專業(yè)化小學(xué)數(shù)學(xué)的創(chuàng)建(系列講座之二)

專業(yè)化小學(xué)數(shù)學(xué)的創(chuàng)建

（系列講座之二）鄭毓信（南京大學(xué)哲學(xué)系）第一頁，共三十三頁。一、從新一代小學(xué)數(shù)學(xué)教師的成長談起由“多才多藝”轉(zhuǎn)向“專業(yè)化”由“經(jīng)驗型教學(xué)”轉(zhuǎn)向“理論指導(dǎo)下的自覺實踐”；由單純的“教學(xué)型”轉(zhuǎn)向“教學(xué)與科研并重型”。第二頁，共三十三頁?！皵?shù)學(xué)教育的專業(yè)化”“數(shù)學(xué)教育既不應(yīng)被認為完全附屬于數(shù)學(xué)，也不應(yīng)被認為完全附屬于教育；毋寧說，數(shù)學(xué)教育具有自己的特殊問題，并又正是圍繞著這些問題，正在形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育理論。”第三頁，共三十三頁。兩個特別重要的問題第一，如何在教學(xué)中很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維，從而幫助學(xué)生初步地學(xué)會數(shù)學(xué)的思維方式；第二，深入了解學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的真實思維活動，從而為教學(xué)活動的設(shè)計奠定科學(xué)的基礎(chǔ)。第四頁，共三十三頁。二、數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠

獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能；

初步學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識?！保ā度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》第6頁）第五頁，共三十三頁。基本論點：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當、也完全可以很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點，從而幫助學(xué)生初步地學(xué)會數(shù)學(xué)的思維方式。相應(yīng)的思想障礙：小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容過于簡單，從而就不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點。關(guān)鍵：應(yīng)當很好地把握數(shù)學(xué)思維在總體上的一些主要特征。第六頁，共三十三頁。（1）數(shù)學(xué)化的思想數(shù)學(xué)：模式的科學(xué) 數(shù)學(xué)是通過相對獨立的量化模式的建構(gòu)、并以此為直接對象從事客觀世界量性規(guī)律性的研究。進一步的思考：應(yīng)當如何去認識和處理“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”這兩者之間的關(guān)系？

第七頁，共三十三頁。由“日常數(shù)學(xué)”上升到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的重要性“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量。……盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算——這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中的算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實?！保ǜベ嚨翘貭枺┑诎隧?，共三十三頁?！皟和瘉淼綄W(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識卻比預(yù)料為多。……他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結(jié)合?！保ㄋ垢照Z）第九頁，共三十三頁。學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化的思想不僅直接涉及到了數(shù)學(xué)知識內(nèi)容與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系，即是如何由現(xiàn)實原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)（形式）的研究，以及由數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”。第十頁，共三十三頁?！皵?shù)學(xué)化……是一條保證實現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑?！榫澈湍Ｐ?，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法?！薄爱斍耙呀?jīng)有不少人對數(shù)學(xué)教育提出了數(shù)學(xué)化的要求，但我擔(dān)心其結(jié)構(gòu)太狹隘，常常把數(shù)學(xué)化理解成最低層次的活動……最時髦的提法就是為現(xiàn)實中某個微小而孤立的片斷——所謂‘情境’進行數(shù)學(xué)化，也就是為情境建立一個數(shù)學(xué)模型?！保ǜベ嚨翘貭栒Z）第十一頁，共三十三頁。（2）算術(shù)與代數(shù)思想的基本形式凝聚：由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化過程—對象對偶體：同一概念心理表征的不同側(cè)面“過程－對象性思維”（1）“對偶性”（Duality)；（2）“含糊性”（ambiguity）；（3）“靈活性”（flexibility）。第十二頁，共三十三頁。（3）數(shù)學(xué)思維的重要特征互補與整合：數(shù)學(xué)思維的一個重要特征

