu)虛虛功方程為δWe=ΣFRici+PΔ=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi虛功方程等式兩邊同除廣義力P，