非線性振動漫談

課程名稱小組成員學院系別專業(yè)課程名稱小組成員學院系別專業(yè)年級任課教師振動理論工程科學學院近代力學系理論與應用力學2012級陳海波非線性振動漫談1:概述牛頓方程建立以來，人們應用線性微分方程研究物體的運動，取得了許多重要的成果。實際上，不僅是力學，還包括其他物理學領域，人們長期研究的主要是線性理論。自20世紀60年代以來，人們在實驗研究中發(fā)現(xiàn)，在自然科學的許多領域都存在一些線性理論無法解釋的現(xiàn)象，開始是非線性振動，后來又在流體力學和聲學領域，接著是伴隨激光而誕生的非線性光學...非線性向人們展示了一副令人驚奇、甚至是不可思議的圖景。本文首先宏觀得介紹非線性現(xiàn)象及其與線性系統(tǒng)的不同點，然后初步介紹非線性振動的兩類求解方法，一類是定性的方法或稱幾何法，用以判定一個系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，主要是其穩(wěn)定性問題；另一類是定量的方法，主要有平均法，迭代法與攝動法等。由于定量法設計的數(shù)學知識比較復雜，旦數(shù)學推導很麻煩，因此本文將把重點放在定性求解上。2：非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的對比從數(shù)學的角度看，線性系統(tǒng)有兩個顯著的特點：一個特點是，因為自變量與函數(shù)之間的關系是線性的，因而自變量的變化率與函數(shù)的變化率之間成確定的比例。例如，函數(shù)y=ax+b,它對自變量x是線性的，則由?=a&可■見，當尿T0時，也有勻T。。這意味著函數(shù)值對自變量的取值精確度不敏感，亦即相應于自變量的微小變化，函數(shù)值也只會產生微小的變化。而一般的非線性系統(tǒng)，對初始值具有高度的敏感性，著名的蝴蝶效應就是典型的例子,意思是說，今天在巴西的熱帶雨林里有一只蝴蝶偶爾拍打了一下翅膀，可■能在兩個星期后,就在美國的德克薩斯州引起一場龍卷風。天氣的演化對初始值如此敏感，因此長期的天氣預報是不可能的。線性系統(tǒng)的另一個特點是，系統(tǒng)的整體性質可以由組成它的各個子系統(tǒng)的代數(shù)疊加得出，這就是所謂的線性疊加原理。如果一個系統(tǒng)可以分解為若干相對獨立的子系，則線性關系表明的是，只要各個子系的行為都己知，則系統(tǒng)的所有行為就是所有子系的簡單疊加。從這里可以看出，線性系統(tǒng)是由若干互不相干的獨立子系組成的，線性關系就是來源于各個獨立子系的獨立貢獻。于此對照，非線性系統(tǒng)的各個子系之間有著不可忽略的相互作用，因而在非線性的情況下，事情就變得復雜多了。下面以洛倫茲方程為例子，簡單得說明非線性現(xiàn)象對初值的高度敏感。1963年美國麻省理工學院的1象學專家洛倫茲在研究天氣預報問題時，將異常復雜的大氣對流偏微分方程化簡后，得到一組常微分方程.X=—10x4-1Oy?(1)<y=28x—y—xz?SZ=-§z+xy.這一方程己成為混沌理論的經典方程，即著名的洛倫茲方程。洛倫茲當時使用的是真空管電子計算機，通過數(shù)值計算求解這一方程，因為計算費時太多，為避免每次從頭算起，他把每次計算的中間結果打印下來。使他驚異的是，在重復上次計算結果的過程中，知識開頭一小段與上次結果一致，但很快就越來越偏離上次的結果。他意識到，他的這一組方程并不是線性的故不遵從傳統(tǒng)線性理論下的規(guī)律，而是對初值具有高度的敏感性。除了對初值極為敏感這一點以外，洛倫茲方程的解(圖1)也顯出很奇異的特性。從圖1可以看到，方程的解總體由兩個環(huán)套組成,像三維空間中的某種雙螺旋，又像蝴蝶的兩個翅膀，

