2021-2022學年浙江省“9 1”高中聯(lián)盟高一年級下冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年浙江省“9+1”高中聯(lián)盟高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)滿足，i是虛數(shù)單位，則是（

）A． B． C． D．C【分析】利用復數(shù)的除法運算法則直接計算.【詳解】.故選：C.2．已知為不共線的兩個單位向量，若與平行，則的值為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)平面向量共線定理可得存在唯一實數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解.【詳解】解：因為與平行，所以存在實數(shù)，使得，即，又為不共線，所以，解得.故選：B.3．已知的面積為，下圖是的直觀圖，已知，，過作軸于，則的長為（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)三角形直觀圖面積和原圖面積之間的關系，結合題意，即可容易求得.【詳解】設三角形直觀圖的面積為，顯然，又，解得.故選：4．如圖是某廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐和一個半球組合而成.其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.6m，圓錐的高是0.4m.要對這個臺燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠200克，則共需膠（

）克.A． B． C． D．B【分析】求出圓錐的側面積和半球面的表面積后，然后乘以200即可．【詳解】由題意圓錐的母線長為，所以臺燈表面積為，需膠重量為（克）．故選：B．5．已知是的外心，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．C【分析】由知，為直角三角形；根據(jù)在上的投影向量為計算.【詳解】設的中點為，則，所以，所以外心與中點重合，故為直角三角形.設，則，，，設為方向上的單位向量，則在上的投影向量為.故選：C.6．若，則=（

）A． B． C． D．D【分析】利用同角三角函數(shù)關系，結合正弦的二倍角公式，帶值計算即可.【詳解】.故選：D.7．在△中，內(nèi)角的對邊分別是，且，則等于（

）A．1 B． C．3 D．A【分析】根據(jù)正弦定理，結合已知條件，即可容易求得結果.【詳解】在三角形中，由正弦定理可得.故選：A.8．在平面四邊形中，，，.若點為線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．B【分析】取中點為，結合極化恒等式以及余弦定理，即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意，連接，取中點為，作圖如下：，在三角形中，由余弦定理可得：，即，則，故，顯然當且僅當時，取得最小值，故，的最小值為.即的最小值為.故選：二、多選題9．函數(shù)圖象與軸交于點，且為該圖像最高點，則（

）A．B．的一個對稱中心為C．函數(shù)圖像向右平移個單位可得圖象D．是函數(shù)的一條對稱軸AB【分析】利用待定系數(shù)法分別求出，注意，從而可求出函數(shù)的解析式，再利用代入檢驗法結合正弦函數(shù)的對稱性即可判斷BD；根據(jù)平移變換的原則即可判斷C.【詳解】解：因為為該圖像最高點，所以，又函數(shù)的圖象與軸交于點，則，又，所以，則，則，所以，由圖可知，所以，所以，所以，故A正確；對于B，因為，所以的一個對稱中心為，故B正確；對于C，函數(shù)圖像向右平移個單位可得圖象，故C錯誤；對于D，不是最值，所以不是函數(shù)的一條對稱軸，故D錯誤.故選：AB.10．已知的內(nèi)角的對邊分別是，，，則下列正確的是（

）A．若，則有二解B．若有解，則的范圍為C．若，，則的長度為D．若是的中點，是的中點，那么的取值范圍BCD【分析】對選項A與B：可用余弦定理轉化為二次方程解的個數(shù)問題;對選項C與D：可用，分別表示，，，長度問題轉化向量模長解決.【詳解】對選項A：在中，由余弦定理可知，，即，整理可得:，即，則，故選項A錯誤；對選項B：在中，由余弦定理可知，，設，即，整理可得:，因為有解，方程需有正解，所以且，解得，即，因為，則，故選項B正確；對選項C.因為，所以所以，所以，所以選項C正確.對選項D：因為為的中點，所以，因為為的中點，所以，設，因為，所以，則，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，故選項D是正確的.故選：BCD.11．設均為單位向量，對任意的實數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為BD【分析】根據(jù)已知條件求得的夾角以及數(shù)量積，對每個選項進行逐一分析即可判斷和選擇.【詳解】對：設的夾角為，，兩邊平方可得：，即對任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯誤；對：，故正確；對：，當且僅當時取得等號，故錯誤；對：，對，當且僅當時取得最小值，故的最小值為，故正確.故選.12．已知正方體的棱長為，分別為棱的中點，點為內(nèi)（包括邊界）的一個動點，則下列結論正確的是（

