數(shù)學(xué)哲學(xué)的教育價(jià)值與思考論文（共3篇）

數(shù)學(xué)哲學(xué)的教育價(jià)值與思考論文〔共3篇〕如今的數(shù)學(xué)比以前更快的速度要更快。這樣的結(jié)果是很多以前對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)感興趣的數(shù)學(xué)以及一些新成長(zhǎng)起來的數(shù)學(xué)家都很少涉夠數(shù)學(xué)哲學(xué)。曾經(jīng)有數(shù)學(xué)家就以為數(shù)學(xué)哲學(xué)家討論的是“前天的數(shù)學(xué)〞而不是“今天的數(shù)學(xué)〞。以下為學(xué)術(shù)參考網(wǎng)的我采集的關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)論文范例，歡迎大家閱讀欣賞。第1篇：數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)教學(xué)的意義何在？其實(shí)這一直是一個(gè)沒有定論的問題。詳細(xì)說來，人們大略不會(huì)否認(rèn)數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的作用，無論這種作用是大還是小，是積極的還是消極的，是長(zhǎng)期的還是短期的，是直接的還是間接的。然而人們難以有共鳴的是，數(shù)學(xué)哲學(xué)在何種水平上，以何種方式對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育起著作用。本文將從數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個(gè)核心與主要的領(lǐng)域——數(shù)學(xué)觀出發(fā)，對(duì)相關(guān)話題予以初步闡述，以期引起中小學(xué)數(shù)學(xué)老師對(duì)此話題的關(guān)注。一、數(shù)學(xué)觀演變的歷史掠影自從數(shù)學(xué)產(chǎn)生以來，人們就構(gòu)成了關(guān)于數(shù)學(xué)的很多認(rèn)識(shí)。人們關(guān)于數(shù)學(xué)的理解和看法在相當(dāng)水平上取決于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的水平。例如，無論是在中國(guó)古代還是古希臘，萬物固有的量性特征都促使人們考慮了物質(zhì)與數(shù)量之間的關(guān)系。在〔道德經(jīng)〕中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生萬物〞的思想，而古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信念則是“萬物皆數(shù)〞。再比方，物質(zhì)存在的空間形態(tài)促使人們對(duì)幾何形體進(jìn)行了研究，幾何學(xué)因此成為所有數(shù)學(xué)文化的共同對(duì)象，雖然所采用的研究方法各不一樣。在數(shù)學(xué)發(fā)展早期，由于數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)，這種對(duì)于數(shù)量與空間形式的認(rèn)識(shí)可能是初步的、幼稚的，以至是毛病的。例如，無論是在中國(guó)古代、古巴比倫、古埃及還是古代印度，數(shù)字與神秘主義一直有著千絲萬縷的聯(lián)絡(luò)。在古希臘，由于受所有的數(shù)都是整數(shù)之比這一觀念的影響，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)竟然被以為是一場(chǎng)災(zāi)難。與古埃及、巴比倫和其他的經(jīng)歷體驗(yàn)主義數(shù)學(xué)范式不同的是，古希臘數(shù)學(xué)在很多基本和重大的觀念上都是創(chuàng)始性的。在本體論方面，古希臘人把數(shù)學(xué)研究對(duì)象加以抽象化和理想化，使之成為與現(xiàn)實(shí)對(duì)象不同的具有永遠(yuǎn)恒久性、絕對(duì)性、不變性的理念對(duì)象。在認(rèn)識(shí)論方面，對(duì)于數(shù)學(xué)真諦的斷定，古希臘人堅(jiān)持運(yùn)用演繹證明而不是經(jīng)歷體驗(yàn)感悟，并賦予數(shù)學(xué)真諦以與其本體論性質(zhì)相當(dāng)?shù)膬r(jià)值觀念。古希臘人把數(shù)學(xué)加以觀念化，使之成為一種形而上學(xué)的學(xué)問，而不僅僅停留在實(shí)用的、技術(shù)的、巫術(shù)的、技藝的等形而上學(xué)的層面。在方法論方面，古希臘人賦予數(shù)學(xué)以嚴(yán)密的邏輯構(gòu)造，使數(shù)學(xué)知識(shí)以一種體系化的形式呈現(xiàn)，并堅(jiān)持通過論證的方法獲得數(shù)學(xué)命題的可靠性。演繹數(shù)學(xué)作為古希臘所創(chuàng)始的數(shù)學(xué)范式，其基本觀念在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和柏拉圖的數(shù)學(xué)世界中到達(dá)了頂點(diǎn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先開始把數(shù)學(xué)作為抽象的對(duì)象加以研究，柏拉圖則進(jìn)一步把這種思想提升到了哲學(xué)和形而上學(xué)的層面，最終構(gòu)成了有名的畢達(dá)哥拉斯一柏拉圖的數(shù)學(xué)觀念，作為這一數(shù)學(xué)觀念知識(shí)典范的就是歐幾里得的〔幾何本來〕。古希臘人創(chuàng)造的演繹數(shù)學(xué)范式，完全改變了經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)學(xué)范式之下人們對(duì)數(shù)學(xué)的看法，對(duì)西方數(shù)學(xué)的發(fā)展有極為深刻的影響，進(jìn)而對(duì)西方數(shù)學(xué)教育的進(jìn)程產(chǎn)生了難以估量的影響。概括起來看，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，數(shù)學(xué)觀重要經(jīng)歷了三個(gè)主要階段。第一個(gè)階段是醞釀、預(yù)備和發(fā)動(dòng)階段。文藝復(fù)興以來，古希臘數(shù)學(xué)范式開始逐步演變，并直接促使了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的誕生。伴隨著文藝復(fù)興之后幾個(gè)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造與進(jìn)展，一批偉大的數(shù)學(xué)巨匠相繼出現(xiàn)。