曲線插值和曲線擬合課件

第一章曲線插值與曲線擬合劉云華1第一章曲線插值與曲線擬合劉云華12§1引言§2拉格朗日插值多項(xiàng)式§3分段低次拉格朗日插值§4Neville逐步插值方法§5Newton插值§6Hermite插值和分段三次Hermite插值§7曲線擬合2

實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。

自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn)

概念x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散定義：為定義在區(qū)間上的函數(shù)，為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類。求上的函數(shù)滿足問(wèn)題是否存在唯一如何構(gòu)造誤差估計(jì)定義：為定義在區(qū)間上的函數(shù)，設(shè)則所以有解，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式不為0設(shè)則所以有解，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式不為0存在唯一定理定理1.1：為n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)，

n+1維空間，則插值函數(shù)存在唯一，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一定理定理1.1：為n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)，與基函數(shù)無(wú)關(guān)與原函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)基函數(shù)個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)相同特點(diǎn)：與基函數(shù)無(wú)關(guān)特點(diǎn)：對(duì)應(yīng)于則Vandermonde行列式對(duì)應(yīng)于則Vandermonde行列式多項(xiàng)式插值的Lagrange型如何找？在基函數(shù)上下功夫，取基函數(shù)為要求則多項(xiàng)式插值的Lagrange型如何找？在基函數(shù)上下功夫，取基求，易知：記求，易知：記線性插值線性插值12x0y圖2-212x0y圖2-2二次插值二次插值14這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù)近似代替函數(shù)，在幾何上就是通過(guò)曲線上的三點(diǎn)，作一拋物線近似地代替曲線（圖2-3），故三點(diǎn)插值(二次插值)。圖2-3yx014這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù)近似代替函例：例：16例

已知分別用線性插值和拋物插值求的值。解

因?yàn)?15在100和121之間，故取節(jié)點(diǎn)x0=100，x1=121相應(yīng)地有

y0=10，y1=11故用線性插值求得的近似值為16例已知17仿上，用拋物插值公式所求得的近似值為將所得結(jié)果與的精確值10.7328…相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。為了便于上機(jī)計(jì)算，我們常將拉格朗日插值多項(xiàng)式改寫成對(duì)稱形式17仿上，用拋物插值公式所求得的近似值為算法：fx=0.0for(i=0;i<=n;i++){tmp=1.0;for(j=0;j<i;j++)tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]);for(j=i+1;j<=n;j++)tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]);fx=fx+tmp*y[i];}returnfx;算法：fx=0.0Lab02

Lagrange插值對(duì)函數(shù)構(gòu)造插值，并求插值節(jié)點(diǎn)取為：(1)(2)對(duì)N=5，10，20，40比較以上兩組節(jié)點(diǎn)的結(jié)果。Chebyshev點(diǎn)Lab02Lagrange插值對(duì)函數(shù)構(gòu)造插值，并求插值節(jié)誤差解：求設(shè)易知誤差解：求設(shè)易知有n+2個(gè)零點(diǎn)由a的任意性有n+2個(gè)零點(diǎn)由a的任意性例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實(shí)際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實(shí)際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x

所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計(jì)算n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543s例子P14~P17例子P14~P1726§4分段低次插值

例2、例4表明，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此提出結(jié)論，認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。例如，對(duì)函數(shù)

先以為節(jié)點(diǎn)作五次插值多項(xiàng)式P5(x)，再以

為節(jié)點(diǎn)作十次插值多項(xiàng)式P10(x)，并將曲線描繪在同一坐標(biāo)系中，如圖2-5所示。

2627

-101xy

1y=1/(1+25x2)y=P5(x)圖2-5y=P10(x)27-1028

這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2-6所示。故分段線性插值又稱折線插值.

xy=f(x)yox0x1xnx2圖2-628xy=f(x)yox0x1xnx2圖2-629

類似地，為求的近似值，也可選取距點(diǎn)最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)

