電路-第二章-正弦交流電路2課件

u＝L△i/△t在第一個1／4周期(00～900)內(nèi)，電流由零值增加到最大值，此期間電流的變化率△i/△t>0，u為正值，即其實際方向與參考方向相同。而且，起始瞬間，△i/△t為最大，逐漸變化到△i/△t＝0，所以電壓由正最大值逐漸減小到零。

在第二個1／4周期(900～1800)內(nèi)，電流由正最大值減小到零值，此期間電流的變化率△i/△t<0，u為負值，即其實際方向與參考方向相反。而且，△i/△t從零逐漸變化到負最大值，以電壓由零逐漸反方向增加到負最大值。

在第三個1／4周期(1800～2700)內(nèi)，電流從零變化到負最大值，此期間電流的變化率仍為負值，而且電流變化率由負最大值變化到零，所以電壓亦由負最大值變化到零。

在第四個1／4周期(2700～3600)內(nèi)，電流由負最大值變化到零，此期間電流的變化率△i/△t>0，且變化率由零變化到正最大值，所以電壓也從零變化到正最大值。1

歸納上述的討論可知；由于任一瞬時電感元件上的電壓u正比于電流的變化率△i/△t，因此在相位上電感電壓超前電流900，即u比i早1／4周期達到最大值或零值。

電感元件上u、i的波形，如圖(b)所示。顯然，電感元件上的電壓和電流為同頻率的正弦量。

(二)大小關系

將式(2—13)的正弦電流代入式(2—14)，經(jīng)過數(shù)學運算可得到電感電壓的表達式為

u=ωLImcosωt=Umsin(ωt+900)

由此可得，電感電壓與電流的大小關系為

ωLIm＝Um

所以

ωL=Um/Im=U/I(2—15)上式中的ωL稱為感抗，用符號XL表示，即

XL=ωL＝2πfL(2—16)

它表示電感元件對交流電的阻礙作用。若頻率f的單位用赫(Hz)，電感L的單位用亨(H)，則感抗XL的單位為歐(Ω)。雖然XL與電阻R類似，但R表示電能的消耗，而XL表示磁場能量的儲存。2歸納上述的討論可知；由于任一瞬時電感元件上的電壓u正比于電流

將式(2—16)代入式(2—15)有

XL＝U/I

這就是電感元件上電壓和電流之間的有效值關系，形式上仍與直流電路中巳學過的歐姆定律相同。

由式(2—16)可知，感抗正比于電源的頻率，頻率越高，感抗越大。因為直流電的頻率為零，所以在直流電路中，感抗為零，故電感對直流電(穩(wěn)態(tài))不呈現(xiàn)阻礙作用，相當于短路。

感抗只有在交流電路中才具有意義。因為一般交流電路中電壓和電流的相位不同，所以感抗不能表示為電壓瞬時值和電流瞬時值之比，而只能表示成電壓和電流的有效值或最大值之比。這也就是電感元件交流電路與電阻元件交流電路的區(qū)別。3將式(2—16)代入式(2—15)有XL＝U/I3(三)相量形式

若用相量表示，設電流相量為

＝I∠00則電壓相量為

＝XL∠900又

1∠900＝ej900＝cos900+jsin900＝j所以

＝jXL＝jωL這是一個非常有用的公式，它既反映了電感元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關系，而且反映出了電壓和電流之間的相位關系，稱為電感元件伏安特程的相量形式。

電感元件上電壓和電流的相量圖，如圖2—16(c)所示。4(三)相量形式

若用相量表示，設4二、功率關系

(一)瞬時功率

將u、i的表達式代入瞬時功率表達式，可得到電感元件吸收的瞬時功率為P＝ui＝Umsin(ωt+900)·Imsinωt＝UIsin2ωt顯然，瞬時功率P是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律交變的，其變化曲線如圖所示。在一個周期內(nèi)，瞬時功率交變二次。這一特點可以通過能量轉換的物理過程說明如下：5二、功率關系

(一)瞬時功率

將u、i的表達式代入瞬在第一個1／4周期內(nèi)，電流由零值開始上升，電感元件從電源吸取電能轉換成磁場能量儲存起來。在此期間，u、i的實際方向相同，瞬時功率P>0。

在第二個1／4周期內(nèi)，電流由正最大值逐漸減小，原儲存在電感元件中的磁場能量轉換成電能釋放出來，歸還給電源，在此期間，u,i的實際方向相反，瞬時功率P<0。

在第三和第四個1／4周期內(nèi)，其情形與第一和第二個1／4周期的情況相似，雖然此期間電流反向，但磁場能量正比于電流i的平方，即它與電流的方向(即數(shù)值的正、負)無關。上述分析說明電感元件電路中只有磁場能量與電源能量之間的相互交換，而沒有能量的消耗。6在第一個1／4周期內(nèi)，電流由零值開始上升，電感元件從電源吸取(二)平均功率

由瞬時功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路的平均功率為P=0這一結論也可以由數(shù)學分析得到。顯然，純電感電路中，平均功率等于零。進一步說明電感元件不消耗電能，而只與電源進行能量交換。

(三)無功功率

電感元件與電源之間的能量交換，表現(xiàn)為瞬時功率隨時間以二倍電源頻率交變，但其平均功率又等于零，為了反映這種能量交換的規(guī)模，電工技術中將電感元件上的瞬時功率的最大值(即乘積UI)定義為無功功率，用符號QL表示，即

QL=UI＝I2XL

＝U2/XL它也具有功率的單位。為區(qū)別起見，將無功功率的單位取為無功伏安，簡稱乏(var)。QL表示了電感元件與電源之間進行能量互換的最大速率。7(二)平均功率

由瞬時功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關系

(一)相位關系純電容電路，如圖

(a)所示。選取u、i的參考方向示于圖中。設電源電壓為

u=Umsinωt

由于外加電壓u隨時間不斷地變化，電容元件將不斷地充、放電，電路中便不斷地有電流通過，因此我們說交流電可以通過電容元件。而且，電容元件的端電壓與電流之間也存在著相位差。

圖2-18電容元件上電壓與電流的關系

(a)電路圖，(b)波形圖，(c)相量圖8§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關系由于電容C＝Q／u，Q＝It，對于交變量則有C=△q/△u，△q＝i△u，因此，在△t時間內(nèi)，電容電流的表達式為

i=△q/△t＝C△u/△t上式表明，任一瞬間電容元件中的電流i正比于其端電壓的變化率

△u/△t，而不是正比于電壓u,與電感元件電路的分析方法類似，當u從零增加的瞬時，電壓的變化率△u/△t最大，電流i也最大。當△u/△t>0時，i>o，其實際方向與參考方向相同。當u到達正最大值時,△u/△t＝0，i=0；當u從正最大值減小時，

△u/△t<0，i<0，其實際方向與參考方向相反。綜上所述，電容元件上的電流超前其端電壓900，即電流i比電壓u早1／4周期到達最大值或零值，相位關系與電感元件電路的情況恰好相反。u、i的變化曲線如圖2—18(b)所示。由圖可見，電壓和電流也是同頻率的正弦量。9由于電容C＝Q／u，Q＝It，對于交變量則有C=△q/△u

