2015年共創(chuàng)數三試題加答案版

殼蟲

數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）小題,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中只有一個選項符合要求將所選項前的字母填在題后的括號里.x（1）f(xf(0)1,g(x)f(x)，則（x（A）x0是g(x)的可去間斷 （B）x0是g(x)的跳躍間斷（C）x0是g(x)的無窮間斷 （D）x0是g(x)的第二類但非無窮間斷1設ancosnln(1

n都收斂 2 n發(fā)散。

n都發(fā)散2 n收斂f(xx0的某個鄰域內連續(xù)，且

ln[1f(x)ex2]

1，則x0是f(x)的 （A）不可導 （D）駐點且為極大值 累次積分I2dcosf(rcos,rsin)rdr可寫成 yyI0 f(x,

I0xx

f(x, I f(x, DI f(

000000000 000000000 i1j(A) (B) (C) (D) 2設矩陣A 1,則下列矩陣中與矩陣A等價、合同但不相似的 1 殼蟲 1

（A） 2 (B) 3 1

3 0 0

0 0 1 0 量X與Y相互獨立，且X的分布為X~P{Xi}1,(i0,1)；X服從參數12指數分布，則概率P{XY1}

（B）112

（D）1 量X服從參數1的指數分布，且對常數a0，且滿足：E(X2eaX)P{X1}，則a（ （A）32e （B）13 （D）1(3e 二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上xarctan設曲線的方程為y1ey1ln(et則該曲線在x0處的切線方程 f(xxf(x)1

xt2f(t)dt,f(x0f(x在[02]x(02)xx(0,2)f(xxf2x 1 xo(x)，且f(0)0，則2f(x)d2x0fgzf(xylnxg(xy

yz 311 31 113設A 113

111

Axex,x設隨量X的密度函數是f(x)

x0，且X1,Xn為簡單隨機樣本則則參數三、解答題 (15)～(23)小題，共94分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟殼蟲 （15）（10）設f(x)在x

elimf(x)1,limf(x)f1(x)e

f

x0sin x0

（16（10）假設生產某種A,B,C三種原料，該產品的q與三種A,B,C的用x,y,z之間有如下關系：q0.0005x2yz，已知三種原 2 (xy2)ef(t在t0f(xy（18）（本題滿分10分）設x )，證明(sinx)cosx(cosx)sinx4D（D

2

x2x2（20）（本題滿11分）已知齊次 （1xxax x13x2bx34 3xxx0和(2x15x2x34ax4 2x2xxcx 同解，求a,bcx1x2的解（21）（本題滿11）設1233維到向量。A3階方陣。A11A，A3， （22）（本題滿分11分）設隨量(X,Y)的概率密度函數3x,0yxf(x,y) 其

（III）殼蟲 （Z1,,（III）殼蟲 試試卷密2015考試科目數學（三）（模擬

試試卷密考試科目注意事項1、以上各項除試卷密號之外必須填寫清楚；2、答案必須寫在試卷上；3、注意事項1、以上各項除試卷密號之外必須填寫清楚；2、答案必須寫在試卷上；3、字跡要清楚，卷面要整潔；4、草稿紙另發(fā)，考試結束，同一收回。殼蟲 數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合要求,將所選項前的字母填在題后的括號里.x（1）f(xf(01,g(x)f(x)，則（x（A）x0是g(x)的可去間斷 （B）x0是g(x)的跳躍間斷（C）x0是g(x)的無窮間斷 （D）x0是g(x)的第二類但非無窮間斷1 設ancos

（A）a與a2都收斂 （B）a與a2都發(fā)散n

（C）aa2發(fā)散。（D）aa2n

f(xx0的某個鄰域內連續(xù)，且

ln[1f(x)ex2]

1，則x0是f(x)的 f(xex22x2o(x2f(x2x2ex2o(x21x2o(x2x0f(x的駐點且為方法二：（特殊值法）f(xex22x2f(x2x2ex2,f(x4x2xex2,f(0 累次積分I2dcosf(rcos,rsin)rdr可寫成 yyI0 f(x,

I0

f(x,I0dx0f(x, DI0 f(x,殼蟲

0000000000000000000i1j(A) (B)

(D)

0 1 0 0 001000【解：A 001000A

0

Aij111i1jA

2

1 1 2 1 （A）

3

0 0

1(D) 0 0

【分析】由

EA2

(3)(3可知矩陣A的特征是33,0,故秩A)2,二次xTAx的正、負慣性指數均為1合同，而且也是相似的，不符合題意。對于（D）,記其矩陣為D，由ED

(1)(1)，可D的特征值為110。xTAxxTDx的正 殼蟲 設隨量X與Y相互獨立，且X的分布為X~P{Xi}指數分布，則概率P{XY1}

1i0,1)X服從參數12

（B）112

（C）11(e1e)

（D）1【解】P{XY1}1(P{Y1}P{Y0})1(1 133 量X服從參數1的指數分布，且對常數a0，且滿足：E(X2eaX)P{X1}133（A）32e 2