進(jìn)行二次插值，即取這種分段低次插值叫分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線代替曲線，故分段二次插值又稱分段拋物插值。為了保證是距點(diǎn)最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，（4.2）中的可通過(guò)下面方法確定:（4.2）29類似地，為求的近似值30Neville逐步插值方法通過(guò)兩點(diǎn)插值逐步生成多點(diǎn)插值的方法兩點(diǎn)插值30Neville逐步插值方法通過(guò)兩點(diǎn)插值逐步生成多點(diǎn)插值的31三點(diǎn)插值：由兩個(gè)兩點(diǎn)插值（x0,y0）(x1,y1)與（x1,y1）(x2,y2)31三點(diǎn)插值：由兩個(gè)兩點(diǎn)插值（x0,y0）(x1,y1)與（32多點(diǎn)Neville插值32多點(diǎn)Neville插值曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件2222曲線插值和曲線擬合課件Hermite插值在節(jié)點(diǎn)處已知函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值Hermite插值在節(jié)點(diǎn)處已知函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值兩點(diǎn)三次Hermite插值兩點(diǎn)三次Hermite插值曲線插值和曲線擬合課件兩點(diǎn)三次Hermite插值誤差分析兩點(diǎn)三次Hermite插值誤差分析例子P26~p29例子P26~p29曲線插值和曲線擬合課件三次樣條插值

分段低階插值，收斂性好，但光滑性不夠理想。在工業(yè)設(shè)計(jì)中，對(duì)曲線光滑性要求高，如：流線型設(shè)想這樣一曲線：插值，次數(shù)不高于3次，整個(gè)曲線2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，稱為三次樣條函數(shù)插值。三次樣條插值分段低階插值，收斂性好，但光滑性不夠每個(gè)小區(qū)間不高于3次，有4n個(gè)未知數(shù)，我們的已知條件如下：共3n-3+n+1=4n-2個(gè)條件每個(gè)小區(qū)間不高于3次，有4n個(gè)未知數(shù)，我們的已知條件如下：共曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件給定端點(diǎn)彎距值給定端點(diǎn)彎距值給定端點(diǎn)轉(zhuǎn)角值給定端點(diǎn)轉(zhuǎn)角值58曲線擬合的最小二乘法

§1引言

§2什么是最小二乘法

§3最小二乘解的求法

5859曲線擬合的最小二乘法

§1引言

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，尋求函數(shù)y=f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=φ（x）（稱為經(jīng)驗(yàn)公式）。從幾何上，就是希望根據(jù)給出的m個(gè)點(diǎn)，求曲線y=f(x)的一條近似曲線y=φ（x）。因此，這是一個(gè)曲線擬合的問(wèn)題。多項(xiàng)式插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)的近似表達(dá)式問(wèn)題，但用它來(lái)解決這里提出的問(wèn)題，有明顯缺陷。首先，實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)通常帶有測(cè)試誤差。如要求近似曲線y=φ（x）嚴(yán)格地通過(guò)所給的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，就會(huì)使曲線保持原有的測(cè)試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí)，插值效果顯然是不理想的。其次，由實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)往往較多（即m較大），用插值法得到的近似表達(dá)式，明顯地缺乏實(shí)用價(jià)值。59曲線擬合的最小二乘法60因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個(gè)函數(shù)類φ中尋求一個(gè)“最好”的函數(shù)φ（x）來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)，是一個(gè)值得討論的問(wèn)題。隨著擬合效果“好”、“壞”標(biāo)準(zhǔn)的不同，解決此類問(wèn)題的方法也不同。這里介紹一種最常用的曲線擬合方法，即最小二乘法。?！?什么是最小二乘法

如前所述，在一般情況下，我們不能要求近似曲線y=f（x）嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，亦即不能要求所有擬合曲線函數(shù)在xi處的偏差（亦稱殘差）都嚴(yán)格地趨于零。但是，為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，要求∣δi∣都較小還是需要的。達(dá)到這一目標(biāo)的途徑很多，常見的有：

(1)選取φ（x），使偏差絕對(duì)值之和最小，即

(2.1)60因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個(gè)函數(shù)類φ中尋求一個(gè)61(2)

選取φ（x），使偏差最大絕對(duì)值最小，即

(2.2)(3)選取φ（x），使偏差平方和最小，即

(2.3)

為了方便計(jì)算、分析與應(yīng)用，我們較多地根據(jù)“偏差平方和最小”的原則（稱為最小二乘原則）來(lái)選取擬合曲線y=φ（x）按最小二乘原則選擇擬合曲線的方法，稱為最小二乘法。本章要著重討論的線性最小二乘問(wèn)題，其基本提法是：對(duì)于給定數(shù)據(jù)表

x x1x2…xm

y y1y2…ym

61(2)