(二)大小關系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過數(shù)學分析可以得到電容電流的表達式為

i＝ωCUmcosωt＝Imsin(ωt+900)由此可得出電容元件上電壓與電流之間的大小關系為

ωCUm=Im則

=Um/Im=U/I上式中，稱為容抗，用符號Xc表示，即

Xc==1/（2πfC）

它表示電容元件對交流電的阻礙作用。若頻率f的單位為赫，電容C的單位為法，則容抗Xc的單位為歐。Xc=U/I這就是電容元件上電壓和電流之間的有效值關系。容抗Xc的大小與電容C和頻率f成反比。頻率f越高，電容C充放電進行得越快，在同樣的電壓下單位時間內(nèi)移動的電荷越多，電流越大，即容抗越??；電容C越大，則容納電荷越多，同樣地電流越大，即容抗越小。而頻率越低，Xc越大，即低頻電流不容易通過電容元件。直流電的頻率為零，則容抗趨于無窮大，電容器相當于開路

10(二)大小關系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過數(shù)學分(三)相量形式

若用相量表示，設

電壓相量

＝U∠00

則電流相量

=ωCU∠900

又

j=1∠900；－j＝1∠－900

所以

=/jωC＝－j/ωC＝－jXc上式既反映了電容元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關系，而且表示出了電壓和電流之間的相位關系，稱為電容元件伏安特性的相量形式。其相量圖如圖2—18(c)所示。11(三)相量形式

若用相量表示，設11二、功率關系

(一)瞬時功率

P＝ui＝Umsinωt×Imsin(ωt+900)=UIsin2ωt它也是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律變化的，其變化曲線如圖2—19所示。顯然，在一個周期內(nèi)，瞬時功率交變二次，它的這一特點也可以通過能量互換的物理過程說明如下。在第一個1／4周期內(nèi)，電容在電源作用下進行充電，u、i的實際方向相同，瞬時功率p為正值，表示電源以充電方式輸送電能，電容將吸收的電能轉換為電場能量儲存起來。在第二個1／4周期內(nèi)，電容放電，u、i的實際方向相反，瞬時功率P為負值，表示電容將已儲存的電場能量轉換成電能歸還給電源。第三和第四個1／4周期與第一和第二個1／4周期相似，不過充放電方向與上述方向相反罷了。上述分析說明電容元件電路中也只有電場能量與電源能量之間的相互轉換。面沒有能量的消耗。12二、功率關系

(一)瞬時功率P＝ui＝Umsinωt×I

(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時功率戶的變化曲線可得出純電容電路中平均功率也等于零，

即

P＝0這個結論進一步說明純電容電路不消耗電能，只與電源進行能量交換。(三)無功功率與電感元件交流電路相似，電容元件交流電路中瞬時功率的最大值稱為電容性無功功率，用符號Qc表示，即

Qc=UI=I2Xc=U2/XCQc的單位也是乏(var)。13(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時功率戶的變化§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍夫第一定律的內(nèi)容為：任一瞬間，流過電路中任一節(jié)點(或閉合面)的各電流瞬時值的代數(shù)和等于零，即

∑i＝0可以證明，它的相量形式為

∑＝0上式表明：在正弦交流電路中，流入(或流出)任一節(jié)點的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。同樣，在正弦交流電路中，基爾霍夫第二定律的內(nèi)容為：任一瞬間，沿電路任一回路中各段電壓瞬時值的代數(shù)和等于零，即∑u＝0也可以證明，它的相量形式為

∑=0上式表明：在正弦交流電路中，環(huán)繞任一閉合電路各部分電壓相量的代數(shù)和等于零。在分析正弦交流電路時，我們可以運用基爾霍夫定律的相量形式列出相應的相量方程，進行相量代數(shù)和的運算，比進行正弦量代數(shù)和的運算要簡便得多。14§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍例2—11圖2—20，所示電路中，已知

＝5∠35.10A，＝24∠00V，R＝8Ω，求容抗Xc。解

由相量形式的基爾霍夫電流定律有

s－R－c＝0上式中，由于s＝5∠35.10A，R＝24∠00/8＝3∠00A，則

C＝S－R＝5∠35.1―3∠00A＝3+j4－3＝j4(A)因此XC＝/－j＝24∠00/－j(j4)＝6Ω

例2—12電路如圖2—21所示。已知s＝220∠00V，R＝110∠－600V，R＝280Ω，求感抗XL。

解

由相量形式的基爾霍夫電壓定律有

R十L－S＝0

L

＝S

－R＝220∠00V－110∠－600V

＝165－j98＝189.4∠300(V)

因為

＝R/R＝110∠－600/280＝0.393∠－600(A)

所以

XL＝L/j＝

189.4∠300/j0.393∠－600

＝482(Ω)s－R－c

s－R－c

15例2—11圖2—20，所示電路中，已知＝5∠35.§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)所示。一般已知電源電壓u及參數(shù)R、L、C，求電流I。根據(jù)相量形式的電壓定律及元件的電壓電流之間的相量關系，可得出

＝R+L十C＝R+jXL－jXC

＝

[(R+j（XL－XC

）＝Z上式稱為相量形式的歐姆定律。式中的Z＝R+j(XL－Xc)反映了RLC串聯(lián)電路對正弦電流的阻礙作用。它概括了前述電阻、感抗及容抗的性質(zhì)。它是一個復數(shù)，故稱為復阻抗。為了方便作圖，在串聯(lián)電路中一般選電流I作為參考相量，設XL>Xc，便可畫出RLC串聯(lián)電路的相量圖，如圖

(b)。圖中，R為電阻端電壓相量，它與電流I同相；L為電感端電壓相量，它超前電流

900；c為電容端電壓相量，它滯后電流

900。由圖可見，L與c反相，它們的相量和為

x＝L+c稱為電抗端電壓相量。

16§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)顯然，R

、x和構成一個直角三角形，它們分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊，如圖

(a)所示，由圖可得

U＝上式表明：總電壓有效值不等于各分電壓有效值之和。這是交流串聯(lián)電路與直流串聯(lián)電路的區(qū)別。將電壓三角形各邊除以電流I，可得到阻抗三角形，見圖2—23(b)。顯然/Z/＝√R2+X2，這便是復阻抗的模，而其夾角為

φ＝arctgX/R。圖2—22(c)和(d)中，分別繪出了XL＝Xc、XL<Xc兩種情況下電壓和電流的相量圖。

實際上，交流電路中電壓與電流的關系(大小和相位)有一定的規(guī)律性，是容易掌握的?，F(xiàn)將前面幾節(jié)討論過的幾種正弦交流電路中電壓，與電流的關系列入表2—1中，以幫助總結和記憶。圖2-23電壓和阻抗三角形

(a)電壓三角形；(b)阻抗三角形

17顯然，R、x和構成一個直角三角形，它們分別為直角三角表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關系18表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關系18

§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時功率、有功功率和功率因數(shù)