這種結構稱為奇怪吸引子，因為它們吸引相平面的相點，但所有的相點又都永遠到不了環(huán)套的中心。從圖中看，每一個環(huán)套上都分布著細密的軌線，軌線一層層纏繞，在一個環(huán)套上轉幾圈，又跑到另一個換套上，完全無法預料什么時候從一個環(huán)套跑到另一個環(huán)套上。而且,這些軌線盡管緊密纏繞，但從不相交。從軌線的這些特征可以明顯看到，洛倫茲方程的長期行為是無法預測的。圖1:圖1:洛倫茲吸引子3：非線性振動的求解方法3.1非線性振動的定性分析方法3.1.1狀態(tài)空間及狀態(tài)方程將廣義坐標q（t）與J',義速度q（t）組成一個向量（q1,q2,...,qix;?稱為狀態(tài)向量,其各個分量稱為狀態(tài)變量，狀態(tài)向量所存在的空間，稱為相空間或狀態(tài)空間。狀態(tài)向量的端點，稱為“狀態(tài)點”，其運動軌跡稱為相軌跡或軌線，軌線的總體稱為相圖。通過相空間中一點，一般只會有一條軌線，因此其各條軌線不會相交（個邊點除外），而整個相圖紋理井然，便于分析，因此非線性系統(tǒng)的幾何理論經常在相空間展開。以狀態(tài)變量作為基本變量可得到狀態(tài)方程，多自由度的運動方程一般可以寫為??????q（t）=￡（缶42迎,…，qn；qi，qz，q3,…，qn；t）,i=l,2,3,…，n為此令xi=春=qi>1=L二???》n（3）而狀態(tài)向量成為{x}={&Xj必,…,％}T(4)因此多自由度的運動方程一般可以寫為*（t）=長（玉,瑪,…,X2n；t},i=l,2,…,n（5）方程（5）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，這是2n個變量的一階微分方程組。對于一組確定的初始條件

xJ0)=q,i=l,2,...,2n(6)可以證明方程(5)有惟一的解。這表明通過狀態(tài)空間中一個確定的點，一般只有一條確定的軌線。{x}={&Xj必,…,％}T(4)3.1.2平衡點及平衡點的穩(wěn)定性.狀態(tài)空間中{X}A{0}的點稱為普通點或正則點，而????{x}={Xl,X2,...,X2n)T=(Xi(^,X2>...,X2n)}={0}⑺的點稱為奇點或平衡點。在平衡點上，所有的狀態(tài)變量的變化率夭(1=1二…,2n)均為°,因而狀態(tài)變量不會改變。其結果是系統(tǒng)只能靜止在原來的位置上，不可能運動。如果平衡點不在原點，那么按下式進行坐標平移：%7一％(8)就可以將原點平移到平衡點上。平衡點可以分兩類，即穩(wěn)定的平衡點和不穩(wěn)定的平衡點，其差別并不在于平衡點本身的狀態(tài),而在于系統(tǒng)在略為偏離平衡點時的運動趨勢是趨向于回到平衡點，保持在平衡點附近運動還是趨向于偏離該平衡點越來越遠。相應的，該平衡點分為漸進穩(wěn)定，僅穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的,其中前兩種平衡點又稱為穩(wěn)定的平衡點。3.1.3單自由度自治系統(tǒng)狀態(tài)方程在平衡點領域的線性化。如果狀態(tài)方程(5)的右邊不顯含時間t,即Xi(t)=%(習，忍，...，^},1=1,2,…，n(9)則狀態(tài)空間的流場是定常的，這種系統(tǒng)叫做自治系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)的狀態(tài)方程式如式(10)所示Xl=X](%X2)>X2=X2(Xj,x2)(10)設平衡點的坐標為為=%,為=22代入式(10)得??Xi=a2)=°,X2=(a】>&2)=0(】］)由于XLX2是非線性函數(shù)，一般會得到關于al,a2的多組解，即可能有多個平衡點，我們總可以采用(8)所示的坐標變換，將坐標原點移到任何一個平衡點，因而不失一般性我們可以認為平衡點即為原點，即al=a2=0,而在原點附近將狀態(tài)方程式(10)展開為式中(12)(13)勺，與是二階以上的微量。如略去這些高階微量，并采用矩陣記法有