選取φ（x），使偏差最大絕對(duì)值62要求在某個(gè)函數(shù)類（其中n<m）中尋求一個(gè)函數(shù)

(2.4)使φ*(x)滿足條件

(2.5)

式中是函數(shù)類中任一函數(shù)。

滿足關(guān)系式（2.5）的函數(shù)，稱為上述最小二乘問(wèn)題的最小二乘解。由上可知，用最小二乘法解決實(shí)際問(wèn)題包含兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：先根據(jù)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)與問(wèn)題的實(shí)際背景確定函數(shù)類,即確定所具有的形式；然后按最小二乘法原則（2.3）求取最小二乘解，即確定其系數(shù)。62要求在某個(gè)函數(shù)類63§3最小二乘解的求法由最小二乘解（2.4）應(yīng)滿足條件（2.5）知，點(diǎn)是多元函數(shù)的極小點(diǎn)，從而滿足方程組即63§3最小二乘解的求法64亦即

若對(duì)任意的函數(shù)h(x)和g(x)，引入記號(hào)

則上述方程組可以表示成

寫成矩陣形式即

(3.1)(3.2)64亦即(3.1)(3.2)65

方程組(3.2)稱為法方程組。當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，可以證明它有唯一解并且相應(yīng)的函數(shù)(2.4)就是滿足條件(2.5)的最小二乘解。綜上分析可得

定理1

對(duì)任意給定的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(其中互異),在函數(shù)類(線性無(wú)關(guān)）中,存在唯一的函數(shù)使得關(guān)系式(2.5)成立，并且其系數(shù)可以通過(guò)解方程組(3.2)得到。作為曲線擬合的一種常用的情況，若討論的是代數(shù)多項(xiàng)式擬合，即取

則由(3.1)知65方程組(3.2)稱為法方程組。當(dāng)66故相應(yīng)的法方程組為

(3.3)66(3.3)67例1

某種鋁合金的含鋁量為，其熔解溫度為c，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得與的數(shù)據(jù)如表3-1左邊三列。使用最小二乘法建立與之間的經(jīng)驗(yàn)公式。解

根據(jù)前面的討論，解決問(wèn)題的過(guò)程如下：

（1）

將表中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪在坐標(biāo)紙上，如圖3-1所示。

`

（2）

確定擬合曲線的形式。由圖3-1可以看出，六個(gè)點(diǎn)位于一條直線的附近，故可以選用線性函數(shù)（直線）來(lái)擬合這組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即令180圖3-1y30026022030507090x67例1某種鋁合金的含鋁量為，其熔解溫68

其中a,b為待定常數(shù)。（3）建立法方程組。由于問(wèn)題歸結(jié)為一次多項(xiàng)式擬合問(wèn)題，故由

(3.3)知，相應(yīng)的法方程組形如經(jīng)過(guò)計(jì)算（表3-1）即得確定待定系數(shù)a，b的法方程組

（4）解法方程(3.5)得a=95.3524,b=2.2337

代入(3.4)即得經(jīng)驗(yàn)公式

y=95.3524+2.2337x(3.4)(3.5)(3.6)68(3.4)(3.5)(3.6)69

i136.91811361.616678.9246.71972180.899199.9363.72354057.6914969.5477.82706052.8421006.0584.02837056.0023772.0687.52927656.2525550.0396.6145828365.28101176.3表3-169 i136.70

所得經(jīng)驗(yàn)公式能否較好地反映客觀規(guī)律,還需通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn).由(3.6)式算出的函數(shù)值(稱為擬合值)與實(shí)際值有一定的偏差。由表3-2可以看出，偏差的平方和

，其平方根（稱為均方誤差）在一定程度上反映了所得經(jīng)驗(yàn)公式的好壞。同時(shí)，由表3-2還可以看出，最大偏差.

