高二數(shù)學(xué)構(gòu)造數(shù)列

nnn1高二數(shù)學(xué)構(gòu)造數(shù)列nnn1構(gòu)造數(shù)列一

a

n

(n

型列其

f(n)

不常函)此類(lèi)數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為

a

n

f)n

，而就有afaf(2),a213n

n

f(n將上述

個(gè)式子累加，變成

af(1)f(2)n

(

，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列

{}中an

n

an解：依題意有aa,232

,n

n

n逐項(xiàng)累加有

an

(1n2

n22

而

an2n

。類(lèi)似題型練習(xí)：已知

{}n

滿足

a

，

a

n

n

1n(n

{}求

的通項(xiàng)公式。二

a

n

(n)n

型列其

f(n)

不常函)此類(lèi)數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為

anf()an

，而就有a2(1),f(2),a1

a,fnan將上述

個(gè)式子累乘，變成

anf(2)a1

(n

，進(jìn)而求解。例2.已知數(shù)列

{}n

1n,(3

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式。aaaa2解：當(dāng)2時(shí),3,,na5a79a21a111得到n，從而aa1)(2n(2nn4n111，以a。4n234n

,將個(gè)式子累乘，，當(dāng)時(shí)三

a

n

pan

型列此類(lèi)數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求/

npnnnn高二數(shù)學(xué)構(gòu)造數(shù)列npnnnn解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)

a

n

p(a)n

，展開(kāi)整理a

n

pmn

，比較系數(shù)有

pm

，所以

m

bb，所以是等比p數(shù)列，公比為

，首項(xiàng)為

a1

bp

。二是用做差法直接構(gòu)造，

apann

，an

n

，兩式相減有

a

n

pann

，所以

n

n

是公比為

的等比數(shù)列。例3.在數(shù)列{}中，，當(dāng)時(shí)有，{}通項(xiàng)公式。n1解法1有am比aamnnn于是得a3(，列{是為首項(xiàng)，以為公的比數(shù)列，nn1所以有2。n解法2：由已知遞推式，得an2)，述式相減，得nnnna，此，數(shù)列{}以a為項(xiàng)，以3為比的等nnn2比數(shù)列。所以a即所以2nnn類(lèi)似題型練習(xí)：已知數(shù)列a2nN*).求數(shù)列1n式

四

a

n

n

型列p為常數(shù)此類(lèi)數(shù)列可變形為

fnnnpn

，則

可用累加法求出，由此求得.例4已知數(shù)列

a1

n

n

n

,求a.解:將已知遞推式兩邊同除以

n

得

a3ann2n2

,設(shè)

abn2n

,故有bn

3bb2

5n2n

,從而

a

.例5．已知數(shù)列

a當(dāng)時(shí)a1

12

an求.n解:作

bn

,則

aAnn

,

a

n

n

A(nB

代入已知遞推式中得

bn

11bB222

.A令1AB2

AB/

nnn高二數(shù)學(xué)構(gòu)造數(shù)列nnn這時(shí)

bn

12

b且nn顯然,

bn

3,所以an22

.類(lèi)似題型練習(xí)：（）知

22

，求。（已知數(shù)列通項(xiàng)公式。

{}n

，

表示其前

項(xiàng)和若足

2nnn

求列

{}n

的提示）中利用

1n

，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五

AaaBan

型列

ABC

為零數(shù)這種類(lèi)型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù)把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列,便順利地轉(zhuǎn)化為

a

n

pan

型數(shù)列。例6．已知數(shù)列

1

a

n

an

,求

a

.解兩取倒數(shù):

111n,以a2aa2nn1

，故有

an

2n

。類(lèi)似題型練習(xí)：數(shù)列

{}，nn

nn

,a求{}1

的通項(xiàng)。