第5講-向量、方程組,特征值特征向量2015基礎(chǔ)

n維向量、向量的線性組合與線性表示向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、性質(zhì)及判別法求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩,向量組的秩與矩陣的秩間的關(guān)系齊次線性方程組有非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解與解的結(jié)構(gòu)求齊次和非齊次線性方程組的通矩陣的特征值與特征 n個(gè)有次序的數(shù)a1a2an所組成的數(shù)組稱(chēng)為n維向量.n維向量寫(xiě)成一行，稱(chēng)為行向量，通常用T,T等表示，如：aTaa, n維向量寫(xiě)成一列，稱(chēng)為列向量，通常用等表a1如：aaTC數(shù)aT2 注意行向量和列向量總被行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量m個(gè)n維列向量所組成的向量組1,2,,m構(gòu)成一個(gè)nm矩陣A(1,2,,m)

T,

T,T 1T B 定義:給定向量組A1,2,,m，對(duì)于任何一k11k22km稱(chēng)為向量組的一個(gè)線性組合給定向量組A1,2,,m和向量如果存在一組數(shù)1122mm則向量是向量組的線性組合，這時(shí)稱(chēng)向量能由向量組A線性表示．即線性方程組:x11x22xmm 有解定義:給定向量組A:1,2,,m如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,kmk11k22kmm則稱(chēng)向量組是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān)．注意1.若1,2,,n線性無(wú)關(guān)則只有當(dāng)1n0時(shí)才有1122nn01,2,,nXx11x22xnn03.對(duì)于含有兩個(gè)向量的向量組它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例1,2當(dāng)m2時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是1,2,,m中至少有一個(gè)向量可由其余m1個(gè)向量線性表示．定理:向量組1,2,,m線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A(1,2,,m)的秩小于向量個(gè)數(shù)m;向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是RA)m. 0 2已知 2 4 2 2 2解:(,,) 4 2 2 7 5 0 1,2定義:設(shè)有向量組A，如果在中能選出r個(gè)向1,2,,r，滿(mǎn)（1）向量組A0:1,2,,r線性無(wú)（2）向量組中任意r1個(gè)向量都線性相那么稱(chēng)向量組A0是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)定理:矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等它的行向量組的秩1,21,2,,r 11,29,3 解：構(gòu)造矩陣 5 4

向量組1，2，

線性無(wú)求向量組1 0)T,2 1)T35

1)T 4 1)T的秩

1)T解:作矩陣A

5對(duì)A作初等行變換,化A為階梯

2A

5

6 46 1 2 2 6 4 4 5 1 的列RA故向量組1

5的秩為a11x1a12

a1nxn x x 設(shè)線性方程組

amnxn a1n x1 b1

x bA(,)

2n x 2 2

x b x1x

mn

n mAx(,) 2xxx

x x n

齊次方程組AX定理1 n元齊次線性方程組Amnx0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩RAn.解的情況只有兩種：只有零解和非零解；根據(jù)未知數(shù)個(gè)數(shù)n，和rA)來(lái)判斷AX0只有零 r(A) AX0有無(wú)窮多解rA從向量組的角度看:AX01,2,,s線性相關(guān)1,2,,t稱(chēng)為齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系如果1,2,,t是Ax0的一組線性無(wú)關(guān)的解(2)Ax0的任一解都可由1,2,,t線性表示如果1,2,,t為齊次線性方程組Ax0的一組基礎(chǔ)解系那么,Ax0的通解可表示為xk11k22其中k1,k2,,knr是任意常數(shù)當(dāng)RArn時(shí)方程組必有含nr基礎(chǔ)解系1,2nr,此時(shí),方程組的解可表xk11k22其中k1,k2,knr為任意實(shí)數(shù)RA時(shí)求齊次線性方程x12x2x3x3x 0的基礎(chǔ)解系與通解 2 012 0132 11A

0 x x0 xx1x x0 x 即得基礎(chǔ)解 1,并由此得到通 1 1 x1 xc1，c為任意實(shí)2 1 3 x12x3x4 xx 3x2x35x4解:對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩陣 A 2 5