如伽利略、笛卡爾、帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等，這些數(shù)學(xué)家在古希臘演繹數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上創(chuàng)始了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。這一時(shí)期，整個(gè)數(shù)學(xué)思想開始從古典數(shù)學(xué)、靜態(tài)數(shù)學(xué)(以古希臘數(shù)學(xué)為標(biāo)記)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)(重要標(biāo)記是極限思想)改變?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)是以微積分的誕生為標(biāo)記的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展在牛頓、萊布尼茨時(shí)代只是一個(gè)初步的雛形。它的逐步成熟是在第二個(gè)階段，也就是法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)派興盛的時(shí)期。以富里葉、拉普拉斯等為代表的數(shù)學(xué)家把現(xiàn)代數(shù)學(xué)推向了一個(gè)新的階段。其基本特點(diǎn)是在數(shù)學(xué)本體論中驅(qū)逐了神的地位，建立了相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)作為天然法典解讀者的地位?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的最高標(biāo)記(也就是第三個(gè)階段)是數(shù)學(xué)逐步地變成自為、自足與自律的學(xué)科，這是18世紀(jì)末、19世紀(jì)以來數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)最顯著特征。19世紀(jì)中葉以來，隨著非歐幾何和非交換代數(shù)的誕生，以及一系列具有革命性意義的數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象存在性和真諦性的、神學(xué)的、柏拉圖主義的和形而上學(xué)的觀念開始逐步被顛覆。隨著數(shù)學(xué)變成一門獨(dú)立的學(xué)科，其本身的理論體系建設(shè)就成為一個(gè)特別主要的問題，所以，完善微積分的基礎(chǔ)，更廣泛地講，完善整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就成為燃眉之急。然而，關(guān)于數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)性質(zhì)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家仍然停留在現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的范式之中，這一點(diǎn)在三大流派那里具體表現(xiàn)出得最為明顯。三大流派的共同點(diǎn)是以現(xiàn)代性數(shù)學(xué)思想為基調(diào)的基本訴求，即相信能夠通過建立鞏固不變的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)獲得一個(gè)免于被質(zhì)疑的知識(shí)地位，并在這一體系中消除各種矛盾和悖論，到達(dá)體系的一致性。然而，這種基礎(chǔ)主義的訴求卻被證明是無法實(shí)現(xiàn)的。而哥德爾不完全性定理的誕生作為基礎(chǔ)主義運(yùn)動(dòng)的一個(gè)意外結(jié)果，為絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀的終結(jié)畫上了句號(hào)。固然現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀念有著宏大的價(jià)值，但為了數(shù)學(xué)的長(zhǎng)足進(jìn)步，現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀念中有兩個(gè)基本觀念是需要揚(yáng)棄的：一個(gè)是神學(xué)的、形而上學(xué)的柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀，一個(gè)是對(duì)邏輯化、形式化、形式化的數(shù)學(xué)觀念和認(rèn)識(shí)范式的絕對(duì)、盲目地信仰。二、數(shù)學(xué)觀的現(xiàn)代發(fā)展在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，為了解決由于集合論悖論等悖論造成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)，很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)團(tuán)體致力于建立避免產(chǎn)生悖論和矛盾的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)重建工作。其中最引人注視的是形式主義、邏輯主義和直覺主義，它們構(gòu)成了圍繞數(shù)學(xué)危機(jī)展開的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三個(gè)重要流派。形式主義者主張用形式公理化系統(tǒng)去整合整個(gè)古典數(shù)學(xué)。一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的形式化就是把這個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)用形式語言進(jìn)行描繪敘述，而這一形式語言需要知足符號(hào)系統(tǒng)、構(gòu)成規(guī)則和變形規(guī)則等幾個(gè)條件。數(shù)學(xué)系統(tǒng)的公理化是指，通過選取少數(shù)不加定義的原始概念(基本概念)和無條件成認(rèn)的互相制約規(guī)定(公理)作為出發(fā)點(diǎn)，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理，使某一數(shù)學(xué)系統(tǒng)成為演繹系統(tǒng)。希爾伯特等數(shù)學(xué)家為了奠定數(shù)學(xué)的結(jié)實(shí)基礎(chǔ)，提出了元數(shù)學(xué)理論，目的是要為數(shù)學(xué)的證明、推理、方法、規(guī)則等提供一個(gè)合理的基礎(chǔ)。以弗雷格、羅素和懷特海為代表的邏輯主義企圖沿循數(shù)理邏輯的路線去奠定數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在邏輯主義者看來，與數(shù)學(xué)相比較，邏輯具有更為基本的和起始性的知識(shí)實(shí)質(zhì)。