模糊數(shù)學(xué)建模講座之一

模糊數(shù)學(xué)建模講座（上）

第1頁(yè)，共38頁(yè)。模糊數(shù)學(xué)是研究什么的？模糊現(xiàn)象：“亦此亦彼”的不分明現(xiàn)象模糊數(shù)學(xué)——研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。

第2頁(yè)，共38頁(yè)。引言用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫(huà)；2.隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠概率統(tǒng)計(jì)去刻畫(huà);3.模糊現(xiàn)象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，…等等。此話準(zhǔn)確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫(huà)。第3頁(yè)，共38頁(yè)。

如：考慮年齡集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一個(gè)年齡集，u=20?A，40呢？…查德給出了“年老”集函數(shù)刻畫(huà):10U50100第4頁(yè)，共38頁(yè)。再如，B=“年輕”也是U的一個(gè)子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)：

102550UB（u）第5頁(yè)，共38頁(yè)。一般地，為研究某事物的規(guī)律性，總是先給定義目標(biāo)集，如研究年齡規(guī)律，取[0，130]，它表達(dá)了問(wèn)題的總范圍，稱(chēng)為論域,一般記為U。下面在論域U上定義模糊集定義設(shè)A是論域U到[0，1]的一個(gè)映射，即A：U→[0，1]稱(chēng)A是U上的模糊集，而函數(shù)A（·）稱(chēng)為模糊集A的隸屬函數(shù)，A（x)稱(chēng)為x對(duì)模糊集A的隸屬度。第6頁(yè)，共38頁(yè)。模糊綜合評(píng)價(jià)模型對(duì)方案、人才、成果的評(píng)價(jià)，人們的考慮的因素很多，而且有些描述很難給出確切的表達(dá)，這時(shí)可采用模糊評(píng)價(jià)方法。它可對(duì)人、事、物進(jìn)行比較全面而又定量化的評(píng)價(jià)，是提高領(lǐng)導(dǎo)決策能力和管理水平的一種有效方法。第7頁(yè)，共38頁(yè)。模糊綜合評(píng)價(jià)的基本步驟：（1）首先要求出模糊評(píng)價(jià)矩陣P，其中Pｉｊ表示方案X在第i個(gè)目標(biāo)處于第j級(jí)評(píng)語(yǔ)的隸屬度，當(dāng)對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)，還要對(duì)各個(gè)目標(biāo)分別加權(quán)，設(shè)第i個(gè)目標(biāo)權(quán)系數(shù)為Wｉ，則可得權(quán)系數(shù)向量：A＝（W1，W2，…Wｎ）第8頁(yè)，共38頁(yè)。（2）綜合評(píng)判利用矩陣的模糊乘法得到綜合模糊評(píng)價(jià)向量BB＝A⊙P（其中⊙為模糊乘法），根據(jù)運(yùn)算⊙的不同定義，可得到不同的模型