如果認(rèn)為這樣的誤差都允許的話，就可以用經(jīng)驗(yàn)公式(3.6)來(lái)計(jì)算含鋁量在36.9~87.5%之間的溶解度。否則，就要用改變函數(shù)類型或者增加實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等方法來(lái)建立新的經(jīng)驗(yàn)公式。例2

在某化學(xué)放應(yīng)里，測(cè)得生成物的濃度y%與時(shí)間t的數(shù)據(jù)表見表3-3，是用最小二乘法建立t與y的經(jīng)驗(yàn)公式。解

將已知數(shù)據(jù)點(diǎn)描述在坐標(biāo)紙上，見圖3-2。由圖3-2

及問(wèn)題的物理背景可以看出，擬合曲線應(yīng)具下列特點(diǎn)：

7071i12345636.946.763.777.884.087.5177.78199.67237.64269.13282.98290.80181197235270283292-3.222.672.64-0.87-0.02-1.2010.377.136.970.760.00041.4426.6704表3-271i12345636.946.763.777.884.0872t12345678y4.006.408.008.809.229.509.709.86t910111213141516y10.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60表3-3

（1）曲線隨著t的增加而上升，但上升速度由快到慢。y10504812t16圖3-272t12345678y4.006.408.008.80973（2）當(dāng)t=0時(shí)，反應(yīng)還未開始，即y=0;當(dāng)時(shí)，y趨于某一常數(shù).

故曲線應(yīng)通過(guò)原點(diǎn)(或者當(dāng)t=0時(shí)以原點(diǎn)為極限點(diǎn))，且有一條水平漸近線。

具有上述特點(diǎn)的曲線很多。選用不同的數(shù)學(xué)模型，可以獲得不同的擬合曲線與經(jīng)驗(yàn)公式。

下面提供兩種方案:

方案1:

設(shè)想是雙曲線型的，并且具有下面的形式

(3.7)

此時(shí)，若直接按最小二乘法原則去確定參數(shù)a和b,則問(wèn)題歸結(jié)為求二元函數(shù)

的極小點(diǎn)，這將導(dǎo)致求解非線性方程組:(3.8)73（2）當(dāng)t=0時(shí)，反應(yīng)還未開始，即y=0;當(dāng)74給計(jì)算帶來(lái)了麻煩?？赏ㄟ^(guò)變量替換來(lái)將它轉(zhuǎn)化為關(guān)于待定參數(shù)的線.性形函數(shù)。為此，將(3.7)改寫成于是，若引入新變量則(3.7)式就是74給計(jì)算帶來(lái)了麻煩?？赏ㄟ^(guò)變量替換來(lái)將它轉(zhuǎn)化為關(guān)于待定參數(shù)75同時(shí)，由題中所給數(shù)據(jù)表3-3可以算出新的數(shù)據(jù)表表3-4這樣，問(wèn)題就歸結(jié)為：根據(jù)數(shù)據(jù)表3-4，求形如的最小二乘解.

參照例1的做法，解方程組i123161.000000.500000.333330.062500.250000.156250.125000.09434表3-475i123161.000000.500000.33333076既得

a=80.6621,b=161.6822代入(3.7)

,既得經(jīng)驗(yàn)公式

(3.9)

方案2：設(shè)想具有指數(shù)形式

為了求參數(shù)a和b時(shí)，避免求解一個(gè)非線形方程組，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)

此時(shí)，若引入新變量

并記A=lna,B=b,則上式就是

(3.10)76(3.10)77又由數(shù)表3-3可算出新的數(shù)據(jù)表3-5。

表3-5于是將問(wèn)題歸為：根據(jù)數(shù)據(jù)表3-5，求形如的最小二乘解。參照方案1，寫出相應(yīng)的法方程組并解之，即得

A=-4.4807，B=-1.0567于是i123161.000000.500000.333330.062501.386291.856302.079442.3608577又由數(shù)表3-3可算出新的數(shù)據(jù)表3-5。i123161.小結(jié)線形擬合二次多項(xiàng)式擬合指數(shù)曲線擬合冪函數(shù)擬合雙曲函數(shù)擬合小結(jié)線形擬合第一章曲線插值與曲線擬合劉云華79第一章曲線插值與曲線擬合劉云華180§1引言§2拉格朗日插值多項(xiàng)式§3分段低次拉格朗日插值§4Neville逐步插值方法§5Newton插值§6Hermite插值和分段三次Hermite插值§7曲線擬合2

實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。

自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn)