因而，把數(shù)學(xué)歸結(jié)為邏輯就成為邏輯主義的基本指點(diǎn)思想。為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯化，首先必需假設(shè)全部數(shù)學(xué)能夠復(fù)原為某種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，例如實(shí)數(shù)理論，而實(shí)數(shù)理論又能夠復(fù)原為有理數(shù)，最終歸結(jié)為天然數(shù)理論。假設(shè)上述復(fù)原都是通順的，那么只需要把天然數(shù)理論邏輯化，一切就都大功告成了。假如數(shù)學(xué)邏輯化的工作得以完成，數(shù)學(xué)就成為邏輯的一部分。皮亞諾的算術(shù)理論、數(shù)理邏輯的發(fā)展和弗雷格在邏輯公理化方面所作的工作，為邏輯主義的事業(yè)奠定了基礎(chǔ)。與邏輯主義的信念正好相反，直覺主義的代表布勞威爾以為：“邏輯是從數(shù)學(xué)派生出來的，它顯然依靠于一種實(shí)質(zhì)上的數(shù)學(xué)直觀，這種直觀建立在康德的‘內(nèi)感形式’的時(shí)間概念的基礎(chǔ)上。〞在直覺主義的基本思想指點(diǎn)下，直覺主義者提出了一套不同于當(dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)與邏輯觀點(diǎn)的“直覺主義數(shù)學(xué)〞和“直覺主義邏輯〞。其基本思想是，把數(shù)學(xué)與邏輯的可靠性建立在直覺上得到構(gòu)造的對(duì)象和推理經(jīng)過之上，而放棄那些不符合“可信性〞標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)概念和方法。這種“可信性〞用直覺主義的一個(gè)有名口號(hào)來表達(dá)就是“存在就等于被構(gòu)造〞。20世紀(jì)30年代初，哥德爾發(fā)表了有名的哥德爾不完全性定理，進(jìn)而從根本上公布了基礎(chǔ)主義三大流派的整體數(shù)學(xué)目的的失敗。之后，關(guān)于數(shù)學(xué)觀的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期。這一時(shí)期的數(shù)學(xué)觀的一個(gè)整體特點(diǎn)就是對(duì)絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀的批判。這些批判雖然角度和觀點(diǎn)不盡一樣，但總體能夠用“可誤主義〞的數(shù)學(xué)觀來表達(dá)。其觀點(diǎn)詳細(xì)具體表現(xiàn)出在普特南、波普爾、拉卡托斯等哲學(xué)家的數(shù)學(xué)思想中。關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，美國(guó)有名哲學(xué)家普特南在其有名的〔沒有基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)〕一文中提出的觀點(diǎn)是：“在過去的半個(gè)世紀(jì)里，哲學(xué)家和邏輯學(xué)家曾經(jīng)如此忙于試圖為數(shù)學(xué)提供一個(gè)‘基礎(chǔ)’，而只要很少的很害怕的聲音敢于建議數(shù)學(xué)并不需要一個(gè)‘基礎(chǔ)’。我在這里希望促進(jìn)某些這樣微弱的聲音所表達(dá)的觀點(diǎn)。我不以為數(shù)學(xué)是不清楚的，不以為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)出現(xiàn)了危機(jī)，以至不相信數(shù)學(xué)具有或需要一個(gè)‘基礎(chǔ)’〞英國(guó)有名科學(xué)哲學(xué)家波普爾以為在數(shù)學(xué)中沒有完全確定的東西，即便是作為數(shù)學(xué)理論演繹構(gòu)造邏輯起點(diǎn)的公理也是如此。公理不能再被當(dāng)做是直覺上自明和能夠免于被疑心的，它們能夠被看做是一種約定或是一種經(jīng)歷體驗(yàn)和科學(xué)的假設(shè)。三、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀及其對(duì)于數(shù)學(xué)教育的啟迪有名數(shù)學(xué)哲學(xué)家拉卡托斯在闡述了關(guān)于數(shù)學(xué)不再具有完全可靠基礎(chǔ)的觀點(diǎn)之后，提出了數(shù)學(xué)的擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義立場(chǎng)，包含下面五個(gè)基本觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)知識(shí)是可誤的，數(shù)學(xué)是假設(shè)——演繹的，歷史是核心，斷定非形式數(shù)學(xué)的主要性以及知識(shí)創(chuàng)造的理論。由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義在20世紀(jì)初的宏大影響及其對(duì)于數(shù)學(xué)觀認(rèn)識(shí)的某些共性，以及后來對(duì)于基礎(chǔ)主義反思所表現(xiàn)出來的共同特點(diǎn)，英國(guó)學(xué)者歐內(nèi)斯特把數(shù)學(xué)觀分為絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀和可誤主義數(shù)學(xué)觀。絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀和可誤主義數(shù)學(xué)觀的類似之處在于，兩者的數(shù)學(xué)觀基本上是一種內(nèi)部視角。兩者的不同之處在于，絕對(duì)主義數(shù)學(xué)觀所關(guān)注的是數(shù)學(xué)構(gòu)造內(nèi)在確實(shí)定性和不變性。其對(duì)于數(shù)學(xué)真諦的看法是固定不變的和一勞永逸的。而可誤主義數(shù)學(xué)觀則以為數(shù)學(xué)是動(dòng)態(tài)的、猜想的、擬經(jīng)歷體驗(yàn)的、可錯(cuò)的、歷史的，數(shù)學(xué)真諦是能夠修正的。繼可誤主義數(shù)學(xué)觀之后，20世紀(jì)末，關(guān)于數(shù)學(xué)觀的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了社會(huì)建構(gòu)主義的認(rèn)識(shí)時(shí)期。對(duì)于社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)，歐內(nèi)斯特這樣表達(dá)了其思想來源和知識(shí)基礎(chǔ)：“社會(huì)建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)看做社會(huì)的建構(gòu)，它汲取約定主義的思想，成認(rèn)人類知識(shí)、規(guī)則和約定對(duì)數(shù)學(xué)真諦確實(shí)定及斷定起著關(guān)鍵作用。