安徽省銅陵市聯(lián)考2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知矩形，，，沿矩形的對角線將平面折起，若四點都在同一球面上，則該球面的面積為（）A. B.C. D.2．直線與圓相交于兩點,若,則的取值范圍是A. B.C. D.3．若，則角終邊所在象限是A.第一或第二象限 B.第一或第三象限C.第二或第三象限 D.第三或第四象限4．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A.2 B.1C. D.1或5．中國古代十進制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期或戰(zhàn)國初年.算籌記數(shù)的方法是：個位、百位、萬位、…上的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位、…上的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如可用算籌表示為.這個數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則的運算結(jié)果用算籌表示為（）A. B.C. D.6．定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：①；②對任意，都有；③的圖像關(guān)于軸對稱．則下列結(jié)論中正確的是AB.C.D.7．若，，則sin=A. B.C. D.8．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式是A. B.C. D.9．已知集合，則（）A.0或1 B.C. D.或10．若，則與在同一坐標系中的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應(yīng)該定為__________12．函數(shù)的圖象恒過定點,點在冪函數(shù)的圖象上,則=____________13．函數(shù)=(其中且)的圖象恒過定點,且點在冪函數(shù)的圖象上,則=______.14．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1，空氣的溫度是θ0℃，那么t后物體的溫度θ（單位：）可由公式（k為正常數(shù)）求得.若，將55的物體放在15的空氣中冷卻，則物體冷卻到35所需要的時間為___________.15．已知為銳角，，，則__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對所有，恒成立，求的取值范圍.17．如圖所示，已知平面平面，平面平面，，求證:平面.18．已知函數(shù)，實數(shù)且（1）設(shè)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）設(shè)且時，的定義域和值域都是，求的最大值19．已知的圖象上相鄰兩對稱軸的距離為.（1）若，求的遞增區(qū)間；（2）若時，若最大值與最小值之和為5，求的值.20．已知函數(shù).（1）求最小正周期；（2）當(dāng)時，求的值域.21．某工廠進行廢氣回收再利用，把二氧化硫轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為200噸，最多為500噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化硫得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的月平均處理成本最低？（2）該工廠每月進行廢氣回收再利用能否獲利？如果獲利，求月最大利潤；如果不獲利，求月最大虧損額.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的對角線AC=10為該球的直徑，所以該球面的面積為.故選C.2、C【解析】圓，即.直線與圓相交于兩點,若,設(shè)圓心到直線距離.則，解得.即，解得故選C.點睛：直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時要利用圓心與切點連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時，當(dāng)過圓心作直線垂線時長度最小3、D【解析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，結(jié)合正切值存在可得角終邊所在象限【詳解】，且存在，角終邊所在象限是第三或第四象限故選D【點睛】本題考查三角函數(shù)的象限符號，是基礎(chǔ)題4、A【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡函數(shù)f（x）的解析式為﹣（sinx﹣1）2+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)f（x）的最大值【詳解】∵函數(shù)f（x）＝cos2x+2sinx＝1﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+2，∴sinx≤1，∴當(dāng)sinx＝1時，函數(shù)f（x）取得最大值為2，故選A【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題5、A【解析】先利用指數(shù)和對數(shù)運算化簡，再利用算籌表示法判斷.【詳解】因為，用算籌記數(shù)表示為，故選：.6、D【解析】先由，得函數(shù)周期為6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的圖象關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng)=f（x）的圖象關(guān)于x=3軸對稱，進而得到f（1）=f（5）；最后利用條件（2）得出結(jié)論因為，所以；即函數(shù)周期為6，故；又因為的圖象關(guān)于y軸對稱，所以的圖象關(guān)于x=3對稱，所以；又對任意，都有；所以故選:D考點：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；函數(shù)的周期性.7、B【解析】因為，，所以sin==，故選B考點：本題主要考查三角函數(shù)倍半公式的應(yīng)用點評：簡單題，注意角的范圍8、C【解析】將函數(shù)y=sin(x－)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到y(tǒng)=sin(x－)，再向左平移個單位得到的解析式為y=sin(（x+）－)=y=sin(x－)，故選C9、D【解析】由集合的概念可知方程只有一個解，且解為，分為二次項系數(shù)為0和不為0兩種情形，即可得結(jié)果.