因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)

-.z.因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)一、因數(shù)倍數(shù)的特征1、重點歸納〔1〕一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的因數(shù)是它本身，沒有最大的因數(shù)：一個數(shù)，既是它本身的因數(shù)，也是它本身的倍數(shù)?！?〕2、3、5、9倍數(shù)的特征：2的倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0，2，4，6，8；5的倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0或5；同時是2、5倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0；3的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；9的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)。同時是2、3和5倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0，并且各個數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)〔3〕質(zhì)數(shù)〔素數(shù)〕、合數(shù)最小的質(zhì)數(shù)是2,2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，沒有最大的質(zhì)數(shù)。最小的合數(shù)是4，沒有最大的合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)?！?〕分解質(zhì)因數(shù)的方法用短除法，先用這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)〔通常從最小的開場〕去除，一般先試2、3、5這幾個數(shù)，除到得出的商是質(zhì)數(shù)為止，把出書和商寫成相乘的形式?！?〕奇數(shù)、偶數(shù)的運算性質(zhì)：奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)2、典型練習〔1〕判斷：因為48÷8=6，所以說48是倍數(shù)，8是因數(shù)。〔〕因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系式相互依存的，不能說*一個數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)，可以說"誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)〞?！?〕用a表示一個大于1的自然數(shù)，則a2一定是〔〕。A、奇數(shù)B、偶數(shù)C、質(zhì)數(shù)D、合數(shù)二、兩數(shù)互質(zhì)的幾種特殊情況：〔1〕兩個不一樣的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：7和13、17和19是互質(zhì)數(shù)。〔2〕兩個連續(xù)的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：4和5、13和14是互質(zhì)數(shù)?！?〕相鄰的兩個奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：5和7、75和77是互質(zhì)數(shù)。〔4〕1和其他所有的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：1和4、1和13是互質(zhì)數(shù)?！?〕2和任意一個奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。如2和1、2和9都是互質(zhì)數(shù)?！?〕一個奇數(shù)和質(zhì)因數(shù)只有2的偶數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。如9和4、3和8都是互質(zhì)數(shù)。因數(shù)只有2的偶數(shù)，指的是如8=2×2×2，16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2……三、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)1、重點歸納〔1〕在求最小公因數(shù)和最大公倍數(shù)的時候，我們要區(qū)分兩者的區(qū)別與聯(lián)系。兩者都可以用短除法來求，但是前者是所有的除數(shù)相乘，而后者是把除數(shù)和商連乘起來而得到?！?〕求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況：①1與任意非零自然數(shù)的公因數(shù)只有1個，就是1。②倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。舉例：15和5，[15，5]=15，〔15，5〕=5③互質(zhì)的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是１，最小公倍數(shù)是它們的乘積。舉例：[3，7]=21，〔3，7〕=1〔3〕在解決最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的實際問題中，一般問題中有"最大〞、"最多〞是求最大公因數(shù)的問題；一般問題中有"最少〞、"至少〞是求最小公倍數(shù)的問題?！?〕兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的一個重要性質(zhì)是：最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)=兩個數(shù)的乘積〔5〕求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。2、典型練習例1、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個是28，另一個是數(shù)〔〕。例2、兩個自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個數(shù)各是多少？例3、甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=3×3×5×2，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是〔〕。分析：根據(jù)求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：即這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，進展解答即可。解答：因為甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=3×3×5×2，

所以這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是2×3×5×2×3=180．例4、學校舉行春季運動會，六1班人數(shù)的參加田賽，參加徑賽，六1班人數(shù)是〔〕人。分析：由六1班人數(shù)的參加田賽，參加徑賽參加徑賽〞，求出要求六1班人數(shù)，也就是求7和8的最小公倍數(shù)。7和8的最小公倍數(shù)是7×8=56，例5、能同時被2、3、5除余數(shù)為1的最小數(shù)是〔〕分析：可先求出能同時被2、3、5整除的最小的數(shù)，也就是它們的最小公倍數(shù)為30〔2、3、5互質(zhì)，最小公倍數(shù)等于這三個數(shù)的乘積〕，由此解決問題。解答：能被2、3、5整除的最小的數(shù)是30，30+1=31例6、一筐蘋果〔在100以內(nèi)〕，按每份3個分多1個；每份5個分多3個，每份7個分多2個，這筐蘋果原有〔〕個。分析：按每份3個分多1個；每份5個分多3個，每份7個分多2個，這筐蘋果加上2個，就是3個分和5個分沒有剩余，7個分剩4個，即是15的公倍數(shù)，求出100以內(nèi)15的公倍數(shù)，然后再滿足7個分多4個的數(shù)，最后減去2即可。解：100以內(nèi)15的公倍數(shù)有：30、45、60、75、90，