它汲取擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義的可誤主義認(rèn)識(shí)論，其中包含數(shù)學(xué)知識(shí)和概念是發(fā)展和變化的思想。它還采用拉卡托斯的哲學(xué)論點(diǎn)，即根據(jù)一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)在猜測(cè)和反駁中得到發(fā)展。相對(duì)于規(guī)定性哲學(xué)來說，社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)是一種描繪敘述性數(shù)學(xué)哲學(xué)，旨在適宜的標(biāo)準(zhǔn)下解釋普遍所理解的數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。〞對(duì)于主觀知識(shí)與客觀知識(shí)的區(qū)分、對(duì)個(gè)體主觀知識(shí)的強(qiáng)調(diào)，以及對(duì)主觀知識(shí)與客觀知識(shí)之間辯證關(guān)系的討論構(gòu)成了歐內(nèi)斯特社會(huì)建構(gòu)主義理論的一個(gè)突出特色。關(guān)于數(shù)學(xué)客觀性和數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性，歐內(nèi)斯特把客觀知識(shí)理解為主體間性和為數(shù)學(xué)共同體所分享的，即比波普爾所理解的客觀知識(shí)要廣泛一些。歐內(nèi)斯特也堅(jiān)持客觀知識(shí)必需是明確的、公共的與布魯爾一樣，歐內(nèi)斯特也賦予了客觀知識(shí)一種社會(huì)的意義。歐內(nèi)斯特以為，傳統(tǒng)的(包含波普爾在內(nèi))客觀知識(shí)觀從來沒有解釋過客觀性自己，而客觀性的社會(huì)視角卻能提供一種關(guān)于客觀性和客觀知識(shí)的基礎(chǔ)與實(shí)質(zhì)。傳統(tǒng)上被稱之為數(shù)學(xué)知識(shí)的，在社會(huì)建構(gòu)主義那里被叫做數(shù)學(xué)的客觀知識(shí)，原因就是社會(huì)建構(gòu)主義以為還有一個(gè)數(shù)學(xué)的主觀知識(shí)概念。在很多數(shù)學(xué)家那里，與社會(huì)建構(gòu)主義相類似的論點(diǎn)也不少見。例如數(shù)學(xué)家韋勒就以為：“數(shù)學(xué)完全具有可誤性和不確定性。數(shù)學(xué)唯存在于人的思想中，數(shù)學(xué)從培養(yǎng)人的思想那里得到其性質(zhì)。由于數(shù)學(xué)為人培養(yǎng)并唯存在于人的大腦，因而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人之大腦培養(yǎng)或再培養(yǎng)數(shù)學(xué)是必定的。〞與可誤主義數(shù)學(xué)觀相比，社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)觀采用了更為廣闊的外部視角，即強(qiáng)調(diào)用社會(huì)的、建構(gòu)的觀點(diǎn)審視數(shù)學(xué)，凸現(xiàn)了信念對(duì)數(shù)學(xué)的作用。我們能夠把社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)觀看做是可誤主義數(shù)學(xué)觀的一種發(fā)展同時(shí)，由于社會(huì)建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)觀采用了更為廣闊的視角，討論了更為廣泛的問題，因而其對(duì)于數(shù)學(xué)的基本見解比可誤主義數(shù)學(xué)觀就更進(jìn)了一步。那么，數(shù)學(xué)觀的演變及其現(xiàn)代發(fā)展對(duì)于數(shù)學(xué)教育有如何的影響和啟迪呢？這里結(jié)合一些主要的數(shù)學(xué)教育問題進(jìn)行討論。1、數(shù)學(xué)不該該被看做是絕對(duì)真諦，數(shù)學(xué)知識(shí)也不能被看做是確定無疑的知識(shí)，數(shù)學(xué)不能被看做是絕對(duì)知識(shí)的典范。由于數(shù)學(xué)被以為是科學(xué)中最具堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)和可靠性的學(xué)科，所以，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念中，數(shù)學(xué)被看做是絕對(duì)知識(shí)的典范。而事實(shí)上，科學(xué)具有探尋求索性和動(dòng)態(tài)性特征，在科學(xué)意義上，并不存在什么絕對(duì)知識(shí)和絕對(duì)真諦。詳細(xì)到數(shù)學(xué)知識(shí)而言，數(shù)學(xué)也不能被看做是完全確定無疑的知識(shí)。這一點(diǎn)對(duì)于數(shù)學(xué)老師來說是尤為主要的。但是，老師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該怎樣落實(shí)上述數(shù)學(xué)觀，卻不是一個(gè)能夠簡(jiǎn)單和輕易處理的問題。由于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀與現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀的差別，帶來了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的不同見解。在數(shù)學(xué)的科學(xué)層面上，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展到什么水平，數(shù)學(xué)觀就應(yīng)該有相應(yīng)的調(diào)整。反之也一樣，數(shù)學(xué)觀的改變能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)步。而在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，學(xué)生所經(jīng)歷的是數(shù)學(xué)知識(shí)的漫長(zhǎng)的歷史演變經(jīng)過。因而，單一的數(shù)學(xué)觀似乎無法囊括這些數(shù)學(xué)知識(shí)所經(jīng)歷的變遷和發(fā)展。況且，作為教育的數(shù)學(xué)是經(jīng)過過濾和選擇的數(shù)學(xué)，其科學(xué)性與教育性被結(jié)合在一起，所以，其中關(guān)于數(shù)學(xué)觀的問題就要復(fù)雜得多。