（1）有理數(shù)的各種解釋的互補；（2）各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的互補；（3）各種解題方法的互補與思維的必要“優(yōu)化”。（4）數(shù)學(xué)的基本要素：形式、直覺與算法第十三頁，共三十三頁。第十四頁，共三十三頁。（4）用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)數(shù)學(xué)方法論：數(shù)學(xué)思維的研究。通過創(chuàng)造活動的“理性重建”使之成為可以理解的、可以學(xué)到手的、可以加以推廣應(yīng)用的。用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，真正做到“教活”、“教懂”、“教深”。第十五頁，共三十三頁。三、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動

基本論點：就兒童的學(xué)習(xí)活動而言，即使是十分初等的題材也可能包含相當復(fù)雜的思維發(fā)展過程相應(yīng)的思想障礙：由于習(xí)慣于以成人的思維來考慮問題，因此就很容易采取簡單化的認識關(guān)鍵：深入了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中真實的思維活動。第十六頁，共三十三頁。（1）學(xué)生關(guān)于加減法的概念結(jié)構(gòu)

加減法的“單一性概念結(jié)構(gòu)”第一，加項與和的單一表示；第二，簡化的計數(shù)程序；第三，導(dǎo)出事實與已知事實的程序。加減法的“多單位概念結(jié)構(gòu)”第一，“組合式多重單位”；第二，“序列式多重單位”。第十七頁，共三十三頁。第十八頁，共三十三頁。（2）有理數(shù)的乘除與學(xué)生的觀念錯誤乘除法與加減法的比較?！斑\算的不守恒性”及其根源：應(yīng)當用什么樣的方法求解以下兩個問題：（1）某種奶酪的售價為每公斤28元，問：5公斤這樣的奶酪售價是多少？（2）某種奶酪的售價為每公斤27.50元，問：0.923公斤這樣的奶酪售價是多少？

第十九頁，共三十三頁。分析：學(xué)生頭腦中存在關(guān)于乘除法的某些“基本原型”；大多數(shù)學(xué)生又正是通過先前的學(xué)習(xí)逐漸形成了與乘除運算直接相關(guān)的一些觀念。結(jié)論

應(yīng)當重視觀念的更新或概念的必要重構(gòu)。第二十頁，共三十三頁。重構(gòu)與重組：數(shù)學(xué)思維的又一重要特征

“研究表明，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是一個連續(xù)過程，它必須重新組織、重新認識，有時甚至要與以前的知識和思考模式真正決裂。”（安提卡語）

第二十一頁，共三十三頁。教學(xué)涵義一些常見的錯誤往往有著十分深刻的認識論根源，從而就不可能通過正面的示范簡單地得到糾正，同樣地，觀念的更新也不可能通過外部的強制輕易地得以實現(xiàn)；恰恰相反，這里的關(guān)鍵即在于如何能在學(xué)生頭腦中引起必要的概念沖突，從而就能較為自覺地去實現(xiàn)觀念的必要更新與知識的必要重構(gòu)。第二十二頁，共三十三頁。（3）面積計算與理解學(xué)習(xí)

理解學(xué)習(xí)與“概念網(wǎng)絡(luò)”新知識的理解即是指后者被成功地納入到了主體已有的“概念網(wǎng)絡(luò)”之中，也即與主體已有的知識和經(jīng)驗建立起了廣泛的聯(lián)系。

“邏輯結(jié)構(gòu)”與“概念網(wǎng)絡(luò)”的區(qū)分：線性、單向性、收斂性；網(wǎng)狀、雙（多）向性、發(fā)散性。第二十三頁，共三十三頁。教學(xué)涵義教學(xué)中應(yīng)當突破邏輯線索的束縛，也即應(yīng)當努力幫助學(xué)生在各個相關(guān)的內(nèi)容之間建立網(wǎng)狀的、多向的聯(lián)系。第二十四頁，共三十三頁。四|、新一代小學(xué)數(shù)學(xué)教師的成長（1）加強理論學(xué)習(xí)（2）加強理論思維、特別是批判與自我批判

