2020高中數(shù)學 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理學案 5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1。2余弦定理學習目標核心素養(yǎng)1.掌握余弦定理及其推論．(重點)2．掌握正、余弦定理的綜合應用．(難點）3．能應用余弦定理判斷三角形的形狀．（易錯點）1。借助余弦定理的推導，提升學生的邏輯推理的素養(yǎng)．2．通過余弦定理的應用的學習,培養(yǎng)學生的數(shù)學運算的素養(yǎng).1．余弦定理(1）三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B,c2＝a2＋b2－2abcos_C．(2)應用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題．①已知三邊，求三角．②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．思考：利用余弦定理只能解決以上兩類問題嗎？[提示］是．2．余弦定理的變形（1)余弦定理的變形:cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）;cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac）；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab）。（2)利用余弦定理的變形判定角：在△ABC中，c2＝a2＋b2?∠C為直角；c2〉a2＋b2?∠C為鈍角；c2〈a2＋b2?∠C為銳角．1．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為（)A．eq\f（1，3) B．－eq\f（1，2)C．eq\f(1,4） D．－eq\f(1，4)A［根據(jù)正弦定理,a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，設a＝3k，b＝2k，c＝3k(k〉0）．則有cosC＝eq\f(9k2＋4k2－9k2，2×3k×2k）＝eq\f（1,3)。]2．在△ABC中,若a＝3,c＝7，∠C＝60°，則b為(）A．5 B．8C．5或－8 D．－5或8B[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.因為b>0，所以b＝8。］3．在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，則∠B＝________。60°[cosB＝eq\f(c2＋a2－b2，2ac)＝eq\f(4＋1－3，4）＝eq\f(1，2)，∠B＝60°.］4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則∠A＝________。120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc，2bc)＝－eq\f(1,2),又∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝120°.]已知兩邊及一角解三角形【例1】已知△ABC,根據(jù)下列條件解三角形:a＝eq\r(3)，b＝eq\r（2)，∠B＝45°。［解］由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB．∴2＝3＋c2－2eq\r（3）·eq\f(\r(2)，2)c．即c2－eq\r(6)c＋1＝0，解得c＝eq\f（\r(6）＋\r(2）,2)或c＝eq\f(\r（6)－\r(2）,2）。當c＝eq\f（\r（6）＋\r(2），2）時，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(6)＋\r（2)，2）））2－3,2×\r（2)×\f（\r（6）＋\r（2），2）)＝eq\f(1，2）.∵0°〈∠A<180°，∴∠A＝60°,∴∠C＝75°。當c＝eq\f(\r(6）－\r（2)，2)時，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（6）－\r（2）,2））)2－3,2×\r（2）×\f（\r（6)－\r(2)，2））＝－eq\f(1,2)?！?°<∠A〈180°，∴∠A＝120°,∠C＝15°。故c＝eq\f(\r(6）＋\r（2)，2)，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝eq\f(\r（6）－\r（2)，2)，∠A＝120°，∠C＝15°。已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：(1）若已知角是其中一邊的對角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊;另一種方法是用余弦定理列出關于另一邊的一元二次方程求解．（2)若已知角是兩邊的夾角．則直接運用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，∠C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊長c．[解]5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3）(x＋2)＝0.∴x1＝eq\f（3，5)，x2＝－2（舍去）．∴cosC＝eq\f（3，5）。根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5）＝16?！郼＝4，即第三邊長為4。已知三邊或三邊關系解三角形【例2】（1）已知△ABC的三邊長為a＝2eq\r(3),b＝2eq\r(2），c＝eq\r（6)＋eq\r（2）,求△ABC的各角度數(shù)；(2）已知△ABC的三邊長為a＝3，b＝4，c＝eq\r(37),求△ABC的最大內角．［解]（1)由余弦定理得：cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f（2\r（2）2＋\r（6）＋\r（2）2－2\r（3）2，2×2\r（2)×\r（6)＋\r（2)）＝eq\f(1，2)，∴∠A＝60°。cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f（2\r（3)2＋\r（6）＋\r(2)2－2\r(2)2，2×2\r(3）×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°。（2）∵c>a，c>b，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC,即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－eq\f（1，2)，∵0°<∠C〈180°，∴∠C＝120°.∴△ABC的最大內角為120°.1．已知三角形三邊求角時，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產生增解或漏解．2．若已知三角形三邊的比例關系，常根據(jù)比例的性質引入k，從而轉化為已知三邊解三角形．2．在△ABC中,已知（a＋b＋c）(b＋c－a)＝3bc,則角∠A等于(）A．30° B．60°C．120° D．