2、數(shù)學(xué)是猜測(cè)與反駁的說法與數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)的一貫形象不一致所導(dǎo)致的認(rèn)識(shí)困惑，以及可誤主義數(shù)學(xué)觀在如何的水平上合適于中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，值得考慮。我們應(yīng)該看到的是，數(shù)學(xué)理論和結(jié)論是能夠修改的，與數(shù)學(xué)是可誤的觀點(diǎn)是有區(qū)其余。一般而言，把數(shù)學(xué)籠統(tǒng)地稱為“可誤的和不確定的〞，并不符合數(shù)學(xué)知識(shí)的一般特點(diǎn)。假如把數(shù)學(xué)是“可誤的和不確定的〞結(jié)論改成數(shù)學(xué)具有“在一定范圍內(nèi)的可修正性和相對(duì)確定性〞可能更符合數(shù)學(xué)知識(shí)的整體特點(diǎn)。如此看來，老師和學(xué)生既不要把數(shù)學(xué)教學(xué)材料上的話當(dāng)做圣旨，也不要由于數(shù)學(xué)具有“在一定范圍內(nèi)的可修正性和相對(duì)確定性〞，而把數(shù)學(xué)看做僅僅僅是由其游戲規(guī)則確定的隨意可變的魔術(shù)，更不要把數(shù)學(xué)看做是“不可靠〞的和不值得信賴的知識(shí)。由于中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)基本不牽涉現(xiàn)代數(shù)學(xué)中棘手的悖論問題、元數(shù)學(xué)以及數(shù)理邏輯問題，因而，泛泛地聲稱數(shù)學(xué)是“可誤的和不確定的〞，會(huì)引起很多誤解，并導(dǎo)致某種認(rèn)識(shí)上的混亂。然而，一味地把數(shù)學(xué)奉為絕對(duì)知識(shí)和可靠知識(shí)的典范，也不是好的辦法，由于學(xué)生會(huì)在之后的高等教育中逐步接觸到數(shù)學(xué)知識(shí)的“非確定性〞一面，就會(huì)產(chǎn)生較大的認(rèn)識(shí)沖突。因而，較好的做法是，在教學(xué)中不要把關(guān)于數(shù)學(xué)形象的話說絕了，要給學(xué)生以后的數(shù)學(xué)觀發(fā)展留下充足的余地。3、不能簡(jiǎn)單地說數(shù)學(xué)是主觀知識(shí)或者是客觀知識(shí)。我們要看到數(shù)學(xué)知識(shí)的雙重性，即它是由具有主觀意識(shí)的人根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同數(shù)學(xué)特征所建構(gòu)和創(chuàng)造的，這些最初具有個(gè)體化和主觀色彩的知識(shí)形式被數(shù)學(xué)的范式、數(shù)學(xué)共同體和數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)所過濾、檢驗(yàn)并從新塑造，逐步成為具有某種客觀性和社會(huì)性的知識(shí)。這樣一個(gè)經(jīng)過是動(dòng)態(tài)的、辯證的、互相循環(huán)和互相轉(zhuǎn)換的。這樣一種關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的描繪敘述對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)有很好的啟迪。詳細(xì)說來，一方面，我們能夠賦予數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)更多的自立性，調(diào)動(dòng)師生的主體性和創(chuàng)造性；另一方面，我們又需要尊敬數(shù)學(xué)的客觀性，逐步構(gòu)成實(shí)事求是的科學(xué)精神。4、數(shù)學(xué)科學(xué)基礎(chǔ)建立的困難與中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)的建立不是同一層面上的問題。由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)主義者建立牢不可破的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的努力的落空，消極和極端的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)以為數(shù)學(xué)就沒有基礎(chǔ)，也不需要基礎(chǔ)。然而，對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的課程建設(shè)和教授而言，需要的知識(shí)基礎(chǔ)是必須的。十分是，數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯構(gòu)造應(yīng)該按一定的順序和關(guān)系予以建構(gòu)。因而，后續(xù)知識(shí)應(yīng)該以一定的知識(shí)基礎(chǔ)為前提，無論這些基礎(chǔ)知識(shí)是介紹性的還是具體講解的，都要在課程中以一定的方式具體表現(xiàn)出出來。換句話說，新授數(shù)學(xué)知識(shí)不能是海市蜃樓，而應(yīng)該與先前的知識(shí)有某種有機(jī)的關(guān)聯(lián)。無論是在科學(xué)或者教育層面，數(shù)學(xué)都不能是毫無關(guān)系的知識(shí)片段的大會(huì)聚。綜上，由于數(shù)學(xué)觀的歷史演變，十分是數(shù)學(xué)知識(shí)的雙重性和曲折發(fā)展所帶來的數(shù)學(xué)觀的改變，給數(shù)學(xué)觀蒙上了一層歷史——社會(huì)——文化的色彩。數(shù)學(xué)觀就不能被看做是單一的、固定不變的和絕對(duì)正確(或毛病)的，而是要與數(shù)學(xué)知識(shí)的背景相聯(lián)絡(luò)，要與數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)相聯(lián)絡(luò)，還要與數(shù)學(xué)教育的對(duì)象相結(jié)合。只要這樣，能力給老師和學(xué)生一個(gè)適宜的數(shù)學(xué)觀。黃秦安第2篇：拉卡托斯數(shù)學(xué)哲學(xué)觀述評(píng)一、擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)觀拉卡托斯的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想通常被稱為“擬經(jīng)歷體驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀〞，它包含互相聯(lián)絡(luò)的兩個(gè)方面的內(nèi)容：數(shù)學(xué)的擬經(jīng)歷體驗(yàn)論和證明分析法的數(shù)學(xué)方法論。