注冊電氣工程師基礎考試-線性代數(shù)課件

線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．1.全排列一、行列式逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．2.逆序數(shù)例1

計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.3.n階行列式的定義例2解方程左端4.n階行列式的性質(zhì)例3

計算階行列式解將第都加到第一列得１）余子式與代數(shù)余子式5.行列式按行（（列）展開２）關(guān)于代數(shù)數(shù)余子式的重重要性質(zhì)例46.克拉默法則定理定理二、矩陣1.矩陣的定義記作簡記為2.幾種特殊矩陣陣(2)只有一行的矩矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩矩陣稱為列矩陣(或列向量).稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零零矩陣是不相相等的.例如(5)單位陣：對角線上上全為1的對角陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1(6)對稱矩陣定義設為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對稱陣.對稱陣的元素素以主對角線線為對稱軸對對應相等等.說明2）兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.3.同型矩陣與矩矩陣相等的概概念1）兩個矩陣的的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.例5設解1)加法設有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為4.矩陣的運算2)數(shù)與矩陣相乘乘矩陣相加與數(shù)數(shù)乘矩陣合起起來,統(tǒng)稱為矩陣的的線性運算.并把此乘積記記作3)矩陣與矩陣相相乘設是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中注意只有當?shù)谝粋€個矩陣的列數(shù)數(shù)等于第二個個矩陣的行數(shù)時，兩兩個矩陣才能能相乘.例１注：（1）矩陣乘法不滿足交換律(2)矩陣乘法不滿足消去律,即（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：單位矩陣E在矩陣乘法中中的作用類似似于數(shù)1）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例4）矩陣的轉(zhuǎn)置置轉(zhuǎn)置矩陣的運運算性質(zhì)注：若A為對稱陣，則則5）方陣的行列列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì)定義義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.6）伴伴隨隨矩矩陣陣7）逆逆矩矩陣陣定義

對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階階矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣用用該該公公式式求求，，三三階階及及以以上上矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣用用初初等等變變換換求求。。逆矩矩陣陣的的運運算算性性質(zhì)質(zhì)解：：矩陣陣方方程程解定義義1下面面三三種種變變換換稱稱為為矩矩陣陣的的初初等等行行變變換換:5.矩陣陣的的初初等等變變換換定義義2矩陣陣的的初初等等行行變變換換與與初初等等列列變變換換統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為初等等變變換換．．初等等變變換換的的逆逆變變換換仍仍為為初初等等變變換換,且變變換換類類型型相相同同．．同理理可可定定義義矩矩陣陣的的初初等等列列變變換換(所用用記記號號是是把把““r”換成成““c”)．逆變變換換逆變變換換逆變變換換定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種種初初等等變變換換對對應應著著三三種種初初等等方方陣陣.6.初等等矩矩陣陣

定理設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.初等等變變換換初等等矩矩陣陣初等逆變換換初等逆矩陣陣初等矩陣的的作用

定理設A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣利用初等變變換求逆陣陣的方法：：6.矩陣的秩例8解求矩陣秩的的方法：把矩陣用初初等行變換換變成為行行階梯形矩矩陣，行階階梯形矩陣陣中非零行行的行數(shù)就就是矩陣的的秩.例9解由階梯形矩矩陣有三個個非零行可可知顯然，3階子式則這個子式便是的一個最高階非零子式.矩陣A與之對應的的三階子式式三、n維向量若干個同維維數(shù)的列向向量（或同同維數(shù)的行行向量）所所組成的集集合叫做向向量組．1.向量及向量量組的線性性相關(guān)性線性組合解：考慮定義2設有兩個向向量組（1）若向量組組B中每個向量量都能由向向量組A線性表示，，則稱向量量組B能由向量組組A線性表示。。（2）若向量組組A與向量組B能相互線性性表示，則則稱這兩個個向量組等等價。定義３則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．由定義3可得：1、任一向向量組不不是線性性相關(guān)就就是線性性無關(guān)。。2、含零向量量的向量量組一定定線性相相關(guān)。3、單個非非零向量量一定是是線性無無關(guān)。4、兩個向向量線性性相關(guān)的的充分必必要條件件是對應應分量成成比例。。定理2解例11定理3（1）部分相相關(guān)整體體相關(guān)。。（2）m個n維向量，，當維數(shù)數(shù)n小于向量量個數(shù)m時一定線性相相關(guān)。2.最大無關(guān)組與與向量組的秩秩定義１注：只含零向量的的向量組沒有有最大無關(guān)組組，規(guī)定它的的秩為0.推論1推論21.線性方程組的的三種表達方方式若記（1）四、線性方程程組則上述方程組組（1）可寫成矩陣陣方程如果將矩陣A的列向量組記記為則方程組（1）還可表為向向量方程2.線性方程組有有解的判定條條件齊次線性方程程組解的性質(zhì)質(zhì)3.線性方程組解解的性質(zhì)與結(jié)結(jié)構(gòu)基礎解系的定定義齊次線性方程組解的的結(jié)構(gòu)非齊次線性方方程組解的性性質(zhì)其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線性方方程組解的結(jié)結(jié)構(gòu)非齊次線性方程程組Ax=b的通解為齊次線性方程程組：系數(shù)矩陣化化成行最簡形形矩陣，便可可寫出其通解解；非齊次線性方方程組：增廣矩陣化成成行階梯形矩矩陣，便可判判斷其是否有有解．若有解解，化成行最最簡形矩陣，，便可寫出其其通解；3.線性方程組的的解法例11求解齊次線性性方程組解即得與原方程組同解解的方程組由此即得例12求解非齊次方方程組的通解解解對增廣矩陣B進行初等變換換故方程組有解解，且有所以方程組的的通解為五、矩陣的特特征值和特征征向量求矩陣特征值值與特征向量量的步驟：特征值、特征征向量性質(zhì)（1）屬于不同特特征值的特征征向量是線性性無關(guān)。解例13

六、矩陣相似似與對角化1、相似矩陣與與相似變換的的概念2、相似矩陣的的性質(zhì)（1）相似關(guān)系是是等價關(guān)系系（5）相似矩陣有有相同的特征征多項式，有有相同的特征征值。還可證明下列列結(jié)論3、方陣可化為為對角陣的條條件4、實對稱矩陣陣的性質(zhì)(1)特征值為實數(shù)數(shù)；(2)屬于不同特征征值的特征向向量正交；(3)特征值的重數(shù)數(shù)和與之對應應的線性無關(guān)關(guān)的