立體幾何中的空間距離問題課件

陽春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)陳育學(xué)立體幾何中的距離問題立體幾何中的距離問題1一、空間距離1.兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)的①

的長度.2.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，②

的長度.3.點(diǎn)到平面的距離：自點(diǎn)向平面引垂線，③

的長度.4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線,④___

的長度.線段點(diǎn)到垂足間線段點(diǎn)到垂足間線段到垂足間線段點(diǎn)一、空間距離線段點(diǎn)到垂足間線段點(diǎn)到垂足25.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的⑤

的長度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個(gè)平面平行,從這條直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線,⑥

的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的⑦

的長度.線段這點(diǎn)到垂足間線段公垂線段5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線3二、求距離的一般方法1.兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離其實(shí)是平面幾何中的問題，可用平面幾何方法求解.2.直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結(jié)為求⑧

的距離.點(diǎn)面間二、求距離的一般方法點(diǎn)面間4

與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫兩異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度是兩條異面直線的距離.一異面直線的距離ABCDA’B’C’D’如圖所示：線段__為異面直線AA’與BC的距離。AB與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫兩異面5在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°.點(diǎn)D是BB1中點(diǎn)，則異面直線DA1與B1C1的距離是________.練習(xí)1在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=16

例：如圖

8-7-4，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求點(diǎn)A到平面SBC的距離. 圖8-7-4二點(diǎn)面距離的求法 例：如圖8-7-4，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，A7解：方法一：如圖8-7-5，作AD⊥BC交BC延長線于點(diǎn)D，連接SD.圖8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC?平面SBC，解：方法一：如圖8-7-5，作AD⊥BC交BC延長線于點(diǎn)8

∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.

過點(diǎn)A作AH⊥SD于H，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即為點(diǎn)A到平面SBC的距離. ∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD9立體幾何中的空間距離問題課件10于是h＝于是h＝11

方法三：如圖8-7-6，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC，AS所在直線為y軸，z軸，以過A點(diǎn)且垂直于yOz平面的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.圖8-7-6 方法三：如圖8-7-6，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC，AS所12∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，13立體幾何中的空間距離問題課件14線面距離、面面距離通常情況下化歸為點(diǎn)面距離求解，求空間點(diǎn)面距離，若利用傳統(tǒng)構(gòu)造法，關(guān)鍵是“找射影”，一般是應(yīng)用垂面法求射影，或等積法間接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是關(guān)鍵.線面距離、面面距離通常情況下化15練習(xí)2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD,且PA=1，點(diǎn)F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離；(2)求AD與平面PBC間的距離.練習(xí)2如圖，在梯形ABCD中，A16

（1）通過論證平面PAC⊥平面PCF，找到點(diǎn)A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的長.（2）由于AD∥平面PBC，可考慮依據(jù)問題情境在AD上選擇具備特殊位置的點(diǎn)A，然后推理過A點(diǎn)的平面PAD⊥平面PBC，找到過點(diǎn)A的垂線.（1）通過論證平面PAC⊥平17(1)連接AC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH為點(diǎn)A到平面PCF的距離.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在Rt△PAC中，得AH=.(1)連接AC.因?yàn)镻A⊥平面AB18(2)因?yàn)锽C∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.過A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的長度即為所求的距離.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所以AE=.(2)因?yàn)锽C∥AD，BC平面PBC，191.對于空間中的距離，我們主要研究點(diǎn)到平面的距離、直線和平面的距離及兩個(gè)平行平面之間的距離，其重點(diǎn)是點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質(zhì)來做.求點(diǎn)到平面的距離也可以用等體積法.2.求距離傳統(tǒng)的方法和步驟是“一作、二證、三計(jì)算”，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計(jì)算.其中第二步證明易被忽略，應(yīng)當(dāng)引起重視.1.對于空間中的距離，我們主要研究點(diǎn)到平面的距離、直線和平面203.在求距離時(shí)，要注意各種距離的轉(zhuǎn)化；在選擇求距離的方法時(shí)，也要靈活.一般來說，空間關(guān)系在不太復(fù)雜的情況下使用傳統(tǒng)方法，而在距離不好作、空間關(guān)系較復(fù)雜的條件下可用等積法.3.在求距離時(shí)，要注意各種距離的轉(zhuǎn)化；在選擇求距離的方法時(shí)，21小結(jié)1.異面直線的距離2.點(diǎn)面、線面、面面距離的求法作業(yè)：完成《南方新課堂習(xí)題集》小結(jié)1.異面直線的距離22【高考真題再現(xiàn)2015課標(biāo)219題】如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值。DD1C1A1EFABCB1【高考真題再現(xiàn)2015課標(biāo)219題】DD1C1A23