拉卡托斯這一理論的建立，一方面具體表現(xiàn)出了對(duì)當(dāng)時(shí)科學(xué)哲學(xué)尤其是波普爾證偽主義科學(xué)哲學(xué)理論的批判性繼承，另一方面也為其后來建立自己的科學(xué)哲學(xué)理論……“精致證偽主義……科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論〞構(gòu)筑了理論框架。1.擬經(jīng)歷體驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀長(zhǎng)期以來，數(shù)學(xué)一直被以為永遠(yuǎn)恒久真諦的積累。在這一領(lǐng)域，數(shù)學(xué)知識(shí)先驗(yàn)論一直占領(lǐng)者主導(dǎo)地位。然而，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和新問題的不斷出現(xiàn)，這種認(rèn)識(shí)逐步發(fā)生了動(dòng)搖，在這場(chǎng)革命中，曾經(jīng)先后出現(xiàn)三次危機(jī)。固然邏輯主義、直覺主義、和形式主義的數(shù)學(xué)家們就數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題進(jìn)行了大量研究，妄圖為數(shù)學(xué)建立一個(gè)一勞永逸的可靠的基礎(chǔ)，但是這三的綱領(lǐng)都相繼失敗了。在這樣的背景下，拉卡托斯提出了關(guān)于數(shù)學(xué)性質(zhì)的新見解……數(shù)學(xué)是擬經(jīng)歷體驗(yàn)的。拉卡托斯以為歐幾里德綱領(lǐng)和歸納主義綱領(lǐng)都不能避免無窮回歸，而他獨(dú)創(chuàng)的擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義則能夠避免這一問題。擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義綱領(lǐng)的突出特點(diǎn)在于其注入的真假值是假值，且由下到上的真值傳遞是說明性質(zhì)的而非證明性質(zhì)的。這樣，一個(gè)理論要么是猜想性的，要么是假的。進(jìn)而，擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義綱領(lǐng)就克制了歐幾里德綱領(lǐng)和歸納主義綱領(lǐng)的弊端。它不是尋求停止無窮回歸，尋求確定的基礎(chǔ)，而是提倡一種批判精華要髓素呢，建立理論的證偽。可見，拉卡托斯的這一思想本質(zhì)上是繼承了波普爾的具有批判性的可錯(cuò)論的思想，對(duì)于制止證明和定義的無窮回歸不抱任何夢(mèng)幻想象，而且承受疑心論者對(duì)任何的確可靠的真值注入的批判。拉卡托斯以為，不管是在這些理論的頂部還是底部都不可能存在知識(shí)的基礎(chǔ)，而無論在什么地方，都只能存在實(shí)驗(yàn)性的真值注入和意義注入。他進(jìn)而指出，“經(jīng)歷體驗(yàn)理論要么是假的，要么就是猜想性的。〞我們從來就不知道，而只是揣測(cè)。但是，我們能把揣測(cè)變成可批判的揣測(cè)，而且批判和改良這種揣測(cè)?！岸腋牧嫉姆椒ㄒ彩恰拔掖y(cè)〞。在拉卡托斯看來，“揣測(cè)的無窮回歸是不會(huì)有什么毛病的。〞他得出下面結(jié)論：〔1〕數(shù)學(xué)定義和證明中的無窮回歸是不可能依靠邏輯理論來解決的。它是屬于經(jīng)歷體驗(yàn)論者的理論，因而，只要沒有表示清楚他是假的，他就是具有揣測(cè)性的?！?〕由于“元數(shù)學(xué)〞并沒有解決數(shù)學(xué)無窮回歸的問題，因而，“元數(shù)學(xué)〞理論也不外是一種猜想罷了?！?〕數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的這些“不成功的例子〞足以證明數(shù)學(xué)真諦性的基礎(chǔ)是不可靠的，其根本原因在于人們不了解數(shù)學(xué)的可真?zhèn)涡?，不了解?shù)學(xué)是一種擬經(jīng)歷體驗(yàn)的理論，而擬經(jīng)歷體驗(yàn)的理論在于他的可猜想性和可證偽性。2.證明分析方法的數(shù)學(xué)方法論拉卡托斯在數(shù)學(xué)方法論上的研究結(jié)果……啟發(fā)性證明分析法〔即助探法〕表示清楚科學(xué)發(fā)現(xiàn)不僅僅是一個(gè)心理學(xué)的范疇，同時(shí)也需要理性分析，也就是說存在著傳統(tǒng)意義上的“發(fā)現(xiàn)的邏輯〞。這不僅標(biāo)記著拉卡托斯擬經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)學(xué)觀的進(jìn)一步發(fā)展和深化，而且從后面的分析中我們還能夠看到，也恰是這種理性的啟發(fā)性思想導(dǎo)致了拉卡托斯的“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論〞的科學(xué)哲學(xué)理論的產(chǎn)生。雖然波普爾將其理論稱為“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯〞，但他并不成認(rèn)科學(xué)存在發(fā)現(xiàn)的邏輯。在他看來，科學(xué)哲學(xué)只不外是討論“檢驗(yàn)的邏輯〞而已。與此相反，拉卡托斯確信在數(shù)學(xué)中存在有一個(gè)真正的、在為邏輯實(shí)證主義及波普爾所否認(rèn)的傳統(tǒng)意義上的方法論，也就是說存在有這樣一種實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)進(jìn)步的方法。應(yīng)該說，拉卡托斯與波普爾的差別根本源頭在于他們對(duì)各自證偽邏輯的不同認(rèn)知。波普爾的證偽邏輯是單個(gè)理論能夠證偽單個(gè)理論。只要存在一個(gè)反例就能夠證偽原先的猜測(cè)。拉卡托斯則以為反例證偽的應(yīng)該是相對(duì)于假說以外的輔助假說、理論前提以及觀察命題而言的。拉卡托斯以為不要由于出現(xiàn)一個(gè)反例而否認(rèn)原先的猜測(cè)，而是要在這里基礎(chǔ)上不斷調(diào)整改良原來的猜測(cè)。這就是拉卡托斯“證明分析法〞的基礎(chǔ)。拉卡托斯證明分析法的核心是借助“反例〞對(duì)已給出的“證明〞進(jìn)行分析，并使隱蔽的前提明朗化，進(jìn)而對(duì)原先的猜測(cè)進(jìn)行改良，以期最終獲得“可靠〞的真諦。證明分析法的本質(zhì)就是猜測(cè)的證明與反駁。這一方法除了對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的意義之外，它的重要目的就是要試圖證明：“非形式，準(zhǔn)經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)學(xué)的生長(zhǎng)，靠的不是單調(diào)增長(zhǎng)千真萬確的定理的數(shù)目，靠的是運(yùn)用玄想和批判、用證明和反駁的邏輯不停地改良猜測(cè)。