電路-第二章-正弦交流電路2課件

u＝L△i/△t在第一個(gè)1／4周期(00～900)內(nèi)，電流由零值增加到最大值，此期間電流的變化率△i/△t>0，u為正值，即其實(shí)際方向與參考方向相同。而且，起始瞬間，△i/△t為最大，逐漸變化到△i/△t＝0，所以電壓由正最大值逐漸減小到零。

在第二個(gè)1／4周期(900～1800)內(nèi)，電流由正最大值減小到零值，此期間電流的變化率△i/△t<0，u為負(fù)值，即其實(shí)際方向與參考方向相反。而且，△i/△t從零逐漸變化到負(fù)最大值，以電壓由零逐漸反方向增加到負(fù)最大值。

在第三個(gè)1／4周期(1800～2700)內(nèi)，電流從零變化到負(fù)最大值，此期間電流的變化率仍為負(fù)值，而且電流變化率由負(fù)最大值變化到零，所以電壓亦由負(fù)最大值變化到零。

在第四個(gè)1／4周期(2700～3600)內(nèi)，電流由負(fù)最大值變化到零，此期間電流的變化率△i/△t>0，且變化率由零變化到正最大值，所以電壓也從零變化到正最大值。1

歸納上述的討論可知；由于任一瞬時(shí)電感元件上的電壓u正比于電流的變化率△i/△t，因此在相位上電感電壓超前電流900，即u比i早1／4周期達(dá)到最大值或零值。

電感元件上u、i的波形，如圖(b)所示。顯然，電感元件上的電壓和電流為同頻率的正弦量。

(二)大小關(guān)系

將式(2—13)的正弦電流代入式(2—14)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算可得到電感電壓的表達(dá)式為

u=ωLImcosωt=Umsin(ωt+900)

由此可得，電感電壓與電流的大小關(guān)系為

ωLIm＝Um

所以

ωL=Um/Im=U/I(2—15)上式中的ωL稱為感抗，用符號(hào)XL表示，即

XL=ωL＝2πfL(2—16)

它表示電感元件對(duì)交流電的阻礙作用。若頻率f的單位用赫(Hz)，電感L的單位用亨(H)，則感抗XL的單位為歐(Ω)。雖然XL與電阻R類似，但R表示電能的消耗，而XL表示磁場(chǎng)能量的儲(chǔ)存。2歸納上述的討論可知；由于任一瞬時(shí)電感元件上的電壓u正比于電流

將式(2—16)代入式(2—15)有

XL＝U/I

這就是電感元件上電壓和電流之間的有效值關(guān)系，形式上仍與直流電路中巳學(xué)過(guò)的歐姆定律相同。

由式(2—16)可知，感抗正比于電源的頻率，頻率越高，感抗越大。因?yàn)橹绷麟姷念l率為零，所以在直流電路中，感抗為零，故電感對(duì)直流電(穩(wěn)態(tài))不呈現(xiàn)阻礙作用，相當(dāng)于短路。

感抗只有在交流電路中才具有意義。因?yàn)橐话憬涣麟娐分须妷汉碗娏鞯南辔徊煌?，所以感抗不能表示為電壓瞬時(shí)值和電流瞬時(shí)值之比，而只能表示成電壓和電流的有效值或最大值之比。這也就是電感元件交流電路與電阻元件交流電路的區(qū)別。3將式(2—16)代入式(2—15)有XL＝U/I3(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)電流相量為

＝I∠00則電壓相量為

＝XL∠900又

1∠900＝ej900＝cos900+jsin900＝j(luò)所以

＝j(luò)XL＝j(luò)ωL這是一個(gè)非常有用的公式，它既反映了電感元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關(guān)系，而且反映出了電壓和電流之間的相位關(guān)系，稱為電感元件伏安特程的相量形式。

電感元件上電壓和電流的相量圖，如圖2—16(c)所示。4(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)4二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率

將u、i的表達(dá)式代入瞬時(shí)功率表達(dá)式，可得到電感元件吸收的瞬時(shí)功率為P＝ui＝Umsin(ωt+900)·Imsinωt＝UIsin2ωt顯然，瞬時(shí)功率P是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律交變的，其變化曲線如圖所示。在一個(gè)周期內(nèi)，瞬時(shí)功率交變二次。這一特點(diǎn)可以通過(guò)能量轉(zhuǎn)換的物理過(guò)程說(shuō)明如下：5二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率

將u、i的表達(dá)式代入瞬在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電流由零值開(kāi)始上升，電感元件從電源吸取電能轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。在此期間，u、i的實(shí)際方向相同，瞬時(shí)功率P>0。

在第二個(gè)1／4周期內(nèi)，電流由正最大值逐漸減小，原儲(chǔ)存在電感元件中的磁場(chǎng)能量轉(zhuǎn)換成電能釋放出來(lái)，歸還給電源，在此期間，u,i的實(shí)際方向相反，瞬時(shí)功率P<0。

在第三和第四個(gè)1／4周期內(nèi)，其情形與第一和第二個(gè)1／4周期的情況相似，雖然此期間電流反向，但磁場(chǎng)能量正比于電流i的平方，即它與電流的方向(即數(shù)值的正、負(fù))無(wú)關(guān)。上述分析說(shuō)明電感元件電路中只有磁場(chǎng)能量與電源能量之間的相互交換，而沒(méi)有能量的消耗。6在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電流由零值開(kāi)始上升，電感元件從電源吸取(二)平均功率

由瞬時(shí)功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路的平均功率為P=0這一結(jié)論也可以由數(shù)學(xué)分析得到。顯然，純電感電路中，平均功率等于零。進(jìn)一步說(shuō)明電感元件不消耗電能，而只與電源進(jìn)行能量交換。

(三)無(wú)功功率

電感元件與電源之間的能量交換，表現(xiàn)為瞬時(shí)功率隨時(shí)間以二倍電源頻率交變，但其平均功率又等于零，為了反映這種能量交換的規(guī)模，電工技術(shù)中將電感元件上的瞬時(shí)功率的最大值(即乘積UI)定義為無(wú)功功率，用符號(hào)QL表示，即

QL=UI＝I2XL

＝U2/XL它也具有功率的單位。為區(qū)別起見(jiàn)，將無(wú)功功率的單位取為無(wú)功伏安，簡(jiǎn)稱乏(var)。QL表示了電感元件與電源之間進(jìn)行能量互換的最大速率。7(二)平均功率

由瞬時(shí)功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關(guān)系

(一)相位關(guān)系純電容電路，如圖

(a)所示。選取u、i的參考方向示于圖中。設(shè)電源電壓為

u=Umsinωt

由于外加電壓u隨時(shí)間不斷地變化，電容元件將不斷地充、放電，電路中便不斷地有電流通過(guò)，因此我們說(shuō)交流電可以通過(guò)電容元件。而且，電容元件的端電壓與電流之間也存在著相位差。

圖2-18電容元件上電壓與電流的關(guān)系

(a)電路圖，(b)波形圖，(c)相量圖8§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關(guān)系由于電容C＝Q／u，Q＝It，對(duì)于交變量則有C=△q/△u，△q＝i△u，因此，在△t時(shí)間內(nèi)，電容電流的表達(dá)式為

i=△q/△t＝C△u/△t上式表明，任一瞬間電容元件中的電流i正比于其端電壓的變化率

△u/△t，而不是正比于電壓u,與電感元件電路的分析方法類似，當(dāng)u從零增加的瞬時(shí)，電壓的變化率△u/△t最大，電流i也最大。當(dāng)△u/△t>0時(shí)，i>o，其實(shí)際方向與參考方向相同。當(dāng)u到達(dá)正最大值時(shí),△u/△t＝0，i=0；當(dāng)u從正最大值減小時(shí)，

