專題15：雙曲線的對(duì)稱性問題

第第頁(yè)參考答案1．D【分析】先設(shè)出，漸近線方程為，其對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)題意得和，解得，再代入雙曲線方程化簡(jiǎn)即可得答案.【解析】設(shè)，漸近線方程為，其對(duì)稱點(diǎn)，所以有，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)楦鶕?jù)題意得在漸近線上，所以，所以解得，即，代入雙曲線方程得：，化簡(jiǎn)可得：，即有，所以.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題通過雙曲線的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率，考查了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．A【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，，利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而得到，根據(jù)離心率公式計(jì)算即得.【解析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，，所以,,兩式相減得，即，因?yàn)橹本€PA，PB的斜率之積為，所以，所以雙曲線的離心率為故選:A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，離心率，點(diǎn)差法，屬中檔題.利用點(diǎn)差法可以證得：（1）點(diǎn)P，A，B在曲線上，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之積.（2）點(diǎn)P，A，B在雙曲線上，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之積.3．C【分析】先看當(dāng)都在右支上時(shí),若垂直軸,根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),把焦點(diǎn)橫坐標(biāo)代入雙曲線方程求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得的長(zhǎng)等于8,即為垂直于軸的一條;再看若分別在兩支先看為兩頂點(diǎn)時(shí),不符合題意進(jìn)而可推斷出符合題意的直線有兩條,最后綜合可得答案.【解析】①若都在右支,若垂直軸,,所以則,代入雙曲線,求得,所以所以的直線有一條,即垂直于軸;②若分別在兩支,,所以頂點(diǎn)距離為所以有兩條,關(guān)于軸對(duì)稱.綜上,滿足這樣的直線l的條數(shù)為3條.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的對(duì)稱性和直線與雙曲線的關(guān)系,考查了學(xué)生分析推理和分類討論思想的運(yùn)用.4．B【分析】根據(jù)雙曲線的定義和矩形的面積公式，以及離心率的計(jì)算公式，即可求解，得到答案．【解析】由題意，可得，聯(lián)立解得，又為直徑，所以四邊形為矩形，所以，即，即，由，得，即，即，所以，所以雙曲線的漸近線的方程為，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．5．D【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，要使這樣的直線有兩條，第一種情況是：當(dāng)直線與左右兩支相交于兩點(diǎn)時(shí)，只需，此時(shí)直線若和左支相交，必有兩條直線符合題意.當(dāng)時(shí)，直線與兩支都相交時(shí)，存在兩條直線符合題意，此時(shí)需要當(dāng)直線僅與左支相交時(shí)，最短的弦長(zhǎng)大于，即，.綜上，選.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查圓錐曲線的通徑長(zhǎng)度.過焦點(diǎn)且垂直于橢圓或雙曲線的直線和它們有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)弦長(zhǎng)為，這叫做通徑.若過雙曲線交點(diǎn)的直線和左支相交于兩點(diǎn)，則最短弦長(zhǎng)為通徑長(zhǎng).根據(jù)題意，分別考慮直線和左支或者左右兩支相交的弦長(zhǎng)情況，即可求解出來.6．C【解析】由于點(diǎn)Q為三角形PF1F2內(nèi)切圓的圓心，故過點(diǎn)F2作PQ的垂線并延長(zhǎng)交PF1于點(diǎn)N，易知垂足B為F2N的中點(diǎn)，連接OB，則|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又設(shè)內(nèi)切圓與PF1，PF2分別切于G，H，則由內(nèi)切圓性質(zhì)可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，設(shè)|OA|＝x，則有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故選C.7．A【分析】由已知得，，即可得，根據(jù)漸近線得關(guān)于a的方程，解之可得選項(xiàng).【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A為的中點(diǎn)，所以，又，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的漸近線相關(guān)問題，解決的關(guān)鍵在于利用平面幾何的性質(zhì)得出漸近線的斜率，得以建立方程求解.8．C【分析】由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱，可得直線l為線段AB的垂直平分線，利用中點(diǎn)公式和直線垂直的關(guān)系求得直線l的方程，將F的坐標(biāo)代入，求得a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到a,c的齊次關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解即得.還可以從入手解決，更為簡(jiǎn)潔.