大二下課件-下全實(shí)變函數(shù)chapter微積分產(chǎn)生于十七世紀(jì)到十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初

實(shí)變函數(shù)論的實(shí)變函數(shù)的個(gè)概念叫做。 第一章集合與運(yùn)算 R§3變 R1誕生：19世紀(jì)70年代，德19世紀(jì)末及20世紀(jì)初蓬2康托（1845—1918）出生 ,猶太人。1863年學(xué)。當(dāng)時(shí)古典分析正著，針對分析的嚴(yán)密化康托工作雖然解決了不少懸而未決的問題柯西：“部分等于整體”可接受德國數(shù)學(xué)克羅內(nèi)克長達(dá)十年的，使康托生活歷盡艱辛，一度精神。

3 “可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”4§ 集合及其集合及其集合是數(shù)學(xué)中基本概念之一，不能定義：以某種方式給定的一些事物全體稱

, 幾何中的曲線、曲面561）例 7 8思考：“A是B的子集”，其逆否命題如注：思考：設(shè)A是n元集合，則其子集的9（一）并與定義 與B的全部元素構(gòu)成B的并集，記為AB，即x:x者x與B的公共元素構(gòu)成B的交集，記為AB，即ABxxA且x特例：T為自然數(shù)集若T為整數(shù)集合 （二）（二）素所構(gòu)成的集合為AB差集，記為A\A\Bx:xA,x

AB的子集時(shí)，稱A\B為集合B相對于集合的補(bǔ)集或者函數(shù)：蔣立合總是某個(gè)給定的“大”集合X的子集。此時(shí)，集合B相對于全集X的補(bǔ)集簡稱為的補(bǔ)集或者余集，記為 ABBA定 (A\B)(B\為A與B的對稱差集，記為A\

B 思考ABABAAcX,AAc(AccAXc, —基本事運(yùn)算法則交換結(jié)合

ABC為集合。ABBAABBAABCABBABABCABAC分配律

ABCABAC交對并滿足分配律；并對交滿足分A(B)(AB A)(A 對偶律（De.Morgan法則A AcBc ABcAcA\BAABcAcEABEAEBEABEAE可類似對于多個(gè)集合的交集

定理（De.Morgan法則C C Ac; C Ac 本結(jié)論證明方法是證明集合相等典 反之， （課堂練習(xí)。例：設(shè)f 是上實(shí)值函Ax:f(x)則：Ak

Ax:f(x)1 n De.Morgan法x:f(x)

n1x:f(x) n1n1 設(shè)

{x:1

x11},nNnn nn-2-1- - 1- An

An +∞不在Ｎ例：P6例4fnx,fx是實(shí)值函A x:limn

x

x

fxf

1m m Amn表示解：由極限定xAfnxf kn

fkxf

m

kn:xn,x k

xn1k xm1n1k思考 x:fxfx1m m 結(jié)論是否數(shù)：蔣立練習(xí)提示

fx（三）集合列的kk定義 設(shè)Akk

是一列集A1A2AkAk1稱此集合列為遞減集

為集

的極限集k

klimAk kk k若A

1

k12 k2k則稱遞增集合列k

lim

k k

單調(diào)例

kk limAkAkk k

Ak定義：設(shè)An是一列集合，記

An,k

limBkBkAn為集合列的上k k1knk：蔣立記為limlimk

k1n若集合列上、下極限相等，則稱集合注

為集合列 klimAkx:n，kn,xAkkkkAkk

中無窮多個(gè)limAkxnknxAkk由不屬于 k1中有限多個(gè)集合的元素所構(gòu)可見上極限與下limk

limk設(shè)EF是兩個(gè)集合，作集AE, kk F 有k

A

A寧k1n limAk k

k1n

E

01, 0nn n lim

limn;n0,

練習(xí)：證

ElimAnlimEAn

EABEAEBEABEAE

l

nAAkE

n1k

EAkn1 kk E

limE

定義（特征函數(shù)）設(shè)A為集合，定義x

x x

——特征函給定一列集合 limA

x

lim

limA x

（四）集合的定義設(shè)X 是集合，稱一切有序“元素對”x,y（其中xX,yY）形成的集合為X與 的積，記

X ，XY{(x,y):xX,yY}這里(xy)(x',y')xx',y例：A1,2B3,4,5，則二者的例為平面上的單位閉 是平面上的有理nn 上確界與下確定義.給定數(shù)集S.若M?,使得xS,有xM,則稱M是S的上界若m?,使得xSxm是S的下若S既有上界,又有下界,則稱S注：上、下界不最小的上界？最大的定義.給定數(shù)集E,若滿是E的上界(2)對任意給定正數(shù),存在x0E,使得x0,稱是E的一個(gè)上確界.記作supE,或定義.給定數(shù)集E,若是E的下(2給正數(shù),存在x0E,使得x0則稱是E的下確界.記作infE,或者inf定理2.1.1.(確界存在定理-實(shí)數(shù)系連續(xù)性定非空有下界的集合必有下確界非空有上(下)界集合的上(下)確界注：若數(shù)集EpE設(shè)an是數(shù)列,定義： inf{ak}inf{an,knsup{ak}sup{an,kan單調(diào)上升,n單調(diào)下降, nann定義.稱H