【詳解】因為為單元素集，所以方程只有一個解，且解為，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，即，此時，故選：D.10、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象判斷【詳解】因為，，是減函數(shù)，是增函數(shù)，只有D滿足故選：D二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、4050【解析】設(shè)每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益：當(dāng)時，最大，最大值為，即當(dāng)每車輛的月租金定為元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是，故答案為.【思路點睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及幾何概型概率公式，屬于難題.與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行解答.解答本題的關(guān)鍵是：將租賃公司的月收益表示為關(guān)于每輛車的月租金的函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.12、【解析】因為函數(shù)圖象恒過定點，則可之令2x-3=1,x=2,函數(shù)值為4，故過定點（2，4），然后根據(jù)且點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè),故可知=9，故答案為9.考點：對數(shù)函數(shù)點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象過定點（1，0），即令真數(shù)為1求對應(yīng)的x和y，則是所求函數(shù)過定點的坐標13、9【解析】由題意知,當(dāng)時,.即函數(shù)=的圖象恒過定點.而在冪函數(shù)的圖象上,所以,解得,即,所以=9.14、2【解析】將數(shù)據(jù)，，，代入公式，得到，解指數(shù)方程，即得解【詳解】將，，，代入得，所以，，所以，即.故答案為：215、【解析】由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡計算，即得結(jié)果【詳解】，都是銳角，，又，，，，則故答案為：.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）為奇函數(shù)；證明見解析；（2）是在上為單調(diào)遞增函數(shù)；證明見解析；（3）或.【解析】（1）根據(jù)已知等式，運用特殊值法和函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，結(jié)合已知進行判斷即可；（3）根據(jù)（1）（2），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在的最大值，最后根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.詳解】（1）∵，令，得，∴，令可得：，∴，∴為奇函數(shù)；（2）∵是定義在上的奇函數(shù)，由題意設(shè)，則，由題意時，有，∴，∴是在上為單調(diào)遞增函數(shù)；（3）∵在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴在上的最大值為，∴要使，對所有，恒成立，只要，即恒成立；令，得，∴或.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，考查了不等式恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力.17、見解析【解析】平面內(nèi)取一點，作于點，于點，可證出平面，從而，同理可證，故平面.【詳解】證明：如圖所示，在平面內(nèi)取一點，作于點，于點．因為平面平面，且交線為，所以平面．因為平面，所以同理可證．又，都在平面內(nèi)，且，所以平面【點睛】本題主要考查了兩個平面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，判定，屬于中檔題.18、（1）在上單調(diào)遞增，理由見解析（2）【解析】（1）由定義法直接證明可得；（2）由題知是方程的不相等的兩個正數(shù)根，然后整理成一元二次方程，由判別式和韋達定理列不等式組求解可得a的范圍，再用韋達定理表示出所求，然后可解.【小問1詳解】設(shè)，則，，，，故在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可得時，在上單調(diào)遞增，的定義域和值域都是，，則是方程的不相等的兩個正數(shù)根，即有兩個不相等的正數(shù)根，則，解得，，，時，最大值為；19、(1)增區(qū)間是[kπ－,kπ＋],k∈Z(2)【解析】首先根據(jù)已知條件，求出周期，進而求出的值，確定出函數(shù)解析式，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，，即可求出的遞增區(qū)間由確定出的函數(shù)解析式，根據(jù)的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最大值，即可得到的值解析：已知由，則T＝π＝，∴w＝2∴（1）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ則－＋kπ≤x≤＋kπ故f(x)的增區(qū)間是[kπ－,kπ＋],k∈Z（2）當(dāng)x∈[0,]時，≤2x＋≤∴sin(2x＋)∈[－,1]∴∴點睛：這是一道求三角函數(shù)遞增區(qū)間以及利用函數(shù)在某區(qū)間最大值求得參數(shù)的題目，主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)輔角公式可得，由此即可求出的最小正周期；（2）根據(jù)，可得，在結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：所以最小正周期為；【小問2詳解】，，的值域為.21、（1）400噸；（2）該工廠每月廢氣回收再利用不獲利，月最大虧損額為27500元.【解析】（1）由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為，化簡后再利用基本不等式即可求出最小值．（2）該單位每月獲利為元，則，由的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到的范圍即可得結(jié)論【詳解】（1）由題