課件在經(jīng)典力學(xué)中當(dāng)質(zhì)量為

諧振線性諧振11.經(jīng)典諧振子在經(jīng)

Fkxk用，由牛頓第二定律可以kd2dt

k

2x

其解

x

。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種動(dòng)的粒子稱為（線性）諧振子諧振子哈密頓量E1mE1m22其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)

p

12

2

2經(jīng)典允許的振動(dòng)范2§2.7§2.7線性諧振子（續(xù)量子諧量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢(shì) V(x)12x2量子諧自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量 自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)HHp2122

是二者相對(duì)距離x的x3xax0§2.7線性諧振ax0§2.7線性諧振子（續(xù)值 。在 附近勢(shì)可V(a

V0V(

V(a)

11!

x

(xa)2V2Vx2(xa)2x記kxaV0

k(2

a)2

0，即平衡位置處于勢(shì)

0點(diǎn)VxVx12x224（1）（1）H?? H?? 12 222d22dx212x2 方程可寫(xiě)為

[E

x](x)

d

[E

x](x) 22

dx 2 為簡(jiǎn)單計(jì)引入無(wú)量綱變量ξ代替令d

其

2E

則方程可改寫(xiě)為d

其 二階常微分二階常微分方此式是一變系（2）求d（2）求

2

(x)

近解，即當(dāng)ξ→±∞ψ的行為。在此情況下，λd

1.漸近 d

欲驗(yàn)證解的正確性

d

其解為：ψ∞其解為：ψ∞

/2

e

/2

>>±>>±

d[

d

d

當(dāng)ξ應(yīng)有c2當(dāng)ξ應(yīng)有c2

e2/

e2/波函數(shù)限性條件波函數(shù)限性條件最后

e2/ d 為了使方程d

[

0的波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有

e2/2漸近形式，我們自然會(huì)令：(變系數(shù)法()H()e2(變系數(shù)法H(ξ滿足波函數(shù)的單值、有限、連ξ有限時(shí)，H(ξξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ0 2.H(ξ)滿足的方

將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程關(guān)于待求函數(shù)H

1)H3我們3來(lái)求解。

k

bkH

kkk

bkk

k

kH

k

k2

kk 則：H

k0

bk

(k1)(k

2)k

kk

bk2(k1)(kk

Hkkk

k2(

1)(

2)

bk2

bk(

1)]kk

k2(

1)(

2)

bk2

bk(

1)]

(k+2)(k+1)-

2k+

k(λ-1)=

該式對(duì)任意ξ故ξ從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式 2k1 bb0≠0, →b1≠0,b0≠0, →b1≠0, →由上由上式可以看出b0決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)；b1決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。則通解可記為

H=coHodd+ceψ=(coHodd+ceHevene)exp[-（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條單值性和連續(xù)性二條件自然滿（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論因因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊即勢(shì)場(chǎng)有跳躍的地方以及x=0xξ=0ξ→±∞(I):exp[-ξ2/2]|ξ=0=

(II)ξ→±∞需要考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)H(ξ)的收斂Heven(ξ)|ξ=0=

k

2k1 Hodd(ξ)|ξ=0=

k kbk

(k1)(k

為相為相兩項(xiàng)之比

k222 22

當(dāng)ξ當(dāng)ξH(ξ)的漸近相繼兩項(xiàng)之比： k

2k(!! k1(!(((((

1)!

(k

2

2

2 22 222(k2

k

k

k()

H

)exp[

2]

e

2]exp[

2]

exp[1

2]22為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù)為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù)H(ξ)H(ξ)從某一項(xiàng)（n項(xiàng)）bn=代入遞推關(guān)系)得 2n1代入遞推關(guān)系)得n (n1)(n2) bn0,2n10

因?yàn)?

E1

22于是最后得：

222E(n1222

n（4）厄密多項(xiàng)（4）厄密多項(xiàng)

Nnexp[

2]

n(附加有限性條件得到了H(ξ)的H附加有限性條件得到了H(ξ)的Hn(ξ)，于是總波λ=Hλ=

2H

HHn

n2Hn

2nHndHn(ξ可寫(xiě)成封閉形式 ()Hn(ξ可寫(xiě)成封閉形式

exp[222 d由上式可以看出，由上式可以看出，Hn(ξn,2nH1223H12234H533120從上從上式出發(fā)，可導(dǎo)厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系dHnHn12Hn2nHn1例：已H01H1=2ξ，H2=2ξH1-2nH0=4ξ2-基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ(xxn(x)

nn1(x)

n1n1(2222

n(x)

2

n(n

2n22

(x)(2n

n(x)

(n1)(n

n

(22dn(x)22

nn1(x)

n1n1(d

n(x)

n(n

2n22

(x)(2n

n(x)

