概率統(tǒng)計(jì)建模方法電腦閱讀版

1 2 括:空間解析理論、線(xiàn)性代數(shù)、微積分;概率與統(tǒng)計(jì)、時(shí)間序列、多因素綜合評(píng)價(jià);數(shù)值計(jì)算方法;差分與微分方程等;排隊(duì)論、對(duì) 擬、灰色系統(tǒng)理論、優(yōu)化算法(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、蟻群算法等)為了培養(yǎng)學(xué)生的這種能力3年AB年AB作物生長(zhǎng)的施肥效果問(wèn)化學(xué)試驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)數(shù)通訊中非調(diào)的足球甲級(jí)聯(lián)問(wèn)山區(qū)修建公路的設(shè)計(jì)鎖具的制造、銷(xiāo)售和裝箱問(wèn)飛機(jī)的安全飛行管理天車(chē)與冶煉爐的作業(yè)最優(yōu)捕魚(yú)策略節(jié)水洗衣機(jī)的程序設(shè)零件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)石截?cái)嗲懈钔顿Y的收益和風(fēng)險(xiǎn)災(zāi)情的巡視路線(xiàn)自動(dòng)化機(jī)床控制管理地質(zhì)堪探鉆井布局DNA序列的的訂購(gòu)問(wèn)三維血管的重建車(chē)的優(yōu)化調(diào)度汽車(chē)車(chē)燈的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)中的數(shù)學(xué)SARS問(wèn)露天礦生產(chǎn)的車(chē)輛安奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)電力市場(chǎng)的輸電阻塞4年AB長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)與預(yù)DVD租賃問(wèn)的資源管理療法的評(píng)價(jià)及口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)“乘,看奧運(yùn)”問(wèn)題數(shù)碼相機(jī)定位高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制眼科病床的合理安排儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與問(wèn)城市表層土壤重金屬題交巡務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度題葡萄酒的評(píng)價(jià)能小屋的設(shè)計(jì)車(chē)道被占用對(duì)城市道的影碎紙嫦娥三號(hào)軌道設(shè)計(jì)與控策創(chuàng)意平板折疊5研導(dǎo)向;大規(guī)模變量眾多;數(shù)據(jù)海量(須借助數(shù)學(xué)軟件);數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜(通常伴隨缺失或異常數(shù)據(jù)).網(wǎng)絡(luò)和邏輯方法等建立模型值(即數(shù)學(xué)期望)等的作用來(lái)體現(xiàn).本課程主要從應(yīng)用角度出發(fā),介紹在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中與6第1 概率模型與建模方§1P(B)P(BAi)P(AiP(BAi)P(BAi)P(AiiP(AB)iP(BAi)P(Ai7nPXkCkn

pk

p)nk

k0,1,,EXnp,DXnp(1PXkke k0,1,kEXDX量;道路的車(chē)流量;保單的索賠次數(shù)等的研究.8 kP(A)f(k;r,p)Cr1prqkr,(1r kr=1時(shí)即為幾何(或等待)分布,P(Bk)P(Xk)qk1p,(kEX1,DX 94[a,b]上的均勻分布,X~U ,x[a,f(x)b 0,x[a,EX

a

DX

的均勻分布隨量X,通過(guò)變換F-1(X)可得到隨量.這種方法稱(chēng)為蒙特卡洛方法.10伽瑪(Gamma)分布f(x)()

1e

,x x取α=1,β=λ,則得到指數(shù)分f(x)

ex

xx

EX1,DX 2f(x)f(x)1(n/,xn22,xn/2e0x11正態(tài)分布X~N(,2

(x2f(x) 2

2

,xEX,DX X~N(0,1)(x)

212,… nb,YaEX,b2 nb,YB記n2B記n

Xk 林德貝格條件 0

B2

xa

xak

dFk(x)n

k 費(fèi)勒條件:limmax 0或lim ,lim k

n

n 林德貝格-費(fèi)勒定理:13 足以下條件:X與Y具有連續(xù)的密度函數(shù)X與Y相互獨(dú)立 f(X,Y)(x,y)僅與(x,y)到原點(diǎn)的距離r 則X與Y均服從正態(tài)分布,

X~N(0,2),Y~N(0,214§2 驗(yàn)或其它方式掌握了需求量X的隨機(jī)規(guī)律,即P[X=x]=P(x),則通過(guò)P(x)和a,b,c就可建立關(guān)于批發(fā)量的優(yōu)化模型.

15方法1采用概率方法求解:n,x隨 需求量xn,則他售出x份,退回(n-x)份;若這天需求量xn, S(n)(ab)x(bc)(nx)P(x)(ab)nP(x) 問(wèn)題變?yōu)?當(dāng)P(x)及a,b,c已知時(shí)求使S(n)達(dá)到最大值的為便于分析和計(jì)算,同時(shí)考慮需求量x的取值和n都相當(dāng)大,故將x視為連續(xù)變量,這時(shí)概率P(x)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)f(x),S(n)的表達(dá)式變?yōu)?6nnS(n)nn

0(ab)x(bc)(nx)f(x)dx

(ab)nfS(n)

(bc)

f(x)dx(ab)

f(x)dxn n

f(x)d a

n n

f(x)df(x)dx

ba

P1

nf(x)dx,P2n

f(x)d 報(bào)紙份數(shù)應(yīng)該越多.17 n (bc)(n供不應(yīng)求時(shí)失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)的損失期

(ab)(x 總損失期望L(nbc)(nx)P(x(ab(x aL(n)

n

P(x)

a

P(x)

a

nP(x)P(x)

a

由此確定最佳訂購(gòu)批量18n解法二:計(jì)算n n供過(guò)于求時(shí)贏(yíng)利期望值為(abx(bc)(n供不應(yīng)求 (ab)nP(x) 期望值C(n)(ab)x(bc)(nx)P(x)(a 最佳訂購(gòu)批量n

C(n)C(n

P(x)

ab

C(n a

由上述兩種解法可看出,盡管損失的最小期望值與的批量是一個(gè)確定數(shù)值.另外,本模型有一個(gè)嚴(yán)格的約定,即兩次19類(lèi)似的問(wèn)題設(shè)某貨物的需求量在17件至26件之間,x概率能使總利潤(rùn)的期望值最大解此題屬于單時(shí)期需求是離散 量的存貯模已知b=5a=10

P(x)

10

0.625

nn

P(x)n=20（件20實(shí)例二、火災(zāi)次數(shù)分析問(wèn)題描述:()某地區(qū)911應(yīng)急服務(wù)中心在過(guò)去一年內(nèi)每月收到171個(gè)房屋火災(zāi),據(jù)此火災(zāi)率被估計(jì)為每月171次,下個(gè)月 分析:記Xn表示第n-1次和第n次之間的時(shí)間間隔則{Xn}之間相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為λ(每月的火災(zāi)率) (x)exi,x0, 目標(biāo):給定λ=171時(shí),確定收到153

(x)exi,x0, EXi

1,

DXi2n21n

Xi

1.96 1.96n nXn

將n=153,λ=171代入

0.753Xi

Xi10.753,1.037 相比較,只是一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)λ=171

n

Xinn

n nn

22nnXn nn

n因?yàn)閷?duì)任何n∈[147,199],區(qū)間nn

總會(huì)包含值為λ,將n=153代入

153對(duì)任何λ∈[128,178],

總會(huì)包含即λ=153∈[128,178]屬于正常范圍

23軋(粗軋)形成鋼材的雛形;第二道冷軋(精軋)得到最后成品.整,均方差由設(shè)備精度決定(無(wú)法隨意改變).若熱軋后鋼材長(zhǎng)度比規(guī)定長(zhǎng)度短,則整根鋼材報(bào)廢;冷軋后超出規(guī)定長(zhǎng)度的部分切除.冷軋?jiān)O(shè)備精度很高,軋出的成品材可認(rèn)為完全符合規(guī)根據(jù)軋制工藝要求,要在成品材規(guī)定長(zhǎng)度l和熱軋后鋼材費(fèi)最少.