7個分多4個是：60，所以這筐蘋果原有：60-2=58個例7、從學校到文化中心的這段公路一側(cè)，一共有37盞路燈〔兩端均安裝〕，原來每兩盞燈之間相距50米，選擇要改成每兩盞之間相距60米，除去兩端不移動外，中間有多少盞路燈不需要重新安裝？分析：即求出50和60的最小公倍數(shù)，是300，也就是說每300米就有一盞燈不需要重新安裝；再求出這段路的總長里有多少個300米即可。6段，共有7個點，除去兩頭，還有5根不動，可以看圖.___.___.___.___.___.___.解答：[50，60]=300〔37-1〕×50=1800〔米〕1800÷300=66+1-2+5例8：用96朵紅花和72朵黃花做花束,如果每個花束里的紅花朵數(shù)同樣多,每個花束里的黃花也同樣多，且兩種花都沒有剩余。每個花束里最少有多少朵花？分析：看到最少，不能錯認為是求最小公倍數(shù)，花束例的花朵數(shù)要最少，說明花束要最多，也就是96和72最大公因數(shù)，再把每束花例的紅花朵數(shù)和黃花朵數(shù)加起來即可。解答：96和72的最大公因數(shù)是24，96÷24+72÷24=7(朵)練習一、填空題1、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是42，最小公倍數(shù)是2940，且兩個數(shù)的和是714，這兩個數(shù)各是〔〕和〔〕。2、一個數(shù)與48的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是144，這個數(shù)是〔〕。3、既有因數(shù)3，又是5的倍數(shù)的最小三位數(shù)是〔〕【分析】根據(jù)3的倍數(shù)的特征，各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)．5的倍數(shù)特征是：個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)．所以既有因數(shù)3又是5的倍數(shù)最小三位數(shù)是105．4、甲數(shù)=2×3×5×A，乙數(shù)=2×3×7×A，當A=〔〕時，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是630。解答：因為甲數(shù)=2×3×5×A，乙數(shù)=2×3×7×A，

所以這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是2×3×5×7×A=630，210×A=630，A=3二、選擇題1、a÷b=9〔a、b都是整數(shù)〕，則a與b的最小公倍數(shù)是〔〕A、aB、bC、abD、9注：成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，大的數(shù)是小的數(shù)的最小公倍數(shù)。2、甲數(shù)×3=乙數(shù)，〔甲乙都是非0自然數(shù)〕，則乙數(shù)是甲數(shù)的〔〕A、倍數(shù)B、因數(shù)C、自然數(shù)D、質(zhì)數(shù)3、下面的數(shù)，因數(shù)個數(shù)最少的是〔〕A、16B、36C、40【考點】找一個數(shù)的因數(shù)的方法．【分析】根據(jù)找一個數(shù)因數(shù)的方法分別找出16、36、40的因數(shù)，然后數(shù)出個數(shù)，比擬即可．【解答】解：16的因數(shù)有：1、2、4、8、16，共5個；

36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9個；

40的因數(shù)有：1、2、4、5、8、10、20、40，共8個；應(yīng)選：A．4、1、3、7都是21的〔〕A、質(zhì)因數(shù)B、公因數(shù)C、奇數(shù)D、因數(shù)解：因為1×3×7=21，所以1、3、7是21的因數(shù)；

因3、7都是質(zhì)數(shù)，3、7是21的質(zhì)因數(shù)，但1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，．

應(yīng)選D．5、28□同時是2、3的倍數(shù)，□中可能是〔〕A、0或2或4或6或8B、2或5或8C、2或8D、以上說法都不正確考點：找一個數(shù)的倍數(shù)的方法；數(shù)的整除特征．分析：根據(jù)能被2和3整除的數(shù)的特征：個位是偶數(shù)，并且該數(shù)各個數(shù)位上數(shù)的和能被3整除；進展解答即可．解答：因為2+8+2=12，2+8+8=18，12和18都能被3整除，所以□中可能是2或8；三、解決問題1、兩數(shù)的積是3072，最大公約數(shù)是16，求這兩個數(shù)。2、小明家房間的地面正好是正方形，要鋪地磚，不管選擇邊長是50厘米的方磚，還是選擇邊長是60厘米的方磚都正好鋪滿，小明房間的地面至少是多少平方米？分析：房間的面積要最小，也就是房間的面積要同時是兩種方磚面積的最小整數(shù)倍，也就是房間的邊長要是兩種方磚邊張的最小公倍數(shù)。3、一張長24厘米，寬18厘米的長方形紙，要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余．最少可以分成幾個這樣的小正方形？分析：看到最少，不能錯認為是求最小公倍數(shù)，截的塊數(shù)要最少，說明每塊在正方形截得的面積要最大，也就是邊長要最大。即求長、寬的最大公因數(shù)，再用長方形紙的面積÷截得的每塊小正方形的面積。4、*校五年級〔共3個班〕的學生排隊，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人。這個學校五年級至少有〔〕名學生。分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：這個學校五年級減去2人就是3、5、7的公倍數(shù)，求至少就是、5、7的最小公倍數(shù)加2，據(jù)此解答。解答：3、5、7兩兩互質(zhì)，它們最小公倍數(shù)等于它們的乘積；