2

【解】E(X2eaX)x2e(a1)xdx e1,03(a1)32e,a3

(a

(a二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上xarctan設曲線的方程為y1ey1ln(et則該曲線在x0處的切線方程 1ddd (1ey1)(edd【解：由題設知x0是t0，因而y1， 1y x1。

d 14t

f

xf(x)1

t2f(t)dt,f(x)1e2 【解】:xf(xxf(xx2f(x f(x) x f x2lnxln f(x)celnf(x)

,

2,x01x1時f(110

t t2ce2dt1c(e21),即cet

x1ce2c故c1,f(x)1e2xx2x設f(x)在[0,2]，且對任給的x(0,2)以及xx(0,2)，均有f(xx)f(2x2x xo(xf(0)2x2x2x

f(x)dx x12tf(x2t0

dt （（f(x)dx

2x 2x 22 311 31

f(xy,lnxg(xy))，則xxyy 1 3設A ，1 3

11 答案：A 148A*1A Axex 量X的密度函數是f(x)

x

X1,,

為簡單隨機樣本則則參數 xxAxexdxAx2exdxA(1122A2（A20

() XXX,解答題:(（15）（10）

f(x)在x0limf(x)1,limf(x)

efx) e

x0sin x0

【解】：由limf[ln(1x1f(0)0,f(01limf

f

1 sin

f(x)ex

x0ex ex (ex1)f(x lim(1f(x)e1f(x)ex1

3，所以limf(xe

f(x)e x0 ex

x0(ex1)f

f

f(x)

f(xf ex f(0)11f(0)2 ] ]（16（本題10）假設生產某種產品AB,C三種原料，該產品的產量qAB,Cxyz之間有如下關系：q0.0005x2yz，已知三種原F(xyz)0.0005x2yz(x2y3z2400x,yz求偏導 F0.0005x2z2 F0.0005x2y3 Fx2y3z2400 由(1),(2),(3x4y6z，帶入到（4）x1200,y300,z200

單位,300）單位z

2 (xy2)e 2u yf(xy), f xyff(xyxyf(xyx2y22)exytxy，因而有f(ttf(tt22)et,兩邊積分后可得tf(t)(t22)etdt,f(t)(t2)etC1f(t)[(t2)etC1]dt(t3)etCttC （18）（本題滿分10分）設x )，證明(sinx)cosx(cosx)sinx4令f(x)cosxlnsinxsinxlncosx,x ]

)44cos2 sin2 f(x) sinxlnsinxcosxlncosxx(0,(0sin cos(020cosx 2,0sinx2

,lncosx0,lnsinx0,f(x)0，因而函數f(x)在區(qū) 4增，即x )時有f(x)cosxlnsinxsinxlncosx4x2cosxlnsinxsinxlncosxx2

f()04D（19（本題滿10求二重積D

2

sin(xy)]dxdy，其是以A(3,0),B(3,0),C(03)為頂點的三角形區(qū)域x2y2(sinxy)dxdy0.11

(x2y22)dxdy

(2x2y2=2(x2y2)dxdy1822）=4x2dxdy18292 （20）（本題滿分11分）已知齊次xxax x13x2bx34x4 和(2)x5xx4ax 3xxx

3xcx4同解，求abcx1x2

x1x2ax30 a

得基礎解系為=（-11 0 1 4 4a 1 c 3 2ac 3+3b由于（1）與（2）rAr(B,2ac60.由于（1）與（2）同解 也是（2）的基礎解系，它應

bx13x2-x34x44xx x

得a2,c 因此（1）與（2）的通解為k(1 0)Tk 由xx即-k+2k=k，知k=k，所以滿足xx的解為k(1 （21）（11）設1233維到向量。A3階方陣A11A，A， 12求A特征值及特征向量。解1設k1k2k3 A212 A323k1Ak2Ak3Ak1k2()k3()(k1k2)1(k2k3)2 21：k21k32 k2Ak3A殼蟲 k2k3(1)43：k31 1

k3代入3 得k2 k1 123線性無關

1102由A(123)(A1A2A3) 1 23)(123)01 001 則

110APP011 110

001即1AP011 001 又B特征值 P1EAPE REAR(EB) 因此屬于1231線性無關特征向量個數3REA屬于1特征向量為 (k（22）（本題滿分11分）設隨量(X,Y)的概率密度函數3x,0yxf(x,y)

概率P{XY1}（II）條件密度函數fY|X(y|x)（III）隨量函數Z2XY的密度 （I）P{XY1}13xdx1xdy31x(2x1)dx8 0x1fX(x)x3xdy3x20f(x, 1,0yx (y|x) fY|fX

其Z2XYfZ(z)f(x,2xz)dx0x討論xz2x f(x,2xz)3x1）0z

f(z)z3xdx98 822）1z

f(z)13xdx3(4z28 82殼蟲 8 9z2 0z8Z2XYfZ(z3(4z2),1z （（Z1,,（III） f(x,y;)f(x)f(y)22e(x2y)

x0,y ZXYf( 2(x2(xz 22z3 xf(x,xz)2 2 ，zx

f(x,x2

3

z0，f(z,)=2Z

e3xdx

e2

dx3

2z0，f(z,)=2

+e3xdx2e2

dx 02e2z

z2ez zn

2nnin(II)由于樣本Zi0，則L i() i1in ni1

dln lnLnln()nlnzi zi

?