24當(dāng)成品材規(guī)定長(zhǎng)度l給定后,記x≥l的概率為P,即PP(xl) f 軋制過(guò)程中的浪費(fèi)包括以下兩部分熱軋后鋼材長(zhǎng)度達(dá)不到成品材規(guī)定長(zhǎng)度造成的整根鋼材報(bào)廢已知量l和σ及待定量m將其表示出來(lái). Wxf(x)dx (xl)f(x)dxxf(x)dx f W=m- 25問(wèn)題:以Wmlp分析:軋鋼的最終產(chǎn)品是成品材,浪費(fèi)多少不應(yīng)以每熱軋一根鋼材的平均浪費(fèi)量來(lái)衡量,而應(yīng)該用每根成品材浪費(fèi)的平均長(zhǎng)度來(lái)衡量,故目標(biāo)函數(shù)應(yīng)選用每根成品材所浪費(fèi)鋼材的平均長(zhǎng)度.熱軋N根鋼材,得到PN根成品材,浪費(fèi)的總長(zhǎng)度為(mN-

(mNlPN)m 由于l為已知常數(shù),J(m)

其中P(m)P(xl)只要求出使J(m)達(dá)最小的

f(x)dx是m

26J(m)

記μm/σλl 1

1l

………………..則(3)可表示為J()

再記z=λ- 則(3)也可表示為J(z)(1(z)利用微分求函數(shù)極值,易知極值點(diǎn)(最優(yōu)值)zz1(z)G(z)(z)

從(6)解得z*,代入(5),(4)得m最優(yōu)值m*,易知當(dāng)z0時(shí)G(z故(6)僅有唯一負(fù)根z*,再進(jìn)一步地可z*使得J(z取得極

J(z*)

27解由于λ=l/σ=20,解方程(6)z*代入(5)及(4)得μ=22.1,m*=2.21,即最佳均值應(yīng)調(diào)整為2.21米,從而得P(m*)0.9821,故每根成品材浪費(fèi)鋼材平均長(zhǎng)度J(m*)=m*/P(m*l=0.25米.使用,此時(shí)模型的建立和求解更復(fù)雜,請(qǐng) 自行完善.

28 (平 )等 數(shù)據(jù)),用統(tǒng)計(jì)處理方法和理論分析來(lái)確定零

29 量X表示零件 ,則分布函F(t)=P{X≤t},表示零件在t時(shí)刻之前失效概率零件的可靠度:零件在tR(t)PXt1F(t),t 00EX tf(t)dt tdF00

零件在t時(shí)刻仍能使用,而在(tt+Δt)PXtt|XtF(tt)F(t)F(t)tf(t)t

1r(t)f(t)

若某設(shè)備中有N個(gè)零件,記n(t)為t時(shí)刻以前失效的零件數(shù),n(t)Nn(t)30第1階段:早期失效期主要由于材料或制造工藝上的缺陷第2階段:偶然失效期本階段零件的失效率r(t)基本保持不第3階段:老化失效期r(t)急速變大,應(yīng)采取維修或更換等保證設(shè)備正常運(yùn)行 X<T時(shí)進(jìn)行故障后更換,當(dāng)X=T仍然能正常工作時(shí)進(jìn)行預(yù)防性更換(不計(jì)更換時(shí)間),使31TTL(T)

0tdF(t)

TdF(t)T

F(t)dt

R(t)dt(7)TTTT

c(T)c1F(T)c2Tc(T)c(T)c1c2F(T)T

L(T

T滿(mǎn)足c(T極小值的T應(yīng)滿(mǎn)足c(TTr(T

R(t)dtF(T)

T h(T)r(T)T

R(t)dtF(T 32

R(t)dt h()r()h(T)r(T) 0

R(t)dtr(T)R(T)

r(T)TR(t)dtf(T)f(T)r(T)T

2 h(T)r(T)TR(t)dtF(T) 20

c21).若r(t)為增函數(shù)即r(t)0,r()1 c1c2i.e.r( c1c2時(shí)存在唯一有限的T0,minc(T)c(T)c1c2r(T2).若找不到這樣的T,則說(shuō)明不存在預(yù)防性更換策略 33幾種常 f(t)et,0;tEX1;R(t)et,r(t);h(T)0

etdtF(T)不存在預(yù)防性更換策略伽瑪Γ(α,λ)分 f(t) (t)1et,0;t0EX;r(t)

;r(t)0;r()1x 1x c1/(c1-c2威布爾(Weibull)分布f(t(t)1e(t),0,0;tEX

111;r(t)(t)1;r(t)2( 134實(shí)例五、SARS 對(duì)SARS 收集SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù),建立相應(yīng)的數(shù)型并進(jìn)行預(yù)測(cè)題目提供的模型N(t)=N0(1+K)t(認(rèn)為病理隨時(shí)間t按指數(shù) 每天可傳染人數(shù)(一般認(rèn)為較小 缺點(diǎn)是過(guò)于簡(jiǎn)單,所有因素對(duì)SARS 的影響都體現(xiàn)在K上, 與題目已提供的模型類(lèi)似,利用生滅過(guò)程,類(lèi)似隨機(jī)人口模型建立的方法,從宏觀(guān)角度出發(fā)建立模型t時(shí)刻的人數(shù),用X(t)表示,記Pk(t)為t時(shí)刻時(shí){X(t)=k}的概率.35 的概率是 離開(kāi)傳染系統(tǒng)的概率SARS病程分析及模型求 ,在時(shí)間(t,t+Δt)內(nèi)有一 離開(kāi)傳染病系統(tǒng)概率kμ(t)Δt+ 加入傳染病系統(tǒng)的概率kλ(t)Δt+o(Δt); 1kμ(t)Δtkλ(t)Δt+36 為k的概率Pk(t+Δt)= 數(shù)不變的概率 數(shù)k-1,Δt內(nèi)增加一個(gè) 的概率}+ 數(shù)k+1,Δt內(nèi)減少一個(gè) 的概率}+ 數(shù)k-n,Δt內(nèi)增加n個(gè) 的概率}+ 數(shù)k+n,Δt內(nèi)減少n個(gè) Pk(t)1k(t)tk(t)tPk1(t)(k1)(t)tPk1(t)(k得微分方

k(t)(t)Pk(t)(k1)(t)Pk1(t)(k37簡(jiǎn)單情況下,假定λ(t)=λ及μ(t)=μ與時(shí)間無(wú)關(guān),t=0時(shí)有N0 x1xe()tG(x,t)

x1xe()t 1Gk(x,Pk(t)k

xEX(t)G(x,

Ne()

x DX(t)

00

e()

38 用4元,平均交貨期10天,交貨期內(nèi)不同耗用量X的概率分布見(jiàn)若需求增大或送貨延期,就會(huì)發(fā)生缺貨或供貨中斷,為防止由儲(chǔ)備,平時(shí)一般不用,僅當(dāng)存貨過(guò)大或送貨延期時(shí)才使用.39練習(xí)題2:較之足球單場(chǎng)競(jìng)猜異常火爆的場(chǎng)面,籃球彩經(jīng) NBA/CBA近年比賽結(jié)果,建立概率模型描述得分情況. 獎(jiǎng)概率.:掃雷作為策略游戲,需要游戲者精確的判斷.的 快 秒,中級(jí)則是由秒.而初級(jí) 是秒,世界上多人達(dá)到了這一點(diǎn).在秒的時(shí)間里完成初級(jí)掃雷,據(jù)測(cè)5％至0.011％之間(屬于運(yùn)氣題),最可能的方法是直接點(diǎn)擊四個(gè)角的方.對(duì)于任意級(jí)別的掃雷游戲,給出適當(dāng)?shù)睦追植技僭O(shè),考慮如何在最短的時(shí)間完成掃雷游.？40章馬§1變量(或隨機(jī)向量)來(lái)描述.很多情況下人們需要對(duì)化過(guò)程,這就要研究無(wú)限多個(gè),即一族隨量.隨41定義1設(shè)T是一個(gè)實(shí)數(shù)集合,{Xtt∈T}量,若任給t∈T,Xt是一個(gè)隨 量,則稱(chēng){Xt,t∈T}為T(mén)稱(chēng)為參數(shù)集合,參數(shù)t∈T可看作時(shí)間.Xt的每一值所構(gòu)成的集合稱(chēng)為狀態(tài)空間,E.當(dāng)參數(shù)集合T為對(duì)T中任意nFtt(x1,,xn)PXtx1,,Xt Ft1tn(x1,,xn),tiT,i1,,n;n1,