nan限,作數(shù)列數(shù)列的上極限與Hlimaninfsupak kn 稱h limn為an的下極限,記h ansupinfak k 注：允許為 基本性1lim

liman 2.若anbnlimanlim

lim

limbn

lim(an)liman

lim(an)lim 4.設(shè)an0

1

1 n

lim

lim 定義fnx是定義D一列函數(shù)，則limfnxlimfn lim fnxlimfn limfx fx f

00xa 00xalimfx fx f 00xa 00xa 12定義：設(shè)f:XY ，集合XY的子Grffx|xX稱 3的例子：閱 P15的例子1)- 思考：已經(jīng)接觸到哪 思考：如何把平面、空間看 集合4相關(guān)概實(shí)變函數(shù)：蔣y寧或者雙f是X到Y(jié)的雙射，則對任意xX使yf(x).

，有唯 為f的 ，記為f 注：注意區(qū)分 和象集合的原像5設(shè)f:X ，

XI則有1）

ABX，則fAff(A) f(A f()f(A注：性質(zhì)(3)中，當(dāng)且僅當(dāng)f是單射時(shí)等號(hào)成立 fxx2 A B6 f下的原像f1(B)f1(A)f1(A f1(A) f1(A f1Acf17復(fù)8集合與特征函數(shù)的進(jìn)一步關(guān)對于A

，作函(x)

x xX\稱之為A的特征函數(shù)）為元素形成X的冪定義設(shè)X空集合，）為元素形成X的冪（記為p(X)或者 到0,1的 自己閱 9（二）對等集 “分別數(shù)數(shù)法”、“一一配對法 定義設(shè)A,B是集合，如果存在A到B的一一 稱集合A與集合B對等，記作A～B。注：空集與其自身對等 注意：顯然ABA~B，但是A~B不能夠推出AB例1：自然數(shù)N~y:y2n,n例2(1,1)~R1()，因?yàn)榇嬖谝?f(x)1x

注：對應(yīng)法則不等顯然，對等關(guān)系具有如下的性質(zhì) （1）A~如

－自反性 A~B,則B~A;－對稱 分如果A~B,B~C，則A~C－傳遞性 分類Cantor—Bernstein定理：證明集合定理（Cantor--Bernstein定理如果集合A與集合B的某子集對等，集合與A的某證明略

A~作為定理的特例：設(shè)集合A,B

滿足ABC如果A~ ，則A~ 例：[1,1]~R

函數(shù)：蔣立這是因?yàn)橐阎?1,1) R ，且(1,1)[1,1]R1.直接建立[-1，1]與R1間的一一對應(yīng)，難度較大！ 有界閉區(qū)間上的工具：集合的基數(shù)（勢）AB是集合。如果A~B，則說A與B的基

AB對等的集合均具若用表示這一相同的基數(shù)，那么A表對于兩個(gè)集合AB，記AB.若B的子集對等，則稱不大于若 且，則稱小于 (或者)注：給定集合，于A勢,，關(guān)系,有且僅有進(jìn)而，設(shè)A是集合，如果存在自然數(shù)n使得A~1,2,,則稱A為有限集合，且用符號(hào)n記為A的基定義如果集合 與自然數(shù)集N對等，則稱為可列集或可數(shù)記自然數(shù)集N的基數(shù)為0（）不可數(shù)集合變函數(shù)：蔣義：不是可數(shù)的無限集合——不可數(shù)集無限集合的基本定理：任何無限集E必包含一個(gè)可列子集證明：任取E中一元素，記為 取一元素，記

a2,

重復(fù)上述作假設(shè)Ea1a2

E是無限所以Ea1,a2an可從E\a1a2,an選取一元素為得到集合

,

是

注：在所有無限集中，可列集基數(shù)‘最小“下文將證實(shí)數(shù)集合、開區(qū)間的基數(shù)的確大于可列集基數(shù) 可列集的基本例：可列集的無限子集可證明