zi

，則的極大似然估計為1 Znn（III）E(Z202z2e2zdz2z2ezdz2t2e2tdt21

022

0 032 3 2殼蟲 試試卷2015考試科目數學（三（模擬

試試卷入學同一考試考試科目1、以上各項除試卷密號之外必須填寫清楚；2、答案必須寫在試卷上；1、以上各項除試卷密號之外必須填寫清楚；2、答案必須寫在試卷上；3、字跡要清楚，卷面要整潔；4、草稿紙另發(fā)，考試結束，同一收回。殼蟲

數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）小題,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中只有一個選項符合要求將所選項前的字母填在題后的括號里.lnx21sin(x1)（1）函數f(x)

x的可去間斷點個數為（(A) (B) (C) (D)級數

n12nsin2nn

時 xxn(A)發(fā) (B)條件收 (C)絕對收 (D)斂散性不

（ni1n2n （A）ln2

（B）ln （C）41

8設平面區(qū)域D由x0,x1,xy2

及xy1圍成，I1sin3xydD I2ln3(xy)d,I3(xy)3d，則I1,I2,I3的大小關系是 （A）I1I2 （B）I3I2 （C）I2I1 （D）I3I1已知54矩陣A,,,，若3 21T，0 01T是齊次線性 （1）1,3線性無關 （2）1可由2,3線性表出 （3）3,4線性無關（4）秩r1,1,2,343中正確的是 （A）（1（3）;（B）（2（4）;（C）（2（3）; （D）（1（4）對三階矩陣A的伴隨矩陣A先交換第一行與第三行，然后將第二列的2倍加到第三列得EA0，則A等于

01 21

(B)

1 0 1 0

01

2 0

（7）設A與B是兩事件，且P(B)0.6,P(A|B)0.5,則P(AB) （A） （C） （D）殼蟲 數，且f1(x)、f2(y)連續(xù)，則以下（ （A）f1(x)+f2( （C）f1(x)f2 f1(x)F1(x)f2(x)F2二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上（9）f(xlim(1x2

)n則曲線yf(x)x1處的切線方程方

dy

d 2xe2 x2f(x) 2設f(x)在[0,)上單調可導，f(0)1，f 為f的反函數，若x2 (tx)dtxe，則f(x)= D設D=(x,y)(x2)2(y2)21，則(eyex2)d D設3階方陣A有3個線性無關的特征向量，3是A的二重特征值，則R(A3E) X~N(,2X1,XnXn1XX與S2X1,Xn(X 的樣本均值與樣本方差，對統(tǒng)計量： ~F(1,n1)，則常數C S三、解答題 (15)～(23)小題，共94分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（15）（本題滿分10分）1.設函數f(x)x0的某個鄰域內二階可導，且limf(x)0x0時xf(tdt~xksinxkf(0) :

y1

1xD為全平面其他Df(x2yf(x1)dxdyD1（18（10設函f(x在[0,1]上連續(xù)f(0)0，且0f(xdx01(0,1)，使得0f(xdxf(殼蟲 （19）（本題滿分10）f(xxarctanx的麥克勞林級數 (2n1)3n組的基礎解系，令11,22,,t試證：（）,1,2,,t線性無方程組AXb的任意一解r均可表示為l0l11l22lttl0l1lt （21）（本題滿分11分）已知矩陣A 0能相似對角化 6 求參數a

(II)xQyfxxTAxe e f(x,) ，X,,

x參數的矩估計?；（II）的極大似然估計?L；（III）EX2殼蟲 合肥工業(yè)大 試試卷密準考證2015考試科目數學（三）（模擬

報考研究方向報考單位注意事項注意事項1、以上各項除試卷密號之外必須填寫清楚；2、答案必須寫在試卷上；3、字跡要清楚，卷面要整潔；4、草稿紙另發(fā)，考試結束，同一收回。殼蟲

數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一一、選擇題：（1）～（8）,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合要求,將所選項前的字母填在題后的括號里.（1）函數f(x) (A) (B) (C)

lnx21sin(xlnx21sin(x3lnx21sin(xlnx21sin(xlnx21sin(x1)

lnx21sin(x1)lim ex0,

0l

exx0

級數

n12nsin2nn

時 xxn(A)發(fā) (B)條件收 (C)絕對收 (D)斂散性不2nsin2nxn2nsin2nxn2x2

時sinx ，因而有l(wèi)im

2sinx1 （ni1n2n1ln

ln

2

1

n2

n2n

n2nlim n

nlim n

dx 2 ni1n ni1

(i)2n

1 D由x0x1,xy2

及xy1圍成，I1sin3xydD I2ln3(xy)d,I3(xy)3d，則I1,I2,I3的大小關系是 D （A）I1I2 （B）I3I2 （C）I2I1 （D）I3I1已知54矩陣A,,,，若3 21T，0 01T是齊次線性方 殼蟲 （1）1,3線性無關 （2）1可由2,3線性表出 （3）3,4線性無關（4）秩r1,1,2,343中正確的是 （A）（1（3）;（B）（2（4）;（C）（2（3）; （D）（1（4）AA先交換第一行與第三行，然后將第二列的2倍加到第三列得EA0，則A等于