【解析】解法一：由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱，可得直線l為線段AB的垂直平分線，線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線AB的斜率為，可得直線l的方程為，令y＝0，可得，由題意可得，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由，可得e2－2e－2＝0，解得(舍去)，故選：C．解法二：由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱，可知,即,兩邊平方，并結(jié)合，整理可得c2－2ac－2a2＝0，下同解法一.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)：離心率的求法.根據(jù)已知條件求得a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而得到a,c的齊次關(guān)系，根據(jù)離心率的定義轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，是求離心率的常用方法.9．D【分析】由漸近線方程得，設(shè)，求出，利用此式的幾何意義得出最小值為，然后可求出，得焦距．【解析】設(shè)，，則，表示到原點(diǎn)距離的平方，當(dāng)為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)取得最小值，所以，即，，，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，，焦距為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求雙曲線的焦點(diǎn)，考查漸近線方程，解題關(guān)鍵是用點(diǎn)坐標(biāo)表示出向量的數(shù)量積并根據(jù)幾何意義求出最小值．然后再結(jié)合漸近線方程可得焦距．10．B【分析】采用特例法設(shè)焦點(diǎn)F為右焦點(diǎn)、A在第一象限，求出F、A、B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【解析】采用特例法即可求得結(jié)果不妨設(shè)焦點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，則，令代入雙曲線方程得，解得，當(dāng)軸時(shí)，不妨設(shè)A在第一象限，則，，所以，故.故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.11．AC【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷A，利用趨近于0時(shí)點(diǎn)的位置，得出大于，從而判斷B．設(shè)，計(jì)算斜率可判斷C，由三角形外角定理得，從而可判斷D．【解析】雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又直線過原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由得四邊形為平行四邊形，A正確；當(dāng)，點(diǎn)趨近于右頂點(diǎn)，此時(shí)趨近于平角，因此不可能有，B錯(cuò)．設(shè)，則，由軸知，，而，C正確；中，，因此，D錯(cuò)；故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的對(duì)稱性，解題關(guān)鍵是得出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則設(shè)后就可得出坐標(biāo)，斜率的關(guān)系隨之可得，利用平面幾何知識(shí)判斷AD，利用趨近于0的變化趨勢(shì)得出點(diǎn)變化趨勢(shì)，從而得出的變化趨勢(shì)．12．AD【分析】利用雙曲線旋轉(zhuǎn)后是函數(shù)的圖象，求出漸近線的斜率，然后求解雙曲線的離心率即可．【解析】當(dāng)，時(shí)，由題意可知雙曲線的漸近線的傾斜角為：，所以斜率為：，可得：，所以雙曲線的離心率為：．當(dāng)，時(shí)，由題意可知雙曲線的漸近線的傾斜角為：，所以斜率為：，可得：，，所以雙曲線的離心率為：．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.13．【分析】根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而點(diǎn)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得，再結(jié)合得.【解析】解:設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),所以，，，因?yàn)槭请p曲線上的點(diǎn)，故，所以，故的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程的應(yīng)用，向量數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而由向量的運(yùn)算得結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.14．【分析】利用雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得到點(diǎn)，在雙曲線上求解.【解析】因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，又雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以點(diǎn)，在雙曲線上，所以，解得，所以其漸近線方程為：.故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用以及漸近線方程的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，推出，，通過解三角形求出、的關(guān)系，再根據(jù)，即可得到、的關(guān)系，從而得到漸近線方程．【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，設(shè)左焦點(diǎn)為，連接、，由對(duì)稱性可得、，可得，所以，，，所以，可得，，又，所以，所以，故漸近線為故答案為：．【點(diǎn)