模型1M（Λ，V）——主因素決定型第9頁(yè)，共38頁(yè)。模型2M（?，ν）——主因素突出型模型3M（?，+）——加權(quán)平均型第10頁(yè)，共38頁(yè)。例1：對(duì)某品牌電視機(jī)進(jìn)行綜合模糊評(píng)價(jià)設(shè)評(píng)價(jià)指標(biāo)集合：U＝｛圖像，聲音，價(jià)格｝；評(píng)語(yǔ)集合：V＝｛很好，較好，一般，不好｝；第11頁(yè)，共38頁(yè)。首先對(duì)圖像進(jìn)行評(píng)價(jià)：假設(shè)有30%的人認(rèn)為很好，50%的人認(rèn)為較好，20%的人認(rèn)為一般，沒(méi)有人認(rèn)為不好，這樣得到圖像的評(píng)價(jià)結(jié)果為（0.3,0.5,0.2,0)同樣對(duì)聲音有：0.4,0.3,0.2,0.1)對(duì)價(jià)格為：（0.1,0.1,0.3,0.5)所以有模糊評(píng)價(jià)矩陣：第12頁(yè)，共38頁(yè)。設(shè)三個(gè)指標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量：A＝｛圖像評(píng)價(jià)，聲音評(píng)價(jià)，價(jià)格評(píng)價(jià)｝＝（0.5,0.3,0.2)應(yīng)用模型1，bj=max{(aiΛrij)有綜合評(píng)價(jià)結(jié)果為：B＝A⊙P＝（0.3,0.5,0.2,0.2)歸一化處理：B＝（0.25,0.42,0.17,0.17)所以綜合而言，電視機(jī)還是比較好的比重大。第13頁(yè)，共38頁(yè)。例2：對(duì)科技成果項(xiàng)目的綜合評(píng)價(jià)有甲、乙、丙三項(xiàng)科研成果，現(xiàn)要從中評(píng)選出優(yōu)秀項(xiàng)目。三個(gè)科研成果的有關(guān)情況表第14頁(yè)，共38頁(yè)。設(shè)評(píng)價(jià)指標(biāo)集合：U＝｛科技水平，實(shí)現(xiàn)可能性，經(jīng)濟(jì)效益｝評(píng)語(yǔ)集合：V＝｛高，中，低｝評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)系數(shù)向量：A＝（0.2，0.3，0.5）第15頁(yè)，共38頁(yè)。專(zhuān)家評(píng)價(jià)結(jié)果表第16頁(yè)，共38頁(yè)。由上表，可得甲、乙、丙三個(gè)項(xiàng)目各自的評(píng)價(jià)矩陣P、Q、R：第17頁(yè)，共38頁(yè)。求得：歸一化后得：所以項(xiàng)目乙可推薦為優(yōu)秀項(xiàng)目第18頁(yè)，共38頁(yè)。因素集：U={政治表現(xiàn)及工作態(tài)度，教學(xué)水平，科研水平，外語(yǔ)水平}；評(píng)判集：V={好，較好，一般，較差，差}；例3：“晉升”的數(shù)學(xué)模型，以高校教師晉升教授為例第19頁(yè)，共38頁(yè)。（1）建立模糊綜合評(píng)判矩陣當(dāng)學(xué)科評(píng)審組的每個(gè)成員對(duì)評(píng)判的對(duì)象進(jìn)行評(píng)價(jià)，假定學(xué)科評(píng)審組由7人組成，用打分或投票的方法表明各自的評(píng)價(jià)例如對(duì)王，學(xué)科評(píng)審組中有4人認(rèn)為政治表現(xiàn)及工作態(tài)度好，2人認(rèn)為較好，1人認(rèn)為一般，對(duì)其他因素作類(lèi)似評(píng)價(jià)。第20頁(yè)，共38頁(yè)。評(píng)判集因素集

好

較好

一般

較差

差政治表現(xiàn)及

工作態(tài)度

4

2

1

0

0教學(xué)水平

6

1

0

0

0科研水平

0

0

5

1

1外語(yǔ)水平

2

2

1

1

1第21頁(yè)，共38頁(yè)。第22頁(yè)，共38頁(yè)。（2）綜合評(píng)判以教學(xué)為主的教師，權(quán)重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2)以科研為主的教師，權(quán)重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2)B1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14)歸一化（即將每分量初一分量總和），得B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12)若規(guī)定評(píng)價(jià)“好”“較好”要占50%以上才可晉升，則此教師晉升為教學(xué)型教授，不可晉升為科研型教授第23頁(yè)，共38頁(yè)。例4：利用模糊綜合評(píng)判對(duì)20加制藥廠經(jīng)濟(jì)效益的好壞進(jìn)行排序因素集：

U={u1,u2,u3,u4}為反映企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的主要指標(biāo)其中u1：總產(chǎn)值/消耗；u2：凈產(chǎn)值；u3：盈利/資金占有；u4：銷(xiāo)售收入/成本，評(píng)判集：