△u/△t<0，i<0，其實(shí)際方向與參考方向相反。綜上所述，電容元件上的電流超前其端電壓900，即電流i比電壓u早1／4周期到達(dá)最大值或零值，相位關(guān)系與電感元件電路的情況恰好相反。u、i的變化曲線如圖2—18(b)所示。由圖可見(jiàn)，電壓和電流也是同頻率的正弦量。9由于電容C＝Q／u，Q＝It，對(duì)于交變量則有C=△q/△u

(二)大小關(guān)系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過(guò)數(shù)學(xué)分析可以得到電容電流的表達(dá)式為

i＝ωCUmcosωt＝Imsin(ωt+900)由此可得出電容元件上電壓與電流之間的大小關(guān)系為

ωCUm=Im則

=Um/Im=U/I上式中，稱為容抗，用符號(hào)Xc表示，即

Xc==1/（2πfC）

它表示電容元件對(duì)交流電的阻礙作用。若頻率f的單位為赫，電容C的單位為法，則容抗Xc的單位為歐。Xc=U/I這就是電容元件上電壓和電流之間的有效值關(guān)系。容抗Xc的大小與電容C和頻率f成反比。頻率f越高，電容C充放電進(jìn)行得越快，在同樣的電壓下單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的電荷越多，電流越大，即容抗越??；電容C越大，則容納電荷越多，同樣地電流越大，即容抗越小。而頻率越低，Xc越大，即低頻電流不容易通過(guò)電容元件。直流電的頻率為零，則容抗趨于無(wú)窮大，電容器相當(dāng)于開(kāi)路

10(二)大小關(guān)系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過(guò)數(shù)學(xué)分(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)

電壓相量

＝U∠00

則電流相量

=ωCU∠900

又

j=1∠900；－j＝1∠－900

所以

=/jωC＝－j/ωC＝－jXc上式既反映了電容元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關(guān)系，而且表示出了電壓和電流之間的相位關(guān)系，稱為電容元件伏安特性的相量形式。其相量圖如圖2—18(c)所示。11(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)11二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率

P＝ui＝Umsinωt×Imsin(ωt+900)=UIsin2ωt它也是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律變化的，其變化曲線如圖2—19所示。顯然，在一個(gè)周期內(nèi)，瞬時(shí)功率交變二次，它的這一特點(diǎn)也可以通過(guò)能量互換的物理過(guò)程說(shuō)明如下。在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電容在電源作用下進(jìn)行充電，u、i的實(shí)際方向相同，瞬時(shí)功率p為正值，表示電源以充電方式輸送電能，電容將吸收的電能轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。在第二個(gè)1／4周期內(nèi)，電容放電，u、i的實(shí)際方向相反，瞬時(shí)功率P為負(fù)值，表示電容將已儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量轉(zhuǎn)換成電能歸還給電源。第三和第四個(gè)1／4周期與第一和第二個(gè)1／4周期相似，不過(guò)充放電方向與上述方向相反罷了。上述分析說(shuō)明電容元件電路中也只有電場(chǎng)能量與電源能量之間的相互轉(zhuǎn)換。面沒(méi)有能量的消耗。12二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率P＝ui＝Umsinωt×I

(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時(shí)功率戶的變化曲線可得出純電容電路中平均功率也等于零，

即

P＝0這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步說(shuō)明純電容電路不消耗電能，只與電源進(jìn)行能量交換。(三)無(wú)功功率與電感元件交流電路相似，電容元件交流電路中瞬時(shí)功率的最大值稱為電容性無(wú)功功率，用符號(hào)Qc表示，即

Qc=UI=I2Xc=U2/XCQc的單位也是乏(var)。13(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時(shí)功率戶的變化§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍夫第一定律的內(nèi)容為：任一瞬間，流過(guò)電路中任一節(jié)點(diǎn)(或閉合面)的各電流瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零，即

∑i＝0可以證明，它的相量形式為

∑＝0上式表明：在正弦交流電路中，流入(或流出)任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。同樣，在正弦交流電路中，基爾霍夫第二定律的內(nèi)容為：任一瞬間，沿電路任一回路中各段電壓瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零，即∑u＝0也可以證明，它的相量形式為

∑=0上式表明：在正弦交流電路中，環(huán)繞任一閉合電路各部分電壓相量的代數(shù)和等于零。在分析正弦交流電路時(shí)，我們可以運(yùn)用基爾霍夫定律的相量形式列出相應(yīng)的相量方程，進(jìn)行相量代數(shù)和的運(yùn)算，比進(jìn)行正弦量代數(shù)和的運(yùn)算要簡(jiǎn)便得多。14§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍例2—11圖2—20，所示電路中，已知

＝5∠35.10A，＝24∠00V，R＝8Ω，求容抗Xc。解

由相量形式的基爾霍夫電流定律有

s－R－c＝0上式中，由于s＝5∠35.10A，R＝24∠00/8＝3∠00A，則

C＝S－R＝5∠35.1―3∠00A＝3+j4－3＝j(luò)4(A)因此XC＝/－j＝24∠00/－j(j4)＝6Ω

例2—12電路如圖2—21所示。已知s＝220∠00V，R＝110∠－600V，R＝280Ω，求感抗XL。

解

由相量形式的基爾霍夫電壓定律有

R十L－S＝0

L

＝S

－R＝220∠00V－110∠－600V

＝165－j98＝189.4∠300(V)

因?yàn)?/p>

＝R/R＝110∠－600/280＝0.393∠－600(A)

所以

XL＝L/j＝

189.4∠300/j0.393∠－600

＝482(Ω)s－R－c

s－R－c

15例2—11圖2—20，所示電路中，已知＝5∠35.§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)所示。一般已知電源電壓u及參數(shù)R、L、C，求電流I。根據(jù)相量形式的電壓定律及元件的電壓電流之間的相量關(guān)系，可得出

＝R+L十C＝R+jXL－jXC

＝

[(R+j（XL－XC

）＝Z上式稱為相量形式的歐姆定律。式中的Z＝R+j(XL－Xc)反映了RLC串聯(lián)電路對(duì)正弦電流的阻礙作用。它概括了前述電阻、感抗及容抗的性質(zhì)。它是一個(gè)復(fù)數(shù)，故稱為復(fù)阻抗。為了方便作圖，在串聯(lián)電路中一般選電流I作為參考相量，設(shè)XL>Xc，便可畫(huà)出RLC串聯(lián)電路的相量圖，如圖

(b)。圖中，R為電阻端電壓相量，它與電流I同相；L為電感端電壓相量，它超前電流

900；c為電容端電壓相量，它滯后電流

900。由圖可見(jiàn)，L與c反相，它們的相量和為

x＝L+c稱為電抗端電壓相量。

16§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)顯然，R

、x和構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它們分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊，如圖

(a)所示，由圖可得

U＝上式表明：總電壓有效值不等于各分電壓有效值之和。這是交流串聯(lián)電路與直流串聯(lián)電路的區(qū)別。將電壓三角形各邊除以電流I，可得到阻抗三角形，見(jiàn)圖2—23(b)。顯然/Z/＝√R2+X2，這便是復(fù)阻抗的模，而其夾角為

φ＝arctgX/R。圖2—22(c)和(d)中，分別繪出了XL＝Xc、XL<Xc兩種情況下電壓和電流的相量圖。

實(shí)際上，交流電路中電壓與電流的關(guān)系(大小和相位)有一定的規(guī)律性，是容易掌握的。現(xiàn)將前面幾節(jié)討論過(guò)的幾種正弦交流電路中電壓，與電流的關(guān)系列入表2—1中，以幫助總結(jié)和記憶。圖2-23電壓和阻抗三角形

(a)電壓三角形；(b)阻抗三角形

17顯然，R、x和構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它們分別為直角三角表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關(guān)系18表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關(guān)系18

§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時(shí)功率、有功功率和功率因數(shù)

在正弦交流電路中，設(shè)電流和電壓瞬時(shí)值分別為

i＝Imsinωt；

u＝Umsin(ωt+φ)則任一無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)[見(jiàn)圖2—24(a)]，在任一時(shí)刻的瞬時(shí)功率為

p＝ui＝Umsin(ωt+φ)×Imsinωt＝1/2UmIm[cosφ－cos(2ωt+φ)]＝UIcosφ－UIcos(2ωt+φ)

