高中數(shù)學空間向量及其運算題庫

空間向量其運算空間向量線性運算學習目標

了解空向量量的模向量反向量相等向量線量等的概會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，了解向量加法的交換律和結合掌握數(shù)乘向量運算的意義及運算律．知識點一空間向量的概念．空間中，把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或．空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，向量a起點是，終點是，→→則向量可記AB，其模記為或|.．類特殊的空間向量名稱零向量單位向量相反向量相等向量共線向量或平行向量

定義及表示起點與終點重合的向量叫做零向量，記為0模為的向量稱為單位向量與向量度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為－方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量有向線段所在的直線叫做向量的基線．如果空間中一些向量的基線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量知識點二空間向量的加減運算運算律．似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算．→→→OB＋＝a＋b→→→＝－OCab．間向量加法交換律＋b＋a，空間向量加法結合律＋)＝a＋(b＋)．知識點三數(shù)乘向量運算．數(shù)與向量的積與平面向量一樣實與間向量乘積λ然是一個向量稱為向量的數(shù)乘運算記作λ，其長度和方向定如下：λ＝λ|.當λ時λ與向量a方向相同；當λ時與向量向相反；當＝，a.．間向量數(shù)乘運算滿足以下運算律(μ)＝(λ)a；(ab)＝aλb．若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同，則終點也相同(√

)．向量沒有方向．×

)．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量(×)．空間向量的數(shù)乘中λ只決定向量的大小，不決定向量的方(×)題型一空間向量的概念理解例下關于空間向量的說法中正確的()A空間向量不滿足加法結合律．若a＝，ab的長度相等而方向相同或相反→→→→→→．若向，CD足AB＞CD，B＞．相等向量其方向必相同考點空向量的相關概念及其示方法題點相、相反向量答案D解析A中，間向量滿足加法結合律B中|＝b只說明，的長度相等而方向不確定；C中向量作為矢量不能比較大小，故選D.給出以下結論：①兩個空間向量相等，則它們的起點和終點分別相同；→→②在正方體ABCD－AD中，必A＝C；1111③若空間向量m，n，滿m，＝，則m＝.中不正確的個數(shù)是)A0B1C2D．3答案B解析兩空間向量相等，它們起點、終點不一定相同，①不正確；在正方體ABCD－→→AD中必A＝C成立，正確；顯然正確．故選B.111反思感悟在間中向量向的模相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．→→→跟蹤訓練1(1)在行六面體-ACD中下列四對向量：①與CD；AC與111→→→→→BD；與；④AD與B其中互為相反向量的有n對則于)11A1C．

B2D．答案B→→→→→→解析對①與DAD與長度相等方向相反互為相反向量于與BD11111→→長度相等，方向不相反；對于④與B長度相等，方向相同．故互為相反向量的有2對．11如圖，在長方體ABCD′B′′′，＝3＝2AA′＝，則分別以長方的頂點為起點和終點的向量中：單位向量共有多少個？試寫出模為5所有向量．→試寫出與向量相等的所有向量．→試寫出向量A′的所有相反向量．解

→→→→①于長方體的高為1所以長方體的四條高所對應的向AA，A′ABB′，′，→→→→CC′C′DDD′，共8向量都是單位向量，而其他向量的模均不1，故單位向量共有8個→→→②由于長方體的左右兩側面的對線長均為5故模為5的量D′，′A，′D，→→→→→′BC，′B，′，′→→→→③與向量AB相等的所有向量(除它自身之)有A′B′，及′C′→→→→→④向量AA′的相反向量有′A，B′B，′CD′D.題型二空間向量的加減運算例2如，已知長方-A′B′′D，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量．→→AA′－CB→→→AA′＋＋B′′解

→→→→→→→(1)AA′－＝AA－＝′＝′→→→→→→→→→AA′＋＋B′′(′＋AB＋B′′′B′C′AC′→→向量AD′，AC′如圖所示．引申探究→→→→利用本例題圖，化簡′A′B′′′CA解

