2023年上半年教師資格證《高中數(shù)學(xué)》真題及答案

2023年上半年教師資格證《高中數(shù)學(xué)》真題及答案[單選題]1.已知g(x)在可導(dǎo)，且g(1)=1，若，，則導(dǎo)數(shù)的值是()。A.0B.1C.A.D2a正確答案：C參考解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)間(x)在可導(dǎo)，故f(x)=在上可導(dǎo)，則，故。C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為C。[單選題]2.點(diǎn)x=0是函數(shù)的()。A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)正確答案：D參考解析：本題主要考查函數(shù)的間斷點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處沒有定義，故函數(shù)在該點(diǎn)處不連續(xù)，且不存在，故該點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。D項(xiàng)正確。A、B、C三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為D。[單選題]3.設(shè)，是n階向量，是內(nèi)積，是向量的模長，則()。A.B.C.D.正確答案：B參考解析：本題主要考查內(nèi)積的計(jì)算的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)槭莾?nèi)積，故。B項(xiàng)正確。A、C、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為B。[單選題]4.對于任意，若，則T是()。A.投影變換B.對稱變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.正交變換正確答案：A參考解析：本題主要考查投影變換的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)?，故T

是投影變換。故A項(xiàng)正確。B、C、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為A。[單選題]5.過點(diǎn)的直線方程是()。A.B.C.D.正確答案：C參考解析：本題主要考查直線方程的相關(guān)知識(shí)。因?yàn)橹本€過點(diǎn),直線的方向向量為，根據(jù)對稱式可知，直線的方程為。C項(xiàng)正確。A、B、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為C。[單選題]6.甲乙兩人獨(dú)立的對同一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，其命中率分別為0.4和0.5，則目標(biāo)被命中的概率是()。A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9正確答案：B參考解析：本題主要考查隨機(jī)事件的概率的相關(guān)知識(shí)。目標(biāo)不被命中的概率為，則目標(biāo)被命中的概率是。B項(xiàng)正確。A、C、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為B。[單選題]7.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)突出的四條內(nèi)容主線是()。A.函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)B.函數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)C.代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)D.代數(shù)、函數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)正確答案：A參考解析：本題主要考查課標(biāo)的相關(guān)知識(shí)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，高中數(shù)學(xué)課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程。A項(xiàng)正確。B、C、D三項(xiàng)：與題干不符，排除。故正確答案為A。[單選題]8.下面不適合作為指數(shù)函數(shù)模型教學(xué)的是()。A.種群增長問題B.放射物衰減問題C.復(fù)利問題D.自由落體問題正確答案：D參考解析：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。A項(xiàng)：在一定條件下，若某種群的起始數(shù)量為，若每年的增長率都保持不變，設(shè)第二年的種群數(shù)量是第一年的倍，那么t年后該種群的數(shù)量為。與題干不符，排除。B項(xiàng)：設(shè)t=0時(shí)，放射性物質(zhì)的數(shù)目為，則t時(shí)間之后，（λ為衰變常數(shù)）。是指數(shù)函數(shù)模型。與題干不符，排除。C項(xiàng)：若在期初存入本金為A，利率為i，存n期后的本金與利息之和為。與題干不符，排除。D項(xiàng)：自由落體運(yùn)動(dòng)中的速度為v=gt，位移是，不涉及到指數(shù)函數(shù)增長。D項(xiàng)表述錯(cuò)誤，為正確選項(xiàng)。本題為選非題，故正確答案為D。[問答題]1.設(shè)h為常數(shù)，討論，在空間直角坐標(biāo)系中所表示的空間類型。正確答案：詳見解析參考解析：若h<0，則，在平面內(nèi)即為，，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；若h>0，則，在平面內(nèi)即為，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；

若h=0，則，在平面內(nèi)即為，則表示兩條過原點(diǎn)的直線。[問答題]2.已知向量組，，，。（1）證明向量組是三維空間的一組基；（4分）（2）求向量在基底下的坐標(biāo)。（3分）正確答案：詳見解析參考解析：（1）證明：設(shè)存在一組不全為零的數(shù)使得，則對應(yīng)的線性方程組為，解得，故向量組