上式表明，瞬時(shí)功率包含一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的恒定分量UIcosφ和一個(gè)正弦分量UIcos(2ωt+φ)，后者是以二倍電源頻率隨肘間變化的。u、i和p的變化曲線如圖2—24(b)所示。由圖可見(jiàn)，瞬時(shí)功率p有正有負(fù)，即有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)。當(dāng)p>o時(shí)，表示電路吸收功率；當(dāng)p∠0時(shí)，表示電路放出功率。這一現(xiàn)象表明，電路中存在儲(chǔ)能元件，即電路與電源之間存在著能量交換。同時(shí)，由于曲線中的正值部分大于負(fù)值部分，說(shuō)明電路中還存在耗能元件。

19§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時(shí)功率、有功功率如前所述在實(shí)際工程中，一般關(guān)心的不是瞬時(shí)功率本身，而是它在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，即平均功率P，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算可得出一般正弦電流電路中的平均功率為

P＝UIcosφ(2—24)顯然，這也就是電路瞬時(shí)功率p中的恒定分量。由此可知，交流電路中的平均功率不僅和電壓及電流的有效值有關(guān)，而且還和它們之間的相位差角的余弦cosφ成正比。式(2—24)中的cosφ稱為電路的功率因數(shù)。它表示平均功率p在乘積UI上打的折扣。相位差角又稱為功率因數(shù)角。由于φ角取決于電路的參數(shù)和頻率，因此功率因數(shù)的大小也取決于電路的參數(shù)和頻率。20如前所述在實(shí)際工程中，一般關(guān)心的不是瞬時(shí)功率本身，而是它在一對(duì)電阻元件而言，因?yàn)閡、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ=1，所以P=UI，這說(shuō)明電阻元件總是消耗能量。對(duì)電感或電容元件而言，因?yàn)橄辔徊罱铅眨健?00即cosφ＝0，所以P＝0，說(shuō)明它們只儲(chǔ)存能量，而不消耗能量。一般電路的功率因數(shù)在0～1之間，即0≤cosφ≤1，所以平均功率P一般小于或等于乘積UI。由圖2—23的電壓和阻抗三角形可知，功率因數(shù)

COSφ＝UR/U＝R/

因此，式(2-24)可寫(xiě)成如下兩種形式

P＝UIcosφ＝UIUR／U＝URI或

P=UIR/=I2R可見(jiàn)，平均功率等于電阻元件上的電壓有效值與電流有效值的乘積。它是真正被電阻消耗的功率，這也就是稱它為有功功率的理由。

21對(duì)電阻元件而言，因?yàn)閡、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ二、無(wú)功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源之間的能量交換，在交流電路中采用了無(wú)功功率的概念，它是與有功功率相對(duì)應(yīng)而得名的。一般正弦交流電路中，無(wú)功功率定義為

Q＝Ulsinφ(2—25)

顯然，無(wú)功功率的量綱與有功功率相同。如前所述，為了區(qū)別，將無(wú)功功率的單位取為無(wú)功伏安，簡(jiǎn)稱乏(var)。電路的無(wú)功功率是由儲(chǔ)能元件引起的。在感性電路中，φ>0，Q>O；而在容性電路中，φ<0，Q<O。所以，根據(jù)電路的不同性質(zhì)，將無(wú)功功率區(qū)分為正值無(wú)功(感性)和負(fù)值無(wú)功(容性)。在電感和電容元件中，由于φ＝±900，由式(2－24)可以得到瞬時(shí)功率

p＝UIcos(±900)－UIcos[2ωt+(±900)]＝UIsin2ωt還可以由式(2—25)看到

Q＝UIsin(±900)＝±UI22二、無(wú)功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源這一結(jié)論，與電感或電容元件電路中得出的結(jié)論完全相同。習(xí)慣上，把無(wú)功功率視為能夠“消耗”或“產(chǎn)生”的，并且視電感為消耗無(wú)功功率，而視電容為產(chǎn)生無(wú)功功率。這是因?yàn)閷?shí)際中感性負(fù)載較多，它們的電流滯后于電壓，故規(guī)定感性負(fù)載吸收正無(wú)功功率，或稱消耗無(wú)功功率，而在電容元件或容性電路中，電流超前于電壓，相對(duì)于感性無(wú)功功率而言，稱它為吸收負(fù)的無(wú)功功率，或稱產(chǎn)生無(wú)功功率。電抗元件中瞬時(shí)功率的平均值為零，這說(shuō)明它們不消耗有功功率，只儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量或電場(chǎng)能量，并且以二倍電源頻率與電源進(jìn)行交換。在電阻元件中，由于φ＝0，因此無(wú)功功率Q＝0。無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的電壓有效值與電流有效值之乘積，我們稱它為視在功率，用符號(hào)S表示；即

S＝UI(2－26)為了區(qū)別，視在功率的單位不用瓦(W)或乏(var)，而采用伏安(VA)。由式(2－24)和(2－26)可得出：功率因數(shù)cosφ等于有功功率與視在功率之比；即

COSφ＝P/UI＝P/S23這一結(jié)論，與電感或電容元件電路中得出的結(jié)論完全相同。習(xí)慣上，交流電氣設(shè)備的容量通常用額定視在功率來(lái)表示；在使用中電壓和電流不能超過(guò)其額定值，即輸出功率不能超過(guò)其額定容量。交流電源實(shí)際發(fā)出的功率與功率因數(shù)有關(guān)，cosφ愈大，發(fā)出的有功功率愈多，當(dāng)cosφ=1時(shí)，輸出的有功功率等于其額定容量，即p＝SN＝

UNIN。分析有功、無(wú)功、視在功率三者之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)將電壓三角形三邊分別乘以I便得到與其相似的直角三角形，稱為功率三角形。我們把電壓、阻抗和功率三個(gè)三角形畫(huà)在同一圖中，如圖2—25所示。由于阻抗和功率均不是正弦量，因此圖中沒(méi)有畫(huà)成相量(即不畫(huà)箭頭)。由圖2—25可知，P、Q、S三者之間的關(guān)系是S＝√P2+Q2功率因數(shù)角

φ=arctgQ/P上式中的角有正、負(fù)之分。對(duì)于感性電路，在相位上電流滯后于電壓，Q>0，φ>o；而容性電路，電流超前于電壓，Q<0，φ<0。24交流電氣設(shè)備的容量通常用額定視在功率來(lái)表示；在使用中電壓和電§2—9功率因數(shù)的提高及簡(jiǎn)單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的意義

電力系統(tǒng)中，存在著大量的電感性負(fù)載。這些感性負(fù)載與電源設(shè)備進(jìn)行能量交換，從電源獲取大量感性無(wú)功功率。

由式

cosφ＝P/S＝P/√P2+Q2

可知，無(wú)功功率數(shù)值越大，功率因數(shù)cosφ就越低。低功率因數(shù)將會(huì)帶來(lái)下列不良后果：

(1)電源設(shè)備的利用率降低。一般電源設(shè)備都是根據(jù)額定電壓和額定電流設(shè)計(jì)的，其額定容量為

SN＝UNIN

在運(yùn)行中其工作電壓和工作電流不允許超過(guò)額定值。當(dāng)電源設(shè)備的額定容量一定時(shí)，根據(jù)

P＝UNINcosφ＝SNcosφ

可知，電源發(fā)出的有功功率正比于用戶的功率因數(shù)。例如，容量為1000kVA的發(fā)電機(jī)，當(dāng)用戶的功率因數(shù)cosφ＝0.9時(shí)，能輸出900kW的有功功率；而當(dāng)cosφ＝0.45時(shí)，僅能輸出450kW的有功功率。可見(jiàn)，同一臺(tái)發(fā)電機(jī)供電給不同功率因數(shù)的負(fù)載，輸出的有功功率是不

