2020高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理學(xué)案 5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1。2余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握余弦定理及其推論．(重點(diǎn))2．掌握正、余弦定理的綜合應(yīng)用．(難點(diǎn)）3．能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀．（易錯(cuò)點(diǎn)）1。借助余弦定理的推導(dǎo)，提升學(xué)生的邏輯推理的素養(yǎng)．2．通過(guò)余弦定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1．余弦定理(1）三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B,c2＝a2＋b2－2abcos_C．(2)應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類(lèi)解三角形問(wèn)題．①已知三邊，求三角．②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．思考：利用余弦定理只能解決以上兩類(lèi)問(wèn)題嗎？[提示］是．2．余弦定理的變形（1)余弦定理的變形:cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）;cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac）；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab）。（2)利用余弦定理的變形判定角：在△ABC中，c2＝a2＋b2?∠C為直角；c2〉a2＋b2?∠C為鈍角；c2〈a2＋b2?∠C為銳角．1．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為（)A．eq\f（1，3) B．－eq\f（1，2)C．eq\f(1,4） D．－eq\f(1，4)A［根據(jù)正弦定理,a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝3k(k〉0）．則有cosC＝eq\f(9k2＋4k2－9k2，2×3k×2k）＝eq\f（1,3)。]2．在△ABC中,若a＝3,c＝7，∠C＝60°，則b為(）A．5 B．8C．5或－8 D．－5或8B[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.因?yàn)閎>0，所以b＝8。］3．在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，則∠B＝________。60°[cosB＝eq\f(c2＋a2－b2，2ac)＝eq\f(4＋1－3，4）＝eq\f(1，2)，∠B＝60°.］4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則∠A＝________。120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc，2bc)＝－eq\f(1,2),又∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝120°.]已知兩邊及一角解三角形【例1】已知△ABC,根據(jù)下列條件解三角形:a＝eq\r(3)，b＝eq\r（2)，∠B＝45°。［解］由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB．∴2＝3＋c2－2eq\r（3）·eq\f(\r(2)，2)c．即c2－eq\r(6)c＋1＝0，解得c＝eq\f（\r(6）＋\r(2）,2)或c＝eq\f(\r（6)－\r(2）,2）。當(dāng)c＝eq\f（\r（6）＋\r(2），2）時(shí)，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(6)＋\r（2)，2）））2－3,2×\r（2)×\f（\r（6）＋\r（2），2）)＝eq\f(1，2）.∵0°〈∠A<180°，∴∠A＝60°,∴∠C＝75°。當(dāng)c＝eq\f(\r(6）－\r（2)，2)時(shí)，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（6）－\r（2）,2））)2－3,2×\r（2）×\f（\r（6)－\r(2)，2））＝－eq\f(1,2)。∵0°<∠A〈180°，∴∠A＝120°,∠C＝15°。故c＝eq\f(\r(6）＋\r（2)，2)，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝eq\f(\r（6）－\r（2)，2)，∠A＝120°，∠C＝15°。已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：(1）若已知角是其中一邊的對(duì)角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊;另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解．（2)若已知角是兩邊的夾角．則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，∠C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊長(zhǎng)c．[解]5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3）(x＋2)＝0.∴x1＝eq\f（3，5)，x2＝－2（舍去）．∴cosC＝eq\f（3，5）。根據(jù)余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5）＝16?！郼＝4，即第三邊長(zhǎng)為4。已知三邊或三邊關(guān)系解三角形【例2】（1）已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a＝2eq\r(3),b＝2eq\r(2），c＝eq\r（6)＋eq\r（2）,求△ABC的各角度數(shù)；(2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a＝3，b＝4，c＝eq\r(37),求△ABC的最大內(nèi)角．［解]（1)由余弦定理得：cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f（2\r（2）2＋\r（6）＋\r（2）2－2\r（3）2，2×2\r（2)×\r（6)＋\r（2)）＝eq\f(1，2)，∴∠A＝60°。cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f（2\r（3)2＋\r（6）＋\r(2)2－2\r(2)2，2×2\r(3）×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°。（2）∵c>a，c>b，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC,即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－eq\f（1，2)，∵0°<∠C〈180°，∴∠C＝120°.∴△ABC的最大內(nèi)角為120°.1．已知三角形三邊求角時(shí)，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時(shí)，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解．2．若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形．2．在△ABC中,已知（a＋b＋c）(b＋c－a)＝3bc,則角∠A等于(）A．30° B．60°C．120° D．