(n1)(n

n

(微分定義母函數(shù)展開(kāi)定義正交 遞推關(guān) 對(duì)稱 （5）求歸一化系Nn21（5）求歸一化系Nn2

ndx

N2e2

n()

n()dx(I)作變量代換，因?yàn)?/p>

n(1)n

Hn(

dndn

e2所以N2(II)應(yīng)用Hn(ξ)的封N2

NnN

Hn()d

dd

e2

dd

e2]exp[-ξ2

H H N N

dd

e2

N N

dd

e2

NnN

d[d[

H()]e2

NnnNn因?yàn)镠的最高次項(xiàng)n因?yàn)镠的最高次項(xiàng)ndnHn/dξn=2nn!2n!nN2

nn!e2n(x)

2n

e2x2/

Hn

n2n其中

所 Nn高斯型積分公式正交公式證明兼歸一化常數(shù)計(jì)算：另利用母函數(shù)展與右式比較s、t展開(kāi)式系數(shù)，即可得 n1n2En 102§2.7線性諧振子（續(xù)討討1能量譜為 ，兩能級(jí)的間隔基態(tài)能量 （又稱零點(diǎn)能零點(diǎn)能不等于零零點(diǎn)能不等于零靜止的”波是沒(méi)有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)，已被絕對(duì)零點(diǎn)情況下電子的晶體散射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)20§2.7§2.7線性諧振子（續(xù)()1/4)20(x)VxVx2基態(tài)能量

E0x

處的勢(shì)V(a)

12a2x

范圍內(nèi)動(dòng)能T由幾率密

0

x2N0exp

x

處出現(xiàn)的幾率最大；在x 范內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率不為零。對(duì)其它各能級(jí)狀態(tài)波函數(shù)可作類似的分析 §2.7§2.7線性諧振子（續(xù)在經(jīng)典情形下，粒子將被限

x

范圍中運(yùn)動(dòng)這是因?yàn)檎?/p>

x

處，其V

，即勢(shì)于總能量，動(dòng)能為零，經(jīng)典的粒子動(dòng)能不可以小于因此粒子被

a

xa內(nèi)可見(jiàn)，量子與經(jīng)典情況完全不n具有n宇

()N

1

上式諧振子波函數(shù)所包含

exp

2是

的偶數(shù)，所以

的宇稱由厄密多項(xiàng)

Hn的宇稱決定由于Hn的最高次項(xiàng)是2。當(dāng)n偶數(shù)，則厄n多項(xiàng)式只含ξ的偶次n奇數(shù)，厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)(奇宇稱)。所以,n有n宇§2.7§2.7線性諧振子（續(xù)0 0021(x) 2§2.7§2.7線性諧振子（續(xù)22223 33§2.7§2.7線性諧振子（續(xù)4

4諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)。2（三）（三）例1.例1.解解 （1）Hamilton

d

d d

H

dz2

2 (

?

y?

1 d 12?2

dx2

1 d1 其 H1

dy2

2 d1 Hz1

dz2

2 如如果系Hamilton可以寫(xiě) ?xy則必有EExEyEzEnn n1n1En1n12 (z3解得則波函 向的分解得分別滿足如下三個(gè)方 (ni1 i 1 1

(x)

(x) 2EN(n12

n3

3

(y)En

(y)(N

3

其

2

(z)

(z) （3）簡(jiǎn)并2EN(N3)（3）簡(jiǎn)并2其

n3nn (r)nn

(xn1n

(yn2n

(zn3n當(dāng)N確定后，能量本征值確定，但是對(duì)應(yīng)同一N值的n1,n2,n3有多種不同組合，相對(duì)給定N=n1+n2+ 的組合方式數(shù)列表分析如下→組合方式0N→1N-→N2N-→N-→N→1對(duì)給定NN=n1+n2n3),{n1n2,n3}的組合方式當(dāng)n1,n2確定后，n3N-n1n2故對(duì)給定N，{n1,n2,n3(N

1)

(

1)1

1(2

1)(

2)例2q振子，受到沿x電場(chǎng)的作用，其勢(shì)場(chǎng)為求能量本征值和本征

V(x)

12x2

qx2 (x)2

2[E

V(

(x)dx2 2 勢(shì)xqx項(xiàng)，該項(xiàng)是x的一次變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結(jié)果。（2）（2）V(x)21

2x

qx

2

22212(x2

)2

V00q q0其中：x0

V0

2（3）Hamilton（3）Hamilton進(jìn)行x進(jìn)行

xx0 ?

i22

i

dx

?Hamilton量變?yōu)镠amilton量變?yōu)?/p>

?

1

2(x

x0

2222

1

x2

（4）Schrodinger（4）Schrodinger2新坐標(biāo)下Schrodinger2d (x)d

2[E2

12

*

(x)

[E222

(n

1

其 E

E22

nq2n

*2(n2

1)

2

n(x)

Ne2x2/2

nnnnn

Nn

e2(xx0)2/2

x0學(xué)習(xí)內(nèi)容2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解TheWavefunctionanditsstatistic2.2態(tài)疊加原Theprincipleof2.3薛定諤方TheSchr?dinger2.4Thecurrentdensityofparticlesandconservation2.5定態(tài)薛定諤方TimeindependentSchr?dinger2.6Theinfinitepotential2.7線性諧振Thelinearharmonic2.8勢(shì)壘貫Thetransmissionofpotential 第二章小坐標(biāo)表象中的波

t)|

給出t時(shí)刻粒子處在

處的幾動(dòng)量表象中的波函數(shù)C(,tCP,(r,t)

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量互為Fourer變換與逆變

的幾C(P,t)(3函數(shù)的歸一化 第二章小動(dòng)量算符

★能量

?