同的。上述發(fā)電機(jī)在cosφ＝0.9狀態(tài)下運(yùn)行輸出的有功功率為cosφ＝0.45狀態(tài)時(shí)的兩倍。這說(shuō)明，功率因數(shù)低，發(fā)電設(shè)備的利用率就低，而且與之配套的原動(dòng)機(jī)也不能充分利用，因而造成設(shè)備的浪費(fèi)。25§2—9功率因數(shù)的提高及簡(jiǎn)單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的(2)增加線路壓降和功率損耗。

用電設(shè)備在一定的功率和電壓下運(yùn)行時(shí)，由

I＝P/UCOSφ

可知，cosφ越低，取用的電流就越大。電流越大，供電線路的阻抗上引起的電壓降(為IlZl)和功率損耗(為I2R)越增加。功耗的增加，浪費(fèi)了電能；電壓降的增加，影響了供電質(zhì)量，如電壓太低負(fù)載將不能正常工作(如日光燈起動(dòng)不起來(lái)，電動(dòng)機(jī)不能正常運(yùn)行，電燈亮度不夠等)。

因此，為了充分利用發(fā)電設(shè)備的容量，提高供電質(zhì)量和節(jié)約電能,必須設(shè)法提高功率因數(shù)。

(3)以后要講到，同步發(fā)電機(jī)在端電壓一定的條件下，cosφ越高(指感性負(fù)載)，所需的勵(lì)磁電流越小，從而減輕勵(lì)磁裝置的負(fù)擔(dān)，并改善發(fā)電機(jī)的發(fā)熱狀況。26(2)增加線路壓降和功率損耗。用電設(shè)備在一定的功率和電壓下二.提高功率因數(shù)的方法(并聯(lián)電容補(bǔ)償電路)

線路功率因數(shù)低的原因是因?yàn)閷?shí)際中的大部分負(fù)載是感性負(fù)載，而它們的功率因數(shù)一

般約為0.5，甚至更低。提高功率因數(shù)的方法常用一電容元件與感性負(fù)載并聯(lián)，使從電源取用的無(wú)功功率減少。采用并聯(lián)的形式，是為了保證電感性負(fù)載的端電壓、電流和功率不受影

響。為什么并聯(lián)適量的電容器能提高功率因數(shù)呢?因?yàn)橐话汶姼行载?fù)載可用圖

(a)中的RL串聯(lián)支路表示。未并電容C時(shí)，它從電網(wǎng)吸取的電流，滯后于端電壓一個(gè)

φ角，見(jiàn)圖

(b)。并聯(lián)電容器C后，原電感性負(fù)載中的電流I1＝U/√R2+XL2和功率因數(shù)cosφ1=R／√R2+XL2保持不變。因?yàn)樗与妷汉拓?fù)載參數(shù)不變，但電容器從電網(wǎng)吸取容性電流c,c超前電壓900(視為理想元件)，所以使得I與U之間的相位差由φ1變?yōu)棣?由圖可見(jiàn)φ<φ1，所以cosφ＞cosφ1，即線路的功率因數(shù)提高了。

27二.提高功率因數(shù)的方法(并聯(lián)電容補(bǔ)償電路)線路功率因數(shù)低的這里我們所講的提高功率因數(shù)，是指提高電源或電網(wǎng)的功率因數(shù)，而不是指提高某個(gè)電感性負(fù)載的功率因數(shù)。

首先，在電感性負(fù)載上并聯(lián)了電容器后，減少了電源和負(fù)載之間的能量互換。這時(shí)電感性負(fù)載所需的無(wú)功功率，大部分或全部都是由電容器就地供給，就是說(shuō)能量的互換現(xiàn)在主要

或完全發(fā)生在電感性負(fù)載與電容器之間，因而使發(fā)電機(jī)容量能得到充分利用.

其次，由相量圖可見(jiàn)，并聯(lián)電容器以后線路電流也減小了(電流相量相加)，因而減少了功率損耗。應(yīng)該注意的是，并聯(lián)電容器以后有功功率并未改變，因?yàn)殡娙萜魇遣幌碾娔艿摹?/p>

功率因數(shù)提高到多少為宜，應(yīng)視需要而定，一般調(diào)整到0．8～0．95之間。若提高太大(例如cosφ＝1)，則會(huì)增加很多費(fèi)用(因?yàn)镃增加很多)，而線路電流減少并不明顯，不劃算。cosφ＝1時(shí)，電路發(fā)生并聯(lián)諧振現(xiàn)象。28這里我們所講的提高功率因數(shù)，是指提高電源或電網(wǎng)的功率因數(shù)，而§2－10電路中的諧振

一、串聯(lián)諧振

(一)諧振的條件及諧振頻率由圖2—28(a)所示RLC串聯(lián)電路中的電流

=／[R+j(ωL－1/ωC)]可知發(fā)生諧振的條件為

ωL＝1/ωC(或XL＝Xc或2πfL＝1／2πfC)由此可得諧振的頻率

f＝f0＝1／2π√LC諧振角頻率

ω0＝1／√LC

這就表明，當(dāng)電源頻率f、角頻率ω0與電路參數(shù)L和C之間滿足上述關(guān)系時(shí)，則發(fā)生諧振?？梢?jiàn)，只要調(diào)節(jié)L、C或電源頻率f就能使電路發(fā)生諧振。U、I的相量圖，見(jiàn)圖2—28(a)。29§2－10電路中的諧振

一、串聯(lián)諧振

(一)諧振的條件(二)串聯(lián)諧振的主要特征

(1)電路的阻抗lZl＝√R2+(XL—XC)2＝R，其值最小。因此，在電源電壓U不變的情況下，電路中的電流將在諧振時(shí)達(dá)到最大值，即I＝I0＝U／R在下圖中分別畫(huà)出了阻抗和電流等隨頻率變化的曲線。

(2)由于電源電壓與電路中電流同相(φ＝0)，因此電路對(duì)電源呈現(xiàn)電阻性。電源供給電路的能量全被電阻所消耗。電源與電路之間不

發(fā)生能量的互換，能量的互換只發(fā)生在電感線圈與電容器之間

30(二)串聯(lián)諧振的主要特征

(1)電路的阻抗lZl＝√R2+((3)由于XL＝Xc，于是UL＝Uc，而UL與Uc反相，互相抵消，對(duì)整個(gè)電路不起作用，因此

電源電壓U＝UR(圖2—28(b))。

但是，UL和Uc的單獨(dú)作用不容忽視，因?yàn)?/p>

UL＝IXL＝U×XL／R；

Uc＝IXc＝U×Xc／R可見(jiàn)，當(dāng)XL＝XC>R時(shí)，UL和Uc都高于電源電壓U。如果電壓過(guò)高時(shí)，可能會(huì)擊穿線圈和電容器的絕緣。因此，在電力工程中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。

因?yàn)榇?lián)諧振時(shí)，Uc和UL可能超過(guò)電源電壓許多倍，所以串聯(lián)諧振也稱電壓諧振。

Uc或UL與電源電壓U之比值，通常用Q來(lái)表示，即

Q＝Uc/U＝UL/U＝

XL/R＝

XC/R上式中的Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，常簡(jiǎn)稱Q值。顯然，Q是無(wú)量綱的。在上式中Q的意義是表示在諧振時(shí)電容或電感元件上的電壓是電源電壓的Q倍。例如，Q＝100，U＝6V，那么諧振時(shí)電容或電感元件上的電壓就高達(dá)600V。綜上所述，串聯(lián)諧振的特征是：電抗元件(L、C)上的電壓相互抵消，電路呈電阻性，亦

即電壓與電流同相，總阻抗值最小，總電流值最大。31(3)由于XL＝Xc，于是UL＝Uc，而UL與Uc反相，互相二、并聯(lián)諧振

(一)諧振的條件及諧振頻率

由圖2—30(a所示的RLC并聯(lián)電路中的電流

=[1/R－j(1/ωL－ωC]