21'(14)此式在原點(平衡點)附近近似地成立。一下分析此式所代表的近似線性系統(tǒng)在原點附近的相圖的幾何特性，并按之對平衡點進行分類。式中(12)21'(14)3.1.4平衡點領域中的相圖及平衡點的類型式(14)表明系統(tǒng)在平衡點附近的動態(tài)特性由矩陣何]確定，這里假定[a]是非奇異矩陣。為了研充次矩陣對平衡點附近的相圖性質的影響，對相平面進行線性變換，其目的是將同變?yōu)楸M可能簡單的形式。若記{x}=[b]{u}(15)其中[b]是一非奇異的變換矩陣：{u}是新的狀態(tài)變量。對于新的狀態(tài)變量{u}的狀態(tài)方程juL[b]-1[a][b](u}=[c]{u}1J(16)其中兩矩陣稱為相似矩陣。相似矩陣具有相同的特征值。矩陣同的特征值滿足以下方程:ail一ail一人a!2a21a22~=0&+知)人+(%禹2-％舟1)=0(17)求解可得出兩個特征值入1，入2.這兩個特征值有以下三種情形，對于每一種情形，都可以選擇適當?shù)淖儞Q矩陣[b],使得[c]矩陣化為最簡單的約當(Jordan)形入1,入2是相異的實數(shù)，此時有[c]=[bf1[a][b]=(18)式(16)成為

u.u.(19)其解為lyUioe^Uylh。"(20)如果入2<Al<0則在原點附近的相圖如圖2所示。這種情況下，相平面(ul,u2)的原點稱為節(jié)點。從相圖上可見，從原點附近的所有點出發(fā)的軌線都單調地趨向原點。因此，此節(jié)點是漸進穩(wěn)定的。如果入2>A1>0,軌線的形狀任與圖2相同,但所有的箭頭需反向，我們得到不穩(wěn)定的結點。如果入2<0<A1則相圖如圖3所示，這時的原點稱為鞍點，鞍點總是不穩(wěn)定的。圖3鞍點如果入1,入2是相等的實數(shù)。則c的約當標準型有兩種:[c]=A1A[c]=A1A%(21)對于第一種情況，解為叫=呻"凹=可0。邳（22）這時原點仍為結點，但相軌跡成為過原點的直線，這種結點稱為邊界結點。且當入X0時是穩(wěn)定的，而當入1>0是不穩(wěn)定的。至于式（21）所示的第二種情況，將得到一種退化的結點，軌線為曲線，仍然是入1<0時是穩(wěn)定的，而入1>0是不穩(wěn)定的（3）如果入1,X2是共軸復數(shù)，令入1=（a+iB）,入2=（a-i。），a,6為實數(shù)，其解為u】=(uM)e%f=(uk)e"(23)做線性變換i】io(24)以（23）式中的ul,u2代入式（24）,并記ulOu2O=uO,得V=（11蘆炒伙,&=（11蘆）密創(chuàng)在（vl,V2）平面上這時一對數(shù)螺旋線，如圖4所示，B的符號確定螺旋線的旋向：3>0,為逆時針方向；P<0,為順時針方向。a的符號則決定是向內旋，還是向外旋，即決定平衡點的穩(wěn)定性：a<0,向內旋，漸進穩(wěn)定；a>0向外旋，不穩(wěn)定。圖3是a<0,B<0的情況，這種類型的平衡點稱為螺旋極點或焦點。在平衡點為焦點的情況下，其附近的軌線以衰減振蕩的方式趨于平衡，或以增幅振蕩的方式，偏離平衡點。當a二。時，軌線稱為圖5所示的同心圓，這種平衡點稱為中心，屬于僅穩(wěn)定。圖5中心圖4穩(wěn)定焦點基于以上的討論與分析，可以不必求出［a］的特征值，而直接按［a］的元素來判斷平衡點的類型。若記%+a”=p,ana22-a12a21=q,A=p2-4q奇點的不同類型由參數(shù)P和D完全確定，只要這兩個參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點的類型就確定圖5中心奇點類型和這兩個參數(shù)的關系可以歸納如RA>0q>0結點，A<Q<.q<0A>0q>0結點，A<Q<.q<0鞍點