0 x12x3x40x12x3 xxx x 當(dāng)：x31x40時(shí)，x12x2當(dāng)：x30x4時(shí)，x11x22 11 1通解為：k

k

k1,k2為任意實(shí)11 20 非齊次方程組AX n元非齊次線性方程組Amnxb有解陣BA,b的秩.AX無(wú) r(A|)r(AX唯一 r(A|)r(A)AX無(wú)窮多解rA|)rAAX有解1,2r(1,2,n,)r(1,2,n設(shè)Ax的解,是方程Ax的解則x仍是方程Axb的解非齊次線性方程組Ax xk

.其中k11knrnr為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解x12x3x4 xx 3x2x35x4解:對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩02202202113131731A 13 3

121 100 00 x12x3x42x12x3x4 xxx xx

21 取xx0,則x2x1,即 對(duì)應(yīng)的齊次

00 0 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通2 11 1k k 11 20

k1k2為任意

x1 2 1 2x 1 1 1原方程組通2k

k x 11 20 03 x4 0 1 0(k1,k2為任意常數(shù)3x15x26x34x4x2x4x

4x5x2x 3x18x224x319x4

43

3 3 4 5A

3 3 15

5

7

0 0

0

0 0

75 0 0

0

0 0 當(dāng)x31x40時(shí)有x18x2當(dāng)x30x4時(shí)有x17,x25得基礎(chǔ)解系8 51 ,2 則通解為：x

k22k1k2為任意常1 00 1 2x1x2x3 2xx 的通解

2x3AA22，對(duì)A作初等行變421414 2 2 4 2

4 6 2 x為自由未知量，對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解為：k13

非齊次方程組的特解 非齊次方程組的通解為：k12

定義設(shè)A是n階矩陣如果數(shù)和n維非零列向量使關(guān)系式A成立那么這樣的數(shù)稱(chēng)為方陣的特征值非零向量稱(chēng)為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.說(shuō)明特征向量0特征值問(wèn)題是對(duì)方陣而言的n階方陣的特征值就是使齊次線性方程組AEx0有非零解的值即滿(mǎn)足方程AE0的都是矩陣的特征值a11

A

0

an

ann稱(chēng)以為未知數(shù)的一元n次方特征方

A

0為f

A

,它是的n次多項(xiàng)式,稱(chēng)其為方陣的特征多項(xiàng)設(shè)n階方陣Aaij的特征值為12,n,則 12na11a22ann 12nA求特征方AE的全部根12,n就是的全部特征值對(duì)于特征值i求齊次方程組AiEx的非零解,就是對(duì)應(yīng)于i的特征向量 求A 3 解3 3

(3x)21862(4)(2所以的特征值為1223

1x10 32x 0 2 x1x2 即x 解得x1x2所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為p1當(dāng)24時(shí),

113 1x10,即1

1x10 34x

0

1x

0 2 2 解得x1x2p21. 定理設(shè)12,m是方陣的m個(gè)特征值p1,p2pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量.如果12,各不相等p1p2,pm線性無(wú)關(guān)注意屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的．矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的,一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；的特征值是，則A1的特征值是An的特征值是nkAE特征值是k定 設(shè)A,B都是n階矩陣,若有可逆矩陣P,P1AP則稱(chēng)B是的相似矩陣,或說(shuō)矩陣A與B相似.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P1AP稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換,可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成的相似變換矩陣. 若n階矩陣與B相似,則與的特征多項(xiàng)式相同,從而與的特征值亦相同.1 n相似,則12,,n即是的n個(gè)特征值n階方陣A若可找到可逆矩陣P使P1AP為對(duì)角陣這就稱(chēng)為把方陣A定 n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似(即A能對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 P1AP，P的列向量p就是A的對(duì)應(yīng)于特征值 特征向量如果n階矩陣的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有n的特征向量，從而矩陣A 2判斷矩陣A能否對(duì)角化,A 4 24 22412解1)A247242122,3122代入A1E0得方程組x12x22x3 2 22x4 4 解之得基礎(chǔ)解1 0.

2x4 4

0 1 不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)，所以A可以找到三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即A可對(duì)角化. 0 求矩陣A 2 1 AE

3 2

(2)(1所以的特征值為1223當(dāng)12時(shí)解方程A2E)x 0 0A2E 0