可知發(fā)生諧振的條件為

1/ωL＝ωC(或XL＝Xc或2πfL＝1/2πfC)

由此可得諧振的角頻率為

ω0＝

1/√LC

諧振的頻率為

f＝f0＝1/2π√LC

可見(jiàn)，跟串聯(lián)諧振電路一樣，只要調(diào)節(jié)L、C或電源頻率f就能使電路發(fā)生諧振。、

的

相量圖見(jiàn)圖2—30(b)。32二、并聯(lián)諧振

(一)諧振的條件及諧振頻率

由圖2—3(二)并聯(lián)諧振具有下列特征

(1)諧振時(shí)電路的阻抗值最大，即比非諧振情況下的阻抗要大。因此在電源電壓U一定的情況下，電路中的電流I在諧振時(shí)最小。阻抗與電流的諧振曲線如圖2—31所示。

(2)由于電源電壓與電路中的電流同相(φ＝0)，因此，電路對(duì)電源呈電阻性。諧振時(shí)電路的阻抗也相當(dāng)于一個(gè)電阻。33(二)并聯(lián)諧振具有下列特征

(1)諧振時(shí)電路的阻抗值最大，即(3)在諧振時(shí)，并聯(lián)電路的各支路電流近乎相等，但都比總電流大許多倍。因此，并聯(lián)諧振也稱電流諧振。

IC和IL與總電流I之比為電路的品質(zhì)因數(shù)，即

Q＝Ic／I=IL/R=ω0L/R=1/ω0CR即在諧振時(shí)，支路電流IC、或IL是總電流I的Q倍，也就是諧振時(shí)電路的總阻抗為支路阻抗的Q倍。這種現(xiàn)象在直流電路中是不會(huì)發(fā)生的。因?yàn)橹绷麟娐分?，并?lián)電路的等效電阻一定小于任何一個(gè)支路的電阻，而總電流一定大于支路電流。

并聯(lián)諧振在無(wú)線電工程和工業(yè)電子技術(shù)中也常應(yīng)用。例如利用并聯(lián)諧振時(shí)阻抗高的特點(diǎn)，來(lái)選擇信號(hào)或消除干擾。34(3)在諧振時(shí)，并聯(lián)電路的各支路電流近乎相等，但都比總電流大小結(jié)

1.設(shè)正弦電流的最大值或幅值為Im。，角頻率為ω，初相位角為ψ，當(dāng)確定了參考方向時(shí)，正弦電流的一般表達(dá)式為

i＝Imsin(ωt+ψ)上式中的Im、ω、ψ為正弦量的三要素。角頻率ω與頻率f、周期T的關(guān)系為

ω＝2πf＝2π/Tf＝1/T2．交流電的有效值為其瞬時(shí)值的均方根值。就正弦交流電而言，有效值等于最大值的

1／，以電流為例

I＝Im/＝0.707Im

3．兩個(gè)同頻率的正弦交流電的初相位角之差，稱為相位差，用符號(hào)φ表示。初相位角與所選定的計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，但兩同頻率正弦量之間的相位差是不隨所選計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變的。若兩正弦電壓u1和u2的初相位分別為ψ1和ψ2，則當(dāng)它們之間的相位差

φ＝ψ1－ψ2＝0時(shí)，稱它們同相；φ＝土1800時(shí)，稱它們反相；φ＝土900時(shí)，稱它們正交；φ>00時(shí)，稱u1超前于u2一個(gè)φ中角；φ<00時(shí)，稱稱u1滯后于u2一個(gè)φ角。35小結(jié)

1.設(shè)正弦電流的最大值或幅值為Im。，角

4．相量法是分析計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的重要方法，它的理論依據(jù)是正弦量可以表示成相量。例如，正弦電流

i＝Imsin(ωt十ψ)的最大值相量為

m=Imejψ＝

Im∠ψi

有效值相量為＝Im／＝Iejψ＝Im∠ψ

相量也就是表示正弦量的復(fù)數(shù)，其模為正弦量的有效值，其幅角為正弦量的初相位。364．相量法是分析計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的重要方法，它的理論依據(jù)是5．理想電路元件R、L、C是交流電路的三種基本參數(shù)。這三種元件以及由它們組成的典型正弦交流電路的基本關(guān)系式，見(jiàn)教材表2—1。

6．對(duì)于RLC串聯(lián)電路，其復(fù)阻抗為

Z＝R+j(XL—XC)＝R十jX＝

ejφ

式中

＝

φ＝arctgX/R

而且

R＝

cosφX＝

sinφ

復(fù)阻抗的模簡(jiǎn)稱阻抗；φ為u與i之間的相位差角?？偞嬖诟锌筙L＝ωL>o，容抗Xc＝1/ωc>0。當(dāng)XL>Xc，即等效電抗X=XL—Xc>0，φ>0‘時(shí)，g超前j，電路呈電感性，當(dāng)

XL<Xc，即X<0，φ<00時(shí)，u滯后i，電路呈電容性；當(dāng)XL＝Xc，即X=0，φ＝00時(shí)，電路發(fā)生諧振，即呈電阻性。375．理想電路元件R、L、C是交流電路的三種基本參數(shù)。這三種元9．若一段電路的端電壓u和電流i分別為

u＝Umsin(ωt+φ)i＝Imsinωt

而且u、i取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，電路吸收的有功功率、無(wú)功功率和視在功率分別為

P＝UIcosφQ＝UlsinφS＝UI功率因數(shù)為

cosφ=P/S10．對(duì)于電感性負(fù)載，可以采用在其兩端并聯(lián)電容器的方法來(lái)提高功率因數(shù)，理由是超前的容性無(wú)功電流補(bǔ)償負(fù)載中滯后的感性無(wú)功電流，減小了總電流的無(wú)功分量。

11．對(duì)于含有元件上和C的電路，當(dāng)電抗或電納等于零，即u與i同相時(shí)，電路發(fā)生諧振。諧振電路的特點(diǎn)是：等效電抗或等效電納等于零；電路呈電阻性；對(duì)不同頻率的信號(hào)具有選擇性；諧振曲線的形狀受到品質(zhì)因數(shù)的影響+串聯(lián)諧振時(shí)，電路的阻抗最小，電流最大；并聯(lián)諧振時(shí)，電路的阻抗最大，電流最小。389．若一段電路的端電壓u和電流i分別為3839394040

4141

u＝L△i/△t在第一個(gè)1／4周期(00～900)內(nèi)，電流由零值增加到最大值，此期間電流的變化率△i/△t>0，u為正值，即其實(shí)際方向與參考方向相同。而且，起始瞬間，△i/△t為最大，逐漸變化到△i/△t＝0，所以電壓由正最大值逐漸減小到零。

在第二個(gè)1／4周期(900～1800)內(nèi)，電流由正最大值減小到零值，此期間電流的變化率△i/△t<0，u為負(fù)值，即其實(shí)際方向與參考方向相反。而且，△i/△t從零逐漸變化到負(fù)最大值，以電壓由零逐漸反方向增加到負(fù)最大值。

在第三個(gè)1／4周期(1800～2700)內(nèi)，電流從零變化到負(fù)最大值，此期間電流的變化率仍為負(fù)值，而且電流變化率由負(fù)最大值變化到零，所以電壓亦由負(fù)最大值變化到零。

在第四個(gè)1／4周期(2700～3600)內(nèi)，電流由負(fù)最大值變化到零，此期間電流的變化率△i/△t>0，且變化率由零變化到正最大值，所以電壓也從零變化到正最大值。42

歸納上述的討論可知；由于任一瞬時(shí)電感元件上的電壓u正比于電流的變化率△i/△t，因此在相位上電感電壓超前電流900，即u比i早1／4周期達(dá)到最大值或零值。

電感元件上u、i的波形，如圖(b)所示。顯然，電感元件上的電壓和電流為同頻率的正弦量。

(二)大小關(guān)系

將式(2—13)的正弦電流代入式(2—14)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算可得到電感電壓的表達(dá)式為

u=ωLImcosωt=Umsin(ωt+900)