01 21

(B)

1 0 1 0

0

2 0

1313

A21A0

A1AA1 000

0A(A)1E1(2)E1E

01

01

21

，選 0 0 （7）設A與B是兩事件，且P(B)0.6,P(A|B)0.5,則P(AB) （A） （C） （D）【解】PAB

P(

0.5,PAB0.3PAB1PAB)1P(BPAB)0.7數，且f1(x)、f2(y)連續(xù)，則以下（ （A）f1(x)+f2( （B）f1(x)F2(x)f2(x)F1

f1(x)f2 （D）f1(x)F1(x)f2(x)F21）f1x)F1x)f2x)F2x)0 2）(f1(x)F1(x)f2(x)F2(x))dxF1(x)dF1(x)F2(x)dF2(x)二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上（9）f(x

x2x)n,則曲線yf(x)x1處的切線方程

eeee【解】:f(x)e2,f(x)xe2,f(1) ,f(1) ,故所求切線方程為y x eeee殼蟲 方程dyd

2xe2

dx2xe2y,xe2y(y

xe2y(yC) x2f(x) 2f(x在[0,f(01則f

(tx)dtxe0

f(f

1(t)dux2exxxf(xx22x)e2f(xx2)exf(x)f(0xf(tdtx1)ex0 D設D=(x,y)(x2)2(y2)21，則(eyex2)d D D(eyex2)d(exey2d24d2 D設3階方陣A有3個線性無關的特征向量，3是A的二重特征值，則R(A3E) X~N(,2，X1XnXn1XX與S2X1X(X 的樣本均值與樣本方差，對統(tǒng)計量： ~F(1,n1)，則常數C S

~N(0,n12n

(n

(X

)~N(0,1)，(n1)S2~2(n1)(n 2(XXn1

(X ~F(1,n1)，因填C S n S

n解答題:(（15）（本題滿分10分）1.設函數f(xx0的某個鄰域內二階可導，且limf(x)0x0時xf(tdt~xksinx，求常數kf(0)

f

0f(0)f(0)0，由題設有

x0f(t)dt

f

1，因 x0xksin x0kxk1cos有l(wèi)im(kxk1cosx0，故k1limf(x)limf(x)limf(xf(0)f(01x01cos x0sin （:

y1（（ 有唯一的駐點P1(0,0)x在邊界xy1(0x1)上，令Fx2y2xy(xy1)，由F2xy0x

2yx0及xy1解得Lagrange函數F的駐點為

1P2,)，同理在邊界2xy1(0x1上可求得LagrangeP32

，在邊界xy1(1x0)2

1,)D2131 444

1x

Df(x2yf(x1)dxdyDD10x3,x22yx21f(x2yf(x1)x2y)(x1)，其它的點 f(x2yf(x f(x2yf(x1)dxdy(x2y)(x1)dxd 1 x2 3 0dxx22(xy)(x1)dy20(x1)dx41（18（本題滿10設函f(x在[0,1上連續(xù)，f(0)01(0,1)0f(x)dxf(1xf(t)dt,x

0f(x)dx0 令F(x)x1

xlimF(x 0f(tdtlimf(x0F(x在[0,1]上連續(xù)，在(0,1Rolle x0 知(0,1F()

f()f(x)d 0，即

f(x)dxf( （19）（本題滿分10）f(xxarctanx的麥克勞林級數 (2n1)3n的和 x

n【解】f(x)xarctanx

1t2dtx0(1)t

x

x x2nx13n02n 13

收斂域為[1,1]，令x ，

(2n

f ) 636（ 11,22,,t試證：（Ⅰ）,1,2,,t線性 r均可表示為l0l11l22ltt,其l0l1lt(xx1x2xt)x11x22xtt0， (xx1x2xt)A(x1x2xt)b0，但b0，所以xx1x2xt0 將（2）代入（1）得x11x22xtt0，由于1,2,,t是Ax0的基礎解糸，故線性無關，得x1x2xt0，代入（2）得知x0，于是,1,2,,t線性無關。由非齊次方程組解得結構知若Axb的解，其解k11k22kttk1(1)k2(2)kt(t)(1k1k2kt)k11kt令l01k1k2ktl1k1,ltkt，上式可表示為l0l11l22ltt且l0l1lt1a

0（21（本題滿分11分）已知矩陣A 6 Qy化二次型f(x)xTAx化為標準形（I）EA

62 1263 0 由R6EAR 01，得a

0 因此xTAx2x22x26x210x 對應二次型矩陣A 2 1 006 由EA167 xTAxxTA1x特征值6,7,11對 由6EAx 得0,01112對 由7EAx 得1,1,12對 由-3EAx 得1,1,

11221122100

001 1

2 1212 1212 22令Q1

12323 0 又A1特征值為6,7,3，經過xQy有xTAx6y27y23y2 指數分布，（I）Z2XY的密度函數；（II）Cov(YZ；1,0xX~U[0,1即X~fX(x

其eyfY(x)

y Z2XYf(z)0x

f(xz2x)dxX與Yz2f(xz2xe ，對應區(qū)域為z

z

1(1ez)1）0z2，fZ(z)

2edx 2）z2,，

(z)

