高數(shù)下-yaf高數(shù)課件

第二數(shù)量積向量*混合兩向量的數(shù)量積兩向量的向量積*向量的混合積小結(jié)思考題作業(yè)第七第七間解析幾何與向數(shù)量量*混合一、兩向量的數(shù)量1.1.定實(shí)例一物體在常

F作用下沿直線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)M2,

表示位移,力

所作的功W|

||

|

F與的夾s啟示兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量s a定義向量a與b的數(shù)量積為aaaa

|||

|

a與b的夾2*baabaaa

|||

|b|b

|

jba a

|a|

jaa重

|b|

ja|bb

|PrjbaaPrjb

a

Prja

a |a |b結(jié)論：結(jié)論：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.(兩向量的數(shù)量積的幾何意義)數(shù)量量*混合

|||

|aa數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積“內(nèi)積aa注對非b有

為銳角為鈍角

aa

關(guān)于數(shù)量積的說明 aa|a|證aa

|a||

|

|a|24數(shù)量量*混合

ab

此時(shí)也

a與

正交

a

|a|

|b|

ab.()

ab,

a

|

i、j、k互相正交i

j

ki5數(shù)量量*混合2.2.交換律

b

(可用定義證a分配律a

(aa

b) cabcc cabcc若為數(shù)：(a

a(b

b

為數(shù)

(b

ba(4)aa

|a

.此外aa

a2記aaa26數(shù)量量*混合向量的數(shù)量積是否滿足消去律注向量的數(shù)量積不滿足消去律即在一般情況下ac0bb , 事實(shí)上ac0b

即b a

ac,是說

c)

c與a垂直未必bc c(ab)(ca)b.注平行于

的向量≠平行

的向7數(shù)量量*混合

求 若|

|5,|

|

(a,b)

u

3b的模注:

u

2|

|3|b||

|2|23b|2分配a 分配a

(2a3b)

3b2a2a

3b

3ba4|a

12a

9|b

4

12|

aa

|cos3

9

8數(shù)量量*混合用向量的數(shù)量積,證明恒等式a2|b|2|ab|22||2|ba2aa即,平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平a和(如圖

a證|ab|2|aba

(ab)(ab)

b)(ba aaa2a| 2a|

2a2

bb|2b|

a

2a

b9數(shù)量量*混合3.3.aaax

ayjazk

b

byjbzkab(axi

ayjazk

(bxiby

bzk i

j

ij

j

ki律 律

j||

|iij

kkabaxbxayby

azbz數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)數(shù)量積向量積*aaaa

|||

|

4.兩向量的夾4.兩向量的夾(數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用a|a||bcos

axbxayby

兩向量夾aaa aaa

bbb bbb

余弦的坐表示由此可知兩向量垂直的充要條件ab

axbx

ayby 數(shù)量積的物理意義

力F推動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所作的W

(即實(shí)例*a例已知a

(1,2,2(1)a

(2)

a與b的夾角 (3)a在b上的投影

a

111(2)

(4)

(2)

cos

axbx

ayby

2a2xy2a2xy2azb2b2bxyz

3 a(3)a

|

ja

Pr

ja

a

|b數(shù)量量*混合例證明向量c與向

(b

垂直(ac

c證[(ac)b(bc)a]

(由分配律ccccc(b c)[acac

[(ac

c*下列命題是否正aa

|a

錯(cuò),等式左邊沒意義

|a|2b錯(cuò)(3)(a

|

|2|

b|2錯(cuò)(4)(a

b)

|a

|b 對數(shù)量量*混合二、兩向量的向量1.1.定實(shí) 設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)力作用于這杠桿上P點(diǎn)處.力F與OP的夾角為力F對支點(diǎn)O的力矩是MM|M||