在正弦交流電路中，設電流和電壓瞬時值分別為

i＝Imsinωt；

u＝Umsin(ωt+φ)則任一無源一端口網(wǎng)絡[見圖2—24(a)]，在任一時刻的瞬時功率為

p＝ui＝Umsin(ωt+φ)×Imsinωt＝1/2UmIm[cosφ－cos(2ωt+φ)]＝UIcosφ－UIcos(2ωt+φ)

上式表明，瞬時功率包含一個與時間無關的恒定分量UIcosφ和一個正弦分量UIcos(2ωt+φ)，后者是以二倍電源頻率隨肘間變化的。u、i和p的變化曲線如圖2—24(b)所示。由圖可見，瞬時功率p有正有負，即有時為正，有時為負。當p>o時，表示電路吸收功率；當p∠0時，表示電路放出功率。這一現(xiàn)象表明，電路中存在儲能元件，即電路與電源之間存在著能量交換。同時，由于曲線中的正值部分大于負值部分，說明電路中還存在耗能元件。

19§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時功率、有功功率如前所述在實際工程中，一般關心的不是瞬時功率本身，而是它在一個周期內(nèi)的平均值，即平均功率P，經(jīng)過數(shù)學運算可得出一般正弦電流電路中的平均功率為

P＝UIcosφ(2—24)顯然，這也就是電路瞬時功率p中的恒定分量。由此可知，交流電路中的平均功率不僅和電壓及電流的有效值有關，而且還和它們之間的相位差角的余弦cosφ成正比。式(2—24)中的cosφ稱為電路的功率因數(shù)。它表示平均功率p在乘積UI上打的折扣。相位差角又稱為功率因數(shù)角。由于φ角取決于電路的參數(shù)和頻率，因此功率因數(shù)的大小也取決于電路的參數(shù)和頻率。20如前所述在實際工程中，一般關心的不是瞬時功率本身，而是它在一對電阻元件而言，因為u、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ=1，所以P=UI，這說明電阻元件總是消耗能量。對電感或電容元件而言，因為相位差角φ＝±900即cosφ＝0，所以P＝0，說明它們只儲存能量，而不消耗能量。一般電路的功率因數(shù)在0～1之間，即0≤cosφ≤1，所以平均功率P一般小于或等于乘積UI。由圖2—23的電壓和阻抗三角形可知，功率因數(shù)

COSφ＝UR/U＝R/

因此，式(2-24)可寫成如下兩種形式

P＝UIcosφ＝UIUR／U＝URI或

P=UIR/=I2R可見，平均功率等于電阻元件上的電壓有效值與電流有效值的乘積。它是真正被電阻消耗的功率，這也就是稱它為有功功率的理由。

21對電阻元件而言，因為u、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ二、無功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源之間的能量交換，在交流電路中采用了無功功率的概念，它是與有功功率相對應而得名的。一般正弦交流電路中，無功功率定義為

Q＝Ulsinφ(2—25)

顯然，無功功率的量綱與有功功率相同。如前所述，為了區(qū)別，將無功功率的單位取為無功伏安，簡稱乏(var)。電路的無功功率是由儲能元件引起的。在感性電路中，φ>0，Q>O；而在容性電路中，φ<0，Q<O。所以，根據(jù)電路的不同性質(zhì)，將無功功率區(qū)分為正值無功(感性)和負值無功(容性)。在電感和電容元件中，由于φ＝±900，由式(2－24)可以得到瞬時功率

p＝UIcos(±900)－UIcos[2ωt+(±900)]＝UIsin2ωt還可以由式(2—25)看到

Q＝UIsin(±900)＝±UI22二、無功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源這一結論，與電感或電容元件電路中得出的結論完全相同。習慣上，把無功功率視為能夠“消耗”或“產(chǎn)生”的，并且視電感為消耗無功功率，而視電容為產(chǎn)生無功功率。這是因為實際中感性負載較多，它們的電流滯后于電壓，故規(guī)定感性負載吸收正無功功率，或稱消耗無功功率，而在電容元件或容性電路中，電流超前于電壓，相對于感性無功功率而言，稱它為吸收負的無功功率，或稱產(chǎn)生無功功率。電抗元件中瞬時功率的平均值為零，這說明它們不消耗有功功率，只儲存磁場能量或電場能量，并且以二倍電源頻率與電源進行交換。在電阻元件中，由于φ＝0，因此無功功率Q＝0。無源一端口網(wǎng)絡的電壓有效值與電流有效值之乘積，我們稱它為視在功率，用符號S表示；即

S＝UI(2－26)為了區(qū)別，視在功率的單位不用瓦(W)或乏(var)，而采用伏安(VA)。由式(2－24)和(2－26)可得出：功率因數(shù)cosφ等于有功功率與視在功率之比；即

COSφ＝P/UI＝P/S23這一結論，與電感或電容元件電路中得出的結論完全相同。習慣上，交流電氣設備的容量通常用額定視在功率來表示；在使用中電壓和電流不能超過其額定值，即輸出功率不能超過其額定容量。交流電源實際發(fā)出的功率與功率因數(shù)有關，cosφ愈大，發(fā)出的有功功率愈多，當cosφ=1時，輸出的有功功率等于其額定容量，即p＝SN＝

UNIN。分析有功、無功、視在功率三者之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)將電壓三角形三邊分別乘以I便得到與其相似的直角三角形，稱為功率三角形。我們把電壓、阻抗和功率三個三角形畫在同一圖中，如圖2—25所示。由于阻抗和功率均不是正弦量，因此圖中沒有畫成相量(即不畫箭頭)。由圖2—25可知，P、Q、S三者之間的關系是S＝√P2+Q2功率因數(shù)角

φ=arctgQ/P上式中的角有正、負之分。對于感性電路，在相位上電流滯后于電壓，Q>0，φ>o；而容性電路，電流超前于電壓，Q<0，φ<0。24交流電氣設備的容量通常用額定視在功率來表示；在使用中電壓和電§2—9功率因數(shù)的提高及簡單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的意義

電力系統(tǒng)中，存在著大量的電感性負載。這些感性負載與電源設備進行能量交換，從電源獲取大量感性無功功率。

由式

cosφ＝P/S＝P/√P2+Q2

可知，無功功率數(shù)值越大，功率因數(shù)cosφ就越低。低功率因數(shù)將會帶來下列不良后果：

(1)電源設備的利用率降低。一般電源設備都是根據(jù)額定電壓和額定電流設計的，其額定容量為

SN＝UNIN

在運行中其工作電壓和工作電流不允許超過額定值。當電源設備的額定容量一定時，根據(jù)

P＝UNINcosφ＝SNcosφ

可知，電源發(fā)出的有功功率正比于用戶的功率因數(shù)。例如，容量為1000kVA的發(fā)電機，當用戶的功率因數(shù)cosφ＝0.9時，能輸出900kW的有功功率；而當cosφ＝0.45時，僅能輸出450kW的有功功率?？梢?，同一臺發(fā)電機供電給不同功率因數(shù)的負載，輸出的有功功率是不