陽春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)陳育學(xué)立體幾何中的距離問題立體幾何中的距離問題24一、空間距離1.兩點(diǎn)間的距離:連接兩點(diǎn)的①

的長度.2.點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向直線引垂線，②

的長度.3.點(diǎn)到平面的距離：自點(diǎn)向平面引垂線，③

的長度.4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線,④___

的長度.線段點(diǎn)到垂足間線段點(diǎn)到垂足間線段到垂足間線段點(diǎn)一、空間距離線段點(diǎn)到垂足間線段點(diǎn)到垂足255.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的⑤

的長度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個(gè)平面平行,從這條直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線,⑥

的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的⑦

的長度.線段這點(diǎn)到垂足間線段公垂線段5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線26二、求距離的一般方法1.兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離其實(shí)是平面幾何中的問題，可用平面幾何方法求解.2.直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結(jié)為求⑧

的距離.點(diǎn)面間二、求距離的一般方法點(diǎn)面間27

與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫兩異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度是兩條異面直線的距離.一異面直線的距離ABCDA’B’C’D’如圖所示：線段__為異面直線AA’與BC的距離。AB與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫兩異面28在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°.點(diǎn)D是BB1中點(diǎn)，則異面直線DA1與B1C1的距離是________.練習(xí)1在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=129

例：如圖

8-7-4，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求點(diǎn)A到平面SBC的距離. 圖8-7-4二點(diǎn)面距離的求法 例：如圖8-7-4，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，A30解：方法一：如圖8-7-5，作AD⊥BC交BC延長線于點(diǎn)D，連接SD.圖8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC?平面SBC，解：方法一：如圖8-7-5，作AD⊥BC交BC延長線于點(diǎn)31

∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.

過點(diǎn)A作AH⊥SD于H，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即為點(diǎn)A到平面SBC的距離. ∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD32立體幾何中的空間距離問題課件33于是h＝于是h＝34

方法三：如圖8-7-6，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC，AS所在直線為y軸，z軸，以過A點(diǎn)且垂直于yOz平面的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.圖8-7-6 方法三：如圖8-7-6，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC，AS所35∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，36立體幾何中的空間距離問題課件37線面距離、面面距離通常情況下化歸為點(diǎn)面距離求解，求空間點(diǎn)面距離，若利用傳統(tǒng)構(gòu)造法，關(guān)鍵是“找射影”，一般是應(yīng)用垂面法求射影，或等積法間接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是關(guān)鍵.線面距離、面面距離通常情況下化38練習(xí)2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD,且PA=1，點(diǎn)F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離；(2)求AD與平面PBC間的距離.練習(xí)2如圖，在梯形ABCD中，A39

（1）通過論證平面PAC⊥平面PCF，找到點(diǎn)A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的長.（2）由于AD∥平面PBC，可考慮依據(jù)問題情境在AD上選擇具備特殊位置的點(diǎn)A，然后推理過A點(diǎn)的平面PAD⊥平面PBC，找到過點(diǎn)A的垂線.（1）通過論證平面PAC⊥平40(1)連接AC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.過點(diǎn)A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH為點(diǎn)A到平面PCF的距離.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在Rt△PAC中，得AH=.(1)連接AC.因?yàn)镻A⊥平面AB41(2)因?yàn)锽C∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.過A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的長度即為所求的距離.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所