（3）觀念的必要更新第二十五頁，共三十三頁。問題表什么是數(shù)學(xué)理解和學(xué)習(xí)？如何才能達到數(shù)學(xué)理解和學(xué)習(xí)？什么是這一方面的基本理論？這些理論與大學(xué)層次的數(shù)學(xué)教學(xué)又有著怎樣的聯(lián)系？什么是數(shù)學(xué)教育的研究方法？數(shù)學(xué)教育研究有哪些主要的發(fā)現(xiàn)？什么是阻礙研究成果向數(shù)學(xué)教學(xué)實踐滲透的主要障礙？第二十六頁，共三十三頁。對于不同層次上學(xué)習(xí)過程的性質(zhì)的研究是否可能獲得不同的結(jié)論？適用于普通教育的理論是否同樣適用于大學(xué)層次？是否有必要建立大學(xué)層次的專門理論？對于傳統(tǒng)的和其它可能的教學(xué)方法作了哪些研究？什么是這些研究的主要結(jié)論？第二十七頁，共三十三頁。教學(xué)上應(yīng)當如何去適應(yīng)學(xué)生的不同背景、不同能力和不同興趣？什么是進行大班教學(xué)的有效方法？對于各個專題的教和學(xué)，如微積分和線性代數(shù)等，我們已經(jīng)知道些什么？各個專題是否有其一定的特殊性？是否存在適用于若干專題的普遍性？第二十八頁，共三十三頁。是否有其它的評價方法？評價如何能被用于促進學(xué)習(xí)和理解？什么是不同專業(yè)對于數(shù)學(xué)能力的具體要求？什么是學(xué)生對于數(shù)學(xué)的態(tài)度和信念？如何使之發(fā)生變化？它們對學(xué)生選學(xué)數(shù)學(xué)性科目及其成功性有怎樣的影響？第二十九頁，共三十三頁。技術(shù)的應(yīng)用對于數(shù)學(xué)的教和學(xué)有怎樣的影響？技術(shù)如何能被用來促進理解？有哪些重要課題尚未在研究文獻得到充分反映？又應(yīng)如何去促進這些方面的研究？第三十頁，共三十三頁。參考文獻鄭毓信，《數(shù)學(xué)方法論》，廣西教育出版社，1991年鄭毓信，《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》，四川教育出版社，1995年鄭毓信、肖柏榮、熊萍，《數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論》，四川教育出版社，2001年鄭毓信，《數(shù)學(xué)教育：從理論到實踐》，上海教育出版社，2001鄭毓信、梁貫成，《認知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育》，上海教育出版社，1998第三十一頁，共三十三頁。參考文獻鄭毓信，“數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”，《課程、教材與教法》，2004年第四期鄭毓信，“小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維活動”，《小學(xué)青年教師》，2004年第三期鄭毓信，“新一代小學(xué)數(shù)學(xué)教師的成長”，《小學(xué)青年教師》，2003年第六期鄭毓信，《數(shù)學(xué)教育：從理論到實踐》，上海教育出版社，2002鄭毓信，《國際視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，人民教育出版社，2004第三十二頁，共三十三頁。內(nèi)容梗概專業(yè)化小學(xué)數(shù)學(xué)的創(chuàng)建

（系列講座之二）。數(shù)學(xué)是通過相對獨立的量化模式的建構(gòu)、并以此為直接對象從事客觀世界量性規(guī)律性的研究。“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量。盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算——這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中的算術(shù)問題的來源。最時髦的提法就是為現(xiàn)實中某個微小而孤立的片斷——所謂‘情境’進行數(shù)學(xué)化，也就是為情境建立一個數(shù)學(xué)模型。（2）“含糊性”（ambiguity）。（3）“靈活性”（flexibility）。（1）有理數(shù)的各種解釋的互補。（3）各種解題方法的互補與思維的必要“優(yōu)化”?；菊擖c：