同的。上述發(fā)電機在cosφ＝0.9狀態(tài)下運行輸出的有功功率為cosφ＝0.45狀態(tài)時的兩倍。這說明，功率因數(shù)低，發(fā)電設備的利用率就低，而且與之配套的原動機也不能充分利用，因而造成設備的浪費。25§2—9功率因數(shù)的提高及簡單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的(2)增加線路壓降和功率損耗。

用電設備在一定的功率和電壓下運行時，由

I＝P/UCOSφ

可知，cosφ越低，取用的電流就越大。電流越大，供電線路的阻抗上引起的電壓降(為IlZl)和功率損耗(為I2R)越增加。功耗的增加，浪費了電能；電壓降的增加，影響了供電質(zhì)量，如電壓太低負載將不能正常工作(如日光燈起動不起來，電動機不能正常運行，電燈亮度不夠等)。

因此，為了充分利用發(fā)電設備的容量，提高供電質(zhì)量和節(jié)約電能,必須設法提高功率因數(shù)。

(3)以后要講到，同步發(fā)電機在端電壓一定的條件下，cosφ越高(指感性負載)，所需的勵磁電流越小，從而減輕勵磁裝置的負擔，并改善發(fā)電機的發(fā)熱狀況。26(2)增加線路壓降和功率損耗。用電設備在一定的功率和電壓下二.提高功率因數(shù)的方法(并聯(lián)電容補償電路)

線路功率因數(shù)低的原因是因為實際中的大部分負載是感性負載，而它們的功率因數(shù)一

般約為0.5，甚至更低。提高功率因數(shù)的方法常用一電容元件與感性負載并聯(lián)，使從電源取用的無功功率減少。采用并聯(lián)的形式，是為了保證電感性負載的端電壓、電流和功率不受影

響。為什么并聯(lián)適量的電容器能提高功率因數(shù)呢?因為一般電感性負載可用圖

(a)中的RL串聯(lián)支路表示。未并電容C時，它從電網(wǎng)吸取的電流，滯后于端電壓一個

φ角，見圖

(b)。并聯(lián)電容器C后，原電感性負載中的電流I1＝U/√R2+XL2和功率因數(shù)cosφ1=R／√R2+XL2保持不變。因為所加電壓和負載參數(shù)不變，但電容器從電網(wǎng)吸取容性電流c,c超前電壓900(視為理想元件)，所以使得I與U之間的相位差由φ1變?yōu)棣?由圖可見φ<φ1，所以cosφ＞cosφ1，即線路的功率因數(shù)提高了。

27二.提高功率因數(shù)的方法(并聯(lián)電容補償電路)線路功率因數(shù)低的這里我們所講的提高功率因數(shù)，是指提高電源或電網(wǎng)的功率因數(shù)，而不是指提高某個電感性負載的功率因數(shù)。

首先，在電感性負載上并聯(lián)了電容器后，減少了電源和負載之間的能量互換。這時電感性負載所需的無功功率，大部分或全部都是由電容器就地供給，就是說能量的互換現(xiàn)在主要

或完全發(fā)生在電感性負載與電容器之間，因而使發(fā)電機容量能得到充分利用.

其次，由相量圖可見，并聯(lián)電容器以后線路電流也減小了(電流相量相加)，因而減少了功率損耗。應該注意的是，并聯(lián)電容器以后有功功率并未改變，因為電容器是不消耗電能的。

功率因數(shù)提高到多少為宜，應視需要而定，一般調(diào)整到0．8～0．95之間。若提高太大(例如cosφ＝1)，則會增加很多費用(因為C增加很多)，而線路電流減少并不明顯，不劃算。cosφ＝1時，電路發(fā)生并聯(lián)諧振現(xiàn)象。28這里我們所講的提高功率因數(shù)，是指提高電源或電網(wǎng)的功率因數(shù)，而§2－10電路中的諧振

一、串聯(lián)諧振

(一)諧振的條件及諧振頻率由圖2—28(a)所示RLC串聯(lián)電路中的電流

=／[R+j(ωL－1/ωC)]可知發(fā)生諧振的條件為

ωL＝1/ωC(或XL＝Xc或2πfL＝1／2πfC)由此可得諧振的頻率

f＝f0＝1／2π√LC諧振角頻率

ω0＝1／√LC

這就表明，當電源頻率f、角頻率ω0與電路參數(shù)L和C之間滿足上述關系時，則發(fā)生諧振。可見，只要調(diào)節(jié)L、C或電源頻率f就能使電路發(fā)生諧振。U、I的相量圖，見圖2—28(a)。29§2－10電路中的諧振

一、串聯(lián)諧振

(一)諧振的條件(二)串聯(lián)諧振的主要特征

(1)電路的阻抗lZl＝√R2+(XL—XC)2＝R，其值最小。因此，在電源電壓U不變的情況下，電路中的電流將在諧振時達到最大值，即I＝I0＝U／R在下圖中分別畫出了阻抗和電流等隨頻率變化的曲線。

(2)由于電源電壓與電路中電流同相(φ＝0)，因此電路對電源呈現(xiàn)電阻性。電源供給電路的能量全被電阻所消耗。電源與電路之間不

發(fā)生能量的互換，能量的互換只發(fā)生在電感線圈與電容器之間

30(二)串聯(lián)諧振的主要特征

(1)電路的阻抗lZl＝√R2+((3)由于XL＝Xc，于是UL＝Uc，而UL與Uc反相，互相抵消，對整個電路不起作用，因此

電源電壓U＝UR(圖2—28(b))。

但是，UL和Uc的單獨作用不容忽視，因為

UL＝IXL＝U×XL／R；

Uc＝IXc＝U×Xc／R可見，當XL＝XC>R時，UL和Uc都高于電源電壓U。如果電壓過高時，可能會擊穿線圈和電容器的絕緣。因此，在電力工程中一般應避免發(fā)生串聯(lián)諧振。

因為串聯(lián)諧振時，Uc和UL可能超過電源電壓許多倍，所以串聯(lián)諧振也稱電壓諧振。

Uc或UL與電源電壓U之比值，通常用Q來表示，即

Q＝Uc/U＝UL/U＝

XL/R＝

XC/R上式中的Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，常簡稱Q值。顯然，Q是無量綱的。在上式中Q的意義是表示在諧振時電容或電感元件上的電壓是電源電壓的Q倍。例如，Q＝100，U＝6V，那么諧振時電容或電感元件上的電壓就高達600V。綜上所述，串聯(lián)諧振的特征是：電抗元件(L、C)上的電壓相互抵消，電路呈電阻性，亦

即電壓與電流同相，總阻抗值最小，總電流值最大。31(3)由于XL＝Xc，于是UL＝Uc，而UL與Uc反相，互相二、并聯(lián)諧振

(一)諧振的條件及諧振頻率

由圖2—30(a所示的RLC并聯(lián)電路中的電流

=[1/R－j(1/ωL－ωC]

可知發(fā)生諧振的條件為

1/ωL＝ωC(或XL＝Xc或2πfL＝1/2πfC)