p=0中心p*0焦點，p<0p>0p<0p>0穩(wěn)定結點不穩(wěn)定結點穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點3.2非線性振動的定量分析方法3.2.1解析求解法非線性振動問題很雅嚴格求解，但有限擺幅的單擺問題卻是一個成功的例子。設單擺的質量m,擺長為I。選取擺線偏離鉛垂線的角度。為廣義坐標，以6=0點為勢能零點，體系的拉格朗口函數(shù)為L=imZ202-mgl（l-cos6）=^mZ202-2mglsin2|因為所以廣義能量枳分（這里就是機械能）守恒，即otimZ262+2mglsm2-=E022設初始條件為6=6。且0=0,代入上式得Eo=2mglsin2—2因而doge0e無=±#即萬―s濾刃為了求得系統(tǒng)的周期T,我們將上述方程在te[o,：]和。e[00,0]的范圍內積分。此時上式取負號，可變形為T=2d9=(1)e2做變換sin|=ksinn,06[0,00]?uG其中K=sin?,則式（1）變?yōu)門=4j捕曷并(k)⑵T=2其中du是第一類橢圓積分。式(2)表明，大振幅單擺的周期與振幅有關。為具體考察T與6。的關系，將式(2)展開成S的幕級數(shù)，得3)萼I】+G)k+G.9七4+《.：.第*+所以T=2irp-(l+-sin2—+—sin4—H—)y]g\42642)可見，當振幅60?1時，上式中的前疽牛以后的高次項均可略去，得到與振幅無關的小振動的周期T=2nJ然而隨著振幅的增大，s泊2岑以后的高次項不能忽略，T隨。0的增大而增W2大。下表是具體的數(shù)值計算結果。表1:不同擺幅下嚴格解與零階近似的周期比較0o/°1257.22422.81304590180T/1.00001.00001.00041.00101.01001.01741.03991.18030028800174由上表中數(shù)據(jù)可以看出，在精度要求一般時，比如1%精度，要求初始擺動角不超過22.81°即可，這是一個很容易滿足的要求。但如果要求精度再增加一個數(shù)量及，如在用單擺測量重力加速度實驗中，則。。必須小于7°，實際操作時務必注意這一限制。此外，如果取6。取180°時，表中的周期為無窮大，但這僅有數(shù)學上的意義。因為它對應一個不穩(wěn)定平衡的初始位置，而實際情況下總會有各種因素打破這一不穩(wěn)定平衡。3.2.2.微擾法微擾法又稱逐級近似法攝動法，它適于求解形如X+co02x=f(x,x)的振動方程，其中非線性項|/(%,%)|?tu02%,4將其視為對線性方程的擾動或攝動，為表示微擾的數(shù)量級，我們引入參量￡,將上式寫成x+cu02x=ef(x,x)(3)微擾法的基本做法是：令'和s的n階近似解為(X=Xo++￡2x2+"?+(co=O>0+￡(JO1+￡2(j02HF￡nCOn其中辦和gi=l,2,…,n)為對零階近似解初和⑦o的i階微擾。將上式代入式(3)中，使等式兩側W同級幕的系數(shù)相等，就得到關于各階'和3的一組方程，從零階開始逐級求解這些方程(求解第i階方程時，把零到i-1階的解作為己知條件)，便可以得到原方程的n階近似解。下面我們仍以大擺幅擺動的單擺為例，說明微擾法的應用。從單擺的拉格朗口方程易知其運動微分方程為d+ysin0=O(4)將sin3做幕級數(shù)展開sin0=0—-03+—056120取到。的三次項，式(4)近似為d+a>o26=a03其中伽=出，a=3°2/6.上式可以看成是線性方程0+too20=O的解再加上小量展3的微小修正后得到的。為了明確表示數(shù)量級，引入￡，將上式變成6^a)Q2Q=Ea03(5)假定只求二階近似解，則令0=0q+￡0[+$2°2CO=COq+ECOi+e2co2代入式(5),得0q4~801+82的+(①—ECO^—+￡0+8^02)=隊+已?！?