1e2xdx1ez(e2

1(1ez 0z2(z)1ez(e2 z22 其X與YCov(Y,Z)Cov(Y,2XY)2Cov(Y,X)D(Y)D(Y)1又因Cov(XZCov(X2XY2DXCov(X,Y6XZXZ殼蟲 （23）（本題滿分11分）設隨量X的概率密度函數xf(x,)

e22,xx

L參數的矩估計?；（II）的極大似然估計?；（III）EX2L

E(X)

xx

22dx xd(e22)

22| e22dx

2L令X 2L2

所以的矩估計? n n 2LnL

，lnLln(xxx)2nln

1Xe2e

e

1 2

1 2

1 3Xi0，21

11nX2i所以的極大似然估計為： E(X2)

2xe2x22dxt2222tetdt2x 殼蟲

數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）小題,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中只有一個選項符合要求將所選項前的字母填在題后的括號里.

x2x

ex1的漸近線有 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4設f(x),f(x)為已知的連續(xù)函數,則方程yf(x)yf(x)f(x)的解是 （A）yf(x)1cef(x) （B）yf(x)1cef(x)（C）yf(x)ccef(x) （D）yf(x)ceff(0)f(0)0f(0)1g(x)

xf(tdt，h(xcxkx0g(x~h(x，則（0（A）c1,k （B）c1,k （C）c1,k

（D）c1,k 若f(x,x2)x3,f(x,x2)x22x4，則f(x,x2) x

2x2

x2 (D)2x

ATBTATCTE.BA2CE

BAC ACAB設A是mn矩陣,r(A)n,則下列結論不正確的是 ABOB)

量XE(1),記YmaxX,1，則E(Y) (B)1 1 (D) 、設X1X,XnXN(,2的樣本，對統(tǒng)計量YkX

X)2i2E(Y)2，則應選k為

1n

n

2(n

二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上nn2lnnln limn

已知方程yy0O(0,0)處與直線yx.（（1設f(x)在[0,1]上有連續(xù)的導數,f(1)1,且有xf(x)f(x)110f(x)dx 1

2

1 2

2d

e(xy)dx

2d

e(xy)dx

α1,2,3,4Tα1,3,4,5Tα2,4,6,8Tα=2,6,7,7T的一個極大無關 設隨量X服從[1,2]上的均勻分布，則隨量的函數YX2的概率密度函fYy 三、解答題 (15)～(23)小題，共94分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 nx xyyDDxy|yx21,x0,x1,y0圍成

（17（10）求橢x22xy5y216y0與直xy8的最短距離（18）（本題滿分10）f(x在[ab上連續(xù)，在(ab內可導，f(aa，b（b 內存在與（Ⅰ）中的相異的點f(f(1 11的收斂性

y(n)

n

x4（ ax

2bxx,其中b ij 1ij4得的標準形；（II）f

(x)Aeaxb

x0，其中bEX2 X

xYY

（II（III） X

（23）（本題滿分11分）設隨 量X~U(,)(0)，X1,,Xn是總體X的簡單隨機樣本，試求：（I）參數、的矩估計；（II）、的極大似殼蟲 數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中,只有一個選項符合要求,將所選項前的字母填在題后的括號里.

x2x

ex1的漸近線有 （A）1 （D）4 limylimylim1limyxlim[x(ex11)1]0yx x 設f(x),f(x)為已知的連續(xù)函數,則方程yf(x)yf(x)f(x)的解是 （A）yf(x)1cef(x) （B）yf(x)1cef(x)（C）y

f(x)ccef(x) （D）yf(x)cef(f(0)f(0)0,f(0)1,g(x)xf(tdt，h(xcxkx0g(x~h(x，則（0（A）c1,k2

（B）c1,k3

（C）c1,k3

（D）c1,k61【解】：由題設有l(wèi)im0f(t)dtlimf(x) f f(0)，故c

x0 x0ck(k ck(k 若f(x,x2)x3,f(x,x2)x22x4，則f(x,x2) Ax答案：選

B2x2

Cx2 D2x

ATBTATCTE.BA2CE

BAC ACABABACEABAC1CABAE。從而(CABA)TEATBTATCTE，故（A）ABACEA1BAC，由CABAEA1CBABACCAB，故（B）正確。由排除法可知，（C）（C）.殼蟲 設A是mn矩陣,r(A)n,則下列結論不正確的是 ABOB

)ABOBOBXOABX0BXOABX0ABX0,因為rAAX0BXOBXOABX0rABr(BrAnA經過有限初等行變換化為En,即存在可逆矩陣PPAEn, O OB O)PBAE1A2B111rA0但r(BA0r(B1 1 （7）設 量XE(1),記YmaxX,1，則E(Y)

1 ex

1x

f(x xE(Y)E(maxx,1)maxx,1f(x)d(x)+max 1exdx+xexdx1e1

iX1X,XnXN(,2的樣本，對統(tǒng)計量YkXi1X)2i E(Y)2k為 11 nn2(nXi1XiN(0,22EXi1Xi)2DXi1Xi[EXi1Xi)]222iE(Y)kE(i

X)22(n1)2k，要使Y為總體方差2E(Y2，故k.