由此可得，電感電壓與電流的大小關(guān)系為

ωLIm＝Um

所以

ωL=Um/Im=U/I(2—15)上式中的ωL稱為感抗，用符號(hào)XL表示，即

XL=ωL＝2πfL(2—16)

它表示電感元件對(duì)交流電的阻礙作用。若頻率f的單位用赫(Hz)，電感L的單位用亨(H)，則感抗XL的單位為歐(Ω)。雖然XL與電阻R類似，但R表示電能的消耗，而XL表示磁場(chǎng)能量的儲(chǔ)存。43歸納上述的討論可知；由于任一瞬時(shí)電感元件上的電壓u正比于電流

將式(2—16)代入式(2—15)有

XL＝U/I

這就是電感元件上電壓和電流之間的有效值關(guān)系，形式上仍與直流電路中巳學(xué)過(guò)的歐姆定律相同。

由式(2—16)可知，感抗正比于電源的頻率，頻率越高，感抗越大。因?yàn)橹绷麟姷念l率為零，所以在直流電路中，感抗為零，故電感對(duì)直流電(穩(wěn)態(tài))不呈現(xiàn)阻礙作用，相當(dāng)于短路。

感抗只有在交流電路中才具有意義。因?yàn)橐话憬涣麟娐分须妷汉碗娏鞯南辔徊煌?，所以感抗不能表示為電壓瞬時(shí)值和電流瞬時(shí)值之比，而只能表示成電壓和電流的有效值或最大值之比。這也就是電感元件交流電路與電阻元件交流電路的區(qū)別。44將式(2—16)代入式(2—15)有XL＝U/I3(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)電流相量為

＝I∠00則電壓相量為

＝XL∠900又

1∠900＝ej900＝cos900+jsin900＝j(luò)所以

＝j(luò)XL＝j(luò)ωL這是一個(gè)非常有用的公式，它既反映了電感元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關(guān)系，而且反映出了電壓和電流之間的相位關(guān)系，稱為電感元件伏安特程的相量形式。

電感元件上電壓和電流的相量圖，如圖2—16(c)所示。45(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)4二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率

將u、i的表達(dá)式代入瞬時(shí)功率表達(dá)式，可得到電感元件吸收的瞬時(shí)功率為P＝ui＝Umsin(ωt+900)·Imsinωt＝UIsin2ωt顯然，瞬時(shí)功率P是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律交變的，其變化曲線如圖所示。在一個(gè)周期內(nèi)，瞬時(shí)功率交變二次。這一特點(diǎn)可以通過(guò)能量轉(zhuǎn)換的物理過(guò)程說(shuō)明如下：46二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率

將u、i的表達(dá)式代入瞬在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電流由零值開(kāi)始上升，電感元件從電源吸取電能轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。在此期間，u、i的實(shí)際方向相同，瞬時(shí)功率P>0。

在第二個(gè)1／4周期內(nèi)，電流由正最大值逐漸減小，原儲(chǔ)存在電感元件中的磁場(chǎng)能量轉(zhuǎn)換成電能釋放出來(lái)，歸還給電源，在此期間，u,i的實(shí)際方向相反，瞬時(shí)功率P<0。

在第三和第四個(gè)1／4周期內(nèi)，其情形與第一和第二個(gè)1／4周期的情況相似，雖然此期間電流反向，但磁場(chǎng)能量正比于電流i的平方，即它與電流的方向(即數(shù)值的正、負(fù))無(wú)關(guān)。上述分析說(shuō)明電感元件電路中只有磁場(chǎng)能量與電源能量之間的相互交換，而沒(méi)有能量的消耗。47在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電流由零值開(kāi)始上升，電感元件從電源吸取(二)平均功率

由瞬時(shí)功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路的平均功率為P=0這一結(jié)論也可以由數(shù)學(xué)分析得到。顯然，純電感電路中，平均功率等于零。進(jìn)一步說(shuō)明電感元件不消耗電能，而只與電源進(jìn)行能量交換。

(三)無(wú)功功率

電感元件與電源之間的能量交換，表現(xiàn)為瞬時(shí)功率隨時(shí)間以二倍電源頻率交變，但其平均功率又等于零，為了反映這種能量交換的規(guī)模，電工技術(shù)中將電感元件上的瞬時(shí)功率的最大值(即乘積UI)定義為無(wú)功功率，用符號(hào)QL表示，即

QL=UI＝I2XL

＝U2/XL它也具有功率的單位。為區(qū)別起見(jiàn)，將無(wú)功功率的單位取為無(wú)功伏安，簡(jiǎn)稱乏(var)。QL表示了電感元件與電源之間進(jìn)行能量互換的最大速率。48(二)平均功率

由瞬時(shí)功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關(guān)系

(一)相位關(guān)系純電容電路，如圖

(a)所示。選取u、i的參考方向示于圖中。設(shè)電源電壓為

u=Umsinωt

由于外加電壓u隨時(shí)間不斷地變化，電容元件將不斷地充、放電，電路中便不斷地有電流通過(guò)，因此我們說(shuō)交流電可以通過(guò)電容元件。而且，電容元件的端電壓與電流之間也存在著相位差。

圖2-18電容元件上電壓與電流的關(guān)系

(a)電路圖，(b)波形圖，(c)相量圖49§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關(guān)系由于電容C＝Q／u，Q＝It，對(duì)于交變量則有C=△q/△u，△q＝i△u，因此，在△t時(shí)間內(nèi)，電容電流的表達(dá)式為

i=△q/△t＝C△u/△t上式表明，任一瞬間電容元件中的電流i正比于其端電壓的變化率

△u/△t，而不是正比于電壓u,與電感元件電路的分析方法類似，當(dāng)u從零增加的瞬時(shí)，電壓的變化率△u/△t最大，電流i也最大。當(dāng)△u/△t>0時(shí)，i>o，其實(shí)際方向與參考方向相同。當(dāng)u到達(dá)正最大值時(shí),△u/△t＝0，i=0；當(dāng)u從正最大值減小時(shí)，

△u/△t<0，i<0，其實(shí)際方向與參考方向相反。綜上所述，電容元件上的電流超前其端電壓900，即電流i比電壓u早1／4周期到達(dá)最大值或零值，相位關(guān)系與電感元件電路的情況恰好相反。u、i的變化曲線如圖2—18(b)所示。由圖可見(jiàn)，電壓和電流也是同頻率的正弦量。50由于電容C＝Q／u，Q＝It，對(duì)于交變量則有C=△q/△u

(二)大小關(guān)系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過(guò)數(shù)學(xué)分析可以得到電容電流的表達(dá)式為

i＝ωCUmcosωt＝Imsin(ωt+900)由此可得出電容元件上電壓與電流之間的大小關(guān)系為

ωCUm=Im則

=Um/Im=U/I上式中，稱為容抗，用符號(hào)Xc表示，即

Xc==1/（2πfC）

它表示電容元件對(duì)交流電的阻礙作用。若頻率f的單位為赫，電容C的單位為法，則容抗Xc的單位為歐。Xc=U/I這就是電容元件上電壓和電流之間的有效值關(guān)系。容抗Xc的大小與電容C和頻率f成反比。頻率f越高，電容C充放電進(jìn)行得越快，在同樣的電壓下單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的電荷越多，電流越大，即容抗越?。浑娙軨越大，則容納電荷越多，同樣地電流越大，即容抗越小。而頻率越低，Xc越大，即低頻電流不容易通過(guò)電容元件。直流電的頻率為零，則容抗趨于無(wú)窮大，電容器相當(dāng)于開(kāi)路

51(二)大小關(guān)系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過(guò)數(shù)學(xué)分(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)

電壓相量

＝U∠00

則電流相量

=ωCU∠900

又

j=1∠900；－j＝1∠－900

所以

=/jωC＝－j/ωC＝－jXc上式既反映了電容元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關(guān)系，而且表示出了電壓和電流之間的相位關(guān)系，稱為電容元件伏安特性的相量形式。其相量圖如圖2—18(c)所示。52(三)相量形式