尸公)'略去《的三次以上項，比較上式等號兩側同為￡°,N和E2的項，分別得到零階，一階和二階(0q+口2。0=0近似方程分別為｛+co20l=Icoco^q+aOQ3(6)V命2+=—+260601。]+260602。。+3(10q^0i零階近似即常規(guī)的小振動單擺的結果為。0=Aocos(a)t+<p)其中4。和甲為待定常量。將上式代入式(6)中第二式，則S1+a)20x=2a)a)iA0cos伽+.)+aA03cos3(a)t+<p)利用三倍角公式化01+a)?。]=33(2coco1/lo+°：°?)cos(o)t+<p)+^-cos3(cot+(p)(7)如果我們將該方程的右側部分視為策動力項，則其中的第一項的頻率與左側的固有頻率都是3,由于這里不存在任何耗散，此策動力將產生振幅無窮大的共振，除非該項的系數(shù)為零,即3aA032口紈刀0H=0所以3aAQ2

coA=—18a)于是式(7)簡化為..-qAq^0i+a)20]=—-—cos3(cot+9)4易解其特解為(通解己經包含在零階近似解中，不必再考慮)301=/l1COS3(6Ot+^),Al=-^采用類似但繁瑣的步驟，可以得到二階近似下的求解結果。首先，為去掉不符合實際情況的發(fā)散型共振，要求4t0]2—3clAqA^21q2刀8a)因而二階微分方程簡化為&2+口2』2=|"七+：履0"icos3(st++Alcos5(a)t+(P)解得02=A2cos3(a)t+<p)+F2cos5(a)t+<p)aA^Ai32以_(4cuwi+3a402)4i16cu2A2=aA^Ai32以16cu2系數(shù)可進一步簡化為=二一2&52—1024^2—10243，于是我們得到二階近似下的總解為。=。0+色+。2=Aqcos(a)t+(p)+(勿+i42)cos3(cot+(p)+B2cos5(a)t+cp)=4。8s(m+9)+(-；*；l*；；：：)cos3(m+9)+器^cos5(m+饑一般情況下沒有必要求解更高階近似，因為作為問題的出發(fā)點的運動微分方程中僅精確到。的一階項。最后，有初始擺角為和角速度為零的條件，即Aq8S0+(—履七氣)COS30+F"4‘8s50=0Q°Fl32321024網*1024w4*°.,f3a403.9a24o5>..血sm肥+(-歹+聲小in3肥+同芥岫<p=0以及頻率關系3aA^21a%43=+刃2=3。Z1—cl/~°1~°8co256①3聯(lián)合求解各階振幅，初位相和頻率(實際計算時可用迭代法求快捷解)。下表是不同初始擺角下二階近似解與解析解周期的比較。由表可知，直到初始擺角達到大約15°,二階近似解與嚴格解的誤差才有IO-,即使擺角增加到90°,誤差也僅為1.6%。表2：不同擺幅下二階近似解與嚴格解的周期比較00/°14.2520304590T1.000011.000041.000201.001031.01576值得指出的是，微擾法中引入W來表這階數(shù)，只是為了方便區(qū)分各階小量，所以一旦各階量求得后，在表達總量時就可以舍棄它了。3.2.3求解非線性方程的數(shù)值分析方法數(shù)值分析方法就是對非線性系統(tǒng)進行數(shù)值積分，在時域內把響應的時間歷程離散化，對每一時間步長內可按線性系統(tǒng)來進行計算，并對每一步的結果進行修正。這種方法又稱為逐步積分法或直接積分法。數(shù)值分析方法得到廣泛應用一個原因是因為非線性分析理論發(fā)展的不完善性，對很多問題無法進行理論上的分析；另一個原因是數(shù)值分析理論的發(fā)展和計算工具性能的提高使得數(shù)值分析成為可能。常用的數(shù)值分析方法有紐馬克(Newmark)法、威爾遜(Wilson)法、Range—Kutta法等。由于篇幅有限這里不再詳細介紹。3.2.4解析法，微擾法和數(shù)值計算