.2(n二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上n2lnn nn3lnn殼蟲

n5ln5lnnlnn5lnn

n n3ln 已知方程yy0的積分曲線在點O(0,0)處與直線yx.2f(x在[0,1]f(1)1xf(xf(x10f(x)dx 111[xf(xf(x)]dxxf(x121f(xdx1

1dx1 所以0f(x)dx6

3y2 1 2

2d

e(xy)dx

2d

exy)dx

1 6向量組α=1,2,3,4T，α=1,3,4,5T，α=2,4,6,8T，α 的一個極大無關 設隨量X服從[1,2]上的均勻分布，則隨量的函數YX2的概率密度函fYy Xf(x1,-1x2.，則YX21313 ,0yf(y)1,1yy6 y6 解答題:(（ n【證明】（Ⅰf(xxarctanxf(x

11

xnx殼蟲 f(xxarctanxf(0)0，由此可得數列xn是單調遞減xn0，由單調有界收斂原limxnlimxna，對等式xnarctanxn1兩邊同時取極限可得aarctana，解得limxa0

n

limarctanxx 1x21，由limx0 nlimarctanxn1xn1limarctanxx1n(arctanxn1)

yDyD

D1(x,y)0yx2,0xD2(x,y)0yx21,0xDID x

dyy1

x2ydx2

yx2d

x2ydzdx

yx2 12x3dx12xdx120 0 （ (xy【解：設M(x,y)是橢圓上一點，到直線xy8距離的平方為d (xy L(x,y) 2

2xy5y16Lxy8(2x10y16)y x

x22xy5y216yxyxy2xy2 22,d 2y y 2

xy最短距離為dmin2

|x2 2y2

y

y殼蟲 （18（本題滿10）設f(x在[ab上連續(xù)，在(ab內可導，f(aa，bf(x)dx1(b2a2)。證明：（Ⅰ）(ab內，使f(（）在b 內存在與（Ⅰ）中的相異的點f(f(1 【證明】：（）f(x)dx1(b2a2可知f(xx]dx0F(xf(xx F(x在[abF(x在(abx(abF(x0（F(x0） 應的必有aF(x)dx0（或0）與a[f(x)x]dx ，故F(x)在(a,b)內必有零點，(ab內，使f(（）G(xexf(xx]G(aG(0，由Rolle(a,)使得G(ef(1]ef(]0，即有f(f(1

（19（本題滿分10分）已知函數yy(x)滿足等式y(tǒng)xy，且y(0)1，試 1y(n)1n

yxy

y1y。由y(0)1，得y(0)1,y(0)2。根據公式 y()y(0)y 12o( y(0)( 11 n

o(1n

)1

n時與

等價，且級數n n1n

1y(n)1n

x4（ ax ax x4ax a 1

a2

30 殼蟲 1 1 1解，那么（Ⅰ）與（Ⅲ）的系數矩陣A

與B 0

a2

0 a2 如a 則r(A)1而r(B)2,所以假設a 1 r(A) a

0101a101a 又B 當a a1

時，r(B) 2a 1 1 2（Ⅱ）由于A 2基礎解系2，，則通解為k2 （21）（11）f(xxxxx22bxx,其中b ij 1ij4得的標準形；（II） b E-A((13b))[(1 11 2341解方程(1EA)x0得特征向量1解方程(2EA)x0得特征向量11,1,0,0)T21,0,1,0)T3 2 3 1單位1

1111

1,1,0,0

1120

＝

1

1 令U,則U為正交陣，且U-1AUUTAU 123 1 1 f(13b)y2(1b)y2(1b)y2(1 （II）f(xxxxxTAx正定13b0且1b01b （（Aeaxb x X

fX(x

x

，其中bEX2YY2X

（II）（III） X Aeb （I）由于1

dxa0 dxa

Aae2 1e1x x2EX2，所以2a，即a2fX(x x（II）P{Y3}1P{Y3}1(P{Y2}P{2Y1(P{X2}P{22X3})1e1P{1X由于2y4YFYyP{Y y2,FY(y)

3}12

e4e2 2）2y4,FY(y)P{Yy}P{Y2}P{2Y}P{X2}P{22Xy}P{X2}P{1X}2 y1 3）y

1FY(y)

2dxe1e2e 0

eye所以YFye1

4y,2y

y（ 量X~U(,)(0)，X1,,Xn是 【解：（I）由于E(X),D(X) ， X,2S2;X

S222 2可知、的矩估計分別是?X 3S2、? （（n

n xiL

的減函數，由極大似然估計定義，在

、的極大似然估計為：??min{Xi}、?max{Xi（（

數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）,每小題4分,共32分n1xn1xn（1）f(x

，則f(x)不可導點個數為 微分方程yyxcos2x的一個特解應具有形式 (AxB)cos2x(CxD)sin（C）Acos2xBsinsin

(Ax2Bx)（D）(AxB)cos2 2設I12 dx, 2

sin

dx，則 ）（Ａ）I11 （Ｂ）1I2 （Ｃ）I2I1x2fx2

（Ｄ）I21zf(x,y具有連續(xù)偏導數，且

（B）f(0,0)（C）f(x,y)在(0,0)處連 （D）f(x,y)在（0,0）處不可0 x1x22x3 (B)充分而非必要條 (D)既非充分又非必要條設向量組1,2,3線性無關向量1能由1,2,3線性表出向量2不能由1,2,3線性表出，則 （A）1,2,1線性無 （B）1,2,1線性相（C）1,2,2線性無 （D）1,2,2線性相D(XY)2，則E(XY)