3、5、7的最小公倍數(shù)：3×5×7=105；105+2=107〔名〕；因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)一、因數(shù)倍數(shù)的特征1、重點歸納〔1〕一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的因數(shù)是它本身，沒有最大的因數(shù)：一個數(shù)，既是它本身的因數(shù)，也是它本身的倍數(shù)?！?〕2、3、5、9倍數(shù)的特征：2的倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0，2，4，6，8；5的倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0或5；同時是2、5倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0；3的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；9的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)。同時是2、3和5倍數(shù)的特征：個位數(shù)字是0，并且各個數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)〔3〕質(zhì)數(shù)〔素數(shù)〕、合數(shù)最小的質(zhì)數(shù)是2,2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，沒有最大的質(zhì)數(shù)。最小的合數(shù)是4，沒有最大的合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)?！?〕分解質(zhì)因數(shù)的方法用短除法，先用這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)〔通常從最小的開場〕去除，一般先試2、3、5這幾個數(shù)，除到得出的商是質(zhì)數(shù)為止，把出書和商寫成相乘的形式?！?〕奇數(shù)、偶數(shù)的運算性質(zhì)：奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)2、典型練習〔1〕判斷：因為48÷8=6，所以說48是倍數(shù)，8是因數(shù)。〔〕〔2〕用a表示一個大于1的自然數(shù)，則a2一定是〔〕。A、奇數(shù)B、偶數(shù)C、質(zhì)數(shù)D、合數(shù)二、兩數(shù)互質(zhì)的幾種特殊情況：〔1〕兩個不一樣的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：7和13、17和19是互質(zhì)數(shù)?！?〕兩個連續(xù)的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：4和5、13和14是互質(zhì)數(shù)?！?〕相鄰的兩個奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：5和7、75和77是互質(zhì)數(shù)?！?〕1和其他所有的自然數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。如：1和4、1和13是互質(zhì)數(shù)?！?〕2和任意一個奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。如2和1、2和9都是互質(zhì)數(shù)。〔6〕一個奇數(shù)和質(zhì)因數(shù)只有2的偶數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。如9和4、3和8都是互質(zhì)數(shù)。因數(shù)只有2的偶數(shù)，指的是如8=2×2×2，16=2×2×2×2；32=2×2×2×2×2……三、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)1、重點歸納〔1〕在求最小公因數(shù)和最大公倍數(shù)的時候，我們要區(qū)分兩者的區(qū)別與聯(lián)系。兩者都可以用短除法來求，但是前者是所有的除數(shù)相乘，而后者是把除數(shù)和商連乘起來而得到?！?〕求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況：①1與任意非零自然數(shù)的公因數(shù)只有1個，就是1。②倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。舉例：15和5，[15，5]=15，〔15，5〕=5③互質(zhì)的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是１，最小公倍數(shù)是它們的乘積。舉例：[3，7]=21，〔3，7〕=1〔3〕在解決最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的實際問題中，一般問題中有"最大〞、"最多〞是求最大公因數(shù)的問題；一般問題中有"最少〞、"至少〞是求最小公倍數(shù)的問題。〔4〕兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的一個重要性質(zhì)是：最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)=兩個數(shù)的乘積〔5〕求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。2、典型練習例1、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個是28，另一個是數(shù)〔〕。例2、兩個自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個數(shù)各是多少？例3、甲數(shù)=2×2×3×5，乙數(shù)=3×3×5×2，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是〔〕。例4、學校舉行春季運動會，六1班人數(shù)的參加田賽，參加徑賽，六1班人數(shù)是〔〕人。例5、能同時被2、3、5除余數(shù)為1的最小數(shù)是〔〕例6、一筐蘋果〔在100以內(nèi)〕，按每份3個分多1個；每份5個分多3個，每份7個分多2個，這筐蘋果原有〔〕個。例7、從學校到文化中心的這段公路一側(cè)，一共有37盞路燈〔兩端均安裝〕，原來每兩盞燈之間相距50米，選擇要改成每兩盞之間相距60米，除去兩端不移動外，中間有多少盞路燈不需要重新安裝？例8：用96朵紅花和72朵黃花做花束,如果每個花束里的紅花朵數(shù)同樣多,每個花束里的黃花也同樣多，且兩種花都沒有剩余。每個花束里最少有多少朵花？練習一、填空題1、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是42，最小公倍數(shù)是2940，且兩個數(shù)的和是714，這兩個數(shù)各是〔〕和〔〕。2、一個數(shù)與48的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是144，這個數(shù)是〔〕。3、既有因數(shù)3，又是5的倍