為隨機(jī)過(guò)程{Xt,t∈T的有窮維分布函數(shù)族.它完整42例1在一自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)上檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量,每次取一個(gè),“廢品”記為1,“合格品”記為0.以Xn表示第n次檢驗(yàn)結(jié)果,則Xn是一個(gè)隨量.不斷檢驗(yàn)得到一列隨量X1,X2,…，記為{Xn,n=1,2,…}.它是一個(gè)隨機(jī)序列,其狀態(tài)空間例2在m個(gè)商店聯(lián)營(yíng)出租照相機(jī)業(yè)務(wù)中(顧客從其中一個(gè)商店租出,可到m個(gè)商店中任意一個(gè)歸還),規(guī)定一天為一個(gè)時(shí)間單位,“Xtj”表示“t天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)照相機(jī)在第j個(gè)商店j1,…,m.則{Xn,n=1,2,…}是一個(gè)隨機(jī)序列,其狀態(tài)空間E={1,2,…,m}.例3統(tǒng)計(jì)某種商t時(shí)刻的庫(kù)存量,對(duì)于不同t,得到一族隨量,{Xt,t∈[0,∞]是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,狀態(tài)空間E=[0,R],其中R為最大庫(kù)存量.43§

模型,這種系統(tǒng)的特點(diǎn)是即已知現(xiàn)在,將來(lái)與過(guò)去無(wú)關(guān)(無(wú)后效性).44定義2設(shè){Xnn=1,2是一隨機(jī)序列,狀態(tài)空間E列集,m,n,若ijik∈E(k=1n-1),PXnmj|Xni,,X1i1PXnmj|Xn則稱(chēng){Xnn1,2為一個(gè)馬爾可夫鏈(簡(jiǎn)稱(chēng)馬氏鏈),定義3設(shè){Xnn=1,2是一個(gè)馬氏鏈.如果等式(2)n無(wú)關(guān),PXnmj|Xni 則稱(chēng)為時(shí)齊的馬氏鏈.稱(chēng)pij(m)為系統(tǒng)由im個(gè)時(shí)間間隔(或m步)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率.(3)式稱(chēng)為時(shí)齊性.時(shí)齊性的含義:系統(tǒng)由狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率只依賴(lài)于時(shí)間452轉(zhuǎn)移概率矩陣及柯?tīng)柲缍ɡ韠Xn,n=1,2,…},m步轉(zhuǎn)移概率pij(m)為元素的矩陣P(mpij(m))m步轉(zhuǎn)移矩陣.m=1時(shí),P(1)=P稱(chēng)為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移矩ij∈E0pij(m)對(duì)一i∈E

pij(m)

當(dāng)ij對(duì)一

i,jE,pij(0)

0當(dāng)ij得到,也可由過(guò)去經(jīng)驗(yàn)給出,還可根據(jù)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)).46例4每隔15分鐘觀(guān)察一次某計(jì)算機(jī)運(yùn)行狀態(tài),收集了24小時(shí)(97次數(shù)據(jù).用1表示正常狀態(tài),用0表示不正常狀態(tài),得數(shù)據(jù)序列如下,求一步轉(zhuǎn)移概率矩陣.解Xn(n=1,…,97)n個(gè)時(shí)段的計(jì)算機(jī)狀態(tài), 編程如f00=length(findstr('00',a)),f10=length(findstr('10',a)),運(yùn)行得0→0011011的轉(zhuǎn)移頻數(shù):f00= f01= f10= f11=

0|

4, 1|

8

8 0|

9, 1|

18

18 47formatratwhile(~feof(fid))(一(一步轉(zhuǎn)移概率矩陣):ffori=1:2f48例5(帶反射壁的隨機(jī)游動(dòng)問(wèn)題)在數(shù)軸+1及s(s>1)處各有一個(gè)彈性壁.質(zhì)點(diǎn)在+2處開(kāi)始隨機(jī)游動(dòng).p(0<p<1)向右或q(=1-p向左移動(dòng)一個(gè)單位;若到達(dá)+1處,則以概率p反射到2或以概率q停在原處;若到達(dá)s處,則以概率q反射到s-1或以概率p停在原處.設(shè)Xn表示徘徊n步后的質(zhì)點(diǎn)位置.{Xn,n=1,2,…}是一個(gè)馬爾可夫鏈,E={1,2,…,s},求轉(zhuǎn)移矩陣p q,p p,j2;p

p,ji

p,jq,js 1

p00pp00p00q0000q0000qqqP

其 其000p0 0 ps49定理1(柯?tīng)柲? {Xnn1,2,…}是一個(gè)馬爾可夫鏈,E1,2則對(duì)任意正整數(shù)m,n和ij∈Epij(nm)pik(n)pkj(mk定理2設(shè)P是一個(gè)馬氏鏈轉(zhuǎn)移矩陣(P的行向量是概率向量),P(0)是初始分布行向量,n步的概率分布為P(n)=P(0).Pn.50例6若顧客的 51解第一 的概率分布 P(0)

P

程序

p=[p=[

即顧客第四 各家味精的概率P(3)P(0)P3 522.3轉(zhuǎn)移概率的漸近性質(zhì)—定義4設(shè)P是一個(gè)概率轉(zhuǎn)移矩陣,若存在某一正整數(shù)k,使Pk的每一元素都為正數(shù),則稱(chēng)P為正則矩陣.設(shè)P是一個(gè)概率轉(zhuǎn)移矩陣,若存在行向量u,使得uP=u,即u是P的特征值為1的特征向量,則稱(chēng)u為P的不動(dòng)點(diǎn)向量.若Pn的極限矩陣的每一行向量均等于不動(dòng)點(diǎn)向量u,則稱(chēng)對(duì)應(yīng)的馬氏鏈具有遍歷性.若不動(dòng)點(diǎn)向定理3若PP有唯一的不動(dòng)點(diǎn)向量u,u的每個(gè)分量為定理4設(shè)時(shí)齊(齊次)馬氏鏈{Xn,n=1,2,…}的狀態(tài)空間為E={a1,…,aN},P(pij)是其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,若存在正整數(shù)m,使對(duì)任意的aiaj∈E,都有pij(m)>0,i,j=1,…,N,則此鏈具有遍歷性,且有唯一的極限分布u=(u1,…,uN)53例7據(jù)例6中給出的轉(zhuǎn)移矩陣,預(yù)測(cè)經(jīng)長(zhǎng) 傾向如何 轉(zhuǎn)移矩陣P滿(mǎn)足定理4的條件,為此解方程組uP=u,u10.8u10.5u2 0.1u0.1u u0.1u0.4u

u3 u 7

13 84 后,A、B、三廠(chǎng)味精市場(chǎng)占有率分別為 54formatp=[0.8formatp=[0.80.10.1;0.50.10.4;0.50.3也可用矩陣P的轉(zhuǎn)置矩陣PT的特征值1對(duì)應(yīng)的特征(概率)p=[0.8p=[0.80.10.1;0.50.10.4;0.50.3p=sym(p');%fori=1:3x[ NaN,Infp1

Inf],InfInf],Inf5/7p11 2 2.4

55 123411234100.4230.4 4 1P最后一行中的1表示:當(dāng)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)4時(shí),系統(tǒng)將停留56n×n轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式為P