由此可得諧振的角頻率為

ω0＝

1/√LC

諧振的頻率為

f＝f0＝1/2π√LC

可見，跟串聯(lián)諧振電路一樣，只要調(diào)節(jié)L、C或電源頻率f就能使電路發(fā)生諧振。、

的

相量圖見圖2—30(b)。32二、并聯(lián)諧振

(一)諧振的條件及諧振頻率

由圖2—3(二)并聯(lián)諧振具有下列特征

(1)諧振時電路的阻抗值最大，即比非諧振情況下的阻抗要大。因此在電源電壓U一定的情況下，電路中的電流I在諧振時最小。阻抗與電流的諧振曲線如圖2—31所示。

(2)由于電源電壓與電路中的電流同相(φ＝0)，因此，電路對電源呈電阻性。諧振時電路的阻抗也相當于一個電阻。33(二)并聯(lián)諧振具有下列特征

(1)諧振時電路的阻抗值最大，即(3)在諧振時，并聯(lián)電路的各支路電流近乎相等，但都比總電流大許多倍。因此，并聯(lián)諧振也稱電流諧振。

IC和IL與總電流I之比為電路的品質(zhì)因數(shù)，即

Q＝Ic／I=IL/R=ω0L/R=1/ω0CR即在諧振時，支路電流IC、或IL是總電流I的Q倍，也就是諧振時電路的總阻抗為支路阻抗的Q倍。這種現(xiàn)象在直流電路中是不會發(fā)生的。因為直流電路中，并聯(lián)電路的等效電阻一定小于任何一個支路的電阻，而總電流一定大于支路電流。

并聯(lián)諧振在無線電工程和工業(yè)電子技術中也常應用。例如利用并聯(lián)諧振時阻抗高的特點，來選擇信號或消除干擾。34(3)在諧振時，并聯(lián)電路的各支路電流近乎相等，但都比總電流大小結

1.設正弦電流的最大值或幅值為Im。，角頻率為ω，初相位角為ψ，當確定了參考方向時，正弦電流的一般表達式為

i＝Imsin(ωt+ψ)上式中的Im、ω、ψ為正弦量的三要素。角頻率ω與頻率f、周期T的關系為

ω＝2πf＝2π/Tf＝1/T2．交流電的有效值為其瞬時值的均方根值。就正弦交流電而言，有效值等于最大值的

1／，以電流為例

I＝Im/＝0.707Im

3．兩個同頻率的正弦交流電的初相位角之差，稱為相位差，用符號φ表示。初相位角與所選定的計時起點有關，但兩同頻率正弦量之間的相位差是不隨所選計時起點改變的。若兩正弦電壓u1和u2的初相位分別為ψ1和ψ2，則當它們之間的相位差

φ＝ψ1－ψ2＝0時，稱它們同相；φ＝土1800時，稱它們反相；φ＝土900時，稱它們正交；φ>00時，稱u1超前于u2一個φ中角；φ<00時，稱稱u1滯后于u2一個φ角。35小結

1.設正弦電流的最大值或幅值為Im。，角

4．相量法是分析計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的重要方法，它的理論依據(jù)是正弦量可以表示成相量。例如，正弦電流

i＝Imsin(ωt十ψ)的最大值相量為

m=Imejψ＝

Im∠ψi

有效值相量為＝Im／＝Iejψ＝Im∠ψ

相量也就是表示正弦量的復數(shù)，其模為正弦量的有效值，其幅角為正弦量的初相位。364．相量法是分析計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的重要方法，它的理論依據(jù)是5．理想電路元件R、L、C是交流電路的三種基本參數(shù)。這三種元件以及由它們組成的典型正弦交流電路的基本關系式，見教材表2—1。

6．對于RLC串聯(lián)電路，其復阻抗為

Z＝R+j(XL—XC)＝R十jX＝

ejφ

式中

＝

φ＝arctgX/R

而且

R＝

cosφX＝

sinφ

復阻抗的模簡稱阻抗；φ為u與i之間的相位差角?？偞嬖诟锌筙L＝ωL>o，容抗Xc＝1/ωc>0。當XL>Xc，即等效電抗X=XL—Xc>0，φ>0‘時，g超前j，電路呈電感性，當

XL<Xc，即X<0，φ<00時，u滯后i，電路呈電容性；當XL＝Xc，即X=0，φ＝00時，電路發(fā)生諧振，即呈電阻性。375．理想電路元件R、L、C是交流電路的三種基本參數(shù)。這三種元9．若一段電路的端電壓u和電流i分別為

u＝Umsin(ωt+φ)i＝Imsinωt

而且u、i取關聯(lián)參考方向時，電路吸收的有功功率、無功功率和視在功率分別為

P＝UIcosφQ＝UlsinφS＝UI功率因數(shù)為

cosφ=P/S10．對于電感性負載，可以采用在其兩端并聯(lián)電容器的方法來提高功率因數(shù)，理由是超前的容性無功電流補償負載中滯后的感性無功電流，減小了總電流的無功分量。

11．對于含有元件上和C的電路，當電抗或電納等于零，即u與i同相時，電路發(fā)生諧振。諧振電路的特點是：等效電抗或等效電納等于零；電路呈電阻性；對不同頻率的信號具有選擇性；諧振曲線的形狀受到品質(zhì)因數(shù)的影響+串聯(lián)諧振時，電路的阻抗最小，電流最大；并聯(lián)諧振時，電路的阻抗最大，電流最小。389．若一段電路的端電壓u和電流i分別為3839394040

4141

u＝L△i/△t在第一個1／4周期(00～900)內(nèi)，電流由零值增加到最大值，此期間電流的變化率△i/△t>0，u為正值，即其實際方向與參考方向相同。而且，起始瞬間，△i/△t為最大，逐漸變化到△i/△t＝0，所以電壓由正最大值逐漸減小到零。

在第二個1／4周期(900～1800)內(nèi)，電流由正最大值減小到零值，此期間電流的變化率△i/△t<0，u為負值，即其實際方向與參考方向相反。而且，△i/△t從零逐漸變化到負最大值，以電壓由零逐漸反方向增加到負最大值。

在第三個1／4周期(1800～2700)內(nèi)，電流從零變化到負最大值，此期間電流的變化率仍為負值，而且電流變化率由負最大值變化到零，所以電壓亦由負最大值變化到零。

在第四個1／4周期(2700～3600)內(nèi)，電流由負最大值變化到零，此期間電流的變化率△i/△t>0，且變化率由零變化到正最大值，所以電壓也從零變化到正最大值。42

歸納上述的討論可知；由于任一瞬時電感元件上的電壓u正比于電流的變化率△i/△t，因此在相位上電感電壓超前電流900，即u比i早1／4周期達到最大值或零值。

電感元件上u、i的波形，如圖(b)所示。顯然，電感元件上的電壓和電流為同頻率的正弦量。

(二)大小關系

將式(2—13)的正弦電流代入式(2—14)，經(jīng)過數(shù)學運算可得到電感電壓的表達式為

u=ωLImcosωt=Umsin(ωt+900)

由此可得，電感電壓與電流的大小關系為

ωLIm＝Um

所以

ωL=Um/Im=U/I(2—15)上式中的ωL稱為感抗，用符號XL表示，即

XL=ωL＝2πfL(2—16)