V={v1,v2,…,v20}為20家制藥廠第24頁(yè)，共38頁(yè)。編號(hào)

u1

u2

u3

u4

1

1.611

10.59

0.69

1.672

1.429

9.44

0.61

1.503

1.447

5.97

0.24

1.254

1.572

10.78

0.75

1.715

1.483

10.99

0.75

1.446

1.371

6.46

0.41

1.31

7

1.665

10.51

0.53

1.528

1.403

6.11

0.17

1.329

2.620

21.51

1.40

2.5910

2.033

24.15

1.80

1.8911

2.015

26.86

1.93

2.0212

1.501

9.74

0.87

1.4813

1.578

14.52

1.12

1.4714

1.735

14.64

1.21

1.9115

1.453

12.88

0.87

1.5216

1.765

17.94

0.89

1.4017

1.532

29.42

2.52

1.8018

1.488

9.23

0.81

1.4519

2.586

16.07

0.82

1.8320

1.992

21.63

1.01

1.89

第25頁(yè)，共38頁(yè)。（1）建立模糊綜合評(píng)判矩陣即rij表示第j個(gè)制藥廠的第i個(gè)因素的值在20家制藥廠的同意因素值的總和中所占的比例，得到模糊綜合評(píng)判矩陣R=(rij)4×20第26頁(yè)，共38頁(yè)。（2）綜合評(píng)判按從小到大的次序排序，這20家制藥廠的經(jīng)濟(jì)效益的好壞順序?yàn)椋?，11，14，10，20，19，17，4，1，15，7，2，12，13，18，5，16，8，6，3第27頁(yè)，共38頁(yè)。得到的排序?yàn)椋?，17，11，10，20，14，19，13，16，4，15，1，12，5，18，7，2，6，8，3？第28頁(yè)，共38頁(yè)。例5某同學(xué)想購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個(gè)指標(biāo)：“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；價(jià)格”。于是請(qǐng)同宿舍同學(xué)一起去買(mǎi)電腦。為了數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，先令第29頁(yè)，共38頁(yè)。=“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；=“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；=“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；=“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；=“價(jià)格”。稱(chēng)因素集。第30頁(yè)，共38頁(yè)。評(píng)語(yǔ)集其中=“很受歡迎”；=“較受歡迎”；=“不太受歡迎”；=“不受歡迎”；任選幾臺(tái)電腦，請(qǐng)同學(xué)和購(gòu)買(mǎi)者對(duì)各因素進(jìn)行評(píng)價(jià)。若對(duì)于運(yùn)算功能有20%的人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%的人認(rèn)為“較受歡迎”，30%的人認(rèn)為“不太受歡迎”，沒(méi)有人認(rèn)為“不受歡迎”，則的單因素評(píng)價(jià)向量為第31頁(yè)，共38頁(yè)。同理，對(duì)存儲(chǔ)容量，運(yùn)行速度，外設(shè)配置和價(jià)格分別作出單因素評(píng)價(jià)，得組合成評(píng)判矩陣第32頁(yè)，共38頁(yè)。據(jù)調(diào)查，近來(lái)用戶(hù)對(duì)微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價(jià)格便宜，而對(duì)運(yùn)算和存儲(chǔ)量則要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配向量：作模糊變換：存儲(chǔ)容量運(yùn)行速度外設(shè)配置價(jià)格運(yùn)算功能第33頁(yè)，共38頁(yè)。第34頁(yè)，共38頁(yè)。第35頁(yè)，共38頁(yè)。若進(jìn)一步將結(jié)果歸一化得：結(jié)果表明，用戶(hù)對(duì)這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為0.32，“較受歡迎”和“不太受歡迎”的程度為0.27，“不受歡迎”的程度為0.14。按最大隸屬原則，結(jié)論是：“很受歡迎”。第36頁(yè)，共38頁(yè)。練習(xí)：1、建立一個(gè)評(píng)價(jià)教師的教學(xué)質(zhì)量模型2、假如你是一個(gè)股民，建立一個(gè)炒股模型第37頁(yè)，共38頁(yè)。內(nèi)容梗概模糊數(shù)學(xué)建模講座（上）。模糊現(xiàn)象：“亦此亦彼”的不分明現(xiàn)象。模糊數(shù)學(xué)——研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：。1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律。于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)：。屬函數(shù)，A（x)稱(chēng)為x對(duì)模糊集A的隸屬度。它可對(duì)人、事、物進(jìn)行比較全面而又定量化的評(píng)價(jià)，是提高領(lǐng)導(dǎo)決策能力和管理水平的一種有效方法。有甲、乙、丙三項(xiàng)科研成