的引入★Hamilton（能量）算符及本征值方★能量算符的本征值與本征波函★定態(tài)的判斷三個(gè)典型實(shí)例（一維無(wú)限深勢(shì)阱，一維線性諧子，一維勢(shì)壘）的研究掌握一維薛定諤方程求解對(duì)于求解一維薛定諤方程，應(yīng)掌握邊界條件的確定和掌握一維無(wú)限深勢(shì)阱的求解方法及其物理討論掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特了解勢(shì)壘貫穿的討論方法及其對(duì)隧道效應(yīng)的解釋。§1算符的運(yùn)算規(guī)§2動(dòng)量算符和角動(dòng)量算§3電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)§4氫原§5厄密算符的本征值與本征函§6算符與力學(xué)量§7共同本征函§8 關(guān)3.1一維定態(tài)的一設(shè)質(zhì)量為m的粒子x方向運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能ihih(r,t)h22V(r,t(r,t

對(duì)于定

(x,t) (x)eiEt

代入式（1），可得(x)滿足的V(x) (x)E(x)2md

V*(x) 根據(jù)具體物理問(wèn)題的邊條件來(lái)定解定理(r)是方程（3）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量本征值E(r也是方程（3）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量也是E證明 d2 d2 V(x)2mdx2*(x)E*(x)假設(shè)對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值E，方程（3）的解無(wú)簡(jiǎn)并，則此為實(shí)解*(r)=(r當(dāng)能級(jí)有簡(jiǎn)并的情況，則有定理2對(duì)對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值E，總可以找到方程（3）的一組實(shí)解，凡是屬E的任何解，均可表成這一組實(shí)解的線性疊加，這一組實(shí)解是完備的證明：假設(shè)(x)(3)的一個(gè)解，如它是實(shí)解，則把它歸入實(shí)解的集合中去。如它是復(fù)解，按定1，*(x)必也是方(3)的解，并且與(x)一樣，同屬于能量本證E。再根據(jù)線性微分方(x(x*x)xi[(x*x)]也是方程(3)的解，同屬于能量E，并彼此獨(dú)立。注意，(x)與(x)均為實(shí)解，而x*(x)同屬E均可表(x)(x的線1/2(i)；

*1/2(i

（證畢設(shè)設(shè)V(x)具有空間反射不變性，V(x)V(x)，如果(x)是方程的對(duì)應(yīng)于能量本征值E的解，則(x)也是方程（3）的對(duì)應(yīng)于能量的解證明：當(dāng)xx時(shí)，d2 d2

，按假定，V(x)dx2 d(x)2 dx2V(x，所以方3化h2 d22mdx2

(x)V(x)(x)E(x)可見(jiàn)(x)也滿足方3，并且與(x)一樣，同屬于能量E（證畢按此定理，設(shè)V(x)V(x)，而且對(duì)應(yīng)于某能量E，方程(3)的簡(jiǎn)并，則解必有確定的宇稱。因?yàn)榇藭r(shí)(x)與(x)代表同一個(gè)解，因此P(x)(x)與(x)代表同一個(gè)量子態(tài)，它們最多可以差一個(gè)因子c。因P(x)c因P2(x)cP(x)c2(x)但P2(x(x，所以c21c1。對(duì)c1P(x解(x稱為偶宇稱解。對(duì)于c1的P(x)(x)稱為奇宇稱解。一維諧振子和一維對(duì)稱方阱都屬于這種情況當(dāng)能級(jí)有簡(jiǎn)并的情況，則有如下定理設(shè)設(shè)V(xV(x)，則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征值E，總可以找到方(3)的一組完備的解，它們之中每一個(gè)解都有確定的宇稱證明：設(shè)(x)是方程3的一個(gè)解，如無(wú)確定的宇稱，則按定3，(x)也是方3的一個(gè)解，但不同于(x盡管它們同于E)此可以f(x)(x)(x) g(x)(x)f(x與g(x均為方程3的解，同屬于E，且具有確定宇稱f(xf(xg(xg(x)。而(x)與(x可以表f(xg(x的線性疊加(x)1/2[f(x)

(-x)1/2[f(x)

（證畢波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋對(duì)波函數(shù)的性質(zhì)要求，已在2.2節(jié)中做了步討論。在坐標(biāo)表象中，涉及波函數(shù)(x)及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題。這應(yīng)從定態(tài)波動(dòng)方程3出發(fā)，根V(x)的性質(zhì)進(jìn)行討論。如果V(x)是x的連續(xù)函數(shù)，按方程(3)，(x)是存在的，因此xx的連續(xù)函數(shù)。但V(x)不連續(xù)，或有某種奇異性則(x)及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題需要具體分析，上述結(jié)論不一定立對(duì)于一維方勢(shì)場(chǎng)，可證明下列定理