）A．對于任意點，直線與直線為異面直線B．線段長的最小值為C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐外接球的表面積最大值為ACD【分析】結合圖象可判斷A；取的中點，連接，計算可判斷B；連接，因為分別為棱的中點，由正方體的結構特征結合線面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，由此可判斷CD【詳解】對于A：由圖象易知四點不可能共面，所以直線與直線為異面直線是異面直線，故A正確；對于B：取的中點，連接，則易知，此時，故B錯誤；對于C：連接，因為分別為棱的中點，由正方體的結構特征結合線面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，且與和的交點分別為，且分別為和的中心，為內(nèi)（包括邊界）的一個動點，所以點到平面的距離為，又因為的面積與都為定值，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D：又C可知三棱錐外接球的球心必在上，其中的外接圓為球的一個小圓，且為定圓，當過點的球與所在平切于中心時，此時球的半徑最小，根據(jù)運動的思想，可得當點與或或重合時，此時外接球的半徑最大，設此時外接球的半徑為，由正方體的棱長為1，可得，連接，在等邊中，由，可得，在等邊中，由，可得，則，設，則，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，所以，解得，所以，所以最大外接球的表面積為，故D正確；故選：ACD三、填空題13．關于的實系數(shù)方程的一個虛根為，i為虛數(shù)單位，則實數(shù)______.5【分析】將虛根代入方程，根據(jù)復數(shù)相等列出等量關系，即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意可得：，即，故，且，解得.故答案為.14．魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機械加工業(yè)上利用這個性質，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長度為，則該魯洛克斯三角形的面積為______.【分析】由弧長公式可求得等邊的邊長，再根據(jù)該魯洛克斯三角形的面積等于三個扇形的面積減去2個的面積，結合扇形和三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：由題意可知，設，則弧的長度為，所以，設弧所對的扇形的面積為，，則該魯洛克斯三角形的面積為.故答案為.15．已知一個健身球放在房屋的墻角處，緊靠墻面和地面，即健身球與圍成墻角的三個兩兩互相垂直的面都相切，若球的體積是，則墻角頂點到球面的點的最近距離為______.【分析】根據(jù)球體的體積公式，結合題意，即可容易求得結果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：設墻角頂點為，球心為，該球與墻面的切點分別為，設球體的半徑為，因為其體積為，則，解得，又因為，解得，墻角頂點到球面的點的最近距離為.故答案為.16．已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的最大值是______.【分析】根據(jù)題意做出幾何圖形，結合平面向量的基本知識以及正弦定理，數(shù)形結合即可求解.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：令，根據(jù)題意可得：，且，取中點為，故，點在以為直徑的圓上運動；顯然當三點共線時，取得最大值，即；不妨設三角形的外接圓圓心為，顯然，在三角形中，由正弦定理可得：，即，故，當且僅當時取得，同時；顯然當三點共線時，取得最大值，此時故，當且僅當，且四點共線時取得.故答案為.關鍵點點睛：問題的關鍵點是能夠充分的進行數(shù)形結合結合圓的知識求解.四、解答題17．如圖，在五棱柱中，側棱垂直于底面，，，AE⊥AB，，AA1=3，過點作截面AB1D1E.(1)求直三棱柱的表面積；(2)求多面體的體積.(1)(2)12【分析】（1）根據(jù)多面體的表面積公式計算即可；（2）分別求出直三棱柱的體積和直五棱柱的體積，然后相減即可得解.【詳解】（1）解：由題意得：，直三棱柱的表面積為；（2）解：直三棱柱的體積為，如圖，在五邊形中，連接，因為，且，AE⊥AB，所以四邊形為矩形，則，所以在中，邊上的高為，所以五邊形的面積為，直五棱柱的體積為，所以多面體的體積為.18．已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調增區(qū)間；(2)當時，，求.(1)最小正周期為，單調遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）先化簡，再由周期公式可得周期，由可解得遞增區(qū)間；（2）由可得，進而得，則，即可求解【詳解】（1）因為，所以的最小正周期為，由，得；所以單調遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.19．在△中，內(nèi)角對應的邊分別為，請在①；②；③這三個條件中任選一個，完成下列問題：(1)求角的大小；(2)已知，，設為邊上一點，且為角的平分線，求△的面積.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正余弦定理，結合不同的選擇，進行邊角轉化，即可求得結果；（2）根據(jù)余弦定理求得，結合三角形面積公式，即可求得結果.【詳解】（1）選①，因為，所以，得，即，由正弦定理得：，因為，所以()，所以．選②，因為，所以，()得，即，，所以()，所以．選③，因為，所以，，，，，，即，因為，所以，所以．（2）在△中，由余弦定理，則，那么；由角平分線定理,則,那么.20．已知向量，，，，.若與垂直.(1)求的值及與之間的夾角；(2)設，求的取值范圍.(1)，(2)【分析】（1）由與垂直，可得，即可求出的值；設與之間的夾角為，先求出的坐標，再代入，即可得出答案；（2）將坐標代入，可表示出，再代入化簡結合三角函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】（1）由化簡得：，因為，，所以，，則，則因為，解得，因為，則；設與之間的夾角為則，因為，故.（2）由得：，即，，.則，所以.21．如圖，在點處有一座燈塔，是一條直的海岸線，已知，，從燈塔處射出的燈光照到線段上的線段，、是線段（含端點）上的動點，在轉動燈光的過程中，始終保持不變.(1)當時，求被燈光照到的區(qū)域的面積；(2)求海岸線上被照到的線段長的最小值.(1)(2)【分析】（1）分別利用正弦定理求得，再根據(jù)三角形得面積公式即可得解；（2）設A到EF的距離為，根據(jù)可求得，從而可得EF的最小值即為面積的最小值，設，，分別利用正弦定理求得，再根據(jù)三角形得面積公式結合三角恒等變換求得面積的最小值，從而可得出答案.【詳解】（1）解：在中，，由正弦定理，得，所以，在中，，由正弦定理，得，所以，所以；（2）解：設A到EF的距離為，由，得，所以EF的最小值即為面積的最小值，設，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，當且僅當時，取“”，當面積最小時，由，得，所以線段的最小值為.22．在△中，已知，，，設點為邊上一點，點為線段延長線上的一點，且.(1)當且是邊上的中點時，設與交于點，求線段的長；(2)若，求的最小值.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)點是三角形的重心，結合三角形重