它表示電感元件對交流電的阻礙作用。若頻率f的單位用赫(Hz)，電感L的單位用亨(H)，則感抗XL的單位為歐(Ω)。雖然XL與電阻R類似，但R表示電能的消耗，而XL表示磁場能量的儲存。43歸納上述的討論可知；由于任一瞬時電感元件上的電壓u正比于電流

將式(2—16)代入式(2—15)有

XL＝U/I

這就是電感元件上電壓和電流之間的有效值關系，形式上仍與直流電路中巳學過的歐姆定律相同。

由式(2—16)可知，感抗正比于電源的頻率，頻率越高，感抗越大。因為直流電的頻率為零，所以在直流電路中，感抗為零，故電感對直流電(穩(wěn)態(tài))不呈現(xiàn)阻礙作用，相當于短路。

感抗只有在交流電路中才具有意義。因為一般交流電路中電壓和電流的相位不同，所以感抗不能表示為電壓瞬時值和電流瞬時值之比，而只能表示成電壓和電流的有效值或最大值之比。這也就是電感元件交流電路與電阻元件交流電路的區(qū)別。44將式(2—16)代入式(2—15)有XL＝U/I3(三)相量形式

若用相量表示，設電流相量為

＝I∠00則電壓相量為

＝XL∠900又

1∠900＝ej900＝cos900+jsin900＝j所以

＝jXL＝jωL這是一個非常有用的公式，它既反映了電感元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關系，而且反映出了電壓和電流之間的相位關系，稱為電感元件伏安特程的相量形式。

電感元件上電壓和電流的相量圖，如圖2—16(c)所示。45(三)相量形式

若用相量表示，設4二、功率關系

(一)瞬時功率

將u、i的表達式代入瞬時功率表達式，可得到電感元件吸收的瞬時功率為P＝ui＝Umsin(ωt+900)·Imsinωt＝UIsin2ωt顯然，瞬時功率P是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律交變的，其變化曲線如圖所示。在一個周期內(nèi)，瞬時功率交變二次。這一特點可以通過能量轉換的物理過程說明如下：46二、功率關系

(一)瞬時功率

將u、i的表達式代入瞬在第一個1／4周期內(nèi)，電流由零值開始上升，電感元件從電源吸取電能轉換成磁場能量儲存起來。在此期間，u、i的實際方向相同，瞬時功率P>0。

在第二個1／4周期內(nèi)，電流由正最大值逐漸減小，原儲存在電感元件中的磁場能量轉換成電能釋放出來，歸還給電源，在此期間，u,i的實際方向相反，瞬時功率P<0。

在第三和第四個1／4周期內(nèi)，其情形與第一和第二個1／4周期的情況相似，雖然此期間電流反向，但磁場能量正比于電流i的平方，即它與電流的方向(即數(shù)值的正、負)無關。上述分析說明電感元件電路中只有磁場能量與電源能量之間的相互交換，而沒有能量的消耗。47在第一個1／4周期內(nèi)，電流由零值開始上升，電感元件從電源吸取(二)平均功率

由瞬時功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路的平均功率為P=0這一結論也可以由數(shù)學分析得到。顯然，純電感電路中，平均功率等于零。進一步說明電感元件不消耗電能，而只與電源進行能量交換。

(三)無功功率

電感元件與電源之間的能量交換，表現(xiàn)為瞬時功率隨時間以二倍電源頻率交變，但其平均功率又等于零，為了反映這種能量交換的規(guī)模，電工技術中將電感元件上的瞬時功率的最大值(即乘積UI)定義為無功功率，用符號QL表示，即

QL=UI＝I2XL

＝U2/XL它也具有功率的單位。為區(qū)別起見，將無功功率的單位取為無功伏安，簡稱乏(var)。QL表示了電感元件與電源之間進行能量互換的最大速率。48(二)平均功率

由瞬時功率p的變化曲線可知，電感元件交流電路§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關系

(一)相位關系純電容電路，如圖

(a)所示。選取u、i的參考方向示于圖中。設電源電壓為

u=Umsinωt

由于外加電壓u隨時間不斷地變化，電容元件將不斷地充、放電，電路中便不斷地有電流通過，因此我們說交流電可以通過電容元件。而且，電容元件的端電壓與電流之間也存在著相位差。

圖2-18電容元件上電壓與電流的關系

(a)電路圖，(b)波形圖，(c)相量圖49§2—5電容元件交流電路

一、電容元件上電壓與電流的關系由于電容C＝Q／u，Q＝It，對于交變量則有C=△q/△u，△q＝i△u，因此，在△t時間內(nèi)，電容電流的表達式為

i=△q/△t＝C△u/△t上式表明，任一瞬間電容元件中的電流i正比于其端電壓的變化率

△u/△t，而不是正比于電壓u,與電感元件電路的分析方法類似，當u從零增加的瞬時，電壓的變化率△u/△t最大，電流i也最大。當△u/△t>0時，i>o，其實際方向與參考方向相同。當u到達正最大值時,△u/△t＝0，i=0；當u從正最大值減小時，

△u/△t<0，i<0，其實際方向與參考方向相反。綜上所述，電容元件上的電流超前其端電壓900，即電流i比電壓u早1／4周期到達最大值或零值，相位關系與電感元件電路的情況恰好相反。u、i的變化曲線如圖2—18(b)所示。由圖可見，電壓和電流也是同頻率的正弦量。50由于電容C＝Q／u，Q＝It，對于交變量則有C=△q/△u

(二)大小關系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過數(shù)學分析可以得到電容電流的表達式為

i＝ωCUmcosωt＝Imsin(ωt+900)由此可得出電容元件上電壓與電流之間的大小關系為

ωCUm=Im則

=Um/Im=U/I上式中，稱為容抗，用符號Xc表示，即

Xc==1/（2πfC）

它表示電容元件對交流電的阻礙作用。若頻率f的單位為赫，電容C的單位為法，則容抗Xc的單位為歐。Xc=U/I這就是電容元件上電壓和電流之間的有效值關系。容抗Xc的大小與電容C和頻率f成反比。頻率f越高，電容C充放電進行得越快，在同樣的電壓下單位時間內(nèi)移動的電荷越多，電流越大，即容抗越??；電容C越大，則容納電荷越多，同樣地電流越大，即容抗越小。而頻率越低，Xc越大，即低頻電流不容易通過電容元件。直流電的頻率為零，則容抗趨于無窮大，電容器相當于開路

51(二)大小關系

將正弦電壓代入i＝C△u/△t，通過數(shù)學分(三)相量形式

若用相量表示，設

電壓相量

＝U∠00

則電流相量

=ωCU∠900

又

j=1∠900；－j＝1∠－900

所以

=/jωC＝－j/ωC＝－jXc上式既反映了電容元件上電壓有效值與電流有效值之間的大小關系，而且表示出了電壓和電流之間的相位關系，稱為電容元件伏安特性的相量形式。其相量圖如圖2—18(c)所示。52(三)相量形式

