2021-2022學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽縣高二年級上冊學(xué)期期中調(diào)研測試 數(shù)學(xué) 解析版

2021～2022學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知直線經(jīng)過點，，則的傾斜角為（）A. B. C. D.B【分析】利用斜率的兩點式求得，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求傾斜角的大小.【詳解】由題設(shè)，，若的傾斜角為，則，又,∴.故選：B2.雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A.， B.C. D.D【分析】求出的值，即可得解.【詳解】在雙曲線中，，，則.因此，雙曲線的焦點坐標(biāo)為、故選：D.3.若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（）．A. B.C. D.B【分析】由題意可得，從而可求得實數(shù)的取值范圍【詳解】∵表示圓，則，∴，故選：B．4.已知兩圓和相交于兩點，則直線的直線方程為（）A. B. C. D.D【分析】把兩個圓的方程相減，即可求出結(jié)果．【詳解】把兩圓與的方程相減，可得，此直線的方程既能滿足第一個圓的方程、又能滿足第二個圓的方程，故必是兩個圓的公共弦所在的直線方程.故選：D.5.橢圓上點到橢圓左焦點的最大距離和最小距離分別是（）A.8，2 B.5，4 C.5，1 D.9，1D【分析】根據(jù)點到橢圓左焦點的最大距離和最小距離分別是，選出正確答案.【詳解】依題意，所以到橢圓左焦點的最大距離和最小距離分別是.故選：D本小題主要考查根據(jù)橢圓方程求，考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知三角形三個頂點為、、，則邊上的高所在直線的方程為（）A. B. C. D.A【分析】求出直線的斜率，可求得邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為.故選：A.7.已知橢圓上的點M到該橢圓一個焦點F的距離為4，N是的中點，O為坐標(biāo)原點，那么線段的長是（）A.6 B.5 C.4 D.3C【分析】連接，得到是三角形的中位線，故，再利用橢圓的定義求出，進而求出線段的長.【詳解】如圖，不妨設(shè)焦點F為左焦點，右焦點為，連接，因為N是的中點，是的中點，故是三角形的中位線，故，由得：，由橢圓的定義可知：，因為，所以，故故選：C8.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.C【分析】建立坐標(biāo)系，利用已知條件求出雙曲線的實軸長，虛軸長，然后求出半焦距，從而可求出離心率【詳解】解：以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，不妨設(shè)，則該雙曲線過點，且，所以，解得，所以，得，所以雙曲線的離心率為，故選：C二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.過點A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A.x﹣y+1＝0 B.x+y＝3 C.2x﹣y＝0 D.x+y+2＝0AC【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，設(shè)直線，代入，所以，所以直線方程為；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點時，設(shè)直線，代入，所以，所以直線方程為，故選：AC10.已知圓，直線．則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1B.對于任意實數(shù)m，直線l恒過定點（1，1）C.若圓C與圓恰有三條公切線，則D.若動點D在圓C上，點，則線段中點M的軌跡方程為BCD【分析】對于A，通過計算圓心到直線距離進行分析即可，對于B，對直線方程變形求解即可，對于C，由兩圓有3條公切線可得兩圓相外切，從而可求出的值，對于D，設(shè)的中點為，則可得動點D的坐標(biāo)為代入圓C方程中化簡可得答案【詳解】對于A，圓的圓心為，半徑，當(dāng)時，直線，則圓心到直線的距離為，因為，所以圓C上只有兩個點到直線l的距離等于1，所以A錯誤，對于B，由，得，由于，所以，得，所以直線恒點，所以B正確，對于C，因為圓C與圓恰有三條公切線，所以兩圓相外切，由，得，所以，解得，所以C正確，對于D，設(shè)的中點為，則可得動點D的坐標(biāo)為，因為動點D在圓C上，所以，化簡得，所以線段中點M的軌跡方程為，所以D正確，故選：BCD11.已知雙曲線，雙曲線與雙曲線有相同漸近線，拋物線以雙曲線的左焦點F為焦點，則下列判斷正確的是（）A.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為B.雙曲線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為1C.若雙曲線焦點在軸，則雙曲線的離心率為D.若雙曲線與拋物線交于A、B兩點，則AB【分析】對于A，先求出雙曲線的左焦點，進而求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)雙曲線的焦點到漸進線的距離，可判斷出B，根據(jù)雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得出中，的關(guān)系，進而求出雙曲線的離心率，將雙曲線與拋物線的方程聯(lián)立解出進而可求得答案.【詳解】因為雙曲線，所以的左焦點F，將由得，，所以，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對于B，雙曲線的焦點到漸進線的距離，由題可知，所以雙曲線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為1，故B正確；對于C，因為雙曲線，所以其漸近線為，又因為雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且焦點在軸上，設(shè)，，則，所以，故C錯誤；對于D，聯(lián)立解得，所以，，所以D錯誤.故選：AB12.已知為橢圓：的左焦點，直線：與橢圓交于，兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交點為，則（）A.的最小值為2 B.面積的最大值為C.直線的斜率為 D.為鈍角BC【分析】A項，先由橢圓與過原點直線的對稱性知，，再利用1的代換利用基本不等式可得最小值，A項錯誤；B項，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值；C項，由對稱性，可設(shè)，則，，則可得直線的斜率與k的關(guān)系；D項，先由A、B對稱且與點P均在橢圓上，可得，又由C項可知，得，即，排除D項.