A可列集B是有限AB證明：！思考AB?定理

為可列集，則并

An也是可列集證明：只討AiAj,(ij)的情A1{a11,a12,a1jA2{a21,a22,a2j則A中元素可排{a11,a21,a12,a31,a22,a13,,其規(guī)則是a11排第一

ij2時(shí)，aij

排在第nnjk注

*A,A

\A1,

k*\Ak*ki1可見：Ai1

A

,(i

j)且 j j A n n 2、證明可列個(gè)有限集合的并集至多：例：—立注：有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中稠密；有理數(shù)集是可列集－有理數(shù)集基本例例 見而：例：：例： ：例：證明：設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)記 －因此代數(shù)數(shù)全體是可數(shù)集例：設(shè)M是直線上一族兩兩互不交的非空開區(qū)間所組成的集合，則M是至多可列集（有限或可列有理數(shù)集的稠密性可知，每一個(gè)開區(qū)間至例：實(shí)數(shù)集合上單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為可數(shù)集證明：參 第22頁有理數(shù)集能和N一一對應(yīng).這似乎使我們?nèi)ゲ聹y所有無限集都是可列.事實(shí)上，這是不對的。另證：反設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)[0,1]列，即可集，則[0,1]排互列，即可0,1x1x2xn,(ijxixj 用閉區(qū)間套定理來找出這一點(diǎn) 把區(qū)間[0,1]三等分：[03

], 其中至少有一段不含

1I1表示這個(gè)閉區(qū)間（有兩個(gè)閉區(qū)間都不含x1，則任取一個(gè)再將I1三等分，取其中不含 的閉區(qū)間記為I2如此下去，得到一列閉區(qū)間I1,I2,,In 滿I1I2

蔣立I的長度是 ，且xiIn(iI lim nn 3n

由閉區(qū)間套

aI,(n ax1,x2,,xn,

這和a 不可數(shù)集的存在：證明：假設(shè)（0,1）是可數(shù)集,則（0,1）可以寫成一個(gè)無窮序列的形式{x1x2,xn,}：把每個(gè)數(shù)寫成正規(guī)小數(shù)（不能以0為循環(huán)節(jié)x 0.a11a1 a13a1

令 0a

a其中 2 2 2 2

ann 0. 0.

annx 0.

41a42a43a4

則得 , , ,

(0,1)是不可數(shù)不可數(shù)集合的定義0,1的基數(shù)為連續(xù)基數(shù)corAB定理設(shè)有集

{A k{A

，若每個(gè)

的基都是連續(xù)基證明：不妨假定AiAj,(ij并且Ak~kkk ~[1,)~R1kkRxx,xx定理實(shí)數(shù)列全體證明：記B

BB(x,x,,x,):x nn下面證B~首先01與B中的

(x,x,,數(shù)表示每個(gè)分xn有 x10.x11x12x13x20.x21x22x23x30.x31x32x33再 f:Bf(x)0.x11x12x21x31x22于是f(x)(0,1)，并且當(dāng)xy，f(x) f(y由Cantor-rtin得B~0,1寧 f:Bf(x)(tg(x1),tg(x x(x,x,) 對等，從而結(jié)論成立定理n維歐氏空間Rn中點(diǎn)的全體基數(shù)為 對應(yīng)于R中的點(diǎn)

x(x1,x2,,xnx(x1,x2,,xn 就知道Rn對等于R的子集，因此Rn 再將R1

x對應(yīng)于Rn

，可對等于 的一個(gè)子集 因此cRn由Cantor-Bernstein定理得證cR一一對應(yīng)關(guān)系是存在Rn具c有連續(xù)

，他當(dāng)初寫信給Dedekindc，則并集的基數(shù)也是c。證明：不妨設(shè)所述集合是兩兩不交的于是得到所—一對應(yīng)，從而結(jié)論 成立基數(shù)的設(shè)有基數(shù)1,2取集合A1,A2:A1A2,

A11A22, A1A21設(shè)有基數(shù)1,2,取集A1,2 A11,2 A

設(shè)有基數(shù)取集合AB使得A,A設(shè)ABf|f:BA

AB 例1：00因此PX的基數(shù)為2XN,PX補(bǔ)充： ：：注：在二進(jìn)位12 實(shí)質(zhì)

0

11

113

2 2注：由證明過程可以：定理：證明其中實(shí)變函數(shù)：蔣立無最大基數(shù)定理（無最大基數(shù)定理)設(shè)是非空集合，P(A)是A的一切子集所PAA數(shù)為，PA的基2表示，則實(shí)變函數(shù) 寧AAPA不對等。證明：反設(shè)存在一一滿射f:APA構(gòu)造集合BxxA,xff

yA

fyyB若Byf 注：由于A與其冪集PA之間存在單f:APAa