0rs

0 S Pn

ss 0 Sn FIS-1為基矩陣57定理5吸收鏈的基矩陣F中的每個(gè)元素,表示從定理6設(shè)F為吸收鏈的基矩陣,C=(11…1)T,則NFC的每個(gè)元素表示從非吸收狀態(tài)出發(fā),到定理7設(shè)B=FR=(bij),其中F為吸收鏈的基矩陣,R為(4)式中的子陣,則biji出發(fā),被吸收狀態(tài)j吸收的概率.58例8(智力競(jìng)賽問(wèn)題)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行智力競(jìng)賽.競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:競(jìng)賽開(kāi)始時(shí)甲、乙兩隊(duì)各記2分,在搶答問(wèn)題時(shí),若一個(gè)隊(duì)贏(yíng)得1分,則另一隊(duì)減少1分.當(dāng)甲(或乙)隊(duì)總分達(dá)到4分時(shí)競(jìng)賽結(jié)束,甲(或乙)獲勝.根據(jù)隊(duì)員率為1-p,求：甲隊(duì)獲得1、2、3分的平均次數(shù)是多少解甲隊(duì)得分有5種可能,即0、1、2、3、4,分別記為狀態(tài)a0,a1,a2,a3,a4,其中a0和a4是吸收狀態(tài),a1a2和a3是非吸收狀態(tài).過(guò)程是以a2作為初始狀態(tài).根據(jù)甲隊(duì)贏(yíng)得1分的概率為p,建立轉(zhuǎn)移矩陣P5910000100001 Pa2aa3

1 0p 1 p

a4 1 a0 0a 04 Pa11

0 aa2a3

1 1

pp0601 0

0PI2 0,中R 0,S1 S

1

0 1

F S)1

12pq

1pq

a2

33f21

12

,f22

12

,f23

126112p2 NFC

12pq

n 2n

(2)據(jù)定理6,甲隊(duì)最終獲勝之前平均轉(zhuǎn)移次數(shù)n 1(1

BFR

12pq

24 (1pq) 34(1)據(jù)定理7,甲隊(duì)最后獲勝的概率b2412若取p?則b240.5;p2/3,則b2462 symspq[-q/(--1/(--p/(-[-q^2/(--q/(-(-1+p*q)/(- f[-q/(--1/(--p/(-[-q^2/(--q/(-(-1+p*q)/(- -(q+1+p)/(-b=[(-1+p*q)/(-1+2*p*q)*q -q^3/(-

-p^3/(--p^2/(-(-1+p*q)/(-63例9設(shè)有一固定長(zhǎng)為m的 類(lèi),或?yàn)锽類(lèi).若父代 個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布Bin(m,k/m).記Xn 個(gè)數(shù),并設(shè)X1=i.求若m=3,求最終所 若m>3,求最終所 解(a)Xn|

~Binm

Xn1 E mXn1

EXnEmim

Xn1EXn1EX264 P j iCji

3 ij ,i,j0,1, iji

33

3 0 18/P

4/ 2/

1/21/ 2/ 4/ 8/30 30 30 03

0I2 00018/ 1/21/ 8/

4/ 2/SS2/ 4/655/ 15/

6/7基矩陣F

S1

2/9 5/9

6/

6/78/ 1/272/ 1/3BFR

6/ 15/71/ 8/ 1/ 2/ 綜合從0出發(fā)被3吸收的概率為0;從3出發(fā)被3吸 (被狀態(tài)3吸收)的概率為i/3.用數(shù)學(xué)歸納法證明m>3時(shí)最終m 的概率為i/m66§3策的依據(jù).個(gè)聯(lián)營(yíng)部,聯(lián)合經(jīng)營(yíng)出租相機(jī)的業(yè)務(wù).游客可由甲、意一處即可.估計(jì)其轉(zhuǎn)移概率如下表所示,今欲選擇館為最好?67還相機(jī)甲乙丙丙00解Xn表示相機(jī)第n次被租時(shí)所在店址;“Xn=1”、“Xn=2”、

0P

0.1 的極限概率分布68P滿(mǎn)足定理4的條件,不動(dòng)點(diǎn)u存在,解方程組u10.2u10.8u2

u3

u

甲方便,便于零配件的 乙館.69例11(健康與疾病問(wèn)題)人的健康狀態(tài)隨著時(shí)間的推移 健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8,而今年患病、

n年健解記狀態(tài)Xn

n年疾狀態(tài)概率ai(nPXnii12n70 pijP(Xn1jXni),i,j1,2,np110.8 p121p110.2 p210.7 p221p21Xn+1只取決于Xnpij與Xn-1Xn-2無(wú)關(guān),狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無(wú)后效性.由全概率公式得a1(n1)a1(n)p11a2(n)p21,a2(n1)a1(n)p12a2(n)給定a(0a(nn0123∞投保時(shí)10投保時(shí)疾01可知:n時(shí)狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值,穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)71

狀態(tài),則有

33一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P

k a(n1)3 a(n)pk

k設(shè)投保時(shí)處于健康狀態(tài),預(yù)測(cè)a(n),n0123……∞1……00……00……1 72例12(鋼琴銷(xiāo)售的存貯策略)鋼琴銷(xiāo)售量很小,商店的庫(kù)存量不大,以免積壓 .一家商店根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì),平均每周的鋼琴需求為1架.現(xiàn)采用如下存貯策略:每周末檢查庫(kù)存量,僅當(dāng)解問(wèn)題分析:顧客的到來(lái)相互獨(dú)立,需求量近似服從泊松分布,參數(shù)由需求均值為每周1架確定,由此計(jì)算需求概率.存貯策略是周末庫(kù)存量為零時(shí)訂購(gòu)3架周末的庫(kù)存量可能是0,1,2,3,周初的庫(kù)存量可能是1,2,3.用馬氏鏈描述不量不同,失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)(需求超過(guò)庫(kù)存)的概率不同.可按穩(wěn)73模型建立Dn表示第n周需求量,Dn～ k)1e1,(k0,1, 1233Sn表示第n周初庫(kù)存量(狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)

Sn

Dn

Dnp11P(Sn11Sn1)P(Dn0)p12P(Sn1p13P(Sn1

Sn1)Sn1)P(Dn1)p33P(Sn13Sn3)P(Dn0)P(Dn3)74 p13

0.632狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣P

23

p33

ai(n)P(Sni),i1,2,

0.632

a(n1)a(n)P,P 已知初始狀態(tài),可預(yù)測(cè)第n周周初的庫(kù)存量

因P2>0,故P正則,馬氏鏈為正則鏈,穩(wěn)態(tài)概率uuP uu1,u2,u30.285,0.263,n→∞時(shí)的狀態(tài)概 a(n)(0.285,0.263,n充分大時(shí)P(Sn=iui,i

75估計(jì)在這種策略下失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)的可0123>P10.5%第n周失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)的概率10.5%P(DnSn)

P(Dn

Sni)P(Sn估計(jì)這種策略下第n周的平均銷(xiāo)售

jP(Dj,Si)iP(Di,

jP(DjSi)iP(D

Si) i1

長(zhǎng)期看,每周的平均銷(xiāo)售量為0.857(架

76當(dāng)平均需求在每周1架附近波動(dòng)時(shí),最終結(jié)果有多大變化設(shè)