即數(shù)學(xué)理論在微觀上的增加形式是：原始的猜測(cè)〔定理和引理〕-----證明與反駁----改良了的猜測(cè)〔定理和引理〕------〞進(jìn)而，“數(shù)學(xué)理論并非永遠(yuǎn)恒久真諦的積累，它也像經(jīng)歷體驗(yàn)科學(xué)理論一樣是一種猜想〞這一擬經(jīng)歷體驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀也就稱為這一方法論研究的天然結(jié)論。因而，拉卡托斯關(guān)于數(shù)學(xué)方法論的研究與關(guān)于數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究也是統(tǒng)一的。二、對(duì)拉卡托斯數(shù)學(xué)哲學(xué)思想評(píng)價(jià)吸取了波普爾證偽主義和可誤主義中的思想養(yǎng)料，拉卡托斯的數(shù)學(xué)哲學(xué)通過強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的可錯(cuò)性和擬經(jīng)歷體驗(yàn)性，力圖摧毀關(guān)于數(shù)學(xué)的絕對(duì)理念和基本立場(chǎng)，尤其是對(duì)邏輯主義、直覺主義和形式主義數(shù)學(xué)觀的批判是極為深刻的。從這一點(diǎn)看，拉卡托斯的數(shù)學(xué)哲學(xué)是具有革命性和進(jìn)步性意義的。拉卡托斯對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯的理解和刻畫也是具有獨(dú)創(chuàng)性的，這也是拉卡托斯不同于他教師波普爾的一點(diǎn)。拉卡托斯以為可錯(cuò)論回答了疑心論的無窮回歸的責(zé)難，將波普爾的可錯(cuò)論引進(jìn)了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，改變了關(guān)于數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)觀念。拉卡托斯對(duì)傳統(tǒng)基礎(chǔ)主義認(rèn)識(shí)論的批判基本上是正確的，他的數(shù)學(xué)可錯(cuò)論以為數(shù)學(xué)不是經(jīng)歷體驗(yàn)的，而能夠歸為準(zhǔn)經(jīng)歷體驗(yàn)學(xué)科，數(shù)學(xué)是可錯(cuò)的，這一思想是有合理之處的。不外，我們必需看到，拉卡托斯在否認(rèn)數(shù)學(xué)先驗(yàn)性的同時(shí)，不提數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界這一根本領(lǐng)實(shí)；而是以為數(shù)學(xué)的方法是準(zhǔn)經(jīng)歷體驗(yàn)的，即大膽的思辨猜想，嚴(yán)厲地批判反駁等等。固然他所提出的數(shù)學(xué)進(jìn)步觀與古典的數(shù)學(xué)進(jìn)步觀相比，確實(shí)揭示了一種新型的數(shù)學(xué)發(fā)展形式，但他本質(zhì)上沒有牽涉到數(shù)學(xué)的最終來源這一根本問題。拉卡托斯的數(shù)學(xué)可錯(cuò)論，完全建立在疑心論的無窮回歸的論證基礎(chǔ)上，在我們看來，其實(shí)大可不必。假如真正成認(rèn)了數(shù)學(xué)的經(jīng)歷體驗(yàn)性質(zhì)，成認(rèn)數(shù)學(xué)來源與現(xiàn)實(shí)世界，由于人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)總不是不完全的、近似的，這自己就能夠解釋數(shù)學(xué)的可錯(cuò)性了，沒有需要借助于疑心論的批判武器。從后現(xiàn)代的角度來看，與波普爾一樣，拉卡托斯的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想仍然停留在傳統(tǒng)理性主義的領(lǐng)域之內(nèi)。拉卡托斯因循波普爾的證偽主義所建立的“擬經(jīng)歷體驗(yàn)主義〞數(shù)學(xué)觀，過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的猜想性、可錯(cuò)性和可反駁性等部分特征，而忽略了數(shù)學(xué)固有的證明性質(zhì)和數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)于其體系固有的必定性、可靠性和連續(xù)性等特點(diǎn)，有失與數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展以及何以可能的真實(shí)和邏輯歷程。除此之外，拉卡托斯過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和科學(xué)的共性一面而忽略了兩者之間明顯的差別性，這種混同能夠從其對(duì)于擬經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)學(xué)觀的定位中清楚地看出來。鄧楊楊第3篇：高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)哲學(xué)考慮一、早期的數(shù)學(xué)家為什么都是哲學(xué)家？在古希臘，哲學(xué)家都格外看重?cái)?shù)學(xué)。最早的唯物主義哲學(xué)家泰勒斯，提出了原子唯物論的德謨克利特，最早的唯心主義哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，都曾到埃及學(xué)習(xí)幾何。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以為世界的本源是數(shù)：“萬物皆數(shù)〞，固然這個(gè)看法如今看來可笑，但畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是第一次抽象的處理數(shù)學(xué)概念的人，使得數(shù)學(xué)理論從大地測(cè)量、計(jì)算等活動(dòng)中抽象出來，他們?cè)谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯〔九章算術(shù)稱勾股定理〕定理。比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派更廣為人知的是柏拉圖學(xué)院，該院學(xué)生以亞里士多德最為知名。這些學(xué)生大多是那個(gè)時(shí)代最知名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和天文學(xué)家。后來這很多學(xué)派和個(gè)人的工作，被歐幾里得總結(jié)在〔幾何本來〕中，在〔幾何本來〕中，歐幾里得從幾條公理出發(fā)，演繹了500多條希臘大師的定理、結(jié)論。唯理論的兩位大家——笛卡爾和萊布尼茨恰是兩位數(shù)學(xué)大家。