專題51 數(shù)列的性質(zhì)-妙解2023年高考數(shù)學(xué)填選壓軸題

專題51數(shù)列的性質(zhì)【方法點撥】1.數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)，數(shù)列的函數(shù)性主要涉及數(shù)列的單調(diào)性（判斷數(shù)列的增減性和確定數(shù)列中最大（?。╉?，求數(shù)列最值等）等；2.數(shù)列中的恒成立問題較函數(shù)中恒成立問題更難，但方法是想通的，一般都要分離參數(shù)，一般都要轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性，但由于數(shù)列定義域是離散型變量,不連續(xù)，這給研究數(shù)列的單調(diào)性帶來了難度,其一般解決方法是作差或作商.【典型題示例】例1若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>a－7對一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)a的最大值為________．【答案】8【分析】要求正整數(shù)a的最大值，應(yīng)先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)的最小值，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)，通過單調(diào)性求解．【解析】令f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)(n∈N*)，對任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n＋2)＋eq\f(1,3n＋3)＋eq\f(1,3n＋4)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(2,3n＋13n＋23n＋4)>0，所以f(n)在N*上是增函數(shù)．又f(1)＝eq\f(13,12)，對一切正整數(shù)n，f(n)>a－7都成立的充要條件是eq\f(13,12)>a－7，所以a<eq\f(97,12)，故所求正整數(shù)a的最大值是8.點評：本題是構(gòu)造函數(shù)法解題的很好的例證．如果對數(shù)列求和，那就會誤入歧途．本題構(gòu)造函數(shù)f(n)，通過單調(diào)性求其最小值解決了不等式恒成立的問題．利用函數(shù)思想解題必須從不等式或等式中構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系并研究其性質(zhì)，才能使解題思路靈活變通.例2已知常數(shù)，設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足：，（）．若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】已知條件中含“項、和”，需抓住特征，實施消和.【解析】∵，∴則，，相加，得則上式對也成立，∴．③∴．④④－③，得即∵，∴.∵對一切恒成立，∴對一切恒成立．即對一切恒成立．記,則當(dāng)時，；當(dāng)時，∴是中的最大項．綜上所述，的取值范圍是.例3已知數(shù)列滿足，則A．0 B． C． D．【答案】A【分析】通過“列數(shù)”，發(fā)現(xiàn)其周期性求解.【解析】由上述可知，數(shù)列是每三項一次循環(huán)的數(shù)列，則有故選A．【鞏固訓(xùn)練】1.已知數(shù)列中，則在數(shù)列則數(shù)列的前50項中最小項為第項，最大項為第____項.2.等比數(shù)列的首項，公比，設(shè)，則中第______項最大.3.已知，則在數(shù)列的最大項為第______項.4.若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>a－7對一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)a的最大值為________．5.數(shù)列若對任意恒成立，則正整數(shù)m的最小值為.6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n(λ－n)－6，若數(shù)列{an}單調(diào)遞減，則λ的取值范圍是A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)7．已知數(shù)列的前項和滿足.若對任意正整數(shù)都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最小項為（）.A． B． C． D．9．已知數(shù)列滿足：，，若對任意的正整數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足，，若，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11.數(shù)列中，，，，那么A．1 B．2 C．3 D．-312.在數(shù)列中，若，并有對且恒成立；則_______________．13.設(shè)數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)，總有成立，則數(shù)列的前2019項的乘積為（）A． B．1 C．2 D．.3【答案與提示】1.【答案】8、9【提示】，類比一次分式函數(shù)性質(zhì).2.【答案】10【提示】，，令解得.3.【答案】4、5【提示】，利用對勾函數(shù)性質(zhì).4.【答案】8【分析】要求正整數(shù)a的最大值，應(yīng)先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)的最小值，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)，通過單調(diào)性求解．【解析】令f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)(n∈N*)，對任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n＋2)＋eq\f(1,3n＋3)＋eq\f(1,3n＋4)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(2,3n＋13n＋23n＋4)>0，所以f(n)在N*上是增函數(shù)．又f(1)＝eq\f(13,12)，對一切正整數(shù)n，f(n)>a－7都成立的充要條件是eq\f(13,12)>a－7，所以a<eq\f(97,12)，故所求正整數(shù)a的最大值是8.5.【答案】10【提示】得，，，，仿上題求最大值.6.【答案】A【解析】，，因為單調(diào)遞減，所以，所以，且，所以只需，，且，所以，故選A．7.【答案】C【解析】當(dāng)時，，即，得；當(dāng)時，由，得，兩式相減得，得，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，.，由，得，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，其最小項為，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選C．8.【答案】C【解析】因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.又因為.當(dāng)時,.當(dāng)時,.所以數(shù)列中的最小項為.故選：C.9.【答案】B【解析】，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，，實數(shù)的取值范圍，故選：．10.【答案】D【解析】∵,∴,記,則是以,的等比數(shù)列,∴,∴,∵,,等價于，，即令,則∴時,;時,.∴,∴.∴,∴實數(shù)的取值范圍為,故選：D11.【答案】B【解析】由題意，得，，，，，…，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，又，所以，故正確答案為B.12.【答案】【解析】由條件及，得，