P(

P(Dn

k)

kek

,(k0,1,

1

P

1(1 2e/

1(2/2)e n周n充分大)PPDnSn*P771.背景:賣(mài)小狗寵物店每天需在每只小狗身上花費(fèi)10元錢(qián),因此 數(shù)x內(nèi),所賣(mài)出的小狗的數(shù)量服從泊松分布(λ=0.1).顧客來(lái)到店里時(shí),若店里沒(méi)有寵物賣(mài),則該顧客就到別的寵物店去.若寵物店預(yù)定小狗,則所預(yù)定的小狗需6天后才能到店每賣(mài)出一只小狗,就新預(yù)定一只.此策略意味著每次店里只有一個(gè)小狗,故寵物店就不會(huì)花費(fèi)太多在小狗身上.寵物店每隔10天就預(yù)定一只新的小狗,該狗6天后到.問(wèn)題:1. 編程模擬這兩種策略,并比較哪種策略好2.請(qǐng)?zhí)岢龈貌呗?寫(xiě)出數(shù)學(xué)證明,并 模擬78類(lèi)似問(wèn)題 背景:生物的外部表征 決定分優(yōu) d和劣 r兩種完全優(yōu) 遺傳:每種外部表征由兩 可以是d,r中的任一個(gè).形成3種 類(lèi)型:dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R. 類(lèi)型為劣種,外部表征呈劣勢(shì). 形成它的兩 .父母 類(lèi)型決定后 類(lèi)型的概率 父母類(lèi)型組后代各類(lèi)型的概D1000H001R010079隨機(jī)繁殖:討 類(lèi)型的演變情況,假設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等 類(lèi)型的分布相 類(lèi)型比例D:H:R=a:2b:c(a+2b+c=1), p=a+b,則群體中優(yōu) 和劣 比 d:r=p:q狀態(tài)Xn=1,2,3~第n代的 屬于D,H,狀態(tài)概率ai(n)~第n代的 屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概80pijPXn1j(后代類(lèi)型)Xni(父類(lèi)型p11PXn11(后代為dd)Xn1(父為dd)pp12PXn12(后代為dr)Xn1(父為dd)qp13PXn13(后代為rr)Xn1(父為dd)0pPX1(后代為dd)X2(父為dr)1p

P

2(后代為

2(父為dr)1p1q

0 q

P

2

a(n1)a(n)P,n q81a(0)(a,2b,c);a(1)a(0)P(p2,2 2);a(2)a(1)P(p2,2 2pab,qbc;a2bca(0)wwPp22pqq2自然界中通常p=q=1/2解釋“豆科植物的莖,綠色:黃色 =>類(lèi)型為D和H,優(yōu)勢(shì)表征——類(lèi)型為R,劣勢(shì)表征——黃近親繁殖:在一對(duì)父母的大量后代中,雄雌隨機(jī)配對(duì)繁殖,討論一系列后代 類(lèi)型的演變過(guò)程馬氏鏈模型:狀態(tài)定義為配對(duì) Xn=1,2,3,4,5,6~配 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概 p11P(Xn1'DD'Xn'DD')p31P(Xn1'DD'Xn'DH')1/21/21/82狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式

0I 0I因狀態(tài)1(DD)和2(RR)

0收態(tài),故馬氏鏈?zhǔn)俏真湣?/p>

繁殖,將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.

0

16 16

8S F(IS)

844

233 4

203 NFC1732

6 6大約5~6代就需重新選種ESES0E0母C0S0.0.0.0.2C0.10.7練習(xí)題1社會(huì)學(xué)的某 結(jié) 們父母受教育水平 過(guò)程是將人們劃分為三類(lèi) 問(wèn)題:屬于S類(lèi)的人中,第三代將接受高等教育的概率是多假設(shè)不同的 結(jié)果表明,如果父母之一受過(guò)高等教育,那 根據(jù)(2)的解,每一類(lèi)型人的后代平均要經(jīng)過(guò)多少代,最終84 色盲是X-鏈遺傳,由兩種 A和a決定. (A或a),女性有兩個(gè)(AA,Aa或aa), 遺傳規(guī)律為: 母親的兩個(gè) 之一.由此可知:母親色盲則兒子必色盲但女兒不一定.試用馬氏鏈研究非色盲而母親色盲,問(wèn)平均經(jīng)多少代,其后代就85第3 統(tǒng)計(jì)推斷方

86§1總體中的每一個(gè)基本單位稱(chēng) ,稱(chēng)為直方圖(或頻數(shù)分布圖). 87身體身體身體身體身體身體身體身體身體

88數(shù)據(jù)裝入內(nèi)存. load<文本文件名命令

或xlsread(‘excel文件名 [N,X]=功能:將區(qū)間[min(Y),max(Y)]等分為M份(缺省時(shí) 同時(shí)繪制多個(gè)直方圖,應(yīng)先用subplot指定各圖位置:在m行n列繪制第p個(gè)圖(按 )89loadd:\data.txt;

%%裝入文本數(shù)據(jù)文%%取出身高數(shù)據(jù)(5列%%轉(zhuǎn)換為一維數(shù)%%計(jì)算身高數(shù)據(jù)頻數(shù)和區(qū)間中%%取出體重?cái)?shù)據(jù)(5列%%轉(zhuǎn)換為一維數(shù)%%計(jì)算體重?cái)?shù)據(jù)頻數(shù)和區(qū)間中%%繪制身高直方%%繪制1行2列,第2圖并排%%繪制體重直方據(jù)特征的所謂“統(tǒng)計(jì)量90 統(tǒng)計(jì)字符串中a、c、g、t出現(xiàn)的頻數(shù),小計(jì)及總字符數(shù)fid=fopen('d:\shuju.txt',while

%%按只讀方式打開(kāi)文本文運(yùn)行結(jié)果 %%按 數(shù)

f 56682hj= 94f(i,:)=[nancngntna+nc+ng+ntnall];91 數(shù),它不含任何未知量,是樣本的函數(shù).常用的統(tǒng)計(jì)量n

x ini

x(

n是奇數(shù)

Mediannn

(n2

x(n22

n是偶數(shù)方差

n

(xi

x

標(biāo)準(zhǔn)差 Rn=x(n)-92

xx

n

xx sig1si

6n

g2

24

i1

i1

這里標(biāo)準(zhǔn)是指消除了量綱的影響,且n→∞時(shí)g1的漸近分布為N(0,1).g1=0時(shí)分布對(duì)稱(chēng);g1>0時(shí)分布右偏(即有正偏度);g1<0時(shí)分布左偏(即有負(fù)偏度).3,若峰度比3大得多,表示分布有沉重的尾巴,說(shuō)明樣本中含有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù).93對(duì)例1給出的學(xué)生身高和體重,程序如下loadhigh=data(:,1:2:9);high=high(:); jun_zhi=jun_zhi= zhong_wei_shu= biao_zhun_cha= ji_cha= pian_du= feng_du= 94正態(tài)分布,卡方分布t分布,F統(tǒng)計(jì)工具箱4個(gè)概率分布命令norm正態(tài)分布tt分布

f-F分布pdfpdf概率密度函數(shù);cdf分布函數(shù);inv分布函數(shù)的反函數(shù)即滿(mǎn)足P{X≤x}=1-α的x;stat均值與方差;rnd組或矩陣)和參數(shù)就行了.95p=數(shù)值(mu=0,sigma=1時(shí)可缺省).ptcdf(x,n)n的t分布在x )自由度為n的卡方分布的p分位數(shù)x=chi2inv(0.9,10)得左側(cè)0.90分位點(diǎn)x15.9872p=chi2cdf(15.9872,10)得p=0.9000[m,v]=是F分布(自由度n1,n2)m96 單個(gè)正態(tài)總體情形X~N(,21).x~N n(n ~(n2x與s2相互獨(dú)立nx~t(nns97 X~N(

2),Y~N(,2 /n /2211225).(x1) /n /221122

((x1)(y2 1/n11/

~t(n

1n22)(n(n 1)s21122n1n2s2 7).