概念x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散定義：為定義在區(qū)間上的函數(shù)，為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類。求上的函數(shù)滿足問(wèn)題是否存在唯一如何構(gòu)造誤差估計(jì)定義：為定義在區(qū)間上的函數(shù)，設(shè)則所以有解，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式不為0設(shè)則所以有解，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式不為0存在唯一定理定理1.1：為n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)，

n+1維空間，則插值函數(shù)存在唯一，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一定理定理1.1：為n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)，與基函數(shù)無(wú)關(guān)與原函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)基函數(shù)個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)相同特點(diǎn)：與基函數(shù)無(wú)關(guān)特點(diǎn)：對(duì)應(yīng)于則Vandermonde行列式對(duì)應(yīng)于則Vandermonde行列式多項(xiàng)式插值的Lagrange型如何找？在基函數(shù)上下功夫，取基函數(shù)為要求則多項(xiàng)式插值的Lagrange型如何找？在基函數(shù)上下功夫，取基求，易知：記求，易知：記線性插值線性插值90x0y圖2-212x0y圖2-2二次插值二次插值92這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù)近似代替函數(shù)，在幾何上就是通過(guò)曲線上的三點(diǎn)，作一拋物線近似地代替曲線（圖2-3），故三點(diǎn)插值(二次插值)。圖2-3yx014這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù)近似代替函例：例：94例

已知分別用線性插值和拋物插值求的值。解

因?yàn)?15在100和121之間，故取節(jié)點(diǎn)x0=100，x1=121相應(yīng)地有

y0=10，y1=11故用線性插值求得的近似值為16例已知95仿上，用拋物插值公式所求得的近似值為將所得結(jié)果與的精確值10.7328…相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。為了便于上機(jī)計(jì)算，我們常將拉格朗日插值多項(xiàng)式改寫成對(duì)稱形式17仿上，用拋物插值公式所求得的近似值為算法：fx=0.0for(i=0;i<=n;i++){tmp=1.0;for(j=0;j<i;j++)tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]);for(j=i+1;j<=n;j++)tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]);fx=fx+tmp*y[i];}returnfx;算法：fx=0.0Lab02

Lagrange插值對(duì)函數(shù)構(gòu)造插值，并求插值節(jié)點(diǎn)取為：(1)(2)對(duì)N=5，10，20，40比較以上兩組節(jié)點(diǎn)的結(jié)果。Chebyshev點(diǎn)Lab02Lagrange插值對(duì)函數(shù)構(gòu)造插值，并求插值節(jié)誤差解：求設(shè)易知誤差解：求設(shè)易知有n+2個(gè)零點(diǎn)由a的任意性有n+2個(gè)零點(diǎn)由a的任意性例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實(shí)際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實(shí)際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x

所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計(jì)算n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543s例子P14~P17例子P14~P17104§4分段低次插值

例2、例4表明，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此提出結(jié)論，認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。例如，對(duì)函數(shù)

先以為節(jié)點(diǎn)作五次插值多項(xiàng)式P5(x)，再以

為節(jié)點(diǎn)作十次插值多項(xiàng)式P10(x)，并將曲線描繪在同一坐標(biāo)系中，如圖2-5所示。

26105

-101xy

1y=1/(1+25x2)y=P5(x)圖2-5y=P10(x)27-10106

這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2-6所示。故分段線性插值又稱折線插值.

xy=f(x)yox0x1xnx2圖2-628xy=f(x)yox0x1xnx2圖2-6107

類似地，為求的近似值，也可選取距點(diǎn)最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)

進(jìn)行二次插值，即取這種分段低次插值叫分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線代替曲線，故分段二次插值又稱分段拋物插值。為了保證是距點(diǎn)最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，（4.2）中的可通過(guò)下面方法確定:（4.2）29類似地，為求的近似值108Neville逐步插值方法通過(guò)兩點(diǎn)插值逐步生成多點(diǎn)插值的方法兩點(diǎn)插值30Neville逐步插值方法通過(guò)兩點(diǎn)插值逐步生成多點(diǎn)插值的109三點(diǎn)插值：由兩個(gè)兩點(diǎn)插值（x0,y0）(x1,y1)與（x1,y1）(x2,y2)31三點(diǎn)插值：由兩個(gè)兩點(diǎn)插值（x0,y0）(x1,y1)與（110多點(diǎn)Neville插值32多點(diǎn)Neville插值曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件2222曲線插值和曲線擬合課件Hermite插值在節(jié)點(diǎn)處已知函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值Hermite插值在節(jié)點(diǎn)處已知函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值兩點(diǎn)三次Hermite插值兩點(diǎn)三次Hermite插值曲線插值和曲線擬合課件兩點(diǎn)三次Hermite插值誤差分析兩點(diǎn)三次Hermite插值誤差分析例子P26~p29例子P26~p29曲線插值和曲線擬合課件三次樣條插值