【詳解】對于A，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，則四邊形為平行四邊形，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A錯誤；對于B，由得，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；對于C，設(shè)，則，，故直線的斜率，C正確；對于D，設(shè)，直線的斜率額為，直線的斜率為，則，又點和點在橢圓上，①，②，①②得，易知，則，得，，，D錯誤.故選：BC.橢圓常用結(jié)論：已知橢圓，AB為橢圓經(jīng)過原點的一條弦，P是橢圓上異于A、B的任意一點，若都存在，則.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.拋物線的準(zhǔn)線方程是______．【詳解】由題意可得p=4,所以準(zhǔn)線方程為,填14.與直線的斜率相等，且過點的直線方程為_________【分析】求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故所求直線方程為，即.故答案為.15.橢圓的左、右焦點分別為，，C上存在一點P使得，則橢圓離心率的范圍是_______．【分析】先根據(jù)橢圓定義得到，再利用余弦定理，求出，利用橢圓的范圍列出不等式求出離心率的范圍.【詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理得：，解得，因為，所以，即，且，所以，故橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為.方法總結(jié)：考查了橢圓的應(yīng)用，當(dāng)點在短軸的端點時值最大.16.已知平面上任意一點，直線，則點P到直線l的距離為；當(dāng)點在函數(shù)圖象上時，點P到直線l的距離為，請參考該公式求出的最小值為__________．##【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點到直線、的距離之和的倍，即可求得最小值．【詳解】令，，∴表示函數(shù)圖象上的點到直線的距離，表示函數(shù)圖象上的點到直線的距離，∴目標(biāo)式幾何意義：半圓上的點到直線、的距離之和的倍，∴最小值為．故答案為.四、解答題：本大題共6個小題，滿分70分．解答須寫出說明、證明過程和演算步驟．17.求符合下列條件直線的方程：（1）過點A（-3，-1），且傾斜角為．（2）過點P（3，4），且兩點到這直線距離相等．（1）（2）或分析】（1）根據(jù)傾斜角得出直線斜率，利用點斜式求解即可；（2）分所求直線與MN平行，過MN中點兩種情況求解即可.【小問1詳解】∵傾斜角為∴斜率為由點斜式直線方程可得即.【小問2詳解】①與直線MN平行∴斜率由點斜式直線方程可得即②過MN中點可求MN中點是（3，2）又直線過P（3，4），則直線方程為x=3綜上得直線方程為或18.求符合下列條件圓的方程：（1）圓心為點，面積為.（2）與圓關(guān)于y軸對稱．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.（2）把圓化為，求得圓心關(guān)于軸的對稱點，即可求得對稱圓的方程.【小問1詳解】解：設(shè)所求圓的半徑為，因為圓的面積為，即，解得，又由圓心為，所以所求圓的方程為.【小問2詳解】解：由圓可化為，可得圓心坐標(biāo)為，可圓心關(guān)于軸的對稱點為，所以圓關(guān)于軸的對稱圓的方程為.19.已知橢圓與雙曲線具有共同的焦點、，點在橢圓上，，____________①橢圓過點，②橢圓的短軸長為，③橢圓離心率為，（①②③中選擇一個）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積．（1）條件選擇見解析，橢圓方程為（2）【分析】（1）由已知可得，選①：可求得的值，進而可求得的值，即可確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；選②：求出的值，可求得的值，即可確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；選③：根據(jù)離心率可求得的值，進而可求得的值，即可確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用橢圓定義結(jié)合勾股定理可求得，再利用三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓方程.因為橢圓與雙曲線具有共同的焦點，則.選①：由已知可得，則，橢圓方程為；選②：由已知可得，則，橢圓方程為；選③得，則，橢圓方程為.【小問2詳解】解：由橢圓定義知①，又，②，由①可得，解得，因此，.20.早在一千年之前，我國已經(jīng)把溢流孔用于造橋技術(shù)，以減輕橋身重量和水流對橋身的沖擊．現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的個溢流孔，橋拱和溢流孔的輪廓線均為拋物線的一部分，且個溢流孔的輪廓線相同．根據(jù)圖上尺寸，試分別求出橋拱所在的拋物線方程和溢流孔所在的拋物線方程，及溢流孔與橋拱交點的位置．答案見解析【分析】設(shè)橋拱、以及所在溢流孔的拋物線方程，將點的坐標(biāo)代入這兩個拋物線的方程，求出對應(yīng)的參數(shù)，可求得這兩個拋物線的方程，同理可得出其余三個溢水孔所在拋物線的方程，聯(lián)立橋拱、以及所在溢流孔的拋物線方程，可求得點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)橋拱所在拋物線的方程為，則，得，所以橋拱所在拋物線的方程①.設(shè)所在溢流孔的拋物線方程為，則，解得，所以所在溢流孔的拋物線方程為②.由于個溢流孔的輪廓線相同，所以、所在溢流孔的拋物線方程為，同理得另兩個溢流孔的拋物線方程為，，聯(lián)立①②方程的點坐標(biāo)為.21.光線沿直線射入，經(jīng)過x軸反射后，反射光線與以點（2，8）為圓心的圓C相切，（1）求圓C的方程（2）設(shè)k為實數(shù)，若直線與圓C相交于M、N兩點，且，求的k取值范圍．（1）（2）【分析】（1）求出直線關(guān)于x軸的對稱直線的方程，即反射光線所在直線的方程，再根據(jù)直線與圓相切求得半徑即可得出答案；（2）利用圓的弦長公式求得，再根據(jù)即可得解.【小問1詳解】解：在直線中，令，則，由題意可知，入射光線與反射光線所在的直線關(guān)于軸對稱，則反射光線所在直線的斜率為，且過點，所以直線關(guān)于x軸的對稱直線為，點（2，8）到直線距離，圓方程為；【小問2詳解】設(shè)圓心到直線的距離為d，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即.22.已知橢圓E的方程為，過點且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）點A是橢圓E與x軸正半軸的交點，不過點A的直線交橢圓E于B、C兩點，且直線，的斜率分別是，，若，①證明直線l過定點R；②求面積的最大值