若用相量表示，設(shè)11二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率

P＝ui＝Umsinωt×Imsin(ωt+900)=UIsin2ωt它也是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律變化的，其變化曲線如圖2—19所示。顯然，在一個(gè)周期內(nèi)，瞬時(shí)功率交變二次，它的這一特點(diǎn)也可以通過(guò)能量互換的物理過(guò)程說(shuō)明如下。在第一個(gè)1／4周期內(nèi)，電容在電源作用下進(jìn)行充電，u、i的實(shí)際方向相同，瞬時(shí)功率p為正值，表示電源以充電方式輸送電能，電容將吸收的電能轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。在第二個(gè)1／4周期內(nèi)，電容放電，u、i的實(shí)際方向相反，瞬時(shí)功率P為負(fù)值，表示電容將已儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量轉(zhuǎn)換成電能歸還給電源。第三和第四個(gè)1／4周期與第一和第二個(gè)1／4周期相似，不過(guò)充放電方向與上述方向相反罷了。上述分析說(shuō)明電容元件電路中也只有電場(chǎng)能量與電源能量之間的相互轉(zhuǎn)換。面沒(méi)有能量的消耗。53二、功率關(guān)系

(一)瞬時(shí)功率P＝ui＝Umsinωt×I

(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時(shí)功率戶的變化曲線可得出純電容電路中平均功率也等于零，

即

P＝0這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步說(shuō)明純電容電路不消耗電能，只與電源進(jìn)行能量交換。(三)無(wú)功功率與電感元件交流電路相似，電容元件交流電路中瞬時(shí)功率的最大值稱為電容性無(wú)功功率，用符號(hào)Qc表示，即

Qc=UI=I2Xc=U2/XCQc的單位也是乏(var)。54(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時(shí)功率戶的變化§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍夫第一定律的內(nèi)容為：任一瞬間，流過(guò)電路中任一節(jié)點(diǎn)(或閉合面)的各電流瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零，即

∑i＝0可以證明，它的相量形式為

∑＝0上式表明：在正弦交流電路中，流入(或流出)任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。同樣，在正弦交流電路中，基爾霍夫第二定律的內(nèi)容為：任一瞬間，沿電路任一回路中各段電壓瞬時(shí)值的代數(shù)和等于零，即∑u＝0也可以證明，它的相量形式為

∑=0上式表明：在正弦交流電路中，環(huán)繞任一閉合電路各部分電壓相量的代數(shù)和等于零。在分析正弦交流電路時(shí)，我們可以運(yùn)用基爾霍夫定律的相量形式列出相應(yīng)的相量方程，進(jìn)行相量代數(shù)和的運(yùn)算，比進(jìn)行正弦量代數(shù)和的運(yùn)算要簡(jiǎn)便得多。55§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍例2—11圖2—20，所示電路中，已知

＝5∠35.10A，＝24∠00V，R＝8Ω，求容抗Xc。解

由相量形式的基爾霍夫電流定律有

s－R－c＝0上式中，由于s＝5∠35.10A，R＝24∠00/8＝3∠00A，則

C＝S－R＝5∠35.1―3∠00A＝3+j4－3＝j(luò)4(A)因此XC＝/－j＝24∠00/－j(j4)＝6Ω

例2—12電路如圖2—21所示。已知s＝220∠00V，R＝110∠－600V，R＝280Ω，求感抗XL。

解

由相量形式的基爾霍夫電壓定律有

R十L－S＝0

L

＝S

－R＝220∠00V－110∠－600V

＝165－j98＝189.4∠300(V)

因?yàn)?/p>

＝R/R＝110∠－600/280＝0.393∠－600(A)

所以

XL＝L/j＝

189.4∠300/j0.393∠－600

＝482(Ω)s－R－c

s－R－c

56例2—11圖2—20，所示電路中，已知＝5∠35.§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)所示。一般已知電源電壓u及參數(shù)R、L、C，求電流I。根據(jù)相量形式的電壓定律及元件的電壓電流之間的相量關(guān)系，可得出

＝R+L十C＝R+jXL－jXC

＝

[(R+j（XL－XC

）＝Z上式稱為相量形式的歐姆定律。式中的Z＝R+j(XL－Xc)反映了RLC串聯(lián)電路對(duì)正弦電流的阻礙作用。它概括了前述電阻、感抗及容抗的性質(zhì)。它是一個(gè)復(fù)數(shù)，故稱為復(fù)阻抗。為了方便作圖，在串聯(lián)電路中一般選電流I作為參考相量，設(shè)XL>Xc，便可畫(huà)出RLC串聯(lián)電路的相量圖，如圖

(b)。圖中，R為電阻端電壓相量，它與電流I同相；L為電感端電壓相量，它超前電流

900；c為電容端電壓相量，它滯后電流

900。由圖可見(jiàn)，L與c反相，它們的相量和為

x＝L+c稱為電抗端電壓相量。

57§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)顯然，R

、x和構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它們分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊，如圖

(a)所示，由圖可得

U＝上式表明：總電壓有效值不等于各分電壓有效值之和。這是交流串聯(lián)電路與直流串聯(lián)電路的區(qū)別。將電壓三角形各邊除以電流I，可得到阻抗三角形，見(jiàn)圖2—23(b)。顯然/Z/＝√R2+X2，這便是復(fù)阻抗的模，而其夾角為

φ＝arctgX/R。圖2—22(c)和(d)中，分別繪出了XL＝Xc、XL<Xc兩種情況下電壓和電流的相量圖。

實(shí)際上，交流電路中電壓與電流的關(guān)系(大小和相位)有一定的規(guī)律性，是容易掌握的。現(xiàn)將前面幾節(jié)討論過(guò)的幾種正弦交流電路中電壓，與電流的關(guān)系列入表2—1中，以幫助總結(jié)和記憶。圖2-23電壓和阻抗三角形

(a)電壓三角形；(b)阻抗三角形

58顯然，R、x和構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它們分別為直角三角表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關(guān)系59表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關(guān)系18

§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時(shí)功率、有功功率和功率因數(shù)

在正弦交流電路中，設(shè)電流和電壓瞬時(shí)值分別為

i＝Imsinωt；

u＝Umsin(ωt+φ)則任一無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)[見(jiàn)圖2—24(a)]，在任一時(shí)刻的瞬時(shí)功率為

p＝ui＝Umsin(ωt+φ)×Imsinωt＝1/2UmIm[cosφ－cos(2ωt+φ)]＝UIcosφ－UIcos(2ωt+φ)

上式表明，瞬時(shí)功率包含一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的恒定分量UIcosφ和一個(gè)正弦分量UIcos(2ωt+φ)，后者是以二倍電源頻率隨肘間變化的。u、i和p的變化曲線如圖2—24(b)所示。由圖可見(jiàn)，瞬時(shí)功率p有正有負(fù)，即有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)。當(dāng)p>o時(shí)，表示電路吸收功率；當(dāng)p∠0時(shí)，表示電路放出功率。這一現(xiàn)象表明，電路中存在儲(chǔ)能元件，即電路與電源之間存在著能量交換。同時(shí)，由于曲線中的正值部分大于負(fù)值部分，說(shuō)明電路中還存在耗能元件。

60§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時(shí)功率、有功功率如前所述在實(shí)際工程中，一般關(guān)心的不是瞬時(shí)功率本身，而是它在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，即平均功率P，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算可得出一般正弦電流電路中的平均功率為