~F(n11,n2s222/s2298

EXk

1n

Xk,kini

)

L()f(xi;無(wú)偏性:E? 一致性(相合性)對(duì)0limPn limE(?),limD(?) 99

P??11 21 1 1

2單側(cè)(左側(cè))置信區(qū)間?2 2P? 2100單個(gè)正態(tài)總體情形的置信度為1-α的置信區(qū)101兩個(gè)正態(tài)總體情形置信度為1-α的μ1-μ2的置信

102sw

/ms2

(m1)s2(m1)s2(n1mn2m(xx)2in(yy2imnk 11

/

22

/s2s2s2s22n12nx,1nn(xx)(yyii2sinis2sx,

1(xni1

x)(

y10321兩個(gè)正態(tài)總體情形置信度為1-α的方差21

2的置信區(qū)104參數(shù)估計(jì) alpha為顯著性水平α(alpha缺省時(shí)設(shè)定為返回總體均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的點(diǎn)估計(jì)mu和及總體均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的區(qū)間估計(jì)muci和體的區(qū)間估計(jì)令,如expfit,poissfit,gamfit,可以從這105 單個(gè)總體N(μ,σ2)均值μ的檢原假設(shè)H0vs備選假設(shè)H1 H1:(2)H0: H1:(3)H0: H1:u檢驗(yàn)法:方差σ2已知,檢驗(yàn)均值 ux

H0成立時(shí)u~

u1/2 (2)W,,x:u (3)W,,x:u

106單個(gè)總體N(μ,σ2)均值μ的檢H0:H0:H0:

H1: H1: H1:t檢驗(yàn)法:方差σ2未知,檢驗(yàn)均值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) tx H0成立時(shí)t~t(n-

(2)Wx,,x:t (3)W,,x:t (n

107單個(gè)總體N(μ,σ2)均值μ的檢(1)H0:(2)H0:(3)H0:

H1: H1: H1:u檢驗(yàn):t檢驗(yàn) p表 原假設(shè)H0的最小顯著性水平p越小H0越值得懷疑,ci是μ0的置信區(qū)108例3某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝糖果.包的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)問(wèn)機(jī)器是否正常 x~N(,0.0152H0:0實(shí)現(xiàn)如下

H1:x=[ 0.5150.512求得h=1，p=0.0248，ci 在0.05水平下 109例4某種電子元件 16只元件 如下:159280101212224379264222362168250149260485170.認(rèn)為元件的平 大于225(小時(shí) x~N(,2) H0:0 實(shí)現(xiàn)如下

H1:x=[159280101212224379179264222168250149260485運(yùn)行結(jié)果:h=0，p=0.2570，ci=[198.2321 Inf) 認(rèn)為元件的平 不大于225小110t檢驗(yàn) 命令:[h,p,ci]=111(m1)s2(n y,s2

(xx

,s2

1(yy)2 mn s2

m

mm

n

nnk xy

m2(m n2(n1)112檢驗(yàn)兩總體的方差用F檢驗(yàn) [h,p,ci,stats]=tail用0,1,-1或'both''right'left'表示雙側(cè),右側(cè),stats顯示F值和兩個(gè)自由度例5在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議進(jìn)行,各煉了10爐,其得率分別為標(biāo)準(zhǔn)法74.3新方法79.1體,均值和方差均未知,問(wèn)建議的新方法能否提高得0.)113解先用F : : H0:12H1:12 [h1,p1,ci1,stats]=vartest2(x,y,0.05,0)運(yùn)行結(jié)果 p1= df1: df2:h2=1,p=2.2126×10–4,ci=(- 11422

/222

H0為真時(shí)的分 2=

2

(x)2/ nFn(y)2/

FF1/2(n1,n2)2

FF(n,n <

12~12

>

1

F

(n,n115 兩正態(tài)總體方差比1/2 2=

2

H0

F s2s2

F

<

2

2>

1

F

1161.k是分組數(shù)(分點(diǎn)xi,i0,1,…,k),r是用點(diǎn)估計(jì)(如極大似50,每個(gè)npi最好在5以上,某些組中落入數(shù)據(jù)過(guò)少時(shí)可并組；過(guò)多時(shí)進(jìn)一步細(xì)分區(qū)間?iF(xi)F

2

i

(fin?in?

近~H0成立

2(kr

:

2

(kr117例6下面列出了84個(gè)伊特拉斯坎(Etruscan)人男 H0:X~N(μ,σ2),先對(duì)μ和σ2進(jìn)行估計(jì),再檢118編 x=[145

%求數(shù)據(jù)中的最小數(shù)和最%畫(huà)直fi=[length(find(x<135length(find(x>=135&x<138)),length(find(x>=138&x<142)),length(find(x>=142&x<146)),length(find(x>=146&x<150)),length(find(x>=150&x<154)), 119p=[p0(1),p1,1-

%均值和標(biāo)準(zhǔn)%區(qū)間的分%分點(diǎn)處分布函%中間各區(qū)間的%所有區(qū)間的概

%皮爾遜統(tǒng)計(jì)量%chi2分布的0.92

(721)

(4)故在水平0.1下接受H0，即認(rèn)為數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布總120例7一道工序用自動(dòng)化車(chē)床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損 否出現(xiàn)故障的.現(xiàn)積累有100次故障，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具121 x=[459362624542509584433 815505680926653552513781 697515837473 687544 normplot(x)%分布正態(tài)性檢驗(yàn),刀 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] %參數(shù)估122均值muhat594，方差sigmahat置信度為0.95置信度為0.95123假設(shè)檢驗(yàn): 運(yùn)行結(jié)果：h0，p1，ci布爾變量表示 零假設(shè).說(shuō) 假 均值594合理95%594且精度很高p值為1,遠(yuǎn)超過(guò)0.5,不 零假1242偏度、峰度檢驗(yàn)(Jarque-Bera檢驗(yàn)均值和方差正態(tài)分布的假設(shè)是否成立,即檢驗(yàn)H0總體X服G

6 ns3 1

(Xin

1n(XX21n(XX2in n 24

,sG

(XX)4近似服從

ns4

n n對(duì)檢驗(yàn)水平,

z6/

z同時(shí)G2G224/125偏度和峰度的檢驗(yàn)函數(shù)是調(diào)用格式為以alpha默認(rèn)0.05)顯著水平對(duì)數(shù)據(jù)x進(jìn)行返回值:h=0接受x服從正態(tài)分布的假設(shè) 檢驗(yàn)值p，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值JBSTAT和臨界值h=0,p=0.5,JBSTAT=0.9614,CV= 注：Jarque-Bera檢驗(yàn)不能用于小樣本檢126命令格式:xy可為不等長(zhǎng)向量127例8某商店為了確定向公司A或公司B H0:A H1:A實(shí)現(xiàn)如下a=[7.03.59.68.16.25.1 4.02.0b=[5.73.24.211.09.76.9 4.85.68.410.15.5求得p=0.8282，h=0.表明兩樣本總體均值相等的概率128其中若有顯著差異,1299加鋼的得率,試驗(yàn)是在同一個(gè)平爐上進(jìn)行的.每煉一爐鋼,除操作方法外其它條件都盡可能做到相同.先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐,然后用建議的新方法煉一爐,以后交替進(jìn)行,各煉,:標(biāo)準(zhǔn)法78.172.476.274.377.478.476.075.576.7新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.2 x=[78.172.476.274.377.478.476.075.576.7y=[79.181.077.379.180.079.179.177.380.2結(jié)果:p=0.0020 h=1 130signtest[p,h]=性概率y亦可為標(biāo)量,在此情況下,xy之間alpha和h同上x(chóng)=[78.172.476.274.377.478.476.075.576.7y=[79.181.077.379.180.079.179.177.380.2[p,h]=運(yùn)行結(jié)果 131練習(xí)題1下面是某工廠(chǎng)隨機(jī)選取的20只部件的裝配時(shí)間(分):值顯著地大于10(取練習(xí)題2下表分別給出兩個(gè)文學(xué)家馬克.吐溫(MarkTwain) 馬克﹒吐特格拉馬克﹒吐特格拉132第4 方差分析方 ysisofVariance)又稱(chēng)“變異數(shù)分析”或