結合加法運算→→→→→→→→′′′′AB＋B′′AC，′C′A＝0.→→→→故AA＋A′B′′C′＋C′＝.反思感悟空向量加法、減法算的兩個技巧巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關鍵，靈活應用相反向量可使向量間首尾相接．巧用平移用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法運算時要意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結果．→→→→跟蹤訓練在圖所示的平行六面體中，求證＋AB′′＝2AC.證明∵行六面體的六個面均平行四邊形，→→→→→→→→→∴＝＋，′AB＋AA′，AD＝＋′→→→∴＋′′→→→→→→＝(AB＋AD)(AB＋′＋(ADAA)→→→＝＋＋′．→→→→又∵′′，＝BC→→→→→→∴AB＋′＝AB＋＋′11→→→＝＋′AC→→→→∴＋′′＝′題三

數(shù)向運→→→例如所，在平行六面體ABCD－ABCD中，A＝aAB＝ADcMN111分別是，D的點，試用a，，表以下各向量：11→→→→AP(2)A；(3)MPNC.1解

→→→(1)AP＝ADDP11→→1＝(AA＋AD)＋AB1＝a＋.→→→A＝A＋AN11→→→＝－AA＋AB＋AD12＝－＋＋c→→→→→→→MPNC＝(MA＋D＋)＋(NC＋CC)11111→→1→→→＝＋AB＋AD＋AA2→→→＝＋AD21＝a＋＋2引申探究CP1若把本例中“P是D的點”改為“P在線段CD上且＝”其他條件不變，如11PD21→何表示A？→→→→→→2解AP＝AD＋＝AA＋＋AB＝＋＋11133反思感悟利數(shù)乘運算進行向表示的技巧數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)．跟蹤訓練3如，在空間四邊形中，，分別是對邊，BC的點，點在→→→→MN上MG2GN如圖所示記OA＝aOB＝b＝用向量ac表示向O.→→→→2→1→→→211解＝OM＋MG＝＋＝OA(＋OC＋CN＝＋[a＋＋(b－)]2321＝a＋＋3對空間向量的有關概念理解不清誤典例下說法中，錯誤的個數(shù)()①若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同；→→→→→→→→②若向BCD足AB＝CD，與D向，則B>CD；→→→→→→③若兩個非零向AB，CD滿足A＋＝，則AB，CD互為相反向量；→→④ABCD充要條件是與C重，與D重．A1B2C3D．4考點空向量的相關概念及其示方法題點相、相反向量答案解析①誤，兩個空間向量相，其模相等且方向相同，但與起點和終點的位置無關．②錯誤，向量的?？梢员容^大小但向量不能比較大?。壅_，由＋CD0，＝－CD，所以ABCD為相反向量．→→→→→→④錯誤，＝CD充要條件是AB＝CD，，CD向．但A與C，B與D不定重合．故一共有3個誤命題，正答案為C.[素評]掌握空間向量的相關概念是正確解答本的關鍵．準確把握推理的形式和規(guī)則，有利于培養(yǎng)學生的合乎邏輯的思維.．列命題中，假命題()．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同．只有零向量的模等于．空間中任意兩個單位向量必相等答案D→．平行六面體ABCD－AD中，與向AD相等的向量共有)111A1個B．2個．3個D答案→→→→解析與AD相等的向量有AD，BC，C共．11．量，互相反向量，已＝3，則下列結論正確的()AabC．與b方相

B＋為數(shù)0D．＝答案D解析向a，互相反向量，則ab模相等、方向相反．故D正．→→．知空間四邊形，連接，BD設MG分是BCCD的點，MG＋→等于()→→→→DBB．3MGC．GMDMG答案B→→→→→→→→→→→解析MG－＋＝MG(AB－＝－DBMG＋2＝MG．正方體ABCDACD中，已知下列各式：111→→→→→→→→→→→①(AB＋)CC；②(＋A)＋C；(ABBB)＋BC；④＋)＋B中1111111→運算的結果為C的有_______．1答案→→→→解析根空間向量的加法運算及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷(＋＋＝AC1→→CC＝AC；11→→→→→→②(AA＋D)＋D＝AD＋＝；111111→→→→→→③(AB＋BB)＋B＝AB＋AC；1111→→→→→→④(AA＋B)B＝AB＋BC＝AC1111111→所以4式子的運算結果都是C.1．一些特殊向量的特性零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的．單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是兩個向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚g向量加法、減法運算的兩個技巧巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．巧用平移利用三角形法則和平四邊形法則進行向量加法運算時務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結一、選擇題．列命題中為真命題的()→→．向量AB與B的長度相等．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓．空間向量就是空間中的一條有向線段．不相等的兩個空間向量的模必不相等考點空向量的相關概念及其示方法題點相、相反向量答案A解析對選項B，其終點構一個球面；對于選項，向量不能用向線段表示；對于選項D，量a與向量b相等，未必它們的模不相等，故選→→→．知空間四邊形，連接ACBD則＋＋CD為()→→→A.BDC.ACD．0答案A→→→→→→解析AB＋＋CD＝ACCD＝AD.→→→→3圖所示D是間四邊形O的的點＝aOCcD為)(＋)cC.(b＋)－a