若用相量表示，設11二、功率關系

(一)瞬時功率

P＝ui＝Umsinωt×Imsin(ωt+900)=UIsin2ωt它也是以二倍電源頻率按正弦規(guī)律變化的，其變化曲線如圖2—19所示。顯然，在一個周期內(nèi)，瞬時功率交變二次，它的這一特點也可以通過能量互換的物理過程說明如下。在第一個1／4周期內(nèi)，電容在電源作用下進行充電，u、i的實際方向相同，瞬時功率p為正值，表示電源以充電方式輸送電能，電容將吸收的電能轉換為電場能量儲存起來。在第二個1／4周期內(nèi)，電容放電，u、i的實際方向相反，瞬時功率P為負值，表示電容將已儲存的電場能量轉換成電能歸還給電源。第三和第四個1／4周期與第一和第二個1／4周期相似，不過充放電方向與上述方向相反罷了。上述分析說明電容元件電路中也只有電場能量與電源能量之間的相互轉換。面沒有能量的消耗。53二、功率關系

(一)瞬時功率P＝ui＝Umsinωt×I

(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時功率戶的變化曲線可得出純電容電路中平均功率也等于零，

即

P＝0這個結論進一步說明純電容電路不消耗電能，只與電源進行能量交換。(三)無功功率與電感元件交流電路相似，電容元件交流電路中瞬時功率的最大值稱為電容性無功功率，用符號Qc表示，即

Qc=UI=I2Xc=U2/XCQc的單位也是乏(var)。54(二)平均功率

與電感元件交流電路一樣，由瞬時功率戶的變化§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍夫第一定律的內(nèi)容為：任一瞬間，流過電路中任一節(jié)點(或閉合面)的各電流瞬時值的代數(shù)和等于零，即

∑i＝0可以證明，它的相量形式為

∑＝0上式表明：在正弦交流電路中，流入(或流出)任一節(jié)點的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。同樣，在正弦交流電路中，基爾霍夫第二定律的內(nèi)容為：任一瞬間，沿電路任一回路中各段電壓瞬時值的代數(shù)和等于零，即∑u＝0也可以證明，它的相量形式為

∑=0上式表明：在正弦交流電路中，環(huán)繞任一閉合電路各部分電壓相量的代數(shù)和等于零。在分析正弦交流電路時，我們可以運用基爾霍夫定律的相量形式列出相應的相量方程，進行相量代數(shù)和的運算，比進行正弦量代數(shù)和的運算要簡便得多。55§2—6相量形式的基爾霍夫定律

在正弦交流電路中，基爾霍例2—11圖2—20，所示電路中，已知

＝5∠35.10A，＝24∠00V，R＝8Ω，求容抗Xc。解

由相量形式的基爾霍夫電流定律有

s－R－c＝0上式中，由于s＝5∠35.10A，R＝24∠00/8＝3∠00A，則

C＝S－R＝5∠35.1―3∠00A＝3+j4－3＝j4(A)因此XC＝/－j＝24∠00/－j(j4)＝6Ω

例2—12電路如圖2—21所示。已知s＝220∠00V，R＝110∠－600V，R＝280Ω，求感抗XL。

解

由相量形式的基爾霍夫電壓定律有

R十L－S＝0

L

＝S

－R＝220∠00V－110∠－600V

＝165－j98＝189.4∠300(V)

因為

＝R/R＝110∠－600/280＝0.393∠－600(A)

所以

XL＝L/j＝

189.4∠300/j0.393∠－600

＝482(Ω)s－R－c

s－R－c

56例2—11圖2—20，所示電路中，已知＝5∠35.§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)所示。一般已知電源電壓u及參數(shù)R、L、C，求電流I。根據(jù)相量形式的電壓定律及元件的電壓電流之間的相量關系，可得出

＝R+L十C＝R+jXL－jXC

＝

[(R+j（XL－XC

）＝Z上式稱為相量形式的歐姆定律。式中的Z＝R+j(XL－Xc)反映了RLC串聯(lián)電路對正弦電流的阻礙作用。它概括了前述電阻、感抗及容抗的性質(zhì)。它是一個復數(shù)，故稱為復阻抗。為了方便作圖，在串聯(lián)電路中一般選電流I作為參考相量，設XL>Xc，便可畫出RLC串聯(lián)電路的相量圖，如圖

(b)。圖中，R為電阻端電壓相量，它與電流I同相；L為電感端電壓相量，它超前電流

900；c為電容端電壓相量，它滯后電流

900。由圖可見，L與c反相，它們的相量和為

x＝L+c稱為電抗端電壓相量。

57§2—7RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路如圖2—22(a)顯然，R

、x和構成一個直角三角形，它們分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊，如圖

(a)所示，由圖可得

U＝上式表明：總電壓有效值不等于各分電壓有效值之和。這是交流串聯(lián)電路與直流串聯(lián)電路的區(qū)別。將電壓三角形各邊除以電流I，可得到阻抗三角形，見圖2—23(b)。顯然/Z/＝√R2+X2，這便是復阻抗的模，而其夾角為

φ＝arctgX/R。圖2—22(c)和(d)中，分別繪出了XL＝Xc、XL<Xc兩種情況下電壓和電流的相量圖。

實際上，交流電路中電壓與電流的關系(大小和相位)有一定的規(guī)律性，是容易掌握的。現(xiàn)將前面幾節(jié)討論過的幾種正弦交流電路中電壓，與電流的關系列入表2—1中，以幫助總結和記憶。圖2-23電壓和阻抗三角形

(a)電壓三角形；(b)阻抗三角形

58顯然，R、x和構成一個直角三角形，它們分別為直角三角表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關系59表2-1正弦交流電路中電流和電壓的關系18

§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時功率、有功功率和功率因數(shù)

在正弦交流電路中，設電流和電壓瞬時值分別為

i＝Imsinωt；

u＝Umsin(ωt+φ)則任一無源一端口網(wǎng)絡[見圖2—24(a)]，在任一時刻的瞬時功率為

p＝ui＝Umsin(ωt+φ)×Imsinωt＝1/2UmIm[cosφ－cos(2ωt+φ)]＝UIcosφ－UIcos(2ωt+φ)

上式表明，瞬時功率包含一個與時間無關的恒定分量UIcosφ和一個正弦分量UIcos(2ωt+φ)，后者是以二倍電源頻率隨肘間變化的。u、i和p的變化曲線如圖2—24(b)所示。由圖可見，瞬時功率p有正有負，即有時為正，有時為負。當p>o時，表示電路吸收功率；當p∠0時，表示電路放出功率。這一現(xiàn)象表明，電路中存在儲能元件，即電路與電源之間存在著能量交換。同時，由于曲線中的正值部分大于負值部分，說明電路中還存在耗能元件。

60§2—8一般正弦電流電路的功率

一、瞬時功率、有功功率如前所述在實際工程中，一般關心的不是瞬時功率本身，而是它在一個周期內(nèi)的平均值，即平均功率P，經(jīng)過數(shù)學運算可得出一般正弦電流電路中的平均功率為