P＝UIcosφ(2—24)顯然，這也就是電路瞬時(shí)功率p中的恒定分量。由此可知，交流電路中的平均功率不僅和電壓及電流的有效值有關(guān)，而且還和它們之間的相位差角的余弦cosφ成正比。式(2—24)中的cosφ稱為電路的功率因數(shù)。它表示平均功率p在乘積UI上打的折扣。相位差角又稱為功率因數(shù)角。由于φ角取決于電路的參數(shù)和頻率，因此功率因數(shù)的大小也取決于電路的參數(shù)和頻率。61如前所述在實(shí)際工程中，一般關(guān)心的不是瞬時(shí)功率本身，而是它在一對(duì)電阻元件而言，因?yàn)閡、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ=1，所以P=UI，這說(shuō)明電阻元件總是消耗能量。對(duì)電感或電容元件而言，因?yàn)橄辔徊罱铅眨健?00即cosφ＝0，所以P＝0，說(shuō)明它們只儲(chǔ)存能量，而不消耗能量。一般電路的功率因數(shù)在0～1之間，即0≤cosφ≤1，所以平均功率P一般小于或等于乘積UI。由圖2—23的電壓和阻抗三角形可知，功率因數(shù)

COSφ＝UR/U＝R/

因此，式(2-24)可寫(xiě)成如下兩種形式

P＝UIcosφ＝UIUR／U＝URI或

P=UIR/=I2R可見(jiàn)，平均功率等于電阻元件上的電壓有效值與電流有效值的乘積。它是真正被電阻消耗的功率，這也就是稱它為有功功率的理由。

62對(duì)電阻元件而言，因?yàn)閡、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ二、無(wú)功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源之間的能量交換，在交流電路中采用了無(wú)功功率的概念，它是與有功功率相對(duì)應(yīng)而得名的。一般正弦交流電路中，無(wú)功功率定義為

Q＝Ulsinφ(2—25)

顯然，無(wú)功功率的量綱與有功功率相同。如前所述，為了區(qū)別，將無(wú)功功率的單位取為無(wú)功伏安，簡(jiǎn)稱乏(var)。電路的無(wú)功功率是由儲(chǔ)能元件引起的。在感性電路中，φ>0，Q>O；而在容性電路中，φ<0，Q<O。所以，根據(jù)電路的不同性質(zhì)，將無(wú)功功率區(qū)分為正值無(wú)功(感性)和負(fù)值無(wú)功(容性)。在電感和電容元件中，由于φ＝±900，由式(2－24)可以得到瞬時(shí)功率

p＝UIcos(±900)－UIcos[2ωt+(±900)]＝UIsin2ωt還可以由式(2—25)看到

Q＝UIsin(±900)＝±UI63二、無(wú)功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源這一結(jié)論，與電感或電容元件電路中得出的結(jié)論完全相同。習(xí)慣上，把無(wú)功功率視為能夠“消耗”或“產(chǎn)生”的，并且視電感為消耗無(wú)功功率，而視電容為產(chǎn)生無(wú)功功率。這是因?yàn)閷?shí)際中感性負(fù)載較多，它們的電流滯后于電壓，故規(guī)定感性負(fù)載吸收正無(wú)功功率，或稱消耗無(wú)功功率，而在電容元件或容性電路中，電流超前于電壓，相對(duì)于感性無(wú)功功率而言，稱它為吸收負(fù)的無(wú)功功率，或稱產(chǎn)生無(wú)功功率。電抗元件中瞬時(shí)功率的平均值為零，這說(shuō)明它們不消耗有功功率，只儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量或電場(chǎng)能量，并且以二倍電源頻率與電源進(jìn)行交換。在電阻元件中，由于φ＝0，因此無(wú)功功率Q＝0。無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的電壓有效值與電流有效值之乘積，我們稱它為視在功率，用符號(hào)S表示；即

S＝UI(2－26)為了區(qū)別，視在功率的單位不用瓦(W)或乏(var)，而采用伏安(VA)。由式(2－24)和(2－26)可得出：功率因數(shù)cosφ等于有功功率與視在功率之比；即

COSφ＝P/UI＝P/S64這一結(jié)論，與電感或電容元件電路中得出的結(jié)論完全相同。習(xí)慣上，交流電氣設(shè)備的容量通常用額定視在功率來(lái)表示；在使用中電壓和電流不能超過(guò)其額定值，即輸出功率不能超過(guò)其額定容量。交流電源實(shí)際發(fā)出的功率與功率因數(shù)有關(guān)，cosφ愈大，發(fā)出的有功功率愈多，當(dāng)cosφ=1時(shí)，輸出的有功功率等于其額定容量，即p＝SN＝

UNIN。分析有功、無(wú)功、視在功率三者之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)將電壓三角形三邊分別乘以I便得到與其相似的直角三角形，稱為功率三角形。我們把電壓、阻抗和功率三個(gè)三角形畫(huà)在同一圖中，如圖2—25所示。由于阻抗和功率均不是正弦量，因此圖中沒(méi)有畫(huà)成相量(即不畫(huà)箭頭)。由圖2—25可知，P、Q、S三者之間的關(guān)系是S＝√P2+Q2功率因數(shù)角

φ=arctgQ/P上式中的角有正、負(fù)之分。對(duì)于感性電路，在相位上電流滯后于電壓，Q>0，φ>o；而容性電路，電流超前于電壓，Q<0，φ<0。65交流電氣設(shè)備的容量通常用額定視在功率來(lái)表示；在使用中電壓和電§2—9功率因數(shù)的提高及簡(jiǎn)單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的意義

電力系統(tǒng)中，存在著大量的電感性負(fù)載。這些感性負(fù)載與電源設(shè)備進(jìn)行能量交換，從電源獲取大量感性無(wú)功功率。

由式

cosφ＝P/S＝P/√P2+Q2

可知，無(wú)功功率數(shù)值越大，功率因數(shù)cosφ就越低。低功率因數(shù)將會(huì)帶來(lái)下列不良后果：

(1)電源設(shè)備的利用率降低。一般電源設(shè)備都是根據(jù)額定電壓和額定電流設(shè)計(jì)的，其額定容量為

SN＝UNIN

在運(yùn)行中其工作電壓和工作電流不允許超過(guò)額定值。當(dāng)電源設(shè)備的額定容量一定時(shí)，根據(jù)

P＝UNINcosφ＝SNcosφ

可知，電源發(fā)出的有功功率正比于用戶的功率因數(shù)。例如，容量為1000kVA的發(fā)電機(jī)，當(dāng)用戶的功率因數(shù)cosφ＝0.9時(shí)，能輸出900kW的有功功率；而當(dāng)cosφ＝0.45時(shí)，僅能輸出450kW的有功功率?？梢?jiàn)，同一臺(tái)發(fā)電機(jī)供電給不同功率因數(shù)的負(fù)載，輸出的有功功率是不

同的。上述發(fā)電機(jī)在cosφ＝0.9狀態(tài)下運(yùn)行輸出的有功功率為cosφ＝0.45狀態(tài)時(shí)的兩倍。這說(shuō)明，功率因數(shù)低，發(fā)電設(shè)備的利用率就低，而且與之配套的原動(dòng)機(jī)也不能充分利用，因而造成設(shè)備的浪費(fèi)。66§2—9功率因數(shù)的提高及簡(jiǎn)單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的(2)增加線路壓降和功率損耗。

用電設(shè)備在一定的功率和電壓下運(yùn)行時(shí)，由

I＝P/UCOSφ

可知，cosφ越低，取用的電流就越大。電流越大，供電線路的阻抗上引起的電壓降(為IlZl)和功率損耗(為I2R)越增加。功耗的增加，浪費(fèi)了電能；電壓降的增加，影響了供電質(zhì)量，如電壓太低負(fù)載將不能正常工作(如日光燈起動(dòng)不起來(lái)，電動(dòng)機(jī)不能正常運(yùn)行，電燈亮度不夠等)。

因此，為了充分利用發(fā)電設(shè)備的容量，提高供電質(zhì)量和節(jié)約電能,必須設(shè)法提高功率因數(shù)。

(3)以后要講到，同步發(fā)電機(jī)在端電壓一定的條件下，cosφ越高(指感性負(fù)載)，所需的勵(lì)磁電流越小，從而減輕勵(lì)磁裝置的負(fù)擔(dān)，并改善發(fā)電機(jī)的發(fā)熱狀況。67(2)增加