133一、單因素方差分試驗(yàn)中可以變化的、影響指標(biāo)的因素稱(chēng)為因素(或因子),為水平.設(shè)因素A有r個(gè)不同水平A1,…,Ar,Ai下試驗(yàn)結(jié)果為 X~N(,2),i1,2,,

Xi1,,XiA1 , 總體X1 ,… X11 X21,… X12 X22,… X1n1 X2n2,…,Xr134

ij~N(i 2方差分析模型X2

相互獨(dú)i1,r;j1,,2未知 檢驗(yàn)問(wèn)題:H0:1 H1:1,,r不全相

,i1,rn nH0:1 H11,,r不全為 135平方和分解公式:STSe

Xi

nXij,nni,X

n

X j

jST (Xi j

X

nSe(Xr jrSAni(Xi

XiX

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F

SA/(r

H成立時(shí)

Se/(n00

W(x1,,xn):FF1(r1,nr136F因素r-SA/(r-FSA(rSe(nF1-誤差SA/(n- n r2r

n(XST、SA等價(jià)公式

jr

,n

n(X

n(X

SeST137

Xi;X;?iXiX,i1,,r n置信度為1-α的區(qū)ui,iXi,Xi,i1,,其中2

(nSSni(n

2(n 2(nr) 1 138統(tǒng)計(jì)工具箱中單因素方差分析命令與x第iii=1,…,r stats中的mean是一個(gè)向量給出各組均值139例1某廠(chǎng)家 在其他條件盡量不變的情況下,設(shè)計(jì)了三種不同內(nèi)容 A1強(qiáng)調(diào)安裝方便性 被廣泛宣傳后,按寄回 上的訂購(gòu)數(shù)計(jì),一年四個(gè)季度的銷(xiāo)售量見(jiàn)下表:1234 140解r=3,n1=n2=n3=4,n=n1+n2+n3F因素2F0.95(2,9)=4.誤差9總

141x=185,190,224 142F=10.93>4.26=F0.95(2,9),H0.即認(rèn) 內(nèi)容的對(duì)銷(xiāo)售量影響很大未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 173.5,

187.75,3

209.75 結(jié)論:可 低的優(yōu)良性,同時(shí)進(jìn)一步進(jìn)行工藝 143例2用4種工藝生產(chǎn)燈泡,從各種工藝制成的燈泡中 12345解144x=[1680 145因素A取r個(gè)不同水平A1,…,Ar因素B取s個(gè)不同水平B1,…,Bs(Ai,Bj)組合下的試驗(yàn)結(jié)果Xij~i.i.d.N(μij 1 r

i j

i

ssj1s1

ij

i

,i1,,r

ri

ij,

,

j1,,s146 ~N,2, 數(shù)學(xué)模型

jXX1,X2,,Xs均值XXXrX11,X12,……,X1sX21,X22,……,Xr1,Xr2,……,均值XiB1,B2,……,因素因素Xi147 ST=Se+SA+ ST xijx

,nr j S s(x xAAsS r(xsSj

x (x

x)2 j

i

1ssjs

xij x

1rrr

148H0A:12r0H1A:1,2,,rHsHs

:

2

s

0

:1,2

F

SA/(r

S/(r1)(s

F

SB/(s

檢驗(yàn)水平為α (x1,,xn):FAF1r1,(r1)(s(x1,,xn):

s1,(r1)(s149來(lái)F因素r-MSA=SA/(r- 因素s-MSB=SB/(s-FB誤差MSE=n-nrs,ne(r1)(s命令p=anova2(x)150例3設(shè)四名工人分別操作機(jī)床甲、乙、丙各一天，生產(chǎn)同種產(chǎn)品,其日產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下(單位:件).問(wèn)工人的不同和機(jī)床的不同情況是一樣的).設(shè)(α=0.01)甲乙丙解工人因素A,r=4;機(jī)床因素B,s=3,n=12.151F3因子2誤差6152x=[534757565063454754p= 153

rij 對(duì)每個(gè)組合(Ai,Bj)至少做t(≥2)次試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果有交互作用的兩因素方差分析數(shù)學(xué)X ~N(ij

2),

i

, ~i.i.dN(0,2

1j

ss

r 0,r

ki

sj i js, r,2未知 154平方和分解公式:ST=Se+SA+SB ( ijkX j1k BSAsB

(

X)2; r

(Xj

X)2 SAB

t( j

X

XX

1n1n j1k

Xijk,(nX X

1

X ,Xi

Xijk,Xj

11t tkt

stj1k

rti1ki1,2,,r j1,2,,155H0A:12r H1A:1,2,,r不全HH 0

:

:1,

2,,

s不全為 :

r不全為零,1ir,1js 0 i

1 i156 FA ~ r1,rs(t Se rs(t

SB/(s

~Fs1,rs(t Se/rs(t SAB/(r1)(sFAB

Se/rs(t

~F(r1)(s1),rs(t檢驗(yàn)水平為α?xí)r WA(x1,,xn):FAF1r1,rs(t (x,,x):

WAB(x1,,xn):FABF1(r1)(s1),rs(t157nrst,nAB(r1)(s1),ners(t來(lái)F臨界因素r-MSAr 因素s-MSBs A×MSABSAB 誤差MSEn-實(shí)現(xiàn)命令為reps給出重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)158例4在某化工廠(chǎng)生產(chǎn)中為了提高收率,選了三種不同濃度,四種不同溫度做試驗(yàn).在同一濃度和溫度組合下濃度溫度978765159解r=3s=4t2n24ne=來(lái)自由均方F臨界顯著因素2*因素3交6誤差／／總／／／表明:只有因素A(濃度)作用顯著,溫度和交互作用不顯著.故應(yīng)控制好濃度.160實(shí)現(xiàn)命令

x=510p=anova2(x,2p=anova2(x,2中的2表)161另一命令 10129710871161051113121314group=[11;11;12;12;13;13;14;14;21;21;22;23;23;24;24;31;31;32;32;33;33;34;3X1代表行,X2代表列.只有X1(行因素A濃度p1=0.0442<0.05,故只有濃度作用顯著162例5超市將一種商品用3種不同包裝,放在3個(gè)不同貨架上作銷(xiāo)響隨機(jī)抽取3天的銷(xiāo)售量作樣本,取檢驗(yàn)水平α=0.05,其觀(guān)測(cè)因素因素564885564368269456163F因素224*誤差／／／／／結(jié)果表明:貨物的包裝及放的貨架這兩個(gè)因素對(duì)銷(xiāo)售量的164x=[164x=[64683475753856854368269456]程序中p=anova2(x,3中的3求得p=0.352 相等假設(shè)(貨架和包裝兩個(gè)因素均不顯著).但兩者交互作用165因素A取r個(gè)不同水平A1,…,Ar;因素B取s個(gè)不同水平B1,…,Bs;因素C取t個(gè)不同水平C1,…,Ct(AiBjCkq次試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果Xijkl~i.i.d.N(μijk,σ2) ~N ,2 XX

,

~i.i.dN(0,2166ST

( X)2

stq( X)2 j1k1l

t rtq(XX)2; rsq(X j k SABtq(XijXiXjX j S sq(XikXiXkX i1k rq( j1k

jkXj

k

XSS

167 i j1k (XijkX

2 Xi X

(

i j1k1l

ijknrstqnn n

(r1)(s(r1)(t(s1)(t nAB

(r1)(s1)(t

rst(q168平方自由F臨界因素SArMSA rMSAFA MSE因素sMSB s MSB MSE因素tMSCtMSCF MSEA×SABnMSABSnFABMSABMF1(nAB,neA×SACnMSACSn MSA MSEF1(nAC,neB×SBCnMSBCSn MSBC MF1(nBC,neA×B×SABCnMSABCSAnA MSABC M誤差SnMS Sn總STn169例6某 心地段、城鄉(xiāng)結(jié)合部),兩種 形式,兩種裝潢檔用A1,A2,A3表示三種位置,B1,B2代表兩種形加銷(xiāo)售量效果最好,位置、、裝潢這三個(gè)因素中1701234A1B1A1B1A1B2A1B2A2B1A2B1A2B2A2B2A3B1A3B1A3B2A3B2171解先將試驗(yàn)數(shù)據(jù)按下表格式表示,并將表中數(shù)據(jù)保存至純文ABC111112121122211212221222311312321322172closeall;clearall;clcloadd:\data.txtdatastru=size(dataa)

