四川省宜賓市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性數(shù)學(xué)（理）數(shù)學(xué)試題 含解析

宜賓市2020級(jí)高三第一次診斷性試題數(shù)學(xué)（理工類）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】∵，∴，即集合的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，由虛部定義得到結(jié)果.【詳解】由得：，的虛部為.故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)、數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】∵在上單調(diào)遞增，∴，又∵在R上單調(diào)遞增，∴，由可得，但由不能得到，例如，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，在根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)位置及范圍內(nèi)的函數(shù)值正反，得最符合的函數(shù)圖象即可.【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)?，所以所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除B，D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，令得，所以函數(shù)最小正零點(diǎn)為，則，則符合圖象特點(diǎn)的是選項(xiàng)A，排除選項(xiàng)C.故選：A.5.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，明確該程序的功能是求分段函數(shù)的值，由此根據(jù)該函數(shù)值域，可求得答案.【詳解】由程序框圖可知：運(yùn)行該程序是計(jì)算分段函數(shù)的值，該函數(shù)解析式為：，輸出函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，必有當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得．故選∶C．6.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量減法結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】∵，∴.故選：B.7.已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得，再根據(jù)和角公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，點(diǎn)是角的終邊上的點(diǎn)，所以，，所以故選：C8.“四書(shū)”“五經(jīng)”是我國(guó)部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書(shū)”“五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先排除去《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，將《大學(xué)》《論語(yǔ)》捆綁和《周易》看作兩個(gè)元素，采用插空法排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得答案.【詳解】先排除去《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有種排法，將《大學(xué)》《論語(yǔ)》看作一個(gè)元素，二者內(nèi)部全排列有種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認(rèn)為它們之間包括兩頭有7個(gè)空位，從7個(gè)空位中選2個(gè)，排《大學(xué)》《論語(yǔ)》捆綁成的一個(gè)元素和《周易》的講座，有種排法，故總共有種排法，故選：C.9.已知，當(dāng)取最大值時(shí)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可利用基本不等式推出，結(jié)合等號(hào)成立條件，即可求得當(dāng)取最大值時(shí)，的值.詳解】由題意可得，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最大值，即取最大值時(shí)，，此時(shí)，故選：B10.南宋數(shù)學(xué)家楊輝給出了著名的三角垛公式：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)?，根?jù)題意結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.【詳解】∵，由題意可得：數(shù)列的前項(xiàng)和為，又∵，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：A.11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合奇偶性與周期性運(yùn)算求解.【詳解】∵為奇函數(shù)，則，即，∴，則的周期為4，則，故.故選：C.12.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)化，再將根式化為同次根式，比較被開(kāi)方數(shù)大小，可得答案．【詳解】由題意可知，，故；又，，因?yàn)?，故，綜合可得，故選：D.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______.【答案】5【解析】【分析】由約束條件做出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在軸的截距，采用數(shù)形結(jié)合的方式即可得到結(jié)果.【詳解】由約束條件可知，可行域如上圖所示，令，則，當(dāng)在軸的截距最小時(shí)，最大由，求得，則所以故答案為:14.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先求出的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和含的系數(shù)，再求的常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題得的通項(xiàng)為，令，即得常數(shù)項(xiàng)為,令，無(wú)整數(shù)解，即展開(kāi)式中不含的項(xiàng)，所以的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：15.已知函數(shù)，方程在區(qū)間有且僅有四個(gè)根，則正數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】由方程得到，，然后得到的范圍，根據(jù)原方程在區(qū)間有且僅有四個(gè)根，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以的可能取值為因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間有且僅有四個(gè)根，所以，解得即的取值范圍是故答案為：16.關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是_________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)是函數(shù)上的任意一點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)處切線方程，根據(jù)切線放縮得，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，再結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)得且，進(jìn)而得且，進(jìn)而得，，再結(jié)合換元法求函數(shù)的最大值即可.【詳解】解：關(guān)于的不等式的解集為，所以，在恒成立，設(shè)是函數(shù)上任意一點(diǎn)，則，所以，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即；所以，，所以，在恒成立，即在恒成立，所以，且，所以，恒成立，且，所以，且，所以，，令，則，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，所以，的最大值是.