分段低階插值，收斂性好，但光滑性不夠理想。在工業(yè)設(shè)計(jì)中，對(duì)曲線光滑性要求高，如：流線型設(shè)想這樣一曲線：插值，次數(shù)不高于3次，整個(gè)曲線2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，稱為三次樣條函數(shù)插值。三次樣條插值分段低階插值，收斂性好，但光滑性不夠每個(gè)小區(qū)間不高于3次，有4n個(gè)未知數(shù)，我們的已知條件如下：共3n-3+n+1=4n-2個(gè)條件每個(gè)小區(qū)間不高于3次，有4n個(gè)未知數(shù)，我們的已知條件如下：共曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件曲線插值和曲線擬合課件給定端點(diǎn)彎距值給定端點(diǎn)彎距值給定端點(diǎn)轉(zhuǎn)角值給定端點(diǎn)轉(zhuǎn)角值136曲線擬合的最小二乘法

§1引言

§2什么是最小二乘法

§3最小二乘解的求法

58137曲線擬合的最小二乘法

§1引言

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，尋求函數(shù)y=f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=φ（x）（稱為經(jīng)驗(yàn)公式）。從幾何上，就是希望根據(jù)給出的m個(gè)點(diǎn)，求曲線y=f(x)的一條近似曲線y=φ（x）。因此，這是一個(gè)曲線擬合的問(wèn)題。多項(xiàng)式插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)的近似表達(dá)式問(wèn)題，但用它來(lái)解決這里提出的問(wèn)題，有明顯缺陷。首先，實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)通常帶有測(cè)試誤差。如要求近似曲線y=φ（x）嚴(yán)格地通過(guò)所給的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，就會(huì)使曲線保持原有的測(cè)試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí)，插值效果顯然是不理想的。其次，由實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)往往較多（即m較大），用插值法得到的近似表達(dá)式，明顯地缺乏實(shí)用價(jià)值。59曲線擬合的最小二乘法138因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個(gè)函數(shù)類φ中尋求一個(gè)“最好”的函數(shù)φ（x）來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)，是一個(gè)值得討論的問(wèn)題。隨著擬合效果“好”、“壞”標(biāo)準(zhǔn)的不同，解決此類問(wèn)題的方法也不同。這里介紹一種最常用的曲線擬合方法，即最小二乘法。?！?什么是最小二乘法

如前所述，在一般情況下，我們不能要求近似曲線y=f（x）嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，亦即不能要求所有擬合曲線函數(shù)在xi處的偏差（亦稱殘差）都嚴(yán)格地趨于零。但是，為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，要求∣δi∣都較小還是需要的。達(dá)到這一目標(biāo)的途徑很多，常見的有：

(1)選取φ（x），使偏差絕對(duì)值之和最小，即

(2.1)60因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個(gè)函數(shù)類φ中尋求一個(gè)139(2)

選取φ（x），使偏差最大絕對(duì)值最小，即

(2.2)(3)選取φ（x），使偏差平方和最小，即

(2.3)

為了方便計(jì)算、分析與應(yīng)用，我們較多地根據(jù)“偏差平方和最小”的原則（稱為最小二乘原則）來(lái)選取擬合曲線y=φ（x）按最小二乘原則選擇擬合曲線的方法，稱為最小二乘法。本章要著重討論的線性最小二乘問(wèn)題，其基本提法是：對(duì)于給定數(shù)據(jù)表

x x1x2…xm

y y1y2…ym

61(2)

選取φ（x），使偏差最大絕對(duì)值140要求在某個(gè)函數(shù)類（其中n<m）中尋求一個(gè)函數(shù)