P＝UIcosφ(2—24)顯然，這也就是電路瞬時功率p中的恒定分量。由此可知，交流電路中的平均功率不僅和電壓及電流的有效值有關，而且還和它們之間的相位差角的余弦cosφ成正比。式(2—24)中的cosφ稱為電路的功率因數(shù)。它表示平均功率p在乘積UI上打的折扣。相位差角又稱為功率因數(shù)角。由于φ角取決于電路的參數(shù)和頻率，因此功率因數(shù)的大小也取決于電路的參數(shù)和頻率。61如前所述在實際工程中，一般關心的不是瞬時功率本身，而是它在一對電阻元件而言，因為u、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ=1，所以P=UI，這說明電阻元件總是消耗能量。對電感或電容元件而言，因為相位差角φ＝±900即cosφ＝0，所以P＝0，說明它們只儲存能量，而不消耗能量。一般電路的功率因數(shù)在0～1之間，即0≤cosφ≤1，所以平均功率P一般小于或等于乘積UI。由圖2—23的電壓和阻抗三角形可知，功率因數(shù)

COSφ＝UR/U＝R/

因此，式(2-24)可寫成如下兩種形式

P＝UIcosφ＝UIUR／U＝URI或

P=UIR/=I2R可見，平均功率等于電阻元件上的電壓有效值與電流有效值的乘積。它是真正被電阻消耗的功率，這也就是稱它為有功功率的理由。

62對電阻元件而言，因為u、i之間的相位差角φ＝00，即cosφ二、無功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源之間的能量交換，在交流電路中采用了無功功率的概念，它是與有功功率相對應而得名的。一般正弦交流電路中，無功功率定義為

Q＝Ulsinφ(2—25)

顯然，無功功率的量綱與有功功率相同。如前所述，為了區(qū)別，將無功功率的單位取為無功伏安，簡稱乏(var)。電路的無功功率是由儲能元件引起的。在感性電路中，φ>0，Q>O；而在容性電路中，φ<0，Q<O。所以，根據(jù)電路的不同性質(zhì)，將無功功率區(qū)分為正值無功(感性)和負值無功(容性)。在電感和電容元件中，由于φ＝±900，由式(2－24)可以得到瞬時功率

p＝UIcos(±900)－UIcos[2ωt+(±900)]＝UIsin2ωt還可以由式(2—25)看到

Q＝UIsin(±900)＝±UI63二、無功功率與視在功率和功率三角形

為了反映電路元件與電源這一結論，與電感或電容元件電路中得出的結論完全相同。習慣上，把無功功率視為能夠“消耗”或“產(chǎn)生”的，并且視電感為消耗無功功率，而視電容為產(chǎn)生無功功率。這是因為實際中感性負載較多，它們的電流滯后于電壓，故規(guī)定感性負載吸收正無功功率，或稱消耗無功功率，而在電容元件或容性電路中，電流超前于電壓，相對于感性無功功率而言，稱它為吸收負的無功功率，或稱產(chǎn)生無功功率。電抗元件中瞬時功率的平均值為零，這說明它們不消耗有功功率，只儲存磁場能量或電場能量，并且以二倍電源頻率與電源進行交換。在電阻元件中，由于φ＝0，因此無功功率Q＝0。無源一端口網(wǎng)絡的電壓有效值與電流有效值之乘積，我們稱它為視在功率，用符號S表示；即

S＝UI(2－26)為了區(qū)別，視在功率的單位不用瓦(W)或乏(var)，而采用伏安(VA)。由式(2－24)和(2－26)可得出：功率因數(shù)cosφ等于有功功率與視在功率之比；即

COSφ＝P/UI＝P/S64這一結論，與電感或電容元件電路中得出的結論完全相同。習慣上，交流電氣設備的容量通常用額定視在功率來表示；在使用中電壓和電流不能超過其額定值，即輸出功率不能超過其額定容量。交流電源實際發(fā)出的功率與功率因數(shù)有關，cosφ愈大，發(fā)出的有功功率愈多，當cosφ=1時，輸出的有功功率等于其額定容量，即p＝SN＝

UNIN。分析有功、無功、視在功率三者之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)將電壓三角形三邊分別乘以I便得到與其相似的直角三角形，稱為功率三角形。我們把電壓、阻抗和功率三個三角形畫在同一圖中，如圖2—25所示。由于阻抗和功率均不是正弦量，因此圖中沒有畫成相量(即不畫箭頭)。由圖2—25可知，P、Q、S三者之間的關系是S＝√P2+Q2功率因數(shù)角

φ=arctgQ/P上式中的角有正、負之分。對于感性電路，在相位上電流滯后于電壓，Q>0，φ>o；而容性電路，電流超前于電壓，Q<0，φ<0。65交流電氣設備的容量通常用額定視在功率來表示；在使用中電壓和電§2—9功率因數(shù)的提高及簡單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的意義

電力系統(tǒng)中，存在著大量的電感性負載。這些感性負載與電源設備進行能量交換，從電源獲取大量感性無功功率。

由式

cosφ＝P/S＝P/√P2+Q2

可知，無功功率數(shù)值越大，功率因數(shù)cosφ就越低。低功率因數(shù)將會帶來下列不良后果：

(1)電源設備的利用率降低。一般電源設備都是根據(jù)額定電壓和額定電流設計的，其額定容量為

SN＝UNIN

在運行中其工作電壓和工作電流不允許超過額定值。當電源設備的額定容量一定時，根據(jù)

P＝UNINcosφ＝SNcosφ

可知，電源發(fā)出的有功功率正比于用戶的功率因數(shù)。例如，容量為1000kVA的發(fā)電機，當用戶的功率因數(shù)cosφ＝0.9時，能輸出900kW的有功功率；而當cosφ＝0.45時，僅能輸出450kW的有功功率?？梢?，同一臺發(fā)電機供電給不同功率因數(shù)的負載，輸出的有功功率是不

同的。上述發(fā)電機在cosφ＝0.9狀態(tài)下運行輸出的有功功率為cosφ＝0.45狀態(tài)時的兩倍。這說明，功率因數(shù)低，發(fā)電設備的利用率就低，而且與之配套的原動機也不能充分利用，因而造成設備的浪費。66§2—9功率因數(shù)的提高及簡單并聯(lián)電路

一、提高功率因數(shù)的(2)增加線路壓降和功率損耗。

用電設備在一定的功率和電壓下運行時，由

I＝P/UCOSφ

可知，cosφ越低，取用的電流就越大。電流越大，供電線路的阻抗上引起的電壓降(為IlZl)和功率損耗(為I2R)越增加。功耗的增加，浪費了電能；電壓降的增加，影響了供電質(zhì)量，如電壓太低負載將不能正常工作(如日光燈起動不起來，電動機不能正常運行，電燈亮度不夠等)。

因此，為了充分利用發(fā)電設備的容量，提高供電質(zhì)量和節(jié)約電能,必須設法提高功率因數(shù)。

(3)以后要講到，同步發(fā)電機在端電壓一定的條件下，cosφ越高(指感性負載)，所需的勵磁電流越小，從而減輕勵磁裝置的負擔，并改善發(fā)電機的發(fā)熱狀況。67(2)增加