(k0,1,2,，k（A） （C） （D）設 量X服從標準正態(tài)分布，且YX2，則X與Y 二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上d2d2dyy(xx

x

du0所確定， 1xdyydxy2eydy

。

1

n)nn

23223gfzg(xf(xy2yxyA

1 0 0 1 111

，B

01 1 0

X(E

A)T

E，求X X~N(0.5)X1X2XnXXX1Xn的樣本均99.7%的概率保證X0.1，則樣本容量n解答題:(（15）（10）選擇常數abc的值，使得x0時函abx1csinx)exx3的高階f(x) 1cos2

f(xsinxdxf(xD（17）（本題滿分10）計算二重積分Ie(xD

dxdy，其D{(x,y)1xy4,x0,y（18）（本題滿分10分）f(x)(ab內可導，且x(ab)f(xf(x0f(x在(abn212（2

（20）（11）A是三階矩陣b9,18,18)T,方程Axb殼蟲 A。（II）A100

的矩陣合同于100101 000

)12（22）（本題滿分11分）設二維隨量(X,Y)聯(lián)合密度函數f(x,y)

x2y 1概率P{YX};概率P(X0/Y 4從X中分別抽取二組相互獨立且容量為n1、n2的簡單隨機樣本，樣本均值分別X1、X2，若常數1、2滿足121時，（I）E(T)；（II）確定1、2多少D(T達到最小

T1X12X2有（（數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）,每小題4分,共32分n1xn1xn（1）f(x

，則f(x)不可導點個數為 ex

x1x0,x0x1f(x的不可導點，答案Cx微分方程yyxcos2x的一個特解應具有形式 (AxB)cos2x(CxD)sin（C）Acos2xBsin

(Ax2Bx)（D）(AxB)cos2

sin 2設I12 dx, 2

sin

dx，則 ）（Ａ）I11 （Ｂ）1I2 （Ｃ）I2I1 （Ｄ）I21 sin 【解：因為x(0,)時，

I21

f(x,

sin x2zf(x2

（B）f(0,0)（C）f(x,y)在(0,0)處連 （D）f(x,y)在（0,0）處不可(x x1x22x3 (B)充分而非必要條 (D)既非充分又非必要條設向量組1,2,3線性無關，向量1能由1,2,3線性表出，向量2不能由1,2,3線性表出， （A）1,2,1線性無 （B）1,2,1線性相（C）1,2,2線性無 （D）1,2,2線性相D(XY)2，則E(XY)

k

(k0,1,2,，（A） （C） （D）DXY2，即2DXYDXD(Y2(EXYEX)E(Y22(EXY22{11EXY)}EXY設隨量X服從標準正態(tài)分布，且YX2，則X與Y EXYEX3x3(x)dx0EX0E(XY)E(X)E(Y所以CovX,Y0P{X1,Y1}P{X1X21}PXP{X1}(1)

1}2(1)1P{Y1}P{X21}2(1)1P{X1,Y1}P{X1}P{Y1}X與Y二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上yy(xx

x

d2d2dx再求導可得2(xy)e(xy)2(1y)2e(xy)2y0x0,y1代人到上述兩個方程式中可d2d2d解 2e微分方程xdyydxy2eydy的通解 3lim(13

1

n)nn 23n【解：1 )nnn，而limnn1， 準則可知原式23n2gfzg(xf(xy2yxy2z x( xf1)( 2f2 [ 2 x( 2f12)]gA

1 0 0 1 111

，B

1 110

X(E

A)T

E，求X X(EB1A)TBTEX[B(EB1A)]TEX(BA)T 0(BA)T 010，X[(BA)T]1 0 1 X~N(0.5)X1X2XnXXX1Xn

0.1，則樣本容量n解答題:(abx1csinx)exx3的高階無窮abx(1csin【解】方法一：由題設有l(wèi)im lim[abx(1csinx)exa10,a1，lim1bx(1csin

limb[1c(sinxcos

,b1c0 b[1c(sinxcos

(12ccos

lim 0,c b

abx1csinx)exabx1cxcx3o(x)][1x1x21x3o(x3 a1(bc1)xc1)x2( c c)xo(x 2 1 c c0，即a1,b ,c f(x)

1cos2

f(xsinxdxf(x【解】兩邊乘sinx

sinxdxf(x)sinxdx

f(x)sinxdxsinxd 1cos2 xsin sin dcos f(x)

x

1cos2xdx

1cos2xdx

1cos2

1cos2 xsindx也可作代換u01cos20

dxdu殼蟲 xsin (u)sin 01cos2xdx

du 1cos2 D（17）（本題滿分10）計算二重積分Ie(xy)2dxdy，其DD{(x,y)1xy4,x0,y

(cossin)2 2I2dco4se(cossin)2r2rdr1

d(cossin)

20(cossin 1

dcos4sine(cossin)2r2d(coscos 2

)2r2

(cossin

cos

11

2 e)d

2 d(1tan)20(cossin e16 |2e16e1 1tan

0(1tan)（18）（本題滿分10分）f(x)(ab內可導，且x(ab)f(xf(x0f(x在(ab【證明】：（反證法）若f(x)在(a,b)內有兩個 的零點，則x1(a,b),x2(a,b)xx,f(xf(x0F(x)exf(x)，則有F(xF(x0，由Rolle定理知 (x1x2ab)使得F(ef(f(f(x)f(x)0

，因而有f(f(0n21（19）（本題滿分10分）求

nn!