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.年四川持續(xù)出現(xiàn)高溫天氣，導(dǎo)致電力供應(yīng)緊張．某市電力局在保證居民生活用電的前提下，盡量合理利用資源，保障企業(yè)生產(chǎn)．為了解電力資源分配情況，在8月初，分別對(duì)該市A區(qū)和區(qū)各10個(gè)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果用莖葉圖表示如圖．不受影響受影響合計(jì)A區(qū)B區(qū)合計(jì)（1）求區(qū)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值的中位數(shù)；（2）當(dāng)供電量與需求量的比值小于時(shí)，生產(chǎn)要受到影響，統(tǒng)計(jì)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)受到影響與企業(yè)所在區(qū)有關(guān)？附：【答案】（1）0.86；（2）2×2列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有95%的把握.【解析】【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)及中位數(shù)的概念直接計(jì)算得解；（2）由莖葉圖判定不受影響、受影響的企業(yè)數(shù)，據(jù)此列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】A區(qū)供電量與需求量的比值由小到大排列，第5個(gè)數(shù)，第6個(gè)數(shù)分別為，所以所求中位數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】2×2列聯(lián)表：不受影響受影響合計(jì)區(qū)7310區(qū)4610合計(jì)11920沒(méi)有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)有影響與企業(yè)所在區(qū)有關(guān).18.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.（1）計(jì)算,，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）,,,證明見(jiàn)解析;（2）.【解析】【分析】（1）分別,，即可求得,,由此可猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，分組求和即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；猜想.證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立；那么時(shí)，,即時(shí)，，則對(duì)任意的，都有成立.【小問(wèn)2詳解】由題意得，.19.的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，，，已知，.（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）若邊的中點(diǎn)為，求中線的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理角化邊整理可得，結(jié)合題意求，即可得周長(zhǎng)；（2）根據(jù)，結(jié)合向量模的運(yùn)算與余弦定理化簡(jiǎn)整理得，根據(jù)（1）中的結(jié)論結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理可得：，則，若，則，解得，故的周長(zhǎng).【小問(wèn)2詳解】∵，∴，由（1）可得：，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，則，故，則，所以的最大值為.20.現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開(kāi)始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無(wú)失誤．（1）設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過(guò)三次傳球，求的分布列與期望；（2）設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，

（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由題意知的取值為，求出X的每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率,即可求得分布列,根據(jù)期望公式求得期望;（2）（i）求得，根據(jù)時(shí)，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，可得，由此變形得可證明結(jié)論；（ii）求出，當(dāng)時(shí)，,即可解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．【小問(wèn)1詳解】由題意知的取值為，；；；所以X的分布列為012所以；【小問(wèn)2詳解】（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，時(shí)，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，于是有，即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列;（ii），所以，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時(shí)，球落在甲手上的概率趨向于一個(gè)常數(shù).21.已知函數(shù)（）.（1），求證：；（2）證明：.()【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先證，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可證明；再證，令，利用其導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可證明；（2）l利用（1）的結(jié)論，可得，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為，繼而轉(zhuǎn)化為證，即證；由此構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可證明.【小問(wèn)1詳解】先證，令，此時(shí)，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.再證，令，，，在上單調(diào)遞增，故，即，綜合以上可得時(shí)，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，要證，只需證，即證，即證；，要證，即證令，則，在上單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而，，由于，,故，故，所以時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，得證，則成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明不等式的關(guān)鍵在于利用時(shí)，，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為證明.（二）選做題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)中，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求證：成等差數(shù)列．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，并注意y的取值范圍，再利用求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）先求直線l的參數(shù)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由得，代入整理得，即，∵，則，，故曲線的普通方程為，又∵，則，整理得曲線的極坐標(biāo)方程為小問(wèn)