150°B[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc,∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f（1,2），∴∠A＝60°.］正、余弦定理的綜合應(yīng)用［探究問(wèn)題]1．在△ABC中,∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2[提示］設(shè)△ABC的外接圓半徑為R.由正弦定理的變形，將a＝2RsinA,b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C．反之,將sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝eq\f（b，2R），sinC＝eq\f（c,2R)代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說(shuō)法均正確．2．在△ABC中,若c2＝a2＋b2，則∠C＝eq\f(π,2)成立嗎？反之，若∠C＝eq\f（π，2),則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？［提示]因?yàn)閏2＝a2＋b2,所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝0，即cosC＝0，所以∠C＝eq\f(π，2），反之，若∠C＝eq\f（π，2），則cosC＝0，即eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a－c·cosB）sinB＝(b－c·cosA)sinA,判斷△ABC的形狀．[思路探究］角邊轉(zhuǎn)化．［解］法一：∵(a－c·cosB）sinB＝（b－c·cosA）·sinA，∴由正、余弦定理可得：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac）)）·b＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2，2bc）))·a，整理得：（a2＋b2－c2)b2＝（a2＋b2－c2）a2，即（a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b．故△ABC為直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為:(sinA－sinCcosB）sinB＝（sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA．∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A．∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝eq\f（π，2).故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．1．法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，法二是借助于正弦定理，將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式．這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手段．2．一般地,如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之,若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理;若是以上特征不明顯，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用．3．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，試判斷△ABC的形狀為_(kāi)_______．等邊三角形[∵2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°,∴∠B＝60°.又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，從而(a－c）2＝0,∴a＝c，可知△ABC為等邊三角形．]1．本節(jié)課的重點(diǎn)是余弦定理及其推論，并能用它們解三角形，難點(diǎn)是在解三角形時(shí)，對(duì)兩個(gè)定理的選擇．2．本節(jié)課要掌握的解題方法：(1)已知三角形的兩邊與一角，解三角形．(2)已知三邊解三角形．（3)利用余弦定理判斷三角形的形狀．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩處：（1)正弦定理和余弦定理的選擇：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形，一般情況下，利用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角，再求其他的邊或角，要注意進(jìn)行討論．如果采用余弦定理來(lái)解，只需解一個(gè)一元二次方程，即可求出邊來(lái)．比較兩種方法，采用余弦定理較簡(jiǎn)單．（2）利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)時(shí)容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理的表達(dá)形式是邊長(zhǎng)的平方，通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程的形式求解根的問(wèn)題．1．判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）(1）在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角,可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．()（2）余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適用于任何三角形．()（3)利用余弦定理，可解決已知三角形三邊求角問(wèn)題．（）（4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例．（)［解析]（1）×。由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對(duì)角,既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．（2）√.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形．（3）√。結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識(shí)可知正確．(4)√。余弦定理可以看作勾股定理的推廣．［答案］(1)×(2)√（3）√（4)√2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形C［∵2cosBsinA＝sinC，∴2×eq\f（a2＋c2－b2,2ac)×a＝c，∴a＝b．故△ABC為等腰三角形．]3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6,∠C＝120°，則邊c＝________.2eq\r（19）[根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝2eq\r（19）。]4．在△ABC中,已知a＝8，∠B＝60°，c＝4（eq\r（3)＋1)，解此三角形．［解］由余弦定理得,b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(eq\r（3)＋1）］2－2×8×4(eq\r（3）＋1)·cos60°＝64＋16(4＋2eq\r(3）)－64（eq\r（3)＋1）×eq\f（1,2）＝96，∴b＝4eq\r（6).法一：由cosA＝eq\f（b2＋c2