%取標(biāo)識(shí)矩%取數(shù)據(jù)矩temp=dataa';y=temp(:);%數(shù)據(jù)矩陣按行排成一維數(shù)組y forfork=(i-

173pp其中X1,X2,X3分別表示A,B,C三個(gè)因素,若程序中最后一行改為:p=anovan(y,group,3,3,{'A';'B';'C'}); 結(jié)論:若顯著性水平α=0.05,A(銷(xiāo)售點(diǎn)位置),B( 形式),C(裝潢)三個(gè)因素均顯著; 形式)交互作用顯著;174練習(xí)題1將抗生素注入會(huì)產(chǎn)生抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的現(xiàn)象,以致減少了藥效.下表列出5種常用異.設(shè)各總體服從正態(tài)分布,且方差相同.175練習(xí)題2為分析4種化肥和3個(gè)小麥品種對(duì)小麥產(chǎn)量的影響,把一 176第5 回歸模型與回歸分析方建立因變量y與自變量x1,…,xm間的回歸模型(經(jīng)驗(yàn)公式);判斷每個(gè)自變量xi對(duì)y的影響是否顯著；利用回歸模型對(duì)y進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制.177§1

y

多元線(xiàn)性回歸模

~N(0,2

其中σ未n個(gè)獨(dú)立觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)yixi1,ximi1,nnyi01xi1mxim ~N(0,2

i

1m

1

結(jié)構(gòu)矩陣X

Y

1 y m nm n n mX則多元線(xiàn)性回歸模型可表示 ~N(0,In

178為估計(jì)β,構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)Q(YX)T(YX求β,使Q(β)達(dá)最小,利用最小二乘法可求00擬合值?

?

?x? e1 y11?eY? (作為隨機(jī)誤差向量的估計(jì)

e y?nn

nn

e2(y?)2

179n

(yy)2 i1n

(y?)2

(?y2 2.?~N,2(XTX)1 ~2(n1), ~2(nm1), ~2

nm

180檢驗(yàn)問(wèn)題:

H0j jj1,m檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F

SSR/

成立時(shí)F(mn0SSe/(nm1)FFmF SSR/mn-m-SSe/(n-m-n-判斷:

回歸模型顯 R

,(0R1R越大越好181 H(j): H(j):0,(j1,..., (j

成立時(shí)

~N(,2c

SSe

~2(nm 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

c c

成立t(nme /(nm e其中cjj是(XTX)-1的對(duì)角線(xiàn)上的第j+1 回歸系數(shù)βj的區(qū)間估計(jì)(置信水平1-

t(nm

,?t(nm

nm

2

nm1182計(jì)算殘差eiyi?ii1,n)可予以剔除,重新進(jìn)行回歸得新的回歸方程 x0(x01,,x0m

?0 ? ?01x(XX)1 /1x(XX)1 /

183用的方法是最小二乘法命令:b,bint,r,rint,statsregress(Y,X,alphaY為觀(guān)測(cè)值數(shù)組,X為結(jié)構(gòu)矩陣stats是用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量,有四個(gè)數(shù)值第二個(gè)是F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值第三個(gè)是與F對(duì)應(yīng)的概率p,p H0,回歸模型成第四個(gè)是σ2的估畫(huà)殘差圖和計(jì)算殘差置信區(qū)間184例1中收集了9個(gè)數(shù)據(jù)如xy 185用regress和rcoplot編程如下b,statsrcoplot(r,rint %%作殘差bstats 觀(guān)測(cè)知第8個(gè)數(shù)據(jù)異常,應(yīng)將其剔除后重新回186 b,statsrcoplot(r,rint %%作殘差bstats ?30.78,? R20.9188,F67.8534,p0.0002,?2187例2某廠(chǎng)生產(chǎn)的一種電器的銷(xiāo)售量與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的價(jià)格x1和本y解分別畫(huà)出y關(guān)于x1和x2幾種嘗試, y關(guān)于x1散點(diǎn) y關(guān)于x2散點(diǎn)188 yb0b1x1b2x2 x1=[120140190130155175125145180x2=[10011090150210150250270300y=[102100120774693266965 b bint=-32.5060--stats

- 模型不可用;R2=0.6527較小.b0,b1的置信區(qū)間包含0,可考慮用二次模型改進(jìn)189§2若從數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖上發(fā)y與x呈較明顯的二次(或高次函數(shù)關(guān)系,或用線(xiàn)性模型效果不好,可選用多項(xiàng)式回歸一元多項(xiàng)一元n次多項(xiàng)式回歸模型:yb1xn+b2xn-命令:例3將17至29歲的運(yùn)動(dòng)員每?jī)蓺q一組分為7組,每組兩人測(cè) 190 26.15 plot(x,y1,'+',x,y2,形狀,所以應(yīng)擬合一條二次曲線(xiàn).選用二次模型:ybx2bxb

191clc;clearall;y0=[20.4825.1326.1530.026.120.324.3528.11clc;clearall;y0=[20.4825.1326.1530.026.120.324.3528.11 31.426.9225.7 yhat是y的擬合值delta是yb=- - = 353025201510 28 線(xiàn)可改變圖下方的x值,也可在窗口內(nèi)輸入,左邊就給出y的預(yù)測(cè)值及其置信區(qū)間.通過(guò)左下方的Export下拉式菜單,可輸出回歸系數(shù)等.193 其中輸入數(shù)據(jù)x,y分別為n×m矩陣和n維向量,alpha平α(缺省時(shí)設(shè)定為 y01x1m y01x1mxm

jinteraction（交叉）y01x1mxm jkxj1jk y01x1mxm

jkxj1j,k194 y01x1

x2

交互式畫(huà)面左邊是x交互式畫(huà)面左邊是x1(=151)y(x1)及置信區(qū)間,右邊是x2(=188)固定時(shí)曲線(xiàn)y(x2)及置信區(qū)間.改變2回答“若某市本廠(chǎng)產(chǎn)品售價(jià)160,競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手售價(jià)170,預(yù)測(cè)該市的銷(xiāo)售量”這一問(wèn)題.x1=[120x1=[120140190130155175125145180x2=[100 90150210150250270300y=[102x=[x1120

195 beta=- rmse196例5在一丘陵地帶測(cè)量高程,x和y方向每隔100米測(cè)一個(gè)點(diǎn),得高程如下表,試擬合一曲面,確定合適的模型,并曲此找出xy解h=b1+b2x+b3y+b4x2+b5xy+b6197clc,clearallx2=[1234];x2=100*[x2x2x2x2]';y=[636698680662697712674626624630598552478412x=[x1 %按一下左下角的Export[xx1xx2]=meshgrid(a1,a2);Subplot(1,2,1); Subplot(1,2,2); %等高線(xiàn)198myfunc=inline('-

199beta - - -Rmse=h=434.0000+1.9079x+1.0366y-0.0017x2-0.0046xy-高程差為x=高程差為fval=-200

y與自變量之間存在非線(xiàn)統(tǒng)計(jì)工具箱中有關(guān)非線(xiàn)性回歸的函數(shù)

201例6y=b0b1x2,xy解法1xx2變換, rstool(x,y,

44]';

得結(jié)果beta= 0.0500,rmse=202解法

b= b0=b1=203例7yy

by 1b1x1b2x2y是反應(yīng)速度x1x2x3是三種反應(yīng)物(氫,n烷,異構(gòu)戊烷的含量b1b2b3b4b5是未知參數(shù).b1b2b3b4b5并給出其置信區(qū)間b1b2b3b4b5的參考值為0.1,0.