勒奈·笛卡爾〔1596～1650〕，偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。人們?cè)谒哪贡峡滔铝诉@樣一句話：“為人類爭(zhēng)取并保證理性權(quán)利的第一人——笛卡爾。〞1628年，他從巴黎移居荷蘭，先后發(fā)表了很多在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上有重大影響的論著：〔論世界〕〔1634〕、〔行而上學(xué)的尋思〕〔1641〕、〔哲學(xué)原理〕〔1644〕等。1637年，笛卡爾的〔幾何學(xué)〕，創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡爾的變數(shù)是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。變數(shù)使得運(yùn)動(dòng)走入數(shù)學(xué)，變數(shù)使得辨證法走數(shù)學(xué)，變數(shù)使得微分和積分也就立即成為需要。笛卡爾的成就，為后來一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開拓了道路。作為微積分的創(chuàng)始人之一的德國(guó)有名數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、哲學(xué)家——萊布尼茨發(fā)明了微積分符號(hào)，一直沿用到今。有名的哲學(xué)家羅素、布勞威爾等也都研究數(shù)學(xué)，而有名的數(shù)學(xué)家希爾伯特也研究哲學(xué)，這樣的例子無法一一列舉。這些有名的學(xué)者都同時(shí)精通數(shù)學(xué)和哲學(xué)，一方面原因是由于早期的學(xué)科分類沒有像今天這樣分得如此具體；另一方面也說明，數(shù)學(xué)和哲學(xué)有著不可分割的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)?！皼]有數(shù)學(xué)我們無法看穿哲學(xué)的深度，沒有哲學(xué)，人們也無法看穿數(shù)學(xué)的深度，而沒有這兩者，人們就什么也看不透。〞德莫林思〔ns〕這句格言深刻地表示清楚了數(shù)學(xué)與哲學(xué)的深切厚重關(guān)系。自從有哲學(xué)以來，數(shù)學(xué)就成為哲學(xué)問題的一個(gè)主要來源，為哲學(xué)的考慮與發(fā)展提供了豐富的理論環(huán)境。二、數(shù)學(xué)對(duì)哲學(xué)的影響數(shù)學(xué)始終影響著哲學(xué)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，有過三次“危機(jī)〞。哲學(xué)家芝諾在公元前五世紀(jì)提出了幾個(gè)有名的悖論，加之無理數(shù)出現(xiàn)造成的危機(jī)，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；初期微積分邏輯上有缺陷，圍繞微積分基礎(chǔ)展開了的論戰(zhàn)是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)；哲學(xué)家羅素在集合論中發(fā)現(xiàn)的“羅素悖論〞，動(dòng)搖了把集合論作為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的思想，這就是所謂的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次危機(jī)的結(jié)果建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。數(shù)學(xué)家回答了“什么是連續(xù)性〞。第二次危機(jī)的結(jié)果建立了微積分的嚴(yán)密基礎(chǔ)極限理論。數(shù)學(xué)家回答了“運(yùn)動(dòng)是怎么回事〞。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的結(jié)果產(chǎn)生了“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)〞這個(gè)至今尚在蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。三、哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的影響數(shù)學(xué)也受哲學(xué)的影響，但是不如數(shù)學(xué)對(duì)哲學(xué)的影響明顯。即便數(shù)學(xué)家自己是哲學(xué)家，他的數(shù)學(xué)活動(dòng)并不一定打上哲學(xué)觀點(diǎn)的烙印，他的哲學(xué)觀點(diǎn)往往被后人否認(rèn)，而數(shù)學(xué)結(jié)果卻與世長(zhǎng)存。如康托爾，他以為無窮集是客觀存在的，表現(xiàn)出唯心主義傾向，不外這可能愈加激發(fā)了他的研究熱情。他對(duì)實(shí)無窮的研究，最終得到線段上的點(diǎn)要多于天然數(shù)，解決了兩千多年哲學(xué)家們都沒有解決的問題。一些卓著的哲學(xué)家如亞里士多德、康德、萊布尼茨都堅(jiān)持沒有著實(shí)的無窮，實(shí)際上以為人不可能認(rèn)識(shí)實(shí)無窮，像天然數(shù)一樣。而康托爾的集合論，使數(shù)學(xué)思維進(jìn)人了無窮的王國(guó)。所以，我們能夠這樣說：很多數(shù)學(xué)家是自發(fā)的唯心主義與不自發(fā)的唯物主義的結(jié)合。四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的考慮我們?nèi)缃裼幸环N考慮是數(shù)學(xué)哲學(xué)需要向數(shù)學(xué)文化哲學(xué)的過渡。羅素的集合悖論培養(yǎng)了人們對(duì)數(shù)學(xué)的信任危機(jī)，但是仍然有大批的數(shù)學(xué)家，諸如懷特海、希爾伯特等人一直在尋求一種新的基礎(chǔ)，來拯救這種信任危機(jī)。也恰是由于這種危機(jī)促使了數(shù)學(xué)哲學(xué)推向了一個(gè)新的階段。在不斷的研究經(jīng)過中，相繼出現(xiàn)了邏輯主義、直覺主義、形式主義。但是，隨著更多的數(shù)學(xué)家參加這場(chǎng)討論大戰(zhàn)，比方哥德爾證明的不完全定理，使得我們對(duì)形式主義和直覺主義產(chǎn)生了疑心并逐步放棄了形式主義和直覺主義。產(chǎn)生的后果是數(shù)學(xué)界只研究純潔的數(shù)學(xué)，哲學(xué)問題逐步淡出了數(shù)學(xué)家的視線，而且他們發(fā)現(xiàn)這種缺失的哲學(xué)并沒有對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生欠好的影響。后來的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)比以前更快的速度飛速發(fā)展。這樣的結(jié)果