S(x)

n2xn

11xn02n n0n!2 xnx xn1x xx n02n n02n n02

n12nn!x n

1x

xxe21

x(xxxn!

1x n0n!2

殼蟲

n21xn[

x(x2)n02n （20）（11）A是三階矩陣b9,18,18)T,方程Axb（I）A。（II）求A100 (I)由題設知1-2,1,0T 22,0,1T是Ax0的基礎解系，即特征值0對應線性無關特征向量。又(1 2)T是Axb的特解1 9 1 A2b1892，知3(1 2)T是A對應于9特征向量- 2 0 1 2 2 則，取可逆陣P( P-1AP APP-1 則， 9

4A100PP-1100P100P-1999

100的矩陣合同于010 000 求常a；(Ⅱ)用正交變換法化二次型f(x1x2x3為標準形 3 2【解】(Ⅰ)令A 3，X 2

f(xxxXTAX12 100

x3A與010合同，所以rA23A0 000

3由A 33(2a10)0得a5，A 3

3 EA

11

11由(0EA)XO得 ，由(4EA)XO得2 2

；由(9EA)XO00殼

1

1

1.62 ，單位化得 3 62 3令Q(,,) ,QTAQ 312 13136 6

9 則f(x,x,x)XT X YT(QTAQ)Y4y2912 （22）（本題滿分11分）設二維隨量(X,Y)聯(lián)合密度函數f(x,y)

x2y 1（IV）概率P{YX};概率P(X0/Y 4 ydyA1(1x4)dx4A，所以A5 y22A0 y2f

(y)

5ydx5y

0yf(x, xyy對0y (x/y) yyfX/fY

其1(1

P{YX}

1ydy5

x 41

8 xY 4

X/Y

(x) 其 PX0Y

)=2dx 從X中分別抽取二組相互獨立且容量為n1、n2的簡單隨機樣本，樣本均值分別X1、X2，若常數1、2滿足121時，（I）E(T)；（II）確定1、2多少D(T達到最??；

T1X12X2有【解（I）取數學E(T)1EX12EX2(12)，所以對任何滿足1211、2，結論成立殼蟲 （II）以X1與X2相互獨立，則取方差得2

2 2 nD(T)1D(X1)+2D(Xn

n

)，在條件12 D(T)的最小值，由拉格朗日乘數法，作函數L=(21+21)(1 2 L=2+0,L=2+0,1，解得 1 2 11 n n 殼蟲

數學三（模擬考生注意:本試卷共二十三題,滿分150分,考試時間為3小時一、選擇題：（1）～（8）小題,每小題4分,共32分在每小題給出的四個選項中只有一個選項符合要求將所選項前的字母填在題后的括號里.（1）

f(x)A，則下列結論正確的是 A0,則M0,xMf(xA0,則M0,xMf(x若M0,xMf(x0,A若M0,xMf(x0,A設在全平面上有f(x,y)0f(x,y)0，則保證不等式f(xyf(xy

（A）x1x2，y1y2 （B）x1x2，y1y2（C）x1x2，y1y2 （D）x1x2，y1y2設函數g(x)在x0的某個鄰域內連續(xù)，且lim 0，f(x)在x0的某個鄰域內可導， 滿足f(x)sinx2xg(xt)dt，則 0x0f(xx0f(x點(0,f(0yf(xx0f(x的極值點，點(0,f(0yf(x lnI1 f(x,y)dy交換積分次序得（其中f(x,y)連續(xù)） ln AI1 f(x, BIedy0f(x,ln CI0dy1f(x, DI0dyeyf(x, （A）1 (B)12,2(C)12,23,3 (D)12,23,3二次型xTAxx2xaxx5xbx的正慣性指數 3 3Ap2,q B p2,qCp1q Da3,b3有關，不(7）設隨量X的概率密度函數為f(x)，則隨量X的概率密度函數為 （（f1(x)

f(x)f(x)

f1(x)f(x)ff(x)f(x)f(x),x

f(x)f(x),x (D)f(x) x xAB互不相容，且0PA10P(B1X

A不發(fā)生

Y

B不發(fā)X與Y的相關系數為，則 (A) (B) (C) (D)二、填空題:(9)～(14)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上f(xx2ln(1xn2f(n0 以ye2x,yxe2x為特解的二階常系數線性齊次微分方程為 1(x1(x x2 dx 差分方程 y3t2滿足條件y5的特解 t 設向量組1,2,3線性無關，122,23,12t3線性相關，則t X1X2,XnN(0,1)XS分別為樣本均值與樣本方差，則E[(XS2)2] 三、解答題 (15)～(23)