它的模

||

|P M的方向垂直于OP與P 所決定的平面,指向符右手系* a定義向量a與b的向量積為caa大小|

|||

|

a與b的夾方向

的方向既垂直于a,又垂直于b,指向符合右手系

aa

0

sin

a//b

ab

(a

b數(shù)量量*混合

a//b

ab

(a

b證()

ab

|a| |b|asin0,a

0,

//a()a

//

sin|a

||a||

|

反交換

ab 2.b 2.baa分aa

(a

b)c

a

bc;若為

(

(b)

b數(shù)量量*混合向量的向量積是否滿向量的向量積不滿足消去律即在一般情況下ab

a

a

b 注向量的向量積不滿 向量積有明顯的物理意義,P307例 數(shù)量量*混合3.a3.a

axi

ay

azk

b

by

bzka

(axi

ay

azk

(bxi

by

bzkii分

j

kk配ij律

jk

kijik

kj

ik(aybz

azby

(azbx

axbz)

(axby

aybx向量積的坐標(biāo)表達(dá)數(shù)量積向量積*混合 a|aa

||

||

|

a

ab 向量積還可 三階行列式表

abaxbb

ay az by 由上式可推

ax ay

az x

by bx,by,bz不能同時(shí)為零,但允許兩個(gè)為零例ax0

ay0

bb|b|

ay|a

|表示以a和為鄰邊的平行四邊形的面積向量積的幾何意 *下列命題是否正

b)

b)

a

b (2)

b)a]

b *求與a

2

4k,bi

j都垂直的單位向量解

cabax ay az by 10j102102525|c 5c0

55c| k55c數(shù)量量*混合例已知三角形的頂

C(1,3,1),計(jì)算從頂點(diǎn)B到邊AC的高的長度解

AB

三角形ABC的面積1S 2

AC

2

2|AC|

42

(3)2

S1|2

252

2

數(shù)量量*混合

a(3,6,8)和x軸提兩種方法提

用向量積或數(shù)量積

用向量積.設(shè)x

i,單位向量為n0nai

(3,6,8)

2n0 2

4,3|n

0

5法二用數(shù)量積

設(shè)

(nx,ny,nzan0

n0

|n|

即可得數(shù)量量*混合設(shè)

a

5b,

18b,CD

b試證A、B、D分用向量證三點(diǎn)共線只要證明AB分其方法有兩種

證

證

BD證用法

BD

CD

2(a

5b

A、B、D三點(diǎn)共線希自己再用法(2)證,試比較哪種方法簡單**向量的混合設(shè)已知三個(gè)向量

bc,

(ab)c c稱為這個(gè)向量的混合積,記為[abca設(shè)a

axi

ay

azk

b

by

bzkccxi

cy

czkax

ay az [abc](ab)ccx

by cy cz混合積的坐標(biāo)表達(dá)*關(guān)于混合積的說明 (1)向量混合積的幾何意 向量的混合 [abc

(ab)

a 是這樣的一個(gè)數(shù) 它的絕對值表 以向量 為棱的平行六面體的體積a,b,c

[abc

(ab)c

(bc)

a)

三向量a、b

共面[abc*(b(b)(b)caac例已計(jì)

[abc] [(ab)(bc)]

a). 解[(ab(bc)](ca)

[aba

b

bc)](ca)

(ab)

(ac)c 0c(b)0c(b)cc(ab)0a()aca 0a(bc)

(ab)2(ab)c2[abc 數(shù)量量*混合例已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)A(x1y1B(x2y2z2C(x3y3z3),D(x4y4z4),求四面體 幾何知,四面體的體積等于以向AB,AC,

為棱的平行六面體的體積的六之一

V1[AB6

ABACAD

(x2(x3(x4

y2y3y4

y1,z2y1,z3y1,

z1z1z1*ABAB(x2x1,y2AC(x3x1,y3AD(x4x1,y4V6

[AB[ ]abc(a[ ]abc(ab)ax ay azbx by cx cy 6式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致**四、小向量的數(shù)量向量