150°B[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc,∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f（1,2），∴∠A＝60°.］正、余弦定理的綜合應用［探究問題]1．在△ABC中,∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2[提示］設△ABC的外接圓半徑為R.由正弦定理的變形，將a＝2RsinA,b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C．反之,將sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝eq\f（b，2R），sinC＝eq\f（c,2R)代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說法均正確．2．在△ABC中,若c2＝a2＋b2，則∠C＝eq\f(π,2)成立嗎？反之，若∠C＝eq\f（π，2),則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？［提示]因為c2＝a2＋b2,所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝0，即cosC＝0，所以∠C＝eq\f(π，2），反之，若∠C＝eq\f（π，2），則cosC＝0，即eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a－c·cosB）sinB＝(b－c·cosA)sinA,判斷△ABC的形狀．[思路探究］角邊轉化．［解］法一：∵(a－c·cosB）sinB＝（b－c·cosA）·sinA，∴由正、余弦定理可得：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac）)）·b＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2，2bc）))·a，整理得：（a2＋b2－c2)b2＝（a2＋b2－c2）a2，即（a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b．故△ABC為直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為:(sinA－sinCcosB）sinB＝（sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA．∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A．∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝eq\f（π，2).故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．1．法一是用余弦定理將等式轉化為邊之間的關系式，法二是借助于正弦定理，將已知等式轉化為角的三角函數(shù)關系式．這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手段．2．一般地,如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之,若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理;若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用．3．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，試判斷△ABC的形狀為________．等邊三角形[∵2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°,∴∠B＝60°.又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，從而(a－c）2＝0,∴a＝c，可知△ABC為等邊三角形．]1．本節(jié)課的重點是余弦定理及其推論，并能用它們解三角形，難點是在解三角形時，對兩個定理的選擇．2．本節(jié)課要掌握的解題方法：(1)已知三角形的兩邊與一角，解三角形．(2)已知三邊解三角形．（3)利用余弦定理判斷三角形的形狀．3．本節(jié)課的易錯點有兩處：（1)正弦定理和余弦定理的選擇：已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，一般情況下，利用正弦定理求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要注意進行討論．如果采用余弦定理來解，只需解一個一元二次方程，即可求出邊來．比較兩種方法，采用余弦定理較簡單．（2）利用余弦定理求三角形的邊長時容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理的表達形式是邊長的平方，通常轉化為一元二次方程的形式求解根的問題．1．判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）(1）在三角形中，已知兩邊及一邊的對角,可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．()（2）余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，因此，它適用于任何三角形．()（3)利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問題．（）（4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例．（)［解析]（1）×。由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對角,既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．（2）√.余弦定理反映了任意三角形的邊角關系，它適合于任何三角形．（3）√。結合余弦定理公式及三角函數(shù)知識可知正確．(4)√。余弦定理可以看作勾股定理的推廣．［答案］(1)×(2)√（3）√（4)√2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形C［∵2cosBsinA＝sinC，∴2×eq\f（a2＋c2－b2,2ac)×a＝c，∴a＝b．故△ABC為等腰三角形．]3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6,∠C＝120°，則邊c＝________.2eq\r（19）[根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝2eq\r（19）。]4．在△ABC中,已知a＝8，∠B＝60°，c＝4（eq\r（3)＋1)，解此三角形．［解］由余弦定理得,b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(eq\r（3)＋1）］2－2×8×4(eq\r（3）＋1)·cos60°＝64＋16(4＋2eq\r(3）)－64（eq\r（3)＋1）×eq\f（1,2）＝96，∴b＝4eq\r（6).法一：由cosA＝eq\f（b2＋c2