線性無關(guān)，是三維空間的一組基。（2）記向量

在基底

下的坐標(biāo)為，即，對應(yīng)的方程組為，解得，所以向量

在基底

下的坐標(biāo)為（–6，3，17）。[問答題]3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）服從區(qū)域G={(n，m)|-2n2，-2m2}上的均勻分布。（1）求隨機(jī)變量X的概率分布；（3分）（2）令Z=min{X,Y}，求隨機(jī)變量Z的概率分布。（4分）正確答案：詳見解析參考解析：（1）根據(jù)題意可知，,則X的邊緣分布密度為，則①當(dāng)x<-2時(shí)，；②當(dāng)x>2時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，。故X概率分布為。（2）由（1）可知，，且，，則，故X、Y獨(dú)立同分布，則，則：①z<-2時(shí)，；②z>2時(shí)，；③時(shí)，；則[問答題]4.簡述長方體模型在學(xué)習(xí)直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直位置關(guān)系中的作用。（答出兩條即可）正確答案：詳見解析參考解析：①幫助認(rèn)識(shí)復(fù)雜、抽象的幾何圖形。在學(xué)習(xí)空間中直線、平面以及二者關(guān)系的過程中，借助長方體為載體，可以將抽象的空間圖形轉(zhuǎn)化為更直觀、形象的長方體中的棱長所在的直線、各個(gè)面，所在的平面，幫助建立空間想象能力，提高邏輯推理能力。例如，如圖所示：長方體中的任意兩條棱長所在的直線的位置關(guān)系為直線和直線平行或直線和直線垂直，如//，，與異面等；容易得出直線和平面的位置關(guān)系為，長方體中的棱所在的直線和其他平面的關(guān)系可能為平行、垂直或者在平面內(nèi)，如直線//面，直線，直線在面ABCD內(nèi)等；容易得出長方體中的平面和平面的關(guān)系為平行或相交（包括垂直），如：面//面；面面等；②輔助計(jì)算數(shù)量關(guān)系。借助向量法研究空間中直線和直線、直線和平面以及平面和平面位置關(guān)系時(shí)，可以利用長方體中的一頂點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以過該頂點(diǎn)所在的三條棱長為直線分別為x軸、y軸和z軸，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)后進(jìn)行求解。[問答題]5.數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意知識(shí)的階段性和關(guān)聯(lián)性，請寫出高中數(shù)學(xué)中與“函數(shù)單調(diào)性”密切相關(guān)的具體知識(shí)。（答出5條即可）正確答案：詳見解析參考解析：①函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性要結(jié)合函數(shù)的區(qū)間說明才有意義；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。在求解函數(shù)發(fā)f(x)的單調(diào)性的過程中，可以借助函數(shù)得出在該區(qū)間上單調(diào)遞增；借助得出在該區(qū)間上單調(diào)遞減。③求函數(shù)的極值。利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性質(zhì)畫出草圖，結(jié)合極值的定義判斷誰是函數(shù)的極大值、誰是函數(shù)的極小值。④求最值問題。根據(jù)在給定區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性的判斷，得出函數(shù)值最大的即為最大值，函數(shù)值最小的即為最小值。⑤求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出極值和最值之后，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相對位置，即函數(shù)與x軸的交點(diǎn)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。[問答題]6.證明：函數(shù)在上一致連續(xù)。正確答案：詳見解析參考解析：①任取，易知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上[a,b]上連續(xù)，由一致連續(xù)性定理，則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)；②對于區(qū)間，對于，取，對于，當(dāng)時(shí)，有，即f(x)在區(qū)間上一致連續(xù)；③同理，f(x)區(qū)間上一致連續(xù)。綜上所述，f(x)在上一致連續(xù)。[問答題]7.寫出對數(shù)的概念和3條運(yùn)算性質(zhì)，并結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)談?wù)勀銓?shù)加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算互相轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。正確答案：詳見解析參考解析：寫出對數(shù)的概念和3條運(yùn)算性質(zhì)，并結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)談?wù)勀銓?shù)加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算互相轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且，，那么①；②；③。首先，對數(shù)乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算之間是借助指數(shù)運(yùn)算得到的，例如：設(shè)，，因?yàn)?，所以，根?jù)對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系可得，，，即；其次，對數(shù)的乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算之間的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系可以幫助在不同的情境中選取合適的計(jì)算方法簡化計(jì)算，提升解題的效率。[問答題]8.下面是某教師關(guān)于“建立直線的點(diǎn)斜式方程”的教學(xué)片段。教師：如圖直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k，設(shè)P(x,y)是直線上不同于的任意一點(diǎn)，如何由，P(x,y)兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線的方程？學(xué)生甲：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，P(x,y)兩點(diǎn)，由過兩點(diǎn)的直線斜率公式，得

，我認(rèn)為這就是直線的方程。……教師：直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足關(guān)系式嗎？坐標(biāo)滿足關(guān)系式的每一個(gè)點(diǎn)都在直線上嗎？學(xué)生乙：由前面的直線方程就可以看出：直線上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足關(guān)系式；坐標(biāo)滿足關(guān)系式的每一個(gè)點(diǎn)顯然也都在直線上?！瓎栴}：（1）學(xué)生甲的回答正確嗎？為什么？（2）學(xué)生乙的回答不嚴(yán)謹(jǐn)，請說明理由并完善。正確答案：詳見解析參考解析：（1）學(xué)生甲的回答不完全正確，因?yàn)樵谥本€l經(jīng)過點(diǎn)，P(x,y)是直線l上不同于的任意一點(diǎn)的時(shí)候，當(dāng)P(x,y）與

的橫坐標(biāo)不同時(shí)，可以得出斜率，可以得出在該條件下的直線方程為，這是過點(diǎn)的直線l的一種情況；若點(diǎn)時(shí)，也存在過點(diǎn)的直線l，但不能用上述方程表示。因此該方程不適用過點(diǎn)但斜率不存在的直線。（2）學(xué)生乙的回答不嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)榘腰c(diǎn)代入之后，可以看出分母為，此時(shí)k無意義。故不能說直線l上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足關(guān)系式；①因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)是直線l上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，故由斜率公式可得，即，可知過點(diǎn)，斜率為k的直線l上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該直線方程；②假設(shè)的坐標(biāo)滿足方程，即，若，則，說明點(diǎn)與重合，于是可得點(diǎn)在直線l上；若，則，這說明點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率為k，于是可得點(diǎn)在過點(diǎn)、斜率為k的直線l上。綜上，說明該方程為過點(diǎn)、斜率為k的直線l的方程。[問答題]9.高中數(shù)學(xué)課程要求“借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與夾角的關(guān)系，掌握余弦定理”。某教材部分內(nèi)容如下：1.余弦定理我們知道，邊長和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，這說明，給定出邊及其夾角的三角形是唯一的。也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及夾角來表示。那么、表示的公式是什么？在

中，三個(gè)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？因?yàn)樯婕暗氖侨切蔚膬蛇呴L和它們的夾角，所以我們考慮用向量的數(shù)量積來探究。如圖6.4.8，設(shè)，，，那么。我們的正弦定理是用和C表示，聯(lián)想到向量數(shù)量積的性質(zhì)，可以考慮用向量加減運(yùn)算（即a-b）與其自身做點(diǎn)乘運(yùn)算。由①得……

完成下列任務(wù)：（1）根據(jù)上述材料，寫出用向量方法證明余弦定理的過程；（2）設(shè)計(jì)“余弦定理”這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，并確定教學(xué)重點(diǎn)；（3）針對上述材料中“探究”的問題，設(shè)計(jì)3個(gè)課堂提問，引導(dǎo)學(xué)生從三角形的邊角關(guān)系入手，逐步探索用向量方法證明余弦定理，并說明設(shè)計(jì)意圖。正確答案：詳見解析參考解析：（1）證明：如圖，設(shè)，，那么，=，所以同理可知，，。（2）教學(xué)目標(biāo)：①知道余弦定理的公式，理解余弦定理公式的推導(dǎo)過程，掌握余弦定理，并能夠運(yùn)用余弦定理解決一些測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。②學(xué)生用過推導(dǎo)和歸納的過程，提高推理論證能力和抽象概括能力。③學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極參與對數(shù)學(xué)問題的解答，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理的公式，理解推導(dǎo)過程中使用的方法，能夠利用余弦定理解決問題。（3）問題1：回憶直角三角形的三邊關(guān)系，并根據(jù)該特征思考，若不是直角三角形時(shí)，三邊又會(huì)有什么關(guān)系呢？預(yù)設(shè)回答：學(xué)生回憶，若斜邊為a，則直角三角形的三邊關(guān)系為。設(shè)計(jì)意圖：通過熟悉的知識(shí)引出與猜想，幫助學(xué)生建立起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，啟發(fā)思考不是直角三角形的三邊是否也存在一定的等量關(guān)系，或從邊角關(guān)系入手，進(jìn)而進(jìn)入到學(xué)習(xí)狀態(tài)中。問題2：任意畫出一