回歸分析方法

§5.2回歸分析方法第一頁，共二十七頁。一、一元線性回歸模型

定義：假設(shè)有兩個地理要素（變量）x和y，x為自變量，y為因變量。則一元線性回歸模型的基本結(jié)構(gòu)形式為式中：a和b為待定參數(shù)；為各組觀測數(shù)據(jù)的下標(biāo)；為隨機變量。記和分別為參數(shù)a與b的擬合值，則（）式代表x與y之間相關(guān)關(guān)系的擬合直線，稱為回歸直線；是y的估計值，亦稱回歸值。（）

（）

第二頁，共二十七頁。①

參數(shù)a與b的最小二乘擬合原則要求yi與的誤差ei的平方和達到最小，即②根據(jù)取極值的必要條件，有

③解上述正規(guī)方程組（）式，得到參數(shù)a與b的擬合值：（）

參數(shù)a、b的最小二乘估計

（）

第三頁，共二十七頁。（）

（）

第四頁，共二十七頁。

顯著性檢驗

①方法：F檢驗法。

②總的離差平方和：在回歸分析中，表示y的n次觀測值之間的差異，記為可以證明

（）式中，Q稱為誤差平方和，或剩余平方和，而稱為回歸平方和。（）（）第五頁，共二十七頁。

③

統(tǒng)計量F

④F越大，模型的效果越佳。統(tǒng)計量F～F（1，n-2）。在顯著水平α下，若F>Fα，則認為回歸方程效果在此水平下顯著。一般地，當(dāng)F<F0.10(1,n-2)時，則認為方程效果不明顯。（）

第六頁，共二十七頁。二、多元回歸模型回歸模型的建立

①多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式：

②回歸方程:

在（）式中，b0為常數(shù)，b1,b2,…bk稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)的意義是，當(dāng)其它自變量都固定時，自變量每變化一個單位而使因變量平均改變的數(shù)值。

（）

（）

第七頁，共二十七頁。③

偏回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程:根據(jù)最小二乘法原理，的估計值應(yīng)該使

由求極值的必要條件得

方程組（）式經(jīng)展開整理后得

（）

（）

第八頁，共二十七頁。

方程組（）式稱為正規(guī)方程組。

引入矩陣：

（5.2.15)

第九頁，共二十七頁。第十頁，共二十七頁。第十一頁，共二十七頁。則正規(guī)方程組（）式可以進一步寫成矩陣形式第十二頁，共二十七頁。求解得：引入記號：（）

第十三頁，共二十七頁。正規(guī)方程組也可以寫成：（）

第十四頁，共二十七頁?；貧w模型的顯著性檢驗

①

回歸平方和U與剩余平方和Q：②回歸平方和:③

剩余平方和為：④

F統(tǒng)計量為：計算出來F之后，可以查F分布表對模型進行顯著性檢驗。第十五頁，共二十七頁。三、非線性回歸模型

非線性關(guān)系線性化的幾種情況:①

對于指數(shù)曲線，令,可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式：，其中，；

②對于對數(shù)曲線，令，，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式：；③對于冪函數(shù)曲線，令，，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式：其中，；第十六頁，共二十七頁。④

對于雙曲線，令，轉(zhuǎn)化為直線形式：；⑤對于S型曲線，可轉(zhuǎn)化為直線形式：；⑥對于冪乘積：，只要令，就可以將其轉(zhuǎn)化為線性形式：其中，；第十七頁，共二十七頁。⑦對于對數(shù)函數(shù)和只要令，就可以將其化為線性形式：

例:下表給出了某地區(qū)林地景觀斑塊面積（Area）與周長（Perimeter）的數(shù)據(jù)。下面我們建立林地景觀斑塊面積A與周長P之間的非線性回歸模型。第十八頁，共二十七頁。

序號面積A周長P序號面積A周長P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406第十九頁，共二十七頁。15527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.049614697.1301234.1142469416.7008226.0091624519.867326.3171225738.953498.6566313157.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.740791.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.235第二十頁，共二十七頁。303638.766399.725712656.824298.47331585425.10011474.770721846.988179.8663235220.6401877.476731616.684172.8083310067.820497.394741730.563172.1433427422.5701934.5967511303.970881.0423543071.5501171.4137614019.790638.1763657585.9402275.389779277.172862.0883728254.1301322.7957813684.750712.78738497261.0009581.298791949.164228.4033924255.030994.906804846.016324.481401837.699229.40181521457.4007393.938411608.625225.84282564370.80012212.410第二十一頁，共二十七頁。解：（1）作變量替換，令：，，將上表中的原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，變換后得到的各新變量對應(yīng)的觀測數(shù)據(jù)如下表所示。

序號y=lnAx=LnP序號y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.0332264811.091187.71887988.2147895.4967894911.965727.78636497.72325.284414507.6432085.585528105.8121354.602457518.0420795.567651119.371536.326008527.6200275.769558第二十二頁，共二十七頁。127.7715335.296653538.1409385.534711139.0348716.385013547.3780035.438211148.7001346.130066558.2603866.0388391513.176138.786501567.5736265.2915971612.098977.993105574.3477554.041328179.5607486.393579588.9844086.5733341810.034927.005852599.8663996.9188211911.173197.051092609.0196016.523136208.0275565.501457619.5954087.1181092113.059259.015056628.4162385.787871228.6550326.211917639.4847597.067248239.031156.028643648.7974386.413133248.7331136.027773658.3099576.0807442511.012367.345927668.6386716.069247269.5831276.67449678.8527166.222147第二十三頁，共二十七頁。269.5831276.67449678.8527166.2221472710.342397.438951688.3673655.5908062810.18297.128478698.7540635.849717298.9854366.822537707.8828485.67756308.19945.990776717.8848875.6986783113.280099.347906727.5213115.1922133210.469397.537684737.3881325.152181339.2170996.209381747.4562025.1483263410.219127.567654759.3329096.7811053510.670627.065966769.5482256.4586143610.961037.729906779.1353126.7593583710.248997.187502789.5240376.5691823813.116879.167568797.5751565.4311123910.096386.902648808.4859125.782227407.516275.4354718113.164388.908416417.3831355.4198378213.243479.410208第二十四頁，共二十七頁。

（2）

以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中作出散點圖。很明顯，y與x呈線性關(guān)系。第二十五頁，共二十七頁。

（3）根據(jù)所得表中的數(shù)據(jù)，運用建立線性回歸模型的方法，建立y與x之間的線性回歸模型，得到：

對應(yīng)于（）式，x與y的