(2.4)使φ*(x)滿足條件

(2.5)

式中是函數(shù)類中任一函數(shù)。

滿足關(guān)系式（2.5）的函數(shù)，稱為上述最小二乘問(wèn)題的最小二乘解。由上可知，用最小二乘法解決實(shí)際問(wèn)題包含兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：先根據(jù)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)與問(wèn)題的實(shí)際背景確定函數(shù)類,即確定所具有的形式；然后按最小二乘法原則（2.3）求取最小二乘解，即確定其系數(shù)。62要求在某個(gè)函數(shù)類141§3最小二乘解的求法由最小二乘解（2.4）應(yīng)滿足條件（2.5）知，點(diǎn)是多元函數(shù)的極小點(diǎn)，從而滿足方程組即63§3最小二乘解的求法142亦即

若對(duì)任意的函數(shù)h(x)和g(x)，引入記號(hào)

則上述方程組可以表示成

寫成矩陣形式即

(3.1)(3.2)64亦即(3.1)(3.2)143

方程組(3.2)稱為法方程組。當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)，可以證明它有唯一解并且相應(yīng)的函數(shù)(2.4)就是滿足條件(2.5)的最小二乘解。綜上分析可得

定理1

對(duì)任意給定的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(其中互異),在函數(shù)類(線性無(wú)關(guān)）中,存在唯一的函數(shù)使得關(guān)系式(2.5)成立，并且其系數(shù)可以通過(guò)解方程組(3.2)得到。作為曲線擬合的一種常用的情況，若討論的是代數(shù)多項(xiàng)式擬合，即取

則由(3.1)知65方程組(3.2)稱為法方程組。當(dāng)144故相應(yīng)的法方程組為

(3.3)66(3.3)145例1

某種鋁合金的含鋁量為，其熔解溫度為c，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得與的數(shù)據(jù)如表3-1左邊三列。使用最小二乘法建立與之間的經(jīng)驗(yàn)公式。解

根據(jù)前面的討論，解決問(wèn)題的過(guò)程如下：

（1）

將表中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪在坐標(biāo)紙上，如圖3-1所示。

`

（2）

確定擬合曲線的形式。由圖3-1可以看出，六個(gè)點(diǎn)位于一條直線的附近，故可以選用線性函數(shù)（直線）來(lái)擬合這組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即令180圖3-1y30026022030507090x67例1某種鋁合金的含鋁量為，其熔解溫146

其中a,b為待定常數(shù)。（3）建立法方程組。由于問(wèn)題歸結(jié)為一次多項(xiàng)式擬合問(wèn)題，故由

(3.3)知，相應(yīng)的法方程組形如經(jīng)過(guò)計(jì)算（表3-1）即得確定待定系數(shù)a，b的法方程組

（4）解法方程(3.5)得a=95.3524,b=2.2337

代入(3.4)即得經(jīng)驗(yàn)公式

y=95.3524+2.2337x(3.4)(3.5)(3.6)68(3.4)(3.5)(3.6)147

i136.91811361.616678.9246.71972180.899199.9363.72354057.6914969.5477.82706052.8421006.0584.02837056.0023772.0687.52927656.2525550.0396.6145828365.28101176.3表3-169 i136.148

所得經(jīng)驗(yàn)公式能否較好地反映客觀規(guī)律,還需通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn).由(3.6)式算出的函數(shù)值(稱為擬合值)與實(shí)際值有一定的偏差。由表3-2可以看出，偏差的平方和

，其平方根（稱為均方誤差）在一定程度上反映了所得經(jīng)驗(yàn)公式的好壞。同時(shí)，由表3-2還可以看出，最大偏差.

如果認(rèn)為這樣的誤差都允許的話，就可以用經(jīng)驗(yàn)公式(3.6)來(lái)計(jì)算含鋁量在36.9~87.5%之間的溶解度。否則，就要用改變函數(shù)類型或者增加實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等方法來(lái)建立新的經(jīng)驗(yàn)公式。例2

在某化學(xué)放應(yīng)里，測(cè)得生成物的濃度y%與時(shí)間t的數(shù)據(jù)表見表3-3，是用最小二乘法建立t與y的經(jīng)驗(yàn)公式。解

將已知數(shù)