(c－D．＋(＋c答案→→→解析AD＝＋→1→→＝－OA(OB＋)＝－＋(＋．→→→．正方體ABCDACD中，向量表達D－AB＋BC簡后的結果是)111→→→→A.B.DBC.D.DB1

1答案A→→→→→→→→→→→→解析如所示，∵＝，－＝AA－BA＝，∴DD－＋11111→→＝BD1→→→在間移ABC到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′C′接對應頂點A′＝AB＝＝是′→的中點是′C的中點，如圖所示，用向量，，表示向M等于()a＋＋c1＋b＋c2C．a(chǎn)＋a答案D→1→1→解析MN′′＝→→如，四棱柱的上底面ABCD，＝，則下列向量相等的是()→→A.ADCB→→ACD

→→B.OAC→→DO與OB答案D→→→→解析∵＝DC，∴＝DC，∥DC，即四邊形為行四邊形，由平行四邊形→→的性質(zhì)知，DO＝→→如，平行六面體－ACD中M為AC與交點，AB＝，A＝，1111→→A＝，則下列向量中相等的向量()111A－a＋c2＋b＋cC.a－b＋c1D．－＋c2答案A→→→解析M＝B＋1→→→＝A＋(＋BC1＝＋(＋＝－＋＋.→→→為正六邊形所平面外一點O為六邊形ABCDEF的心＋PB＋→→→＋＋＋PF等()→→→→APOBPO．6POPO答案→→→→→→→解析由是正六邊形ABCDEF的心OA＋＝＋OEOCOF，∴PA→→→→→→→→→→→→→→→→→＋＋PC＋PD＋＋PF＝＋OA＋PO＋OB＋＋OC＋PO＋＋＋＋PO＋→＝6.二、填空題．知向量a，互平行，其中，c同，向＝3b＝2|＝1則ab＋＝________.考點空向量的加減運算題點空向量的加減運算的應答案→→→．直三棱柱ABC-AB中若CAa，C＝bCC＝，＝111答案－＋－解析如，→→→A＝＋1→→→＝C＋(CB)1→→→＝－CC＋－CA1＝－＋11給出下列幾個命題：方向相反的兩個向量是相反向量；若a＝|b，則aba＝－b；對于任意向量，，有＋≤a＋|b其中正確命題的序號________．考點空向量的相關概念及其示方法題點空向量的定義與模答案③解析對①長度相等且方向反的兩個向量是相反向量，錯誤；對②若＝，則ab的度相等，但方向沒有任何系，故不正確；只③確．三、解答題12.如圖所示，在平行六體ABCD－′B′C′′，化簡下列表達式．→→AB；→→→AB＋′→→→AB＋′→→→AC′＋D′B－DC.解

→→→(1)AB＋BC＝AC.→→→→→AB＋′AC′→＝′→→→→→→→AB＋′AB＋′＝DB→→→→→→→→→→→AC′＋D′B－DC(＋＋′)＋(DADC＋′)－DC＝13.如圖所示，在三棱柱ABC-AB中M是的點．化簡下列各式，并在圖中標出化11簡得到的向量：→→CBBA；1→→→AC＋AA；1→→→－－CB1解

→→→(1)＋BACA1因為M是BB的點，1→→所以BM.→→又AABB，1→→→→→→所以AC＋＝BMAM1→→→